Skript - Universität Paderborn

10 1 Gruppen
Übung 1.2.6. Seien G = SL(2, R) und C + := {z ∈ C | Im z > 0} die obere Halbebene.
Zeige, dass durch
( ) a b
· z = az + b
c d cz + d
eine transitive Gruppenwirkung von G auf C + definiert ist. Beachte hierbei, dass zunächst
zu zeigen ist, dass cz + d ≠ 0 und ( a c d b ) · z ∈ C+ gilt für alle z ∈ C + und ( a c d b ) ∈ SL(2, R).
Übung 1.2.7. Sei G eine Gruppe mit Einselement e und X eine nichtleere Menge. Eine
Abbildung
G × X → X, (g, x) ↦→ x · g
heißt eine Rechtswirkung, wenn gilt
(i) x · e = x für alle x ∈ X.
(ii) (x · g) · h = x · (gh) für x ∈ X und g, h ∈ G.
Zeige: G×X → X, (g, x) ↦→ g·x ist genau dann eine Gruppenwirkung, wenn (g, x) ↦→ g −1·x
eine Rechtswirkung ist.
Übung 1.2.8. Sei V der Vektorraum aller komplexwertigen Funktionen auf der oberen
Halbebene C + = {z ∈ C | Im z > 0}. Zeige: Für k ∈ Z wird durch
( )
(f| k g)(z) := | det g| k/2 (cz + d) −k az + b
f
cz + d
( ) a b
für g = ∈ GL(2, R) eine Rechtswirkung von GL(2, R) auf V definiert.
c d
Übung 1.2.9. Seien G = GL(2, C) und X = Mat(2 × 2, C) und Φ die Gruppenwirkung
Φ(g, A) = gAg −1 . Bestimme den Stabilisator von
( ) 1 0
A := .
0 2
Welche Matrizen B ∈ X haben denselben Stabilisator wie A
1.3 Untergruppen
Eine Reihe von Teilmengen der allgemeinen linearen Gruppe sind bzgl. der Matrizenmultiplikation
selbst wieder Gruppen. Der Nachweis der Gruppenaxiome für
diese Mengen vereinfacht sich dadurch, dass ein Teil der Axiome (insbesondere die
Assoziativität) sich auf die Teilmengen vererbt. Die folgende Definition erschließt
diese Möglichkeit, neue Beispiele für Gruppen zu finden, im allgemeinen Fall.
Definition 1.3.1. Sei (G, ◦) eine Gruppe und U ⊆ G. Dann heißt U eine Untergruppe
von G, falls (U, ◦) selbst eine Gruppe bzgl. der Gruppenoperationen von G
ist (man schreibt U ≤ G). Eine Untergruppe U ≤ G heißt nicht-trivial, wenn sie
weder gleich {e} noch gleich G ist.
Die nächste Proposition stellt klar, was genau man prüfen muss, um nachzuweisen,
dass eine vorgegebene Teilmenge einer Gruppe G eine Untergruppe ist. Wir
benutzen dabei folgende Schreibweisen für Teilmengen A, B ⊆ G:
AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B},
A −1 := {a −1 | a ∈ A}.