Skript - Universität Paderborn

46 2 Ringe
(iii) Man zeige, dass die Einheiten von Z[ √ −3] genau die Elemente a + b √ −3 ∈ Z[ √ −3]
sind mit a 2 + 3b 2 = 1.
Übung 2.3.6. Man berechne den ggT von
in Q[X].
f = X 3 + X 2 + X − 3 und g = X 6 − X 5 + 6X 2 − 13X + 7
Übung 2.3.7. (i) Betrachte den Ring R := Z[X]/(X 4 + 1)Z[X] und setze x := X + (X 4 +
1)Z[X] ∈ R. Berechne die ganzen Zahlen c i in
(
3∑
3∑
) ( 3∑
)
c i x i = a i x i b i x i
i=0
i=0
i=0
in Abhängigkeit von den vorgegebenen ganzen Zahlen a i und b i .
(ii) Sei K ein Körper und f ∈ K[X]\{0}. Zeige: Jede Nebenklasse von K[X]/fK[X] enthält
genau ein Element g ∈ K[X] mit g = 0 oder deg(g) < deg(f).
(iii) Sei L ein Körper und K ein Unterkörper von L (man spricht dann von einer
Körpererweiterung K ⊆ L). Seien weiter f, g ∈ K[X]. Zeige: Der ggT von f und
g, betrachtet als Elemente von K[X] ist gleich dem ggT von f und g, betrachtet als
Elemente von L[X].
Übung 2.3.8. Zeige, dass Z[i] := {x + iy | x, y ∈ Z} ein Unterring von C ist, und dass
g : Z[i] → N 0 mit
g(x + iy) = x 2 + y 2 = |x + iy| 2
eine Gradabbildung ist, durch die Z[i] zu einem euklidischen Ring wird.
Übung 2.3.9 (Euklidischer Algorithmus).
1. Es seien die ganzen Zahlen x := 1234 und y := 56789 gegeben. Berechne den größten
gemeinsamen Teiler von x und y, und finde ganze Zahlen a und b mit ggT(x, y) =
a · x + b · y.
2. Es seien die Polynome p := X 6 + 3 X 4 − 2 und q := 2 X 5 + 4 X 3 + 2 X gegeben.
Berechne den größten gemeinsamen Teiler von p und q in R[X], und finde Polynome
g und f aus R[X] mit ggT(p, q) = f · p + g · q.
Übung 2.3.10. Sei R ein Integritätsbereich und a ∈ R \ {0} keine Einheit. Zeige, dass das
von a und X erzeugte Ideal in R[X] kein Hauptideal ist.
Bemerkung: Dies zeigt, dass R[X] nur dann ein Hauptidealring sein kann, wenn R schon
ein Körper ist. In diesem Fall ist R[X] sogar ein euklidischer Ring, also insbesondere ein
Hauptidealring.
2.4 Faktorielle Ringe
Definition 2.4.1. Sei R ein Integritätsbereich. Dann heißt R ein faktorieller
Ring, wenn jede Nicht-Einheit 0 ≠ r ∈ R \ Unit(R) sich als Produkt von Primelementen
schreiben lässt.
Proposition 2.4.2. Sei R faktoriell und r ∈ R \ Unit(R). Wenn r = p 1 · · · p k =
q 1 · · · q l mit p i , q j prim ist, dann gilt k = l und es gibt eine bijektive Zuordung
{p 1 , . . . , p k } → {q 1 , . . . , q l }, p i ↦→ q ji mit q ji assoziiert zu p i .