Skript - Universität Paderborn

2.2 Integritätsbereiche 41
Übung 2.2.6 (Lokalisierung). Diese Aufgabe behandelt folgende Frage: Gegeben ein kommutativer
Ring R und eine geeignete Teilmenge S ⊆ R. Wie findet man einen möglichst
kleinen Ring R ′ , der R enthält und in dem die Elemente aus S Einheiten sind
Sei R ein kommutativer Ring (R ist nicht notwendig nullteilerfrei). Sei S eine nichtleere
Teilmenge von R, so dass
• 1 ∈ S, 0 /∈ S.
• a, b ∈ S impliziert ab ∈ S.
Auf R × S definieren wir die Relation ∼ durch
(r 1 , s 1 ) ∼ (r 2 , s 2 ) ⇐⇒ ∃s ∈ S mit (r 1 s 2 − r 2 s 1 )s = 0.
1. Zeige, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Sei S −1 R die Menge der Äquivalenzklassen der Relation ∼ in R×S. Die Äquivalenzklasse
von (r, s) ∈ R × S sei mit r bezeichnet. Zeige: Durch
s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
r1 r2 r1 s 2 + r 2 s 1
r1 r2 r1 r 2
+ :=
und · :=
s 1 s 2 s 1s 2 s 1 s 2 s 1s 2
werden Verknüpfungen auf S −1 R definiert, so dass S −1 R ein kommutativer Ring ist.
3. Sei
ϕ : R → S −1 R, r ↦→ r 1 .
Zeige: ϕ ist ein Ringhomomorphismus, und ϕ ist genau dann injektiv, wenn S keine
Nullteiler enthält. Die Elemente s 1
s 2
in S −1 R mit s 1, s 2 ∈ S sind Einheiten.
Übung 2.2.7 (Quotientenring). Sei (X 2 −1) das von X 2 −1 erzeugte Ideal in R[X]. Zeige:
R[X]/(X 2 − 1) ∼ = R × R ,
wobei R × R mit komponentenweiser Addition und Multiplikation versehen ist.
Übung 2.2.8 (Modulorechnung). Man finde alle Lösungen der folgende Gleichungen in
Z/7Z, wobei Elemente in Z/7Z durch k := k + 7Z beschrieben werden:
1. 5 · x = 4,
2. y 2 − y + 1 = 0.
Bestimme eine quadratische Gleichung, welche in Z/7Z keine Lösung besitzt.
Übung 2.2.9 (Ideale und Körper). Seien K 1, . . . , K n Körper und R := K 1 ×· · ·×K n mit
komponentenweiser Addition und Multiplikation. Ist R ein Körper Bestimme alle Ideale
in R. Welches sind Primideale, welches sind maximale Ideale
Übung 2.2.10. Sei [a, b] ⊆ R ein kompaktes Intervall und R := C([a, b]) der Ring der
stetigen Funktionen auf [a, b] mit punktweiser Addition und Multiplikation. Zeige: Ein Ideal
I ⊆ R ist maximal genau dann, wenn es ein x ∈ [a, b] gibt, so dass I = {f ∈ R | f(x) = 0}.
Übung 2.2.11. In einem Integritätsbereich R heißt ein Element r ∈ R \ R × irreduzibel,
falls sich r nicht in das Produkt von zwei Nicht-Einheiten zerlegen lässt, d.h. r = ab mit
a, b ∈ R impliziert a ∈ R × oder b ∈ R × . Zeige:
1. Ist p ∈ R prim, so ist p irreduzibel.
2. Ist R faktoriell, so gilt auch die Umkehrung von a).
Übung 2.2.12 (Irreduzibilität).
1. Bestimme alle irreduziblen Polynome in R[X].
2. Zeige, dass f = X 5 + X 2 + 1 irreduzibel ist in (Z/2Z)[X].