Skript - Universität Paderborn

(xi) Sei 1 ≠ a > 0. Dann ist
1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen 19
ϕ: (R, +) → (R + , ·), x ↦→ a x
ein Isomorphismus.
⊓⊔
Übung 1.4.1. Sei ϕ: G → H ein Isomorphismus, dann ist auch ϕ −1 : H → G ein Isomorphismus.
Definition 1.4.3. Sei G eine Gruppe. Für g ∈ G setze κ g : G → G, x ↦→ gxg −1 .
Diese Abbildung heißt die Konjugation mit g. Die Elemente von G der Form
gxg −1 mit g ∈ G heißen die Konjugierten von x. Die Menge aller Konjugierten
von x heißt die Konjugationsklasse von x. Die κ g mit g ∈ G heißen innere
Automorphismen von G (Übung: κ g ∈ Aut(G)).
Proposition 1.4.4. Seien G, H und K Gruppen.
(i) Sei ϕ ∈ Hom(G, H). Dann gilt ϕ(e G ) = e H und ϕ(g −1 ) = ϕ(g) −1 für alle
g ∈ G.
(ii) Seien ϕ ∈ Hom(G, H) und ψ ∈ Hom(H, K). Dann gilt ψ ◦ ϕ ∈ Hom(G, K).
(iii) Aut(G) ist eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung von Abbildungen.
Beweis. Idee:
1.3.2.
Dies folgt sofort aus den Definitionen und dem Untergruppenkriterium
(i) Wir haben
ϕ(g)e H = ϕ(g) = ϕ(ge G ) = ϕ(g)ϕ(e G )
und durch Kürzen von links erhalten wir e H = ϕ(e G ). Also gilt
ϕ(g)ϕ(g −1 ) = ϕ(gg −1 ) = ϕ(e G ) = e H = ϕ(g)ϕ(g) −1
und wieder durch Kürzung ϕ(g −1 ) = ϕ(g) −1 .
(ii) ψ ◦ ϕ(g 1 g 2 ) = ψ ( ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) ) = ( ψ ◦ ϕ(g 1 ) )( ψ ◦ ϕ(g 2 ) ) .
(iii) Dies folgt nach obigem leicht mit dem Untergruppenkriterium 1.3.2, angewandt
auf Aut(G) ⊆ Bij(G), und Übung 1.4.1.
⊓⊔
Definition 1.4.5. Sei ϕ ∈ Hom(G, H). Dann heißen
ker ϕ := {x ∈ G | ϕ(x) = e H } und im ϕ := {ϕ(x) | x ∈ G}
der Kern und das Bild von ϕ.
Proposition 1.4.6. Sei ϕ ∈ Hom(G, H).
(i) ker ϕ ≤ G und im ϕ ≤ H.
(ii) ϕ ist genau dann injektiv, wenn ker ϕ = {e G }.