Skript - Universität Paderborn

1.3 Untergruppen 13
Es gilt
sowie
〈(12)〉 = {id, (12)}, 〈(13)〉 = {id, (13)}, 〈(23)〉 = {id, (23)}
〈(123)〉 = {id, (123), (132)} = 〈(132)〉.
Also erzeugt jedes Paar bestehend aus einer Transposition und einem 3-Zykel die
ganze Gruppe (Übung). Damit sieht man, dass jede nicht-triviale Untergruppe von
S 3 eine der oben angegebenen sein muss.
⊓⊔
Definition 1.3.8. Sei G × X → X eine Gruppenwirkung und x ∈ X. Dann heißt
G x := {g ∈ G | g · x = x}
der Stabilisator oder auch die Isotropiegruppe von x.
Stabilisatoren sind Untergruppen (Übung). Viele der aus geometrischen Überlegungen
eingeführten Gruppen lassen sich als Stabilisatoren interpretieren.
Beispiel 1.3.9. Betrachte die natürliche Wirkung von GL(n, R) auf R n . Sei X die
Menge aller positiv definiten symmetrischen Bilinearformen auf R n . Dann wirkt
GL(n, R) transitiv (Übung; Hinweis: Spektralsatz für die darstellenden Matrizen)
auf X via
g · B(v, w) = B(g −1 v, g −1 w)
∀v, w ∈ R n , B ∈ X, g ∈ GL(n, R).
Wenn B o das euklidische Skalarprodukt ist, dann ist der Stabilisator von B o gerade
O(n, R).
⊓⊔
Definition 1.3.10. Sei G eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Die Teilmengen
von G der Form
Ug = {ug ∈ G | u ∈ U}
mit g ∈ G heißen Rechtsnebenklassen von U in G. Die Menge der Rechtsnebenklassen
von U in G wird mit U\G bezeichnet. Analog heißen die Mengen gU
Linksnebenklassen von U in G. Die Menge der Linksnebenklassen von U in G
wird mit G/U bezeichnet. Die Mächtigkeit (d.h. die Anzahl der Elemente) von G/U
heißt der Index von U in G und wird mit [G : U] bezeichnet.
Übung 1.3.2. Sei G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G.
(i) Zeige, dass durch
g ∼ h :⇔ gU = hU
eine Äquivalenzrelation auf G definiert wird, deren Äquivalenzklassen gerade die Linksnebenklassen
sind.
(ii) Formuliere und beweise die analoge Aussage für Rechtsnebenklassen.