Skript - Universität Paderborn

38 2 Ringe
Der in Satz 2.2.5 konstruierte Körper heißt der Quotientenkörper des Integritätsbereiches
R.
Die Teilbarkeitslehre der ganzen Zahlen lässt sich zum Teil auf allgemeinere
kommutative Ringe übertragen.
Definition 2.2.6. Sei R ein kommutativer Ring und a, b ∈ R. Man sagt a teilt b
und schreibt a | b, wenn es ein r ∈ R mit ra = b gibt. In diesem Fall heißt a auch ein
Teiler von b in R. Ein größter gemeinsamer Teiler (ggT) von a 1 , . . . , a k ∈ R
ist dann ein gemeinsamer Teiler der a j , der von jedem anderen gemeinsamen Teiler
geteilt wird. Zwei Elemente heißen teilerfremd, wenn 1 ein ggT von a und b ist.
Ein Element d ≠ 0 in R \ Unit(R) heißt prim, wenn aus d | ab für a, b ∈ R folgt
d | a oder d | b. Zwei Elemente p, q ∈ R heißen assoziiert, wenn es eine Einheit
u ∈ Unit(R) mit p = uq gibt.
Beachte, dass in dieser Definition jede Einheit Teiler eines beliebigen Ringelementes
ist. Insbesondere ist in Z der ggT nicht eindeutig, sondern nur bis auf das
Vorzeichen bestimmt. Allgemeiner ist in einem Integritätsbereich der ggT nur bis
auf Einheiten eindeutig bestimmt (Übung, vgl. Proposition 2.2.3).
Definition 2.2.7. Ein Ideal I in einem kommutativen Ring R heißt prim, wenn
1 ∉ I und aus xy ∈ I mit x, y ∈ R folgt: x ∈ I oder y ∈ I. Das Ideal I heißt
maximal, wenn 1 ∉ I und für jedes r ∈ R \ I ein s ∈ R mit 1 ∈ sr + I existiert.
Man sieht sofort an der Definition, dass die maximalen Ideale gerade diejenigen
Ideale sind, die in keinem von R und I verschiedenen Ideal enthalten sind (ein Ideal
I ist gleich R genau dann, wenn 1 ∈ I ist).
Beispiel 2.2.8. (i) Jedes n ∈ N \ {1} ist Produkt von Primzahlen.
Wenn nämlich n nicht selbst prim ist, ist es von der Form n = ab mit a, b ∈
N \ {1}. Also ist sind insbesondere a und b kleiner als n und die Behauptung
folgt mit Induktion.
(ii) Seien a, b ∈ Z und 〈a, b〉 := {na + mb: n, m ∈ Z} die von a und b erzeugte
Untergruppe von (Z, +). Nach Proposition 2.1.12 ist 〈a, b〉 nach Proposition
2.1.12 von der Form dZ mit d ≥ 0. Also ist d ein gemeinsamer Teiler von a und
b. Außerdem gibt es n, m ∈ Z mit d = na + mb. Daher ist jeder gemeinsame
Teiler von a und b auch Teiler von d. Insbesondere ist d ein ggT von a und b.
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Beispiel 2.2.9. (i) Sei n ∈ N, dann ist nZ ein Primideal in Z genau dann, wenn n
eine Primzahl ist: Sei zunächst n prim und xy = nm, d.h. n teilt xy. Dann teilt n
entweder x oder y und dementsprechend ist entweder x oder y in nZ enthalten.
Umgekehrt, wenn nZ prim ist und n = xy mit x, y ∈ N \ {1} ist, dann folgt
o.B.d.A. x ∈ nZ, d.h. insbesondere n ≤ x im Widerspruch zu n = xy. Also ist
n prim. Man kann hier auch zeigen, dass nZ genau dann maximal ist, wenn n
prim ist, wir verschieben das aber auf später.
(ii) Sei R = C k (]a, b[) wie in Beispiel 2.1.11 und I = ker (ev x ). Dann ist I maximal
in R, weil man zu jeder Funktion f, die in x nicht verschwindet, Funktionen
g ∈ R und h ∈ I finden kann, für die
1 = g(y)f(y) + h(y) ∀y ∈ ]a, b[
gilt. Zum Beispiel funktioniert g : y ↦→ f(x) −1 und h : y ↦→ 1 − f(y)f(x) −1 .
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