Skript - Universität Paderborn

4.5 Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal 89
quadratische Gleichung mit Koeffizienten in L und somit zu Punkten mit Koordinaten
in L( √ α), wobei α ∈ L sich aus den Koeffizienten der quadratischen
Gleichung ergibt.
⇐“: Diese Richtung beweist man mit Induktion über die Höhe n des Körperturms.
”
Für n = 0 ist nichts zu zeigen und für n > 0 ist jede Zahl der Form α + β √ γ
mit α, β, γ ∈ L n−1 Lösung einer quadratischen Gleichung mit Koeffizienten in
L n−1 . Damit ist sie durch eine passende Schnittkonstruktion aus Punkten mit
Koeffizienten in L n−1 konstruierbar. Mit Induktion folgt dann die Behauptung.
⊓⊔
Korollar 4.5.4. Wenn a ∈ R konstruierbar ist, dann gibt es eine Körpererweiterung
L/Q mit a ∈ L und [L : Q] = 2 k .
Beweis. Dies folgt sofort aus Satz 4.5.3 und Lemma 4.2.15.
⊓⊔
Korollar 4.5.5. (i) Wenn a ∈ R algebraisch (über Q) ist und der Grad des Minimalpolynoms
von a keine Zweierpotenz ist, dann ist a nicht konstruierbar.
(ii) Wenn a ∈ R transzendent (über Q) ist, dann ist a nicht konstruierbar.
Beweis. Wegen [Q(a) : Q] = ∞ für jede transzendente Zahl a ∈ R und [Q(a) : Q] =
deg(p) für das Minimalpolynom p einer algebraischen Zahl a ∈ R, folgt dies sofort
aus Korollar 4.5.4.
⊓⊔
Beispiel 4.5.6. (i) Eine Zahl a ∈ R mit a 3 = 2 ist nicht konstruierbar, weil das
Minimalpolynom X 3 − 2 ∈ Q[X] eines solchen Elements keine Zweierpotenz
als Grad hat. Damit ist das sogenannte Delische Problem, einen Würfel mit
dem doppelten Volumen eines vorgegebenen Würfels zu konstruieren, nicht mit
Zirkel und Lineal lösbar.
(ii) Die Zahl √ π ∈ R ist nicht konstruierbar, weil π transzendent ist (das wurde
1882 von F. Lindemann (1852–1939) bewiesen und erfordert andere Methoden
als sie in dieser Vorlesung vorgeführt wurden). Damit ist es nicht möglich, zu
einem Kreis mit Radius 1 (d.h. Fläche π) ein Quadrat derselben Fläche mit
Zirkel und Lineal zu konstruieren (Kreisquadrierung). Ganz analog seht man,
dass es auch nicht möglich ist, ein Quadrat zu konstruieren, dessen Umfang
gleich dem Umfang 2π des Kreis mit Radius 1 ist.
(iii) Im Allgemeinen ist es nicht möglich, einen Winkel mit Zirkel und Lineal in drei
gleiche Teile zu teilen. So ist zum Beispiel der Winkel 20 ◦ nicht konstruierbar,
weil die Zahl a = cos(20 ◦ ) die Gleichung a 3 − 6a − 1 = 0 erfüllt, also ein
Minimalpolynom vom Grad 3 hat.
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Beispiel 4.5.7 (Regelmäßige n-Ecke). Ein regelmäßiges n-Eck ist genau dann
mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn der Punkt ζ = e 2πi
n ∈ C ∼ = R 2 konstruierbar
ist. Wenn ζ m und ζ k für teilerfremde m und k konstruierbar sind, dann ist
auch ζ mk konstruierbar. Um das einzusehen, wählt man s, t ∈ Z mit sm + tk = 1
und findet für n = mk
ζ n = e 2πi
mk
2πis
= e k + 2πit
m = (ζk ) s (ζ m ) t .
damit reduziert sich die Frage nach der Konstruierbarkeit regulärer n-Ecke auf
solche n, die Primzahlpotenzen sind.
Die Einheitswurzeln ζ n sind gerade die Nullstellen des Polynoms X n − 1 in C.
Für n = p prim ist das Minimalpolynom von ζ p das p-te Kreisteilungspolynom Φ p
(siehe Korollar 4.4.8). Mit Korollar 4.5.5 sieht an also, dass ζ p nur konstruierbar