Private Versiegelte Auktionen Verk¨auferstrategien - EOS

SoudeurSoudeuseAssembler des métauxLe soudeur met ses compétences au service de lafabrication d’objets usuels ou d’équipements industriels SON MÉTIERHomme de finitions, le soudeur assemble les pièces fabriquées par d’autres professionnels. Il commence parétudier le plan d’ensemble du produit à réaliser afin de repérer la position relative de ses différentes pièces. Ilprévoit les déformations du métal qui peuvent survenir afin de les réduire au maximum. Il prépare ensuite son postede travail : installation et réglage des matériels, mise en place des équipements de protection (gants, masque àverre filtrant…). Puis il positionne les éléments à souder et réalise la soudure. Celle-ci s’effectue le plus souventà l’arc électrique, par fusion du métal d’appoint (acier, aluminium…) à la jonction des deux pièces à assembler. Il peutêtre amené à fabriquer les différentes pièces du produit à réaliser en utilisant les techniques de découpe des métaux. OÙ ET COMMENT ?Les activités du soudeur peuvent se dérouler en atelier, en pleine mer, sur un échafaudage, sur unchantiernaval ou sur la ligne de montage du nouvel Airbus…Les conditions de travail varient énormément d’une entreprise à l’autre. Il faut donc être capable de souder en toutescirconstances : debout, à plat ventre voire même en plongée (une formation spécifique existe pour la recherchepétrolière). INDUSTRIE SES QUALITÉSLe soudeur doit faire preuve de conscience professionnelle et d’autonomie car les conséquences d’une erreurpeuvent être dramatiques. Il faut aussi une bonne vue et une bonne résistance à la fatigue musculaire et nerveuse.Habileté, précision, sens de l’organisation sont des qualités indispensables. DÉBOUCHÉS ET ÉVOLUTIONSecteurs concernés : l’aéronautique, l’automobile, la mécanique,la construction navale et ferroviaire, la sidérurgie, lachimie, l’agroalimentaire, le bâtiment mais aussi le nucléaire.La progression de carrière peut être rapide en se spécialisant ou ense perfectionnant par le biais de stages. Évolution possible : chefd’équipe ou contremaître.Salaire du débutant : 1340 € brut par mois.Frédéric | soudeur« Mon métier consiste à assembler des piècesen inox, cuivre ou laiton. En ce momentje réalise des hottes aspirantes pour l’industriepharmaceutique. Le plus dur dansce métier ce sont les positions pour souderqui ne sont pas toujours évidentes : il faut semettre par terre, s’accroupir, rentrer dans leshottes. Mais quand une pièce est finie on estsatisfait du travail accompli surtout lorsqu’ils’agit de pièces en cuivre ou en laiton qu’onfabrique pour les grands restaurants. »Source ONISEP

Private Versiegelte AuktionenDie versiegelte Erstpreisauktion• Die Bietstrategie: In einer versiegelten Erstpreisauktion, bietet jederBieter im symmetrischen Gleichgewicht:β i (x) = E[Y 1 | Y 1 < x]wobei Y 1 der höchste von (n − 1) unabhängig gezogenen Wertenist.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.2/29

Private Versiegelte AuktionenGleichverteilte Bewertungen• Die Bietstrategie: Unter der Annahme von gleichverteiltenBewertungen im Intervall [0, 1], d.h.F(x) = x; f(x) = 1; G(x) = x n−1bietet jeder Bieter im symmetrischen Gleichgewicht derErstpreisauktion mit n Bieter:β i (x) =(n − 1)xnTheorie der Auktion – 31.03.03 – p.3/29

Private Versiegelte AuktionenGleichverteilte Bewertungen• Ableitung der Bietstrategie:β i (x) = 1G(x)∫ x0yg(y) dy = E[Y 1 | Y 1 < x]Unter der Annahme der Gleichverteilung gilt somit:β i (x) = 1x n−1 ∫ x0y(n − 1)y n−2 dy = n − 1x n−1 ∫ x0y n−1 dy= n − 1 [ yn ] xx n−1 n= n − 1 [ xn ]0 x n−1 n − 0= n − 1 x nx n−1 n=(n − 1)xnTheorie der Auktion – 31.03.03 – p.4/29

Private Versiegelte AuktionenGleichverteilte Bewertungen• Erwartete Zahlung im Gleichgewicht: Ein Bieter mit Bewertung x mußim Gleichgewicht der versiegelten Erstpreisauktion mit einererwarteten Zahlung von:m i (x) = F(x) n−1 E[Y 1 | Y 1 < x] = F(x) n−1 × β i (x)rechnen.Unter der Annahme der Gleichverteilung gilt somit:m i (x) = x n−1 ×(n − 1)xn= n − 1n xn Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.5/29

Private Versiegelte AuktionenGleichverteilte Bewertungen• Erwartete Einkünfte des Verkäufers (expected revenue) im Gleichgewicht:Bei n vorhandenen Bietern sind die erwarteten Einkünfte desVerkäufers in einer versiegelten Erstpreisauktion gemäß:E[R i ] = n × E[m i (X)]anzusetzen.Unter der Annahme der Gleichverteilung gilt somit:E[R i ] = n × n − 1n(n + 1) = n − 1(n + 1)Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.7/29

Private Versiegelte AuktionenExponentialverteilte Bewertungen• Die Bietstrategie: Unter der Annahme von exponentialverteiltenBewertungen im Intervall [0, ∞), d.h.F(x) = 1 − e −λx ; f(x) = λe −λx ; G(x) = F(x)bietet jeder Bieter im symmetrischen Gleichgewicht derErstpreisauktion mit 2 Bieter:β i (x) = 1 λ −xe−λx1 − e −λx Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.8/29

Private Versiegelte AuktionenExponentialverteilte Bewertungen• Ableitung der Bietstrategie:β i (x) = 1G(x)∫ x0yg(y) dy = 1 ([yG(y)] x 0 −G(x)∫ x0)G(y) dy= x −∫ x0G(y)G(x) dyUnter der Annahme der Exponentialverteilung gilt somit:β i (x) = x −∫ x01 − e −λy1 − e −λx dy Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.9/29

Private Versiegelte AuktionenExponentialverteilte Bewertungen• Ableitung der Bietstrategie:Es gilt nun:β i (x) = x −∫1 x (1 − e −λy) dy1 − e −λx0=)x(1 − e −λx1 − e −λx −1[1 − e −λx x + e−λxλ− 1 λ]= 1 λ − xe−λx1 − e −λx Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.10/29

Private Versiegelte AuktionenExponentialverteilte Bewertungen• Niedrige Gebote bei hoher Bewertung:Anhand des Spezialfalls λ = 2 läßt sich ein auf dem ersten Blickparadox scheinendes Bietmuster beobachten.Wegen:β i (x) = E[Y 1 | Y 1 < x] ≤ E[Y 1 ]bietet in der versiegelten Erstpreisauktion mit 2 Bieter, dieexponentialverteilte Bewertungen haben, kein Bieter imGleichgewicht mehr als E[Y 1 ] = E[X] = 1 λ .Somit würde für λ = 2 ein Bieter mit Bewertung von einer MillionEuro im Gleichgewicht nicht mehr als 50 Cents bieten.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.11/29

Private Versiegelte AuktionenVergleich der Einkünfte• Erstpreis- gegen Zweitpreisauktion:Die erwarteten Einkünfte des Verkäufers in der Erstpreis- undZweitpreisauktion können einfach als die Summe der ex anteerwarteten Zahlungen der Bieter (d.h noch bevor sie ihreBewertungen kennen) angesetzt werden.Die ex ante erwartete Zahlung eines beliebigen Bieters in einerder beiden versiegelten Auktionen ist durch:E[m A (X)] =∫ ω0m A (x)f(x) dx =∫ ω(∫ x0 0)yg(y) dy f(x) dxgegeben; A bezeichnet sowohl i als auch ii.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.12/29

Private Versiegelte AuktionenVergleich der Einkünfte• Erstpreis- gegen Zweitpreisauktion:Es gilt nun:E[m A (X)] =∫ ω(∫ x0 0)yg(y) dy f(x) dx=∫ ω(∫ ω0 y)f(x) dx yg(y) dy =∫ ω0( )y 1 − F(y) g(y) dyTheorie der Auktion – 31.03.03 – p.13/29

Private Versiegelte AuktionenVergleich der Einkünfte• Erstpreis- gegen Zweitpreisauktion:Die erwarteten Einkünfte des Verkäufers E[R A ] sind nunmehr dasn-fache der ex ante erwarteten Zahlung E[m A (X)] einesbeliebigen Bieters, d.h.:E[R A ] = n × E[m A (X)] = n∫ ω0( )y 1 − F(y) g(y) dyDie Statistik zweithöchster Ordnung Y n2 unter n Bewertung besitztbekanntlich die Dichte:f n 2 (y) = n(n − 1)(1 − F(y))F(y) n−2 f(y)Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.14/29

Private Versiegelte AuktionenVergleich der Einkünfte• Erstpreis- gegen Zweitpreisauktion:Bezeichnet nunf n−11 (y) = (n − 1)[F(y)] (n−2) f(y)die Dichte der Statistik höchster Ordnung Y n−11 unter n − 1Bewertungen so gilt:f n 2 (y) = n(1 − F(y))f n−11 (y) = n(1 − F(y))g(y)Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.15/29

Private Versiegelte AuktionenVergleich der Einkünfte• Erstpreis- gegen Zweitpreisauktion:Die erwarteten Einkünfte kann man nun wie folgt anschreiben:E[R A ] = n∫ ω0yf n 2 (y) dy = E[Y n2 ]Demgemäß stimmen für beide versiegelten Auktionsarten dieerwarteten Einkünfte des Verkäufers mit dem Erwartungswert derStatistik zweithöchster Ordnung unter den Bewertungen der nBieter überein.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.16/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Mindestgebot in versiegelten Zweitpreisauktionen:Wir nehmen nunmehr an, dass der Verkäufer ein Mindestgebotvon r > 0 verlangt (reserve price). Dies bedeutet, dass kein Bietermit einer Bewertung x < r einen positiven Profit in der Auktionbewerkstelligen kann.An der Gleichgewichtsstrategie, die eigene Bewertung zu bieten,ändert sich dadurch nichts. Ein Bieter mit Bewertung r muss miteiner erwarteten Zahlung von rG(r) rechnen.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.17/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Mindestgebot in versiegelten Zweitpreisauktionen:Die erwartete Zahlung eines Bieters mit Bewertung x ≥ r istnunmehr durch:m ii (x, r) = rG(r) +∫ xryg(y) dygegeben, da der Gewinner stets das Mindestgebot bezahlenmuss, falls der zweitbeste Bieter ein Gebot unterhalb von r abgibt.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.18/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Mindestgebot in versiegelten Erstpreisauktionen:Auch für die Erstpreisauktion gilt, dass kein Bieter mit einerBewertung x < r einen positiven Profit in der Auktion erreichenkann.Für ein symmetrischen Gleichgewicht muss zusätzlich β i (r) = rgelten. Gewinnen kann ein Bieter mit Bewertung r nur wenn dieanderen Bieter Bewertungen < r haben und er selbst denMindestpreis bietet.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.19/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Mindestgebot in versiegelten Erstpreisauktionen:In einer versiegelten Erstpreisauktion mit Mindestgebot r, bietetjeder Bieter mit Bewertung x ≥ r im symmetrischenGleichgewicht:β i (x) = E[max{Y n−11 , r} | Y n−11 < x]= r G(r)G(x) + 1G(x)∫ xryg(y) dywobei Y n−11 der höchste von (n − 1) unabhängig gezogenenWerten ist.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.20/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Mindestgebot in versiegelten Erstpreisauktionen:Die erwartete Zahlung eines Bieters mit Bewertung x ≥ r in einerversiegelten Erstpreisauktion mit Mindestgebot ist nunmehr durch:m i (x, r) = G(x) × β i (x)gegeben. Es gilt somit:m i (x, r) = rG(r) +∫ xryg(y) dysomit wird die gleiche erwartete Zahlung wie in der versiegeltenZweitpreisauktion mit Mindestgebot geleistet.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.21/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Einfluss des Mindestgebots auf die Einkünfte des Verkäufers:Die erwarteten Einkünfte des Verkäufers in der Erstpreis- undZweitpreisauktion mit Mindestgebot sind nun wie folgt gegeben:E[R A , r] = n × E[m A (X, r)] = n∫ ωrm A (x, r)f(x) dx == nr(1 − F(r))G(r) + n∫ ωr( )y 1 − F(y) g(y) dyTheorie der Auktion – 31.03.03 – p.22/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Einfluss des Mindestgebots auf die Einkünfte des Verkäufers:Gibt es nunmehr ein optimales, d.h die Einkünfte des Verkäufersmaximierendes, Mindestgebot? Nehmen wir hierzu an, dass derVerkäufer dem zu versteigernden Objekt ebenfalls eine eigeneBewertung x 0 ∈ [0, ω) zuordnet; sollte das Objekt somit nichtersteigert werden, profitiert der Verkäufer wertmäßig x 0 durch dieVerwendung des Objektes. Klarerweise, wird ein den eigenenProfit maximierender Verkäufer niemals ein Mindestgebot r < x 0verlangen.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.23/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Einfluss des Mindestgebots auf die Einkünfte des Verkäufers:Die insgesamt aus einer Versteigerung mit Mindestgebot r ≥ x 0zu erwartende Auszahlung für den Verkäufer beträgt somit:Π 0 = n × E[m A (X, r)] + F(r) n x 0Die erste Ableitung bezüglich r ergibt:∂Π[]0∂r = n 1 − F(r) − rf(r) G(r) + nG(r)f(r)x 0Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.24/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Einfluss des Mindestgebots auf die Einkünfte des Verkäufers:Aus der Definition der Ausfallsrate (hazard rate)λ(x) :=f(x)1 − F(x)folgt nun:∂Π[]( )0∂r = n 1 − (r − x 0 )λ(r) 1 − F(r) G(r)Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.25/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Einfluss des Mindestgebots auf die Einkünfte des Verkäufers:Aus der notwendigen Optimalitätsbedingung ∂Π 0∂rfür den Fall r > 0:= 0 ergibt sich(r ⋆ − x 0 )λ(r ⋆ ) = 1oderr ⋆ = x 0 + 1λ(r ⋆ )Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.26/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Einfluss des Mindestgebots auf die Einkünfte des Verkäufers:Für zunehmende Ausfallsraten ist die Bedingungr ⋆ = x 0 + 1λ(r ⋆ )auch hinreichend und weist interessanterweise daraufhin, dassdas optimale Mindestgebot von der Teilnehmeranzahl an derVersteigerung unabhängig ist.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.27/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Einfluss des Mindestgebots auf die Einkünfte des Verkäufers:Für den Spezialfall gleichverteilter Bewertungen zweier Bieter auf[0, 1], mit Verkäuferbewertung x 0 = 0 ist wegen λ(x) = (1 − x) −1das optimale Mindestgebotr ⋆ = 1λ(r ⋆ ) = 1 − r⋆durch r ⋆ = 1/2 gegeben.Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.28/29

Private Versiegelte AuktionenVerkäuferstrategien• Einfluss des Mindestgebots auf die Einkünfte des Verkäufers:Die erwarteten Einkünfte des Verkäufers in der versiegeltenErstpreis- oder Zweitpreisauktion mit 2 Bieter, die gleichverteilteBewertungen auf [0, 1] haben, ist nunmehr:E[R A , r] = 2r ⋆ (1 − r ⋆ )r ⋆ + 2∫ 1r ⋆ y(1 − y) dy = 5 12Ohne Mindestgebot vermindern sich die erwarteten Einkünfte auf:E[R A ] = 1 3Theorie der Auktion – 31.03.03 – p.29/29