Skript - Universität Paderborn

104 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
Lemma 5.4.15. γ : L → L ′ sei eine ordnungsumkehrende (d.h. antitone) Bijektion
von Verbänden. Dann gilt
γ(a ∨ b) = γ(a) ∧ γ(b) und γ(a ∧ b) = γ(a) ∨ γ(b).
Beweis. Wenn a, b ≤ a ∨ b, dann gilt γ(a), γ(b) ≥ γ(a ∨ b), also γ(α) ∧ γ(b) ≥
γ(a ∨ b). Da γ surjektiv ist, gibt es ein c ∈ L mit γ(c) = γ(a) ∧ γ(b). Aber γ −1
ist automatisch ebenfalls antiton (Übung), was a, b ≤ c ≤ a ∨ b zeigt. Dies liefert
zunächst c = a ∨ b und dann γ(a ∨ b) = γ(a) ∧ γ(b). Die zweite Identität beweist
man analog (Übung).
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Satz 5.4.16 (Hauptsatz der Galoistheorie).
mit Galoisgruppe G = Gal(L/K).
(i) Die Abbildung
Sei L/K eine Galoiserweiterung
γ : UG(G) → ZW(L/K)
H ↦→ L H
ist eine antitone Bijektion mit Inversem
δ : ZW(L/K) → UG(G)
E ↦→ Gal(L/E).
(ii) Es gilt L Gal(L/E) = E und Gal(L/ L H ) = H.
(iii) Es gilt L H∨K = L H ∩ L K und L H∩K = L H ∨ L K .
(iv) Es gilt Gal ( L/(E ∨ F) ) = Gal(L/E) ∩ Gal(L/F) und Gal ( L/(E ∩ F) ) =
Gal(L/E) ∨ Gal(L/F).
(v) Es gilt [E : K] = [G : Gal(L/E)] und [G : H] = [L H : K].
(vi) E/K ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn Gal(L/E) ✂ G.
Beweis. (i) Aus K ≤ H folgt L H ≤ L K , also ist γ antiton. Die Injektivität von γ
folgt aus Korollar 5.4.8.
Ist L/K Galoiserweiterung, so ist L nach Satz 5.4.10 Zerfällungskörper von f ∈
K[X] über K, also auch Zerfällungskörper von f ∈ E[X] über E ∈ ZW(L/K).
Wieder mit Satz 5.4.10 sehen wir, dass L/E eine Galoiserweiterung ist. Aber
dann ist, nochmal mit Satz 5.4.10
E = L Gal(L/E) = γ · δ(E).
Dies zeigt γ ◦ δ = id und δ = γ −1 , d.h. die Behauptung.
(ii) Dies ist nur eine Umformulierung von γ ◦ δ = id und δ ◦ γ = id.
(iii), (iv) Dies folgt sofort aus Lemma 5.4.15, angewandt auf γ bzw. δ.
(v) Mit Satz 5.4.7 finden wir
[E : K] =
[L : K]
[L : E] = |G|
= [G : Gal(L/E)]
| Gal(L/E)|
und das liefert [L H : K] = [G : Gal ( L/L H) ] = [G : δ ◦ γ(H)] = [G : H].
(vi) Wenn E/K eine Galoiserweiterung ist, liefern Satz 5.2.14 und Satz 5.4.10, dass
Gal(L/E) ein Normalteiler in Gal(L/K) ist.
Umgekehrt, wenn H := Gal(L/ B ) ✂ G, dann gibt es zu σ ∈ G und τ ∈ H ein
τ ′ ∈ H mit τσ = στ ′ . Also gilt τσ(α) = σ(α) für alle α ∈ E, d.h. σ(E) ⊆ L H =
E. Aus Dimensionsgründen muss dann σ(E) = E gelten und dann zeigt Lemma
5.4.12, dass E/K eine Galoiserweiterung ist.
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