Skript - Universität Paderborn

2.3 Euklidische Ringe 43
umschreiben. Wenn jetzt a ≠ 0 oder b ≠ 0, dann ergibt sich mit c =
d = die Gleichung
−b
a 2 +b 2
( )
a
(a + bX + I)
a 2 + b 2 − b
a 2 + b 2 X + I = 1 + I.
a
a 2 +b 2
Damit haben wir gezeigt, dass R[X]/ ( p ) ein Körper ist. Es ist dann leicht zu verifizieren,
dass
R[X]/ ( p ) → C
a + bX + ( p ) ↦→ a + ib
ein Isomorphismus ist. Die diesem Isomorphismus zugrunde liegende Vorstellung ist:
C ist erzeugt von R und einem Element x (nämlich dem Bild von X in R[X]/(X 2 +
1)), das die Gleichung x 2 = −1 erfüllt. ⊓⊔
und
Die folgende Definition abstrahiert zwei für Fragen der Teilbarkeit wesentliche
Eigenschaften der ganzen Zahlen und macht sie so auch für gewisse andere Ringe
(z.B. Polynomringe über einem Körper) verfügbar.
Definition 2.3.3. Sei R ein Integritätsbereich. R heißt ein Hauptidealring, wenn
jedes Ideal I in R von der Form I = xR mit x ∈ R ist. R heißt ein euklidischer
Ring, wenn es eine Funktion g : R \ {0} → N 0 gibt, die folgende Eigenschaften hat:
(a) g(ab) ≥ g(a) für alle a, b ∈ R \ {0}.
(b) Wenn a ∈ R \ {0} und b ∈ R, dann gibt es Elemente q, r ∈ R mit
b = qa + r, wobei r = 0 oder g(r) < g(a) (Division mit Rest).
Die Funktion g mit den Eigenschaften (a) und (b) heißt eine Gradfunktion für R.
Beispiel 2.3.4. (i) Z ist ein euklidischer Ring mit g(n) = |n|.
(ii) Sei K ein Körper. Dann ist K[X] ein euklidischer Ring mit Gradfunktion deg.
Dies folgt sofort aus Satz 2.3.1, weil in einem Körper jedes von Null verschiedene
Element eine Einheit ist.
⊓⊔
Die folgende Proposition steht in engem Zusammenhang mit Beispiel 2.2.8.
Proposition 2.3.5. (i) Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
(ii) Sei R ein Hauptidealring. Dann haben zwei Elemente a, b ∈ R einen bis auf
Multiplikation mit einer Einheit eindeutigen ggT und dieser ist in der Menge
{ma + nb | n, m ∈ R} enthalten.
Beweis. Idee: Betrachte ein Element minimalen Grades in I.
(i) Sei I ein Ideal in R. Wenn I = {0} ist, dann gilt I = 0 · R. Andernfalls wählen
wir ein Element d ∈ I mit minimalem g(d). Für jedes i ∈ I finden wir dann
q, r ∈ R mit i = qd + r und r = 0 oder g(r) < g(d). Da aber r = i − qd ∈ I ist,
kann der zweite Fall nicht auftreten, so dass i = dq ∈ dR. Umgekehrt ist mit d
auch dR in I, also gilt I = dR.