Skript - Universität Paderborn

1.4 Homomorphismen, Normalteiler und Quotientengruppen 21
G
Kern
U
Φ
H
V
{e }
H
{e }
G
(ii) Sei ker ϕ ⊆ U ≤ G und R = {g i | i ∈ I} Repräsentantensystem für
G/U. Weil ϕ| R injektiv ist, genügt es zu zeigen: {ϕ(g i ) | i ∈ I} ist ein Repräsentantensystem
für H/ϕ(U). Dazu:
( ⋃ )
H = ϕ(G) = ϕ g i U = ⋃ ϕ(g i )ϕ(U).
i∈I
i∈I
Aber wenn ϕ(g i )ϕ(U) = ϕ(g j )ϕ(U), dann gilt ϕ(g i U) = ϕ(g j U) und man findet
u i , u j ∈ U mit ϕ(g i u i ) = ϕ(g j u j ). Es folgt u −1
i g −1
i g j u j ∈ ker ϕ ⊆ U, also
g −1
i g j ∈ U, daher g i U = g j U, und schließlich g i = g j . Also ist obige Zerlegung
von H disjunkt und dies zeigt die Behauptung.
⊓⊔
Definition 1.4.9. Sei G eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Wenn ϕ(U) =
U für alle ϕ ∈ Aut(G) gilt, dann heißt U charakteristische Untergruppe. Dagegen
heißt U normale Untergruppe oder Normalteiler, wenn gUg −1 = U für
alle g ∈ G, d.h., wenn ϕ(U) = U für alle inneren Automorphismen von G. Man
schreibt dann U ✂ G.
Da mit ϕ auch ϕ −1 ein (innerer) Automorphismus ist, würde es in der Definition
einer charakteristischen Untergruppe (bzw. eines Normalteilers) schon genügen,
ϕ(U) ⊆ U zu fordern.
Beispiel 1.4.10. (i) Sei ϕ: G → H ein Homomorphismus. Dann ist ker (ϕ) ein
Normalteiler in G, weil ϕ(gug −1 ) = ϕ(g)ϕ(u)ϕ(g) −1 . So tritt z.B. die alternierende
Gruppe A n in der symmetrischen Gruppe S n als Kern der Signumsfunktion
auf und die spezielle lineare Gruppe SL(n, K) in der allgemeinen
linearen Gruppe als Kern der Determinante.
(ii) Die trivialen Untergruppen {e} und G von G sind charakteristisch in G.
(iii) Der Schnitt von normalen (charakteristischen) Untergruppen ist normal (charakteristisch).
(iv) Das Zentrum Z(G) einer Gruppe ist charakteristisch: Wenn ϕ ∈ Aut(G) und
g = ϕ(h), dann gilt
ϕ(z)g = ϕ(z)ϕ(h) = ϕ(zh) = ϕ(hz) = ϕ(h)ϕ(z) = gϕ(z).
(v) Sei G eine Gruppe und G ′ die von allen Elementen der Form xyx −1 y −1 mit
x, y ∈ G erzeugte Untergruppe von G (sie heißt die Kommutatorgruppe von
G). Dann ist G ′ charakteristisch in G.
(vi) Sei G eine abelsche Gruppe. Dann ist jede Untergruppe von G ein Normalteiler.