Skript - Universität Paderborn

92 5 Auflösbarkeit von Gleichungen durch Radikale
5.2 Die Galoisgruppe
Definition 5.2.1. Eine Körpererweiterung L/K heißt rein, wenn L = K(α) mit
α m ∈ K für ein m ∈ N. Wenn
K = L 0 ⊆ . . . ⊆ L k = L
mit L j /L j−1 rein, dann heißt L/K eine Radikalerweiterung. Eine durch ein Polynom
f ∈ K[X] gegebene Gleichung
f(x) = 0
heißt auflösbar durch Radikale über K, wenn es eine Radikalerweiterung L/K
gibt, für die L einen Zerfällungskörper von f enthält.
Lemma 5.2.2. Sei p ∈ N prim und K enthalte alle p-ten Einheitswurzeln. Dann
gibt es für f = X p − a mit a ∈ K nur zwei Möglichkeiten:
(a) f ist irreduzibel.
(b) f zerfällt über K.
Beweis. Sei L Zerfällungskörper von f über K und α ∈ L eine Wurzel von f, d.h.
f(α) = 0. Dann gilt α p = a ∈ K und für jede p-te Einheitswurzel ζ ∈ K gilt
(ζα) p = 1 · α p = a. Also ist {ζα | ζ p-te Einheitswurzel} die Menge aller Nullstellen
von f und f zerfällt über K sofern eine dieser Nullstellen in K liegt.
Wenn nun α /∈ K gilt, dann ist keine der Nullstellen ζα in K. Wir nehmen an,
dass es h, g ∈ K[X] mit f = gh und deg(g) < deg(f) gibt. Dann findet man p-te
Einheitswurzeln ζ 1 , . . . , ζ q mit q < p und
g =
q∏
(ζ j α − X) = ( ∏
q )
ζ j α q + höhere Terme in X.
j=1
j=1
Insbesondere gilt α q ∈ K. Da p und q teilerfremd sind findet man r, s ∈ Z mit
rp + sq = 1. Es folgt
α = (α p ) r (α q ) s ∈ K
und dieser Widerspruch beweist die Behauptung.
⊓⊔
Proposition 5.2.3. Sei p prim und K enthalte alle p-ten Einheitswurzeln. Wenn
L = K(α) mit α p ∈ K, dann gilt entweder L = K oder [L : K] = p.
Beweis. Wenn L ≠ K ist, d.h., α /∈ K, dann zeigt Lemma 5.2.2, dass X p − α p
irreduzibel ist. Aber dann ist X p − α p ist das Minimalpolynom von α und Satz
4.2.9 liefert [L : K] = p. ⊓⊔
Proposition 5.2.4. Sei K = L 0 ⊆ L 1 ⊆ . . . ⊆ L k eine Radikalerweiterung, d.h.
L j = L j−1 (α j ) mit α k j
j ∈ L j−1 . Wenn K alle p-ten Einheitswurzeln mit p Primteiler
eines k j enthält, dann läßt sich der Körperturm zu einem Turm
mit [B j : B j−1 ] prim verfeinern.
K = B 0 ⊆ B 1 ⊆ . . . ⊆ B l = L k