Schwerefeld und Gravimetrie

Testing Guidelines• ACOG Cervical Cancer Screening guidelines (July 31, 2003 press release)(partial list of guidelines shown)• First screen -- Screening of cervical cytology (cervical cells) start 3 years after first sexualintercourse or by age 21, whichever comes first.• Women up to age 30 -- Annual cervical cytology screening.Women under age 30 have a higher likelihood than older women of acquiring high-risk types ofHPV that cause pre-malignant cervical disease, which should be ruled out before extending thetesting intervals.• Women age 30 and older -- two acceptable screening options• Testing using cervical cytology alone.Negative results on three consecutive annual cervical cytology testsRe-screened with cervical cytology alone every 2-3 years.• Cervical cytology test and an FDA-approved test for high-risk types of HPV –Negative on both tests they should be re-screened every 3 years.If only one of the tests is negative, however, more frequent screening will be necessary.The combined testing is not appropriate for women under age 30, since they frequently testpositive for HPV that will clear up on its own.w w w . a u t o g e n o m i c s . c o m

GravitationDas GravitationsgesetzDa Kräfte gerichtete Größe sind, müssen die Gravitationskräfte mehrererMassen, die sich an verschiedenen Orten befinden, vektoriell addiertwerden.Ist ⃗r der Relativvektor von der Masse M zur Masse m, so ist − ⃗r|⃗r|einEinheitsvektor in Richtung der Kraft auf die Masse m.Damit lautet das Gravitationsgesetz:⃗F = − G M mr 2⃗r|⃗r|

GravitationDie SchwerebeschleuingungDa die Gravitationskraft proportional zur Probemasse m ist, undKraft = Masse × Beschleunigungist, erfährt die Probemasse eine Beschleunigungwelche unabhängig von m ist.F⃗a = ⃗ m = −G Mr 2Anstelle der sonst üblichen Bezeichnung ⃗a wir meist ⃗g verwendet, wenn esum die Schwerebeschleunigung des Erdkörpers geht.⃗r|⃗r|

GravitationDas GravitationsfeldBefindet sich die Masse M am Ort ⃗a, so wirkt auf eine Probemasse amOrt ⃗x die Beschleunigung⃗g(⃗x) = − G M|⃗x − ⃗a| 2⃗x − ⃗a|⃗x − ⃗a|Diese wird als Schwerefeld bzw. Gravitationsfeld am Ort ⃗x bezeichnet.Einheiten des Schwerefeldes:SI-Einheit: m/s 2In der Geophysik: 1 Gal = 1 cm/s 2 zu Ehren von Galileo Galilei(1564-1652)1 mGal = 10 −3 Gal = 10 −5 m/s 2

GravitationEigenschaften des GravitationsfeldesDas Gravitationsgesetz gilt eigentlich nur für Punktmassen. Es giltnäherungsweise für ausgedehnte Massen, wenn deren Ausdehnungsehr viel kleiner als ihr Abstand ist.Die Gravitationsfelder mehrerer Massen überlagern sich ungestört(Vektoraddition), wodurch man z. B. das Gravitationsfeld der Erdedurch Addition bzw. Integration zusammenbauen kann.

Das Schwerefeld der ErdeFrageIn grober Näherung ist die Erde eine Kugel vom Radius R = 6371 km.Angenommen, das Gravitationsgesetz gilt für diese Kugel wie für einePunktmasse. Wie groß müsste die Masse der Erde sein, damit dieSchwerebeschleunigung an der Erdoberfläche g = 981 Gal beträgt?Das Gravitationsfeld einer kugelsymmetrischen MassenverteilungEine beliebige kugelsymmterische Massenverteilung erzeugt dasselbeGravitationsfeld wie eine gleich große Punktmasse im Mittelpunkt.Dies gilt allerdings nur, wenn sich der Messpunkt außerhalb derMassenverteilung befindet, ansonsten trägt nur die Masse zumGravitationsfeld bei, welche sich näher am Kugelmittelpunkt befindet alsder Messpunkt.

Das Schwerefeld der ErdeDas Gravitationsfeld einer kugelsymmetrischen MassenverteilungMesspunktTrägt zur Schwere beiTrägt nicht zur Schwere bei

Das Schwerefeld der ErdeDie Dichte im ErdinnerenDie Dichte nimmt zum Erdmittelpunkt hin etwa um den Faktor 5 zu, vonetwa 2600 kg/m 3 in der oberen kontinentalen Kruste auf etwa13 000 kg/m 3 im inneren Erdkern. Die mittlere Dichte beträgt ca.5500 kg/m 3 .Das Preliminary Reference Earth ModelDas 1981 veröffentlichte Preliminary Reference Earth Model (PREM)liefert Daten (Dichte, seismische Geschwindigkeiten, Druck etc.) für eineidealisierte, kugelsymmetrische Erde.

Das Schwerefeld der ErdeDie Dichteverteilung des PREM140001200010000ρ [kg/m 3 ]800060004000200000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000r [km]

Das Schwerefeld der ErdeDas Gravitationsfeld der Erde108PREMg [m/s 2 ]642homogen00 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000r [km]

Das Schwerefeld der ErdeDer Druck im Erdinneren400350300p [GPa]250200150PREM100500homogen0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000r [km]

Das Schwerefeld der ErdeDas Schwerefeld der realen ErdeDie reale Schwerebeschleunigung der Erde weicht vom Gravitationsfeldeiner kugelsymmetrischen Massenverteilung ab und variiert entlang derErdoberfläche. Neben regionalen Variationen gibt es eine relativ starkeSchwerezunahme vom Äquator zu den Polen hin:Mittelwert am Äquator: g = 978.05 Galan den Polen: g = 983.22 Galglobaler Mittelwert: g = 979.77 GalDie Ursachen für die Variation sind:Zentrifugalbeschleunigung durch die ErdrotationAbweichung von der KugelformUnter dem Schwerefeld versteht man normalerweise die Summe ausGravitations- und Zentrifugalbeschleunigung.

Das Schwerefeld der ErdeDie NormalschwereformelDie Variation der Schwere mit der geographischen Breite ϑ wird in guterNäherung durch die 1930 aufgestellte Normalschwereformel beschrieben:g(ϑ) = 978.0490 Gal ( 1 + 5.2884 × 10 −3 sin 2 ϑ − 5.9 × 10 −6 sin 2 (2ϑ) )= 978.0490 Gal + 5.1723 Gal sin 2 ϑ − 5.8 mGal sin 2 (2ϑ)= 983.2213 Gal − 5.1723 Gal cos 2 ϑ − 5.8 mGal sin 2 (2ϑ)

Das Schwerefeld der ErdeDer Beitrag der ZentrifugalbeschleunigungDie Zentrifugalbeschleunigung istg z = ω 2 dmitω =2πWinkelgeschwindigkeit =1 Sternentag = 2π86140 sd = Abstand von der DrehachseAuf der Oberfläche einer kugelförmigen Erde ist damitg z = ω 2 R cos ϑ ≈ 3.39 Gal cos ϑ

Das Schwerefeld der ErdeDer Beitrag der ZentrifugalbeschleunigungDie Zentrifugalbeschleunigung erklärt mit 3.39 Gal etwa 2 3 derbeobachteten Schweredifferenz zwischen Pol und Äquator von 5.17 Gal.Die verbleibende Differenz von 1.78 Gal resultiert aus der Abweichung derForm der Erde von einer Kugel.FrageNimmt die Schwere nun zum Äquator hin mit cos 2 ϑ(Normalschwereformel) oder mit cos ϑ (unsere Berechnung derZentrifugalkraft) ab?

Das Schwerefeld der ErdeDer Beitrag der ZentrifugalbeschleunigungBeides ist richtig:Wir haben den Betrag der Zentrifugalbeschleunigung berechnet.Die Normalschwereformel beschreibt die Gesamtschwere, d. h. dieLänge der Vektorsumme aus Gravitations- undZentrifugalbeschleunigung.

Das Schwerefeld der ErdeDer Beitrag der ZentrifugalbeschleunigungZentrifugalbeschleunigung(10fach überhöht)GravitationSumme

Das Schwerefeld der ErdeDer Beitrag der ZentrifugalbeschleunigungWir müssen also die Länge des Vektors⃗g = ⃗g g + ⃗g z mit |⃗g z | ≪ |⃗g g |berechnen. Wir wissen (woher nur?), dass allgemein giltf(⃗x + ⃗ h) ≈ f(⃗x) + ∇f(⃗x) · ⃗hwenn | ⃗ h| ausreichend klein ist. Hieraus folgt:bzw. für unseren Fall:|⃗x + ⃗ h| ≈ |⃗x| + ⃗x|⃗x| · ⃗h|⃗g g + ⃗g z | ≈ |⃗g g | + ⃗g g|⃗g g | · ⃗g z

Das Schwerefeld der ErdeDer Beitrag der ZentrifugalbeschleunigungVon der Zentrifugalbeschleugingung trägt also nur der Teil, der inRichtung der Gravitation geht, zum Betrag des Gesamtschwere bei.Dieser ist aber genaug z cos ϑ = ω 2 R cos 2 ϑ ≈ 3.39 Gal cos 2 ϑdie Breitenabhängigkeit in der Normalschwereformel ist also richtig.

Das Schwerefeld der ErdeAnomalien in VektorfeldernDas letzte Ergebnis gilt allgemein, wenn irgendeinem Feld (z. B. auch demMagnetfeld) eine kleine Störung überlagert wird: Nur die Komponente derStörung in Richtung des ”Hauptfeldes“ ist messbar.Anomalien im SchwerefeldFür das Schwerefeld bedeutet dies: Von jeder kleinen Störung (z. B. durcheinen Erzkörper) ist immer nur die Vertikalkomponente messbar, nicht derBetrag.

Die Form der ErdeVermessung der ErdeBereits seit dem 18. Jahrhundert ist bekannt, dass die Erdenäherungsweise ein Rotationsellipsoid ist, bei dem die Polachse um etwakürzer ist als die Äquatorachse.1300Diese Erkenntnis stammt aus der Vermessung der Erdoberfläche. Aufeinem Rotationsellipsoid mit der Äquatorachse a und der Polachse centspricht 1 ◦ Breite am Äquator der Strecke c2 πa 180= 110.57 km und anden Polen a2 πc 180= 111.69 km. Der relative Unterschied ist etwa das3-fache der Abplattung f = a−ca≈ 1300und damit gut messbar.Auf Basis der Messung der Strecke vom Äquator zum Pol (entlang desLängengrads über Paris) wurde 1795 das Meter als Längenmaßstabdefiniert.

Die Form der ErdeDas ReferenzellipsoidDie Halbachsen des sogenannten Referenzellipsoids sind a = 6378.137 kmund c = 6356.753 km, woraus f = 1298.37resultiert (Werte von 1981).Die Ursache der AbplattungDie Abplattung der Erde resultiert natürlich aus derZentrifugalbeschleunigung. Bestünde die Erde aus einer homogenenFlüssigkeit, wäre die Abplattung f ≈ 1230. Der gut 30 % geringere realeWert resultiert aus der Dichtezunahme mit der Tiefe.

Messung der SchwereAbsolut- und RelativmessungenBei der Messung der Schwerebeschleunigung unterscheidet man zweiGrundprinzipien: Absolut- und Relativmessungen.

Messung der SchwereAbsolutmessungenBei einer Absolutmessung wird g direkt durch Messung von Längen undZeiten bestimmt, z. B. ausSchwingungsdauer eines Pendels: Erwähnenswert ist das Reversionspendelnach Johann Gottlieb Friedrich von Bohnenberger(1765-1831), mit dem bereits vor 1900 eine relativeGenauigkeit von 10 −6 (1 mGal) erreicht wurde.Fallexperimente erfordern sehr genaue Zeit- und Streckenmessung undsind seit den 1950er Jahren sinnvoll möglich. Genauigkeitenvon bis zu ca. 10 µGal werden erreicht.Bahndaten von Satelliten stehen seit den 1960er Jahren zur Verfügung.Heute (CHAMP) werden Genauigkeiten von ca. 0.05 µGalerreicht. Die räumliche Auflösung ist allerdingsprinzipbedingt relativ grob.

Messung der SchwereRelativmessungenRelativmessungen verwenden das Prinzipder Federwaage. Eine genaue Kenntnis derFederkonstanten ist notwendig, daher mussdas Gravimeter geeicht werden.Eine einfache Feder mit angehängter Masseist zu ungenau, die relative Genauigkeit einerguten Personenwaage (ca. 1 %), entspricht10 Gal. Hohe Genauigkeiten werden mit Gravimeternnach Sam Worden (ca. 1950, Genauigkeitca. 10 µGal) und mit dem astasiertenGravimeter nach LaCoste und Romberg(Genauigkeit bis zu ca. 1 µGal) erreicht.Prinzip des LaCoste-Romberg Gravimeters.Quelle: Wikipedia

Interpretation von SchweremessungenReduktion der MesswerteErster Schritt bei der Interpretation von Schweremessungen ist dieReduktion der Messwerte. Reduktion bedeutet, dass alle bekanntenEinflüsse herauskorrigiert werden. Danach kann versucht werden, aus denvorhandenen Abweichungen Rückschlüsse auf die Massenverteilung imUntergrund zu ziehen.Ein allgegenwärtiges Beispiel für die Reduktion von Messwerten ist dieReduktion des Luftdrucks auf Meereshöhe. Auf 1000 m Höhenunterschiedfällt der Luftdruck um mehr als 10 % ab, was mehr ist als die üblichenzeitlichen Schwankungen. Um Luftdruckwerte an verschiedenen Ortenvergleichbar zu machen, müssen diese auf Meereshöhe zurückgerechnetwerden, was bereits bei der Eichung eines Barometers an einenbestimmten Ort geschieht.

Interpretation von SchweremessungenDie wichtigsten SchwerekorrekturenDie wichtigsten Korrekturen für das Schwerefeld sindBreitenkorrekturFreiluft-Korrektur, undBouguer-Korrektur.BreitenkorrekturBesitzt das Messgebiet eine große Ausdehnung in Nord-Süd-Richtung,erschlägt“ die Breitenabhängigkeit der Schwere alle anderen Effekte.”Daher wird zunächst die für die jeweilige Breite geltende Normalschwereg(ϑ) = 978.0490 Gal + 5.1723 Gal sin 2 ϑ − 5.8 mGal sin 2 (2ϑ)subtrahiert.

Interpretation von SchweremessungenFreiluft-KorrekturWir wissen bereits, dass die Schwere in der Nähe der Erdoberfläche umetwa 0.308 mGal pro Meter Höhe abfällt. Mit diesem Wert wird diegemessene Schwere auf Meeresniveau reduziert, d. h. pro Meter Höhewerden 0.308 mGal zur gemessenen Schwerebeschleunigung addiert. Derverbleibende Wert wird als Freiluft-Anomalie bezeichnet.Bouguer-KorrekturBei einem Gebirge führt die zusätzliche Masse zu einer Erhöhung derSchwere. Bei bekannter Reliefform (und Dichte) lässt sich derenSchwerewirkung numerisch berechnen. Meist verwendet man aber eineeinfache Näherung, welche auf dem Schwerefeld einer lateral unendlichausgedehnten Platte beruht.

Interpretation von SchweremessungenBouguer-KorrekturMesspunkt

Interpretation von SchweremessungenBouguer-KorrekturWäre das Gebirge eine Kugelschale um die gesamte Erde, wäre der Effektderselbe wie die fehlende Masse in einem Stollen: Die Kugelschale erzeugtdie zusätzliche Schwerefür ρ =2670 kg/m 3 .δg = 4π G ρ h ≈ 0.224 mGal/m × hDie unendlich ausgedehnte Platte der Mächtigkeit h erzeugt nur eine halbso große zusätzliche Schwere:δg = 2π G ρ h ≈ 0.112 mGal/m × h

Interpretation von SchweremessungenBouguer-KorrekturPro Meter Gebirgshöhe werden also 0.112 mGal vom gemessenenSchwerewert subtrahiert, was nur etwa 1 3der Freiluft-Korrektur ausmacht.Zu Ehren von Pierre Bouguer (1698-1758) wird diese Korrektur alsBouguer-Korrektur bezeichnet.Die Bouguer-AnomalieDie nach Breiten-, Freiluft- und Bouguer-Korrektur verbleibende Anomalierwird als Bouguer-Anomalie bezeichnet. Sie gibt Aufschluss überMassenüberschüsse bzw. -defizite im Untergrund.FrageIrgendwo in den Alpen auf 46 ◦ Breite in 1500 m Höhe messen wir eineSchwere von g = 980.300 Gal. Befindet sich unter uns eher einMassenüberschuss oder ein Massendefizit?

Interpretation von SchweremessungenInversionUnter Inversion versteht man in der Gravimetrie die Bestimmung derMassenverteilung im Untergrund aus dem Schwerefeld. Eine eindeutigeRekonstuktion ist aber nur möglich, wenn Schwerewerte ”flächendeckend“vorliegen. Aus einem oder wenigen Messwerten lässt sich nicht viel überdie Massenverteilung aussagen, die Rekonstruktion wird besser, je mehrMesswerte vorliegen.Die Inversion erfolgt i. A. numerisch durch ”Ausprobieren“ verschiedenerMassenverteilungen, in einfachen Fällen (z. B. Erdkundung vonLagerstätten) aber auch durch Vergleich mit der Schwereanomalieeinfacher Referenzkörper (z. B. Kugel, Ellipsoid, Zylinder).

Interpretation von SchweremessungenDie Schwereanomalie eines kugelförmigen StörkörpersDie einfachste Form einer Schwereanomalie ist ein kugelförmigerStörkörper mit einem Massenüberschuss δm gegenüber der Umgebung.

Interpretation von SchweremessungenDie Schwereanomalie eines kugelförmigen StörkörpersWir legen das Koordinatensystem so, dass der Ursprung senkrecht überdem Zentrum des Störkörpers liegt. Letzteres liegt also am Ort⃗a =( 00−d)wobei d die Tiefe des Zentrums ist. Damit ist das Schwerefeld, welches eran einer beliebigen Stelle( )x1⃗x = x 20an der Erdoberfläche erzeugtδ⃗g = − G δm|⃗x − ⃗a| 2⃗x − ⃗a|⃗x − ⃗a|( )G δm x1= −√ x 2x21 + x 2 2 + d23 d

Interpretation von SchweremessungenDie Schwereanomalie eines kugelförmigen StörkörpersDa dieses Feld i. A. viel kleiner als das Schwerefeld der Erde ist, ist nur dieVertikalkomponente (nach unten)δg =G δm d√x21 + x 2 2 + d23messbar.Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Größe der Kugel (sofern diesedie Erdoberfläche nicht berührt) und der Dichteverteilung innerhalbder Kugel, solange diese rotationssymmetrisch ist.Für Massendefizite ist δm < 0 anzusetzen, sodass eine negativeSchwereanomalie entsteht.

Interpretation von SchweremessungenFragen1 An welcher Stelle tritt die maximale Schwereanomalie auf, und wiegroß ist diese?2 Wie groß ist die maximale Schwereanomalie, die ein kugelförmigerHohlraum mit 10 m Durchmesser in 10 m Tiefe verursacht? Wieändert sich das Ergebnis, wenn der Hohlraum mit Wasser gefüllt ist?Könnte ein Hohlraum in 100 m Tiefe dieselbe Schwereanomalieerzeugen?3 In welcher Entfernung vom Ort der maximalen Schwereanomalie istdie Schwereanomalie halb so groß wie das Maximum?4 Wie kann man aus der Halbwertsbreite der Schwereanomalie die Tiefedes Störkörpers bestimmen?

Interpretation von SchweremessungenBeispiel: Das Nördlinger RiesModifiziert nach: K. Jung, H. Schaaf & H. G. Kahle,Geologica Bavaria 61: 337-344, 1969

Interpretation von SchweremessungenBeispiel: Das Nördlinger RiesSchätzen Sie aus der folgenden Schwereanomaliekarte Massendefizit undTiefe unter der Annahme, dass es sich um einen kugelförmigen Störkörperhandelt!

Interpretation von SchweremessungenBeispiel: Das Nördlinger RiesProfil der Schwereanomalie in Südwest-Nordost-Richtung-δg [mGal]20181614121086420-10000 -5000 0 5000 10000x [m]

Interpretation von SchweremessungenBeispiel: Das Nördlinger RiesDie wichtigste Abweichung zwischen dem gemessenen Profil und demModell eines kugelförmigen Störkörpers befindet sich am Rand, wo diegemessene Schwereanomalie schneller abfällt.Das Modell des kugelförmigen Störkörpers ist hier tatsächlich falsch, eshandelt sich um einen mit jungtertiären Sedimenten gefüllten Meteorkratermit einem Massendefinzit von 7 × 10 13 kg (etwa die Hälfte des Wertes, denwir für die Kugel geschätzt haben).

Interpretation von SchweremessungenDie Schwereanomalie eines unendlich langen ZylindersAuch die Schwereanomalie eines horizontal liegenden, unendlich langenZylinders lässt sich einigermaßen leicht berechnen.

Interpretation von SchweremessungenDie Schwereanomalie eines unendlich langen ZylindersFür die Vertikalkomponente (nach unten) ergibt sichδg = 2 G δm ldx 2 1 + d2wobei δm lder Massenüberschuss pro Länge des Zylinders ist.Fragen1 Wie groß ist die maximale Schwereanomalie?2 Wie kann man aus der Halbwertsbreite der Schwereanomalie die Tiefedes Störkörpers bestimmen?

Interpretation von SchweremessungenKugel- und zylinderförmiger Störkörper im Vergleich10.75δg/δg max0.5Zylinder0.25Kugel0-3 -2 -1 0 1 2 3x/d

Interpretation von SchweremessungenKugel- und zylinderförmiger Störkörper im VergleichHalbwertsbreite b 12Kugel≈ 3 2 d b 1 2Zylinder= 2 dSchätzung der Tiefe d ≈ 2 3 b 1 d = 122 b 1 2max. Schwereanomalie δg max = G δm δgd 2 max = 2 G δm ldSchätzung des Massenübersch.δm = d2 δg maxGδm = d l δgmax2 G

FrageAngenommen, die Form der Schwereanomalie liegt zwischen denen vonKugel und unendlich langem Zylinder, d. h. die Isolinien der Schwere sindoval bzw. elliptisch. In welche Richtung sollte die Halbwertsbreite zurSchätzung der Tiefe gemessen werden?Beispiel: Das Prospektionsgebiet Elura in New South WalesDie folgende Karte zeigt die Schwereanomalie im Prospektionsgebiet Elurain New South Wales. Die Schwerewerte sind in Einheiten von 0.1 mGalangegeben.1 Wo könnte ein Erzvorkommen mit höherer Dichte im Untergrundvermutet werden?2 Schätzen Sie die Tiefenlage des Erzkörpers!3 Schätzen Sie das Erzvolumen unter der Annahme, dass die Dichte desErzes um 1 g/cm 3 größer ist als die der Umgebung!

Interpretation von SchweremessungenBeispiel: Das Prospektionsgebiet Elura in New South Wales

IsostasieDie Schwere über GebirgenÜber Gebirgen findet man meist eine negative Bouguer-Anomalie, welchein ihrem Betrag wesentlich größer als die Freiluft-Anomalie ist. Die meistenGebirge haben keine zusätzliche Masse, größere Reliefhöhen werden durcheine im Mittel geringere Dichte ausgeglichen.IsostasieDas Fehlen zusätzlicher Masse lässt sich durch das Prinzip der Isostasie(griech.: Gleichstand) erklären. Ein in einer Flüssigkeit schwimmenderKörper verdrängt genau die Menge an Flüssigkeit, die seiner Masseentspricht, sodass schließlich die Masse unter jedem Punkt der Oberflächegleich ist (streng genommen gilt dies nur für prismenförmige Körper).

IsostasieGrundmodelle der IsostasieAngenommen, die Erdkruste bestehe aus einzelnen, quaderförmigenBlöcken, die in einem flüssigen Erdmantel schwimmen. Dann gibt es zweiextreme Modelle, nach denen wir uns die Isostasie (gleiche Masse unterallen Punkten der Erdoberfläche) vorstellen können:Quelle: K. Stüwe: Geodynamics of the Lithosphere, Springer-Verlag, 2007

IsostasieDas Airy-ModellDas nach George Biddell Airy (1801–1892) benannte Modell geht davonaus, dass die Erdkruste überall dieselbe Dichte hat. Isostasie wirdausschließlich dadurch erreicht, dass die leichtere Kruste unter Gebirgenmächtiger ist als unter Ozeanen und flachen kontinentalen Gebieten.Das Pratt-ModellDas Modell von John Henry Pratt (1809–1871) geht davon aus, das dieschwimmenden Blöcke identische Eintauchtiefen haben, dafür aber dieDichte unter Gebirgen geringer ist.

IsostasieUnterscheidung anhand der SchwereWenn wir die Schwere nach der einfachen Bouguer-Formel berechnen, sinddie beiden Modelle anhand von Schweremessungen nicht unterscheidbar.Schweremessungen sagen dann nur aus, ob sich ein Gebiet im isostatischenGleichgewicht befindet. Eine negative Freiluft-Anomalie (wie z. B. inSkandinavien) deutet an, dass sich ein Gebiet isostatisch hebt.

IsostasieDie Mohorovi˘cić-DiskontinuiätDie von A. Mohorovi˘cić 1909 anhand seismischer Wellen entdeckteDiskontinuiät in 30–70 km Tiefe unter Kontinenten deutet darauf hin, dassdas Airy-Modell eher zutrifft als das Pratt-Modell. Auf 1 km Gebirgshöhekommen nämlich im Mittel etwa 4.5 km Krustenverdickung(Gebirgswurzel).FrageWie müsste das Verhältnis der Dichten von oberem Mantel und Krustesein, damit das Airy-Modell mit den 4.5 km Gebirgswurzel pro KilometerGebirgshöhe passt?

IsostasieStimmt das Airy-Modell wirklich?Das Problem beim Airy-Modell ist, dass der oberste Mantel genauso wenigfließfähig ist wie die Kruste. Man fasst daher Kruste und obersten Mantelzur Lithosphäre (griech.: Stein) zusammen.Erst in etwa 100–200 km Tiefe erfolgt ein Übergang zu eher fließfähigemVerhalten. Die Viskosität dieser Asthenosphäre (griech.: weich) ist mitetwa 10 19 –10 20 Pas (zum Vergleich: Wasser 10 −3 Pas) noch immer sehrhoch, aber auf der Skala von einigen 1000 Jahren reicht dies für deutlicheDeformationen.Der Übergang zwischen Lithosphäre und Asthenosphäre ist keine stofflicheGrenze, sondern entsteht durch die Druck- und Temperaturbedingungen.Daher hat dieser keine so starke Topographie wie die Grenze zwischenKruste und Mantel. Bei dieser Betrachtung trifft dann doch dasPratt-Modell (mit Säulen, die aus jeweils zwei Teilen bestehen) zu.

Das SchwerepotentialDas GravitationspotentialDas vektorwertige Gravitationsfeld ⃗g g (⃗x) kann alternativ durch ein skalaresPotential W g (⃗x) ausgedrückt werden:⃗g g (⃗x) = −∇W g (⃗x) mit W g (⃗x) = − G M|⃗x − ⃗a|für eine Punktmasse M am Ort ⃗a.Überlagerung von PotentialenDie Gravitationspotentiale mehrerer Massen überlagern sich wie dieGravitationsfelder ungestört, sodass die Potentiale einfach addiert werden.

Das SchwerepotentialDas ZentrifugalpotentialDie Zentrifugalbeschleunigung lässt sich ebenfalls durch ein Potentialdarstellen:W z (⃗x) = − 1 2 ω2 d 2mitω =2πWinkelgeschwindigkeit =1 Sternentag = 2π86140 sd = Abstand von der DrehachseDas Schwerepotential der Erde setzt sich zusammen aus Gravitations- undZentrifugalpotential:W (⃗x) = W g (⃗x) + W z (⃗x)

Das SchwerepotentialPotential und EnergieDas Potential hängt direkt mit der Energie zusammen:m (W (⃗y) − W (⃗x))ist die Energie, die benötigt wird, um eine Masse m vom Ort ⃗x zum Ort ⃗yzu befördern.Vor- und Nachteile der PotentialbeschreibungDas Potential ist skalar, damit sind die Potentiale der Schwerefeldermehrerer Massen leichter zu addieren als die Schwerefelder selbst.Das Potential ist nicht direkt durch Messung zugänglich.Aus dem Potential an einer Stelle lässt sich dieSchwerebeschleunigung nicht berechnen.

Das SchwerepotentialÄquipotentialflächenFlächen konstanten Potentials heißen Äquipotentialflächen und haben einedirektere Bedeutung als das Potential selbst. Ihre wichtigstenEigenschaften sind:Eine Masse kann entlang einer Äquipotentialfläche bewegt werden,ohne dass Energie aufgebracht werden muss.Der Schwerevektor ⃗g steht an jeder Stelle senkrecht auf derÄquipotentialfläche.Hieraus folgt, dass freie Oberflächen (z. B. die Meeresoberfläche)Äquipotentialflächen sind.

Das SchwerepotentialDas GeoidDas Geoid ist die Äquipotentialfläche des Schwerepotentials (GravitationsundZentrifugalbeschleunigung) der realen Erde zum WertW = −6.2637 × 10 7 m 2 /s 2 . Im Gegensatz zur Kugel und zumRotationsellipsoid ist das Geoid keine geometrische Beschreibung der Formder Erde, sondern beschreibt ihr Schwerefeld.Die Idee geht auf C. F. Gauß (1777-1855) und J. B. Listing (1808-1882)zurück. Eine genaue Bestimmung des Geoids ist allerdings erst seit Beginnder Satellitengeodäsie in den 1960er Jahren möglich.In Ozeanen stimmt das Geoid mit der freien Wasseroberfläche überein. Esweicht maximal um etwa ±100 m vom Referenzellipsoid ab. Die stärkstegroßräumige Abweichung ist die ”Birnenform“ der Erde (etwa ±16 m), dieweiteren Geoidundulationen werden mit großen Massenüberschüssen bzw.-defiziten in Erdkruste und Erdmantel in Verbindung gebracht.

Das SchwerepotentialDas GeoidHöhen (in Metern) des GRIM2-Geoids gegenüber dem Referenzellipsoid

Das SchwerepotentialInterpretation von GeoidvariationenIn Analogie zu Variationen des Schwerefeldes selbst lassen sich lokale oderregionale Variationen des Geoids teilweise durch Störkörper im Untergrundinterpretieren. Ein Massenüberschuss hebt das Geoid an, ein Massendefizitsenkt es ab.Anhebung oder Absenkung des Geoids durch ein StörpotentialAnnahme: Potential W 0 (⃗x) wird durch ein kleines Potential δW (⃗x)überlagert, sodass das Gesamtpotentialist.W (⃗x) = W 0 (⃗x) + δW (⃗x)Wie verschieben sich die Äquipotentialflächen?

Das SchwerepotentialAnhebung oder Absenkung des Geoids durch ein StörpotentialWir müssen also δx so bestimmen, dassW (⃗x + δ⃗x) = W 0 (⃗x)MitW (⃗x + δ⃗x) ≈ W (⃗x) + ∇W (⃗x) · δ⃗x = W (⃗x) − ⃗g(⃗x) · δ⃗xfolgt sofortδW (⃗x) = W (⃗x) − W 0 (⃗x) ≈ ⃗g(⃗x) · δ⃗xDie Äquipotentialfläche verschiebt sich also um die Strecke δx = δW ginRichtung des Schwerevektors, bzw. das Geoid hebt sich um δh = − δW g .

Das SchwerepotentialDie Geoidanomalie eines kugelförmigen StörkörpersEin kugelförmiger Störkörper mit (Massenüberschuß δm) in einer Tiefe d(unter dem Koordinatenursprung) erzeugt an der Erdoberfläche dasPotentialδW= −⎛⎝∣x 1x 20G δm⎞ ⎛⎠ − ⎝und hebt damit das Geoid uman.δh =00−d⎞⎠∣G δmg √ x 2 1 + x2 2 + d2G δm= −√ x21 + x 2 2 + d2

Das SchwerepotentialFragen1 Wie groß ist die maximale Geoidanomalie?2 Wie groß ist die Halbwertsbreite der Geoidanomalie, und wie kannman aus dieser Tiefe des Störkörpers schätzen?3 Um wieviel hebt der Erzkörper in unserem Beispiel desProspektionsgebietes Elura das Geoid an?4 In welcher Tiefe müsste ein kugelförmiger Störkörper liegen, der dienegative Geoidanomalie bei Indien verursacht?5 Welche maximale Schwereanomalie würde dieser Störkörperverursachen?

Das SchwerepotentialVergleich von Schwere- und GeoidanomalieAus der maximalen Schwereanomalie und der maximalen Geoidanomalieeines kugelförmigen Störkörpers lässt sich die Beziehungδg maxg= δh maxdableiten.Hieraus folgt:Bei gleicher Schwereanomalie erzeugt ein tief liegender Störkörpereine größere Geoidanomalie als ein flach liegender.Bei gleich Geoidanomalie erzeugt ein flach liegender Störkörper einegrößere Schwereanomalie als ein tief liegender.Das Geoid zeigt also eher große, tief liegende Massenüberschüsse bzw.-defizite an, die Schwere selbst eher flach liegende.