Skript - Universität Paderborn

66 3 Moduln
A =
( )
a11 0
0 A ′
mit A ′ ∈ Mat ( (d − 1) × (n − 1), R ) . Wenn a 11 alle Koeffizienten von A ′ teilt, sind
wir nach Induktion fertig. Wenn nicht, d.h., wenn es ein a ij gibt, das von a 11 nicht
geteilt wird, dann addiert man die j-te Zeile zur ersten, teilt a ij mit Rest r durch
a 11 und subtrahiert dann das entsprechende Vielfache der ersten Spalte von der
j-ten Spalte. Dies erzeugt dann den Eintrag r in der Position 1j und das steht im
Widerspruch zur Minimalität von g(a 11 ). Also kann dieser Fall gar nicht auftreten
und wir sind fertig.
Eindeutigkeit der Ideale: Wir nehmen also an:
M =
l⊕
R/I j
j=1
mit den genannten Eigenschaften und wollen die I j mithilfe von M beschreiben.
Dazu sei I j = r j R so, dass
r 1 | r 2 | . . . | r l .
1. Schritt ( ”
Streichen“): Zunächst ermitteln wir, wie oft das Nullideal vorkommt:
Setze dazu
M ′ := {m ∈ M | (∃r ∈ R \ {0}) rm = 0}.
Dann ist M ′ ein Untermodul von M. Genauer sieht man, dass
mit ˜l := max{j | I j ≠ 0} und
M ′ =
˜l⊕
j=1
R/I j
M/M ′ ∼ = R
l−˜l.
Damit ist durch M festgelegt (vgl. Proposition 3.2.5), wieviele Summanden R
in M vorkommen und wir können annehmen, dass keines der r j Null ist.
2.Schritt ( Kürzen“): Für p ∈ R prim setze jetzt M ” p := {m ∈ M | pm = 0}.
Dann ist M p ein R/pR-Vektorraum und nach Lemma 3.3.2 zählt die Dimension
von M p gerade die Anzahl der r j , in denen p als Primfaktor vorkommt. Sei
jetzt p ein Primteiler von r 1 und damit von allen anderen r j . Dann gilt also
dim R/pR M p = l. Wenn
⊕l ′
M = R/s j R
j=1
eine weitere Summenzerlegung der geforderten Art ist, dann teilt also p mindestens
l der Elemente s 1 , . . . , s l ′. Insbesondere gilt l ≤ l ′ . Aus Symmetriegründen
folgt damit l = l ′ und p teilt alle s j .
Betrachte den Modul pM: Wieder mit Lemma 3.3.2 sieht man
pM ∼ =
mit px j = r j und py j = s j .
l⊕
R/x j R ∼ =
j=1
l⊕
R/y j R
Jetzt wiederholt man das bisherige Verfahren für pM statt M (dabei werden
allerdings keine freien R-Summanden mehr auftauchen), d.h. man kürzt ein gemeinsames
Primelement aller Summanden. Sukzessive stellt man fest, dass die r j
und die s j bis auf Einheiten übereinstimmen.
⊓⊔
j=1