Skript - Universität Paderborn

72 3 Moduln
Satz 3.4.7 (Jordan–Normalform). Wenn K algebraisch abgeschlossen ist, dann
gibt es zu jedem ϕ ∈ End K (V ) eine Basis für V , bzgl. der die darstellende Matrix
von ϕ in Jordan-Normalform ist.
Beweis. Kombiniere Proposition 3.4.6 mit Lemma 3.4.5.
⊓⊔
Korollar 3.4.8. Sei K algebraisch abgeschlossen. Ein Endomorphismus ϕ ∈ End K (V )
ist diagonalisierbar genau dann, wenn das Minimalpolynom q ϕ von ϕ keine mehrfachen
Nullstellen hat.
Beweis. ϕ ist genau dann diagonalisierbar, wenn alle Jordanblöcke trivial sind (d.h.
1 × 1-Matrizen). Nach Proposition 3.4.6 und Lemma 3.4.5 bedeutet das gerade,
dass jedes q j nur einfache Nullstellen hat. Jetzt zeigt Proposition 3.4.1, dass q ϕ
nur einfache Nullstellen hat. Umgekehrt sind aber alle q j Teiler von q ϕ , haben
also nur einfache Nullstellen, wenn q ϕ nur einfache Nullstellen hat. Damit folgt die
Behauptung.
⊓⊔
Satz 3.4.9 (Jordan–Chevalley–Zerlegung). Sei K algebraisch abgeschlossen
und ϕ ∈ End K (V ). Dann gibt es eindeutig bestimmte Elemente ϕ d , ϕ n ∈ End K (V )
mit folgenden Eigenschaften:
(i) ϕ = ϕ d + ϕ n .
(ii) ϕ d ist diagonalisierbar.
(iii) ϕ n ist nilpotent.
(iv) ϕ d ◦ ϕ n = ϕ n ◦ ϕ d .
Es gibt ein Polynom f d ∈ K[X] ohne konstanten Term mit f d (ϕ) = ϕ d . Insbesondere
gilt ϕ d (U 2 ) ⊆ U 1 , wenn U 1 ⊆ U 2 Unterräume von V mit ϕ(U 2 ) ⊆ U 1 sind.
Beweis. Idee:
3.3.1.
Benütze die Jordan-Normalform 3.4.7 und den Chinesischen Restsatz
Die Existenz von ϕ d , ϕ n ∈ End K (V ) mit den Eigenschaften (i)-(iv) erhält man
aus der Jordan-Normalform (d.h. Satz 3.4.7) und die Eindeutigkeit aus dem Umstand,
dass nur die Nullabbildung diagonalisierbar und nilpotent ist (Übung).
Der Beweis der Existenz von f d liefert einen unabhängigen Beweis der Existenz
von ϕ d und ϕ n : Sei χ ϕ = ∏ k
i=1 (X − λ i) m i
das charakteristische Polynom von ϕ.
Nach dem Chinesischen Restsatz in der Version von Übung 3.3.1 finden wir ein
Polynom f d ∈ K[X] mit
f d ∈ λ i + (X − λ i ) mi K[X]
i = 1, . . . , k
und (falls alle λ i ≠ 0)
f d ∈ XK[X].
Betrachte die ϕ-invarianten Unterräume V i := ker (ϕ − λ i id) m i
. Es folgt, dass
f d (ϕ)| Vi = λ i id | Vi und ( ) mi
(ϕ − fd (ϕ))| Vi = 0.
Da V = ⊕ k
i=1 V i eine ϕ-invariante direkte Summenzerlegung ist, folgt, dass f d (ϕ)
diagonalisierbar ist und ϕ − f d (ϕ) nilpotent. Damit folgt die Behauptung. ⊓⊔