Skript - Universität Paderborn

4.5 Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal 87
Korollar 4.4.9. Wenn a ∈ Z \ {±1} quadratfrei ist, dann ist X n − a für alle n > 2
irreduzibel über Q.
Beweis. Wähle p | a und wende das Eisensteinkriterium 4.4.5 an.
⊓⊔
Bemerkung 4.4.10. Es gibt irreduzible Polynome beliebig hohen Grades über Q,
nicht aber über R oder C.
⊓⊔
Beispiel 4.4.11. Betrachte den Quotientenkörper K := F p (t) von F p [t], d.h. den
Körper der ”
rationalen Funktionen in einer Variablen t“. Sei L der Zerfällungskörper
von q := X p − t und q(α) = 0 für α ∈ L. Dann gilt
(X − α) p = X p − α p = X p − t
und wir sehen, dass α die einzige Nullstelle von q ist. Die Irreduzibilität von q lässt
sich aus einem Analogon des Eisensteinkriteriums folgern. Dabei nimmt man F p [t]
statt Z, F p (t) statt Q und t als Primelement in F p [t].
⊓⊔
Übung 4.4.1. Formuliere und beweise das in Beispiel 4.4.11 angedeutete Eisensteinkriterium.
4.5 Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal
In diesem Abschnitt beschreiben wir die Konstruierbarkeit von Punkten in der
Ebene mithilfe von Zirkel und Lineal durch algebraische Operationen. Aufgrund
dieser Beschreibung können wir dann die Unmöglichkeit gewisser Konstruktionen
zeigen. Beispiele dafür sind die Kreisquadrierung und die Winkeldreiteilung.
Definition 4.5.1. Wir betrachten die euklidische Ebene R 2 und betrachten einen
Punkt (x, y) ∈ R 2 als konstruierbar, wenn er durch eine endliche Abfolge von
Operationen der Typen (A), (B) und (C) aus den Punkten (0, 0) und (1, 0) zu
erhalten ist:
(A) Man legt eine Gerade durch zwei konstruierbare Punkte.
(B) Man schlägt einen Kreis um einen konstruierbaren Punkt mit einem Radius,
der gleich dem Abstand zweier konstruierbarer Punkte ist.
(C) Man schneidet Geraden/Kreise mit Geraden/Kreisen und nimmt die Schnittpunkte
in die Menge der konstruierbaren Punkte auf.
Eine reelle Zahl r ∈ R heißt konstruierbar, wenn der Punkt (r, 0) konstruierbar
ist.
Proposition 4.5.2. Die Menge K der konstruierbaren reellen Zahlen ist ein Unterkörper
von R, für den gilt
(∀a, b, c ∈ K, c ≥ 0) : a + b √ c ∈ K.