Skript - Universität Paderborn

58 3 Moduln
(1) M ist frei mit Basis E.
(2) Zu jedem Links-R-Modul V und zu jeder Abbildung ϕ : E → V gibt es genau
einen R-Modulhomomorphismus ϕ : M → V mit ϕ| E = ϕ, d.h.
E
∀ϕ
V
M
∃!ϕ
Beweis. Idee: Die Richtung ”
(1) ⇒ (2)“ erhält man durch R-lineare Fortsetzung. Für
die Umkehrung liefern spezielle Abbildungen E → V die lineare Unabhängigkeit von E.
Dass der von E aufgespannte Modul N gleich M ist sieht man, wenn man die Nullabbildung
E → M/N mit (2) nach M anhebt.
” (1) ⇒ (2)“: ϕ(Σr jm j ) := Σr j ϕ(m j ) für m j ∈ E.
” (2) ⇒ (1)“: Wir zeigen zunächst die R–Unabhängigkeit von E: Zu m 1, . . . , m n ∈
E, r 1 , . . . , r n ∈ R mit Σr j m j = 0 wähle V = R und ϕ j : E → V mit
{
1 m = mj
ϕ j (m) =
0 sonst.
Dann rechnet man ϕ i (Σr j m j ) = Σr j ϕ i (m j ) = r i und dies liefert mit ϕ i (0) = 0
die R-Unabhängigkeit von E. Um 〈E〉 = M zu zeigen, setze N := 〈E〉 und
betrachte den Faktormodul M/N = {m + N | m ∈ M}. Die R-Modulstruktur
von M/N ist durch r · (m + N) = (r · m) + N gegeben. Wende (2) auf
ϕ : E → M/N, m ↦→ [0] = 0 + N
an. Die Abbildungen
ϕ 1 : M → M/N
m ↦→ [0]
}
und
}
ϕ 2 : M → M/N
m ↦→ m + N
sind beides R-Modulhomomorphismen, die ϕ fortsetzen (weil E ⊆ N). Also
liefert (2), dass ϕ 1 = ϕ 2 und das zeigt M = N.
Bemerkung 3.2.7. Die Bedingung (2) aus Satz 3.2.6 wird als universelle Eigenschaft
der freien Moduln bezeichnet. Universelle Eigenschaften lassen sich oft
sehr übersichtlich durch kommutative Diagramme darstellen. Dabei bedeutet
“kommutativ”, dass die Abbildungen, die man aus dem Diagramm durch Komposition
von Pfeilen zusammensetzen kann, übereinstimmen, wenn nur Anfangs– und
Endpunkt übereinstimmen.
⊓⊔
⊓⊔
Proposition 3.2.8. Sei M λ , mit λ ∈ Λ eine Familie von Links-R-Moduln. Dann
ist
{
∏
M λ := f : Λ → ⋃ ∣ }
∣∣∣
M λ f(λ) ∈ M λ
λ∈Λ
λ∈Λ
ein Links-R-Modul bzgl.