Skript - Universität Paderborn

78 4 Körpererweiterungen
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Übung 4.1.1. Für α ∈ C sei Q(α) der von Q und α erzeugte Unterkörper von C. Bestimme
den Grad [Q(α) : Q] für
3√ √ √
α = i, 2, 2 + 3 .
Wie lassen sich die Elemente von Q(α) beschreiben Was ist mit α = π
Übung 4.1.2 (Inverse). Sei α ∈ C eine Nullstelle des irreduziblen Polynoms X 3 −3 X +4.
Man gebe das Inverse von α 2 +α+1 in Q(α) explizit in der Form aα 2 +bα+c mit a, b, c ∈ Q
an.
Übung 4.1.3 (Kubische Gleichungen). Bestimme die Lösungen der Gleichung
X 3 − X 2 − X − 2 = 0
einerseits mit Hilfe des Verfahrens aus Bemerkung 4.1.8 und andererseits durch Erraten
einer Lösung, Polynomdivision und Anwendung der p-q-Formel. Vergleiche die Ergebnisse.
4.2 Zerfällungskörper
Definition 4.2.1. Sei L Körper und K ein Unterkörper von L, dann sagt man,
L ist eine Körpererweiterung von K und schreibt L/K und nennt L Erweiterungskörper
von K. Wenn L/K eine Körpererweiterung ist, ist L insbesondere ein
K-Vektorraum. Die Dimension [L : K] := dim K L (endlich oder unendlich) heißt der
Grad der Erweiterung. Die Erweiterung L/K heißt endlich, wenn [L : K] < ∞.
Proposition 4.2.2. Sei K ein Körper und p ∈ K[X] irreduzibel. Dann ist K[X]/(p)
ist ein Körper. Weiter gilt
(i) j : K → K[X]/(p)
}
ist ein (injektiver) Körperhomomorphismus.
a ↦→ a + (p)
(ii) Es gibt ein r ∈ K[X]/(p) mit p(r) = 0.
Beweis. Nach Bemerkung 2.4.4 ist p prim, also ist nach Proposition 2.2.13 das
Hauptideal (p) = pK[X] prim. Aber dann folgt mit Proposition 2.3.9 die Maximalität
von (p) und Proposition 2.2.10 zeigt, dass L := K[X]/(p) ein Körper ist.
Die Abbildung j ist als Verknüpfung der natürlichen Abbildungen K ↩→ K[X] →
L ein Ringhomomorphismus und damit ein Körperhomomorphismus, der automatisch
injektiv ist, weil ein Körper keine nicht-trivialen Ideale hat.
2.1.13)
Für r := X + (p) ∈ L gilt mit p =
p(r) =
n∑
a k r k =
k=0
n ∑
k=0
a k X k und a k ∈ K ⊆ L (vgl. Beispiel
n∑
a k X k + (p) = p + (p) = (p) = 0 ∈ L.
k=0
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Definition 4.2.3. Sei R ein Ring und f ∈ R[X]. Man sagt, f zerfällt über R,
wenn es ein Produkt von Linearfaktoren (X − r) mit r ∈ R und einem Element
a ∈ R ist: f = a(X − r 1 ) · · · (X − r n ).