Skript - Universität Paderborn

3.4 Anwendung auf lineare Abbildungen 71
Lemma 3.4.5 (Jordan–Block). Sei ϕ ∈ End K (V ) und V ∼ = K[X]/(X − λ) k K[X]
mit λ ∈ K. Dann gibt es eine Basis {v 1 , . . . , v k } von V bzgl. der die darstellende
Matrix von ϕ die Gestalt ⎛
⎞
λ 1 0
0 λ 1 0
. .. . .. . .. . ..
⎜ 0 λ 1 0
⎟
⎝ 0 λ 1⎠
0 λ
hat. Insbesondere ist (X − λ) k das charakteristische Polynom χ ϕ von ϕ.
Beweis. Idee: Die gesuchten Basisvektoren v j entsprechen den (X − λ) k−j + (X −
λ) k K[X].
Sei v j das Bild von (X−λ) k−j +(X−λ) k K[X] unter dem K[X]-Modulisomorphismus
K[X]/(X − λ) k K[X] → V.
Dann sieht man wie im Beweis von Lemma 3.4.3, dass dies eine Basis wird (Übung).
Schließlich rechnet man
und
Dies zeigt die Behauptung.
Xv j = (X − λ)v j + λv j = v j−1 + λv j , j ≥ 2
Xv 1 = (X − λ)v 1 + λv 1 = λv 1 .
⊓⊔
Der Einfachheit halber nehmen wir ab jetzt an, dass der Körper K algebraisch
abgeschlossen ist, d.h. jedes Polynom ist von der Form
f = c(X − λ 1 ) · · · (X − λ n ),
wobei die λ j ∈ K nicht notwendigerweise verschieden sind. Insbesondere haben die
Primelemente von K[X] alle Grad 1. Diese Bedingung ist nach dem Fundamentalsatz
der Algebra für C erfüllt. Man kann zeigen, dass jeder Körper als Teilkörper eines
algebraisch abgeschlossenen Körpers betrachtet werden kann. Damit läßt sich dann
ein Teil der folgenden Resultate auf beliebige Körper übertragen.
Proposition 3.4.6. Sei ϕ ∈ End K (V ) und
V ∼ =
l⊕
K[X]/q j K[X]
j=1
die Summenzerlegung aus Satz 3.3.3, angewandt auf die von ϕ induzierte K[X]-
Modulstruktur auf V . Wenn die q j normiert sind (d.h. Leitkoeffizient 1), dann ist
q 1 · · · q l = χ ϕ das charakteristische Polynom von ϕ.
Beweis. Idee: Man reduziert das Problem sofort auf den Fall l = 1 und kombiniert
dann Proposition 3.3.5 mit Lemma 3.4.5.
Jeder direkte Summand in V ist ein ϕ-invarianter Unterraum und die charakteristischen
Polynome der Einschränkungen multiplizieren sich auf zum charakteristischen
Polynom von ϕ. Also können wir l = 1 annehmen. Dann liefert
Proposition 3.3.5 eine weitere Summenzerlegung, so dass wir annehmen dürfen:
V ∼ = K[X]/q k K[X] mit q ∈ K[X] prim. Da wir K algebraisch abgeschlossen angenommen
haben, ist q = X − λ mit λ ∈ K. Jetzt zeigt Lemma 3.4.5 die Behauptung.
⊓⊔