Skript - Universität Paderborn

64 3 Moduln
Beweis. Idee: Projiziere auf die letzte Komponente und wende Induktion über n an.
Sei π : R n → R, (r 1 , . . . , r n ) ↦→ r n die Projektion auf die letzte Komponente.
Dann ist π ein R-Modulhomomorphismus und daher (vgl. Beispiel 3.1.6) I := π(M)
ein Untermodul von R, d.h. ein Ideal in R. Da R insbesondere ein Hauptidealring
ist, gibt es ein x ∈ I mit I = xR. Weiter ist {x} eine Basis für I, d.h. I ∼ = R ist frei.
Nach Korollar 3.2.16 gilt also M ∼ = ker (π| M ) ⊕ I. Da ker (π| M ) ⊆ R n−1 , folgt mit
Induktion über n, dass ker (π| M ) ∼ = R d′ mit d ′ ≤ n − 1. Damit gilt
M ∼ = ker (π| M ) ⊕ I ∼ = R d′ ⊕ R ∼ = R d′ +1
mit d ′ + 1 ≤ n.
⊓⊔
Lemma 3.3.2. Sei R ein euklidischer Ring und p ∈ R prim, 0 ≠ r ∈ R und
M = R/rR. Weiter sei M p = {m ∈ M | pm = 0}. Dann ist M p ein Untermodul
von M und:
(i) Wenn 0 ≠ r = px ∈ R, dann gilt
M p = xR/rR ∼ = R/pR.
Insbesondere ist M p ein R/pR-Vektorraum der Dimension 1.
(ii) Wenn p kein Teiler von r ist, gilt M p = {0}, d.h. M p ein R/pR-Vektorraum
der Dimension 0.
Beweis. Idee: Benütze die Eindeutigkeit der Primzerlegung in R und die Abbildung
R → xR/rR, a ↦→ xa + rR.
(i) Die Gleichheit M p = xR/rR folgt aus der Eindeutigkeit der Primzerlegung
(vgl. Satz 2.4.3): m = s + rR ist genau dann in M p , wenn ps ∈ rR. Wegen
r = pxR ist das gleichbedeutend mit s ∈ xR. Die Isomorphie erhält man aus
dem R-Modulhomomorphismus
R → xR/rR,
a ↦→ xa + rR,
dessen Kern gerade pR ist, und dem 1. Isomorphiesatz für Moduln (vgl. Übung
3.1.1).
(ii) Dies folgt wieder aus der Eindeutigkeit der Primzerlegung: ps = rr ′ zeigt, dass
p|r ′ und damit ist s ∈ rR.
⊓⊔
Satz 3.3.3. Sei R ein euklidischer Ring und M ein endlich erzeugter R-Modul.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Ideale R ≠ I 1 ⊇ I 2 ⊇ . . . ⊇ I l in R so, dass
M ∼ =
l⊕
R/I j .
j=1
Beweis. Idee: Wähle Erzeuger m 1 , . . . , m n von M und wende Lemma 3.3.1 auf den
Kern der Abbildung ψ : R n → M, (r 1 , . . . , r n ) ↦→ ∑ n
i=1 r im i an, der sich so als Bild eines
Homomorphismus ϕ: R d → R n schreibenlässt. Über geeignete darstellende Matrizen“
”
von ϕ findet man die Ideale I j. Für die Eindeutigkeit benützt man Lemma 3.3.2.