Skript - Universität Paderborn

1.3 Untergruppen 17
Übung 1.3.3. Bestimme alle Untergruppen der Quaternionengruppe Q aus Übung 1.1.11.
Übung 1.3.4. Zeige, dass die Heisenberggruppe
⎧⎛
⎞
⎫
⎨ 1 x ⊤ z
⎬
H n := ⎝ 0 1 y ⎠ ∈ GL(n + 2, R)
⎩
0 0 1
∣ x, y ∈ Rn , z ∈ R
⎭
ist eine Untergruppe der GL(n + 2, R). Ist H n abelsch Bestimme das Zentrum von H n .
Übung 1.3.5. Seien G = GL(2, C) und X = Mat(2 × 2, C) und Φ die Gruppenwirkung
Φ(g, A) = gAg −1 . Bestimme den Stabilisator von
( ) 1 0
A := .
0 2
Welche Matrizen B ∈ X haben denselben Stabilisator wie A
Übung 1.3.6. Seien H 1, H 2 jeweils Untergruppen einer Gruppe G. Zeige:
H 1 ∪ H 2 ist Untergruppe von G ⇐⇒ H 1 ⊆ H 2 oder H 2 ⊆ H 1 .
Übung 1.3.7 (Zyklische Gruppen). Es sei G zyklische Gruppe und U eine Untergruppe
von G. Man zeige, dass auch U zyklisch ist.
Übung 1.3.8 (Zentralisator). Es sei G = GL(n, R). Man bestimme eine möglichst kleine
Teilmenge M ⊆ G, so dass für den Zentralisator von M in G gilt: Z G (M) = {λ · 1 | λ ∈
R \ {0}}.
Übung 1.3.9 (Äquivalenzrelationen). Sei M eine Menge. Eine Partition von M ist eine
Zerlegung von M in disjunkte Teilmengen M i ⊆ M, d.h. M = ⋃ i∈I M i und M i ∩ M j = ∅
für i ≠ j. Konstruiere eine Bijektion zwischen der Menge aller Partitionen von M und der
Menge aller Äquivalenzrelationen auf M.
Übung 1.3.10 (Lagrange). Sei G eine endliche Gruppe und für g ∈ G sei Ord(g) die
Ordnung von g (siehe Aufgabe 3). Zeige: Ord(g) teilt |G| für alle g ∈ G.
Übung 1.3.11 (Bahnengleichung). Sei G eine endliche Gruppe. Zeige, dass
|G| = ∑ [G : Z G ({g})] ,
wobei die Summe über ein Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen in G läuft.
Übung 1.3.12. Wieviele Möglichkeiten hat man, die Zahl 18000 als Produkt von drei
natürlichen Zahlen zu schreiben (wobei es auf die Reihenfolge nicht ankommt)
Übung 1.3.13. Sei p eine Primzahl. Zeige: Ist G eine Gruppe der Ordnung |G| = p n
(n ∈ N), so gilt für das Zentrum Z(G) ≠ {e}.
Hinweis: Verwende Übung 1.3.11.
Übung 1.3.14. Sei G eine (nicht notwendiger Weise endliche) Gruppe und K ≤ H ≤ G
Untergruppen. Zeige:
[G : K] = [G : H] · [H : K] ,
falls eine der beiden Seiten endlich ist.
Hinweis: Man beachte, dass der Satz von Lagrange hier nicht angewendet werden kann, da
dieser nur für endliche Gruppen gilt. Stattdessen wähle man Repräsentantensysteme für
die Linksnebenklassen von H in G bzw. K in H.
Übung 1.3.15 (Lagrange). Sei n := n 1 + · · · + n r mit n i ∈ N. Verwende den Satz von
Lagrange, um zu zeigen, dass n! von ∏ r
i=1 n i! geteilt wird.