Normalform oder strategische Form

Normalform oder strategische Form
• N Spieler, i = 1, . . .,N , mit Strategien σ i ∈ Σ i
• Nutzenfunktion des i-ten Spielers
U i : (σ 1 , σ 2 , . . .,σ i , . . .,σ N ) → R
die jedem N -Tupel σ ∈ × N j=1 Σ j eine reelle Zahl zuordnet.
• Formale Bezeichnung des Spiels in strategischer Form
< Σ 1 , Σ 2 , . . .Σ N ; U 1 , U 2 , . . .,U N >
• Sicherheitsschwelle des i-ten Spielers
S i := sup σi ∈Σ i
inf σ−i ∈× j≠i Σ j
U i (σ)
• Eine Strategien-N -tupel σ
r heißt i(ndividuell)-rational, falls
S i ≤ U i (σ r ) für alle i ∈ {1, . . .,N}.
Spiele in strategischer Form – p.1/3

Nash-Gleichgewicht
• Ein Nash-Gleichgewicht in einem Normalform-Spiel ist ein
Strategien-N -tupel σ ⋆ ∈ × N j=1 Σ j, so daß für jeden Spieler
i ∈ {1, . . .,N} und alle Strategien σ i ∈ Σ i folgende Ungleichung
gilt:
U i (σ ⋆ ) ≥ U i (σ ⋆ 1, . . .,σ ⋆ i−1, σ i , σ ⋆ i+1, . . .,σ ⋆ N)
• Jedes Nash-Gleichgewicht ist i(ndividuell)-rational.
Spiele in strategischer Form – p.2/3

Beste Antwort
• Für ein beliebiges σ−i ∈ × j≠i Σ j definiere die beste Antwort B i (σ −i ) des
Spielers i, wie folgt:
B i (σ −i ) := {σ i ∈ Σ i | U i (σ 1 , . . .,σ i−1 , σ i , σ i+1 , . . .,σ N ) ≥
U i (σ 1 , . . .,σ i−1 , σ ◦ i , σ i+1 , . . .,σ N ) für alle σ ◦ i ∈ Σ i }
• Ein Nash-Gleichgewicht in einem Normalform-Spiel ist dann ein
Strategien-N -tupel σ ⋆ ∈ × N j=1 Σ j so daß gilt:
σ ⋆ i ∈ B i (σ ⋆ −i) für alle
i ∈ {1, . . .,N}
Spiele in strategischer Form – p.3/3