Skript - Universität Paderborn

2.1 Ringe und Ideale 31
Beispiel 2.1.5. (i) Z hat keine echten Unterringe. Die Einheiten von Z sind 1 und
−1.
(ii) C k+1 (]a, b[) ist ein Unterring von C k (]a, b[). Die Einheiten von C k (]a, b[) sind
gerade die k-fach stetig differenzierbaren Funktionen, die nirgendwo verschwinden.
(iii) Sei R = Mat(n × n, K). Dann gilt Cent(R) = K1. Außerdem bilden z.B. die
Diagonalmatrizen oder die oberen Dreiecksmatrizen Unterringe von R. Die Einheiten
von R sind gerade die invertierbaren Matrizen.
(iv) Ein kommutativer Ring mit 1 ≠ 0 ist ein Divisionsring genau dann, wenn er ein
Körper ist.
Beispiel 2.1.6. Sei H = R 4 mit einer vorgegebenen Basis, die mit {1, i, j, k} bezeichnet
wird. Wir setzen
· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j −k −1 i
k k j −i −1
Setzt man jetzt die Multiplikation {1, i, j, k} × {1, i, j, k} → H reell bilinear
fort, so erhält man eine Multiplikation bzgl. der (H, +, ·) zu einem Divisionsring,
den Quaternionen, wird. Dabei ist das multiplikative Inverse eines Elements z =
r + is + ju + kv ≠ 0 durch
z −1 =
r − is − ju − kv
r 2 + s 2 + u 2 + v 2
gegeben. Die Ähnlichkeit mit der Konstruktion der komplexen Zahlen ist evident.
Übung 2.1.1. Sei (R, +, ·) ein Ring.
(i) Zeige: Cent(R) ist ein kommutativer Unterring von R.
(ii) Zeige: ( Unit(R), ·) ist eine Gruppe, d.h. · ist assoziativ, es existiert ein Einselement
und zu jedem Element ein Inverses.
(iii) Sei n ∈ Z und r ∈ R. Gib eine Definition für r n an und weise r n r m = r n+m nach.
Zeige weiter, dass (rs) n = r n s n gilt, falls s ∈ R mit r kommutiert, d.h. rs = sr.
(iv) Zeige: Wenn zu jedem r ∈ R \ {0} ein s ∈ R mit rs = 1 existiert, dann ist R ein
Divisionsring.
(v) Sei a ∈ Unit(R) und x ∈ R mit ax = 0. Zeige: x = 0.
Definition 2.1.7. Sei R ein Ring und X 1 , . . . , X k Symbole. Elemente von N k 0 nennen
wir Multiindizes. Sie seien durch i = (i 1 , . . . , i k ) bezeichnet. Die Summe von
zwei Multiindizes sei komponentenweise gegeben.
(i) Eine formale Potenzreihe in X 1 , . . . , X k mit Koeffizienten in R ist eine formale
Summe
∑
a i X i := ∑
a i X i 1
1 · · · Xi k
k
,
i∈N k 0
i∈N k 0
wobei die a i ∈ R sind. Dies ist zunächst nichts anderes als eine suggestive
Schreibweise für eine Folge (a i ) i∈N k
0
von Elementen in R. Der Sinn dieser
Schreibweise liegt darin, dass sie die folgende Multiplikation auf der Menge