Reihen

Reihen
5.1 Folgen von Partialsummen
Definitionen und Beispiele
5
Ist a. eine beliebige Folge von Zahlen oder Vektoren, so heisst der formale
Ausdruck
∞�
ak = a0 + a1 + a2 + . . . (1)
k=0
eine Reihe, die einzelnen ak sind die Glieder dieser Reihe. Es ist natürlich
unmöglich, unendlich viele Additionen tatsächlich auszuführen. Man kann
aber die Folge s. der endlichen Partialsummen
n�
sn :=
k=0
betrachten und das Verhalten dieser Folge untersuchen. Existiert der (eigentliche)
Grenzwert limn→∞ sn =: s, so heisst die Reihe konvergent, und s ist
ihre Summe. Ist eine Reihe (1) als konvergent erwiesen, so bezeichnet (1)
gerade auch deren Summe s. — Besitzt die Folge s. keinen eigentlichen
Grenzwert, so heisst die Reihe (1) divergent.
○1 Die geometrische Reihe
∞�
z k
k=0
besitzt für beliebiges z ∈ C, z �= 1, die Partialsummen
ak
sn = 1 + z + . . . + z n =
1 − zn+1
1 − z
Ist |z| < 1, so gilt z n → 0 (n → ∞), wir erhalten daher mit Hilfe der
Rechenregeln für Grenzwerte:
.
(2)

170 5 Reihen
∞�
k=0
z k = 1
1 − z
(z ∈ C, |z| < 1) .
Für |z| ≥ 1 ist die Reihe (2) divergent, da sie die nachfolgende Konvergenzbedingung
(3) nicht erfüllt. ○
(5.1) Ist die Reihe � ∞
k=0 ak konvergent, so gilt jedenfalls
lim
k→∞ ak = 0 . (3)
Man hat an = sn − sn−1 → s − s = 0 (n → ∞) .
Die Bedingung (3) ist für Konvergenz notwendig, aber nicht hinreichend:
Damit die Reihe � ∞
k=0 ak konvergiert, müssen die ak “genügend schnell”
gegen 0 gehen. Hierzu das folgende Standardbeispiel:
○2 Die harmonische Reihe
∞� 1
k
k=1
1 1 1
= 1 + + + + . . .
2 3 4
ist divergent, trotz 1/k → 0 (k → ∞). Für beliebiges n ≥ 1 gilt nämlich
s2n − sn = 1 1
1 1 1
+ + . . . + ≥ n · =
n + 1 n + 2 2n 2n 2 ,
und hieraus folgt mit vollständiger Induktion:
r
s2r ≥ 1 +
2
(r ≥ 0) .
Eine Reihe mit unbeschränkten Partialsummen ist natürlich divergent. ○
Für das Rechnen mit Reihen gelten die folgenden Regeln:
(5.2) Ist �
k ak = s, �
k bk = s ′ und λ ∈ R, so folgt
�
(ak + bk) = s + s ′ ,
�
(λ ak) = λs .
k
Aufgrund der Rechenregeln für endliche Summen und für Grenzwerte
von Folgen gilt
n�
n� n�
(ak + bk) = ak + bk = sn + s ′ n → s + s ′
(n → ∞) .
k=0
k=0
k=0
Analog schliesst man für die zweite der behaupteten Formeln.
k

5.1 Folgen von Partialsummen 171
Erste Konvergenzkriterien
Es folgen die zwei allgemeinen Konvergenzkriterien (5.3) und (5.4). Mit
ihrer Hilfe werden wir verschiedene gebrauchsfreundliche Konvergenztests gewinnen,
die dann zum ständigen Repertoire gehören.
Wir beginnen mit dem Hauptkriterium für Reihen mit positiven Gliedern;
das sind Reihen (1) mit reellen Gliedern ak ≥ 0. Die Partialsummen einer
derartigen Reihe bilden wegen
sn+1 − sn = an+1 ≥ 0 (n ≥ 0)
eine monoton wachsende Folge. Mit Satz (4.2) ergibt sich daher sofort:
(5.3) Eine Reihe (1) mit positiven Gliedern ist genau dann konvergent, wenn
ihre Partialsummen sn beschränkt sind, das heisst: wenn es ein M gibt mit
sn ≤ M für alle n.
○3 Die Reihe
∞�
k=1
besitzt beschränkte Partialsummen:
n�
n�
n�
� �
1
1
1 1
sn = 1 + ≤ 1 +
= 1 +
−
k2 k(k − 1) k − 1 k
k=2
k=2
k=2
�
= 1 + 1 − 1
� � � � �
1 1
1 1
+ − + . . . + − = 1 + 1 −
2 2 3
n − 1 n
1
< 2 ,
n
(eine sogenannte teleskopierende Summe), und ist folglich konvergent. Die
Summe dieser Reihe ist π 2 /6, wie Euler als erster gefunden hat. ○
1
k 2
Es folgt das Cauchy-Kriterium für Reihen:
(5.4) Eine Reihe (1) mit Gliedern in X ist genau dann konvergent, wenn es
zu jedem ε > 0 ein n0 gibt mit
� �
� m� �
� �
� ak�
� � < ε ∀m ≥ n > n0 .
k=n+1
Wegen | � m
k=n+1 ak| = |sm −sn| ist (5.3) nichts anderes als das Cauchy-
Kriterium (4.5), angewandt auf die Folge der Partialsummen.
Eine unmittelbare Konsequenz von (5.4) ist der folgende Sachverhalt:
(5.5) Ist ak = bk für alle k ≥ k0, so sind die Reihen �
k ak und �
konvergent oder beide divergent.
k bk beide

172 5 Reihen
Restsummen
Ist die Reihe (1) konvergent mit Summe s, so heisst die Reihe
Rn :=
∞�
k=n+1
die n-te Restsumme von (1) oder auch der Abbrechfehler. Wie zu erwarten,
gilt
(5.6) (a) Rn = s − sn ,
(b) lim
n→∞ Rn = 0 .
Betrachte für ein festes n die Partialsummen
m�
rm :=
(m ≥ n)
k=n+1
der Reihe Rn. Es gilt rm = sm − sn und folglich
ak
ak
Rn := lim
m→∞ rm = s − sn .
Damit ist (a) bewiesen, und (b) folgt unmittelbar aus (a).
Aufgaben
1. Es seien a und b zwei feste Vektoren im dreidimensionalen Raum, |b| < 1,
und es sei die Vektorfolge a. rekursiv definiert durch
a0 := a , ak+1 := b × ak (Vektorprodukt).
Berechne � ∞
k=0 ak . Hinweis: Benutze die geometrische Definition des
Vektorprodukts. Figur!
2. Es sei
�
1,
εk :=
0
wenn die Dezimaldarstellung von k keine ‘ 9 ’ enthält,
sonst.
Zeige, dass die Reihe
∞� εk
k konvergiert.
k=1
3. Aus zwei reellen Folgen a. und b. wird vermöge
(a) ck := max{ak, bk} , (b) ck := akbk
eine dritte Folge c. gebildet. Beweise oder widerlege: Konvergieren die
Reihen �
k ak und �
k bk , so konvergiert auch die Reihe �
k ck .

5.2 Absolute Konvergenz
Eine Reihe �∞ k=0 ak mit Gliedern in X heisst absolut konvergent, wenn die
zugehörige Betragsreihe �∞ k=0 |ak|, eine Reihe mit positiven Gliedern, konvergiert.
(5.7) (a) Absolut konvergente Reihen sind konvergent.
(b)
�
� ∞�
�
�
�
k=0
ak
�
�
�
�
� ≤
Für beliebige m ≥ n ≥ −1 gilt
�
�
�
�
�
m�
�
�
�
ak�
� ≤
m�
k=n+1
k=n+1
∞�
|ak| .
k=0
�
�
�
|ak| = �
�
m�
k=n+1
�
�
�
|ak| �
� .
Hieraus folgt (a) mit (5.4). Setzt man weiter n := −1, so ergibt sich mit
m → ∞ die Behauptung (b).
Die Umkehrung von (5.7)(a) gilt nicht, in anderen Worten: Es gibt Reihen,
die gerade noch konvergieren, da sich positive und negative ak gegenseitig
fast herausheben; die Beträge |ak| gehen aber nicht schnell genug nach 0, um
�
k |ak| konvergent zu machen. Solche Reihen heissen bedingt konvergent
(s.u.); für die numerische Berechnung der betreffenden Summe taugen sie
nichts.
Majorantenkriterium
Konvergiert eine vorgelegte Reihe �∞ k=0 ak absolut, so lässt sich das im allgemeinen
leicht nachweisen. Man benötigt dazu das folgende Majorantenkriterium
sowie einen Vorrat an bekannten Reihen �∞ k=0 ck mit positiven Gliedern,
die als konvergente Majoranten bzw. als divergente Minoranten der
Reihe �∞ k=0 ak in Frage kommen.
(5.8) (a) Gilt |ak| ≤ ck für alle k ≥ k0 und ist die Reihe � ∞
k=0 ck konvergent,
so ist die Reihe � ∞
k=0 ak absolut konvergent.
(b) Gilt 0 ≤ ck ≤ ak für alle k ≥ k0 und ist die Reihe � ∞
k=0 ck divergent, so
ist auch die Reihe � ∞
k=0 ak divergent.
Für beliebige m ≥ n gilt
m�
k=n+1
|ak| ≤
m�
k=n+1
ck .

174 5 Reihen
Die Behauptung (a) ergibt sich daher wie im vorangehenden Satz mit (5.4),
und (b) folgt durch Kontraposition.
○1 Für die Reihe � ∞
k=0 ak mit dem allgemeinen Glied
gilt
ak := k sin k + k√ k 5
(2k − √ k) 3
|ak| = 1
k 2 |Ak| , Ak := sin k + k√ k 5 /k
(2 − 1/ √ k) 3
Im Ausdruck Ak strebt der Nenner mit k → ∞ gegen 8, der zweite Summand
des Zählers gegen 0, ferner ist | sin k| ≤ 1 für alle k. Es gibt daher ein k0,
so dass für alle k ≥ k0 gilt: |Ak| ≤ 2/7, und �∞ k=0 ak besitzt die nach
∞� 2 1
Beispiel 5.1.○3 konvergente Majorante . Die betrachtete Reihe ist
7 k2 k=1
also absolut konvergent. ○
○2 Für die Reihe � ∞
k=0 ak mit dem allgemeinen Glied
hat man
ak := (√ k − 2) 2
k 2 + √ k 4 + 1
ak = 1
k ·
(1 − 2/ √ k) 2
1 + � .
1 + 1/k4 Hier konvergiert der zweite Faktor mit k → ∞ gegen 1/2; es gibt somit ein
k0 mit ak ≥ 1/(3k) für alle k ≥ k0, und die Reihe � ∞
k=0 ak divergiert auf
Grund der Divergenz der harmonischen Reihe � Beispiel 5.1.○2 � . ○
Reihen mit exponentiell abnehmenden Gliedern
Satz (5.8) liefert zusammen mit dem Ergebnis von Beispiel 5.1.○1 das folgende
Kriterium:
(5.9) Gibt es ein q < 1, ein C > 0 und ein k0 mit
|ak| ≤ C q k
so ist die Reihe � ∞
k=0 ak absolut konvergent.
(k ≥ k0) ,
Etwas schwächer ist das folgende Quotientenkriterium:
.

5.2 Absolute Konvergenz 175
(5.10) Sind alle ck > 0 und gibt es ein q < 1 sowie ein k0 mit
ck+1
ck
so ist die Reihe � ∞
k=0 ck konvergent.
gilt
≤ q (k ≥ k0) , (1)
Aus (1) ergibt sich mit vollständiger Induktion: Für beliebige k ≥ k0
ck ≤ q k−k0 ck0
= ck0
q k0 qk ,
und dies beweist nach (5.9) die Konvergenz der Reihe � ∞
k=0 ck.
○3 Bei der Reihe
∞�
k=0
ck := 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + . . .
2 1 8 4 32 16
betragen die Quotienten ck+1/ck alternierend 2 und 1/8. Das Quotientenkriterium
gibt somit keinen Aufschluss. Hingegen hat man
ck =
1
2 k+(−1)k ≤ 2
� �k 1
2
(k ≥ 0) ,
so dass (5.9) die betrachtete Reihe als konvergent erweist. ○
Die nach (5.9) bzw. (5.10) konvergenten Reihen konvergieren mindestens
so gut wie eine geometrische Reihe. Bei einer geometrischen Reihe hat die
Restsumme bzw. der Abbrechfehler den Wert
s − sn = 1 1 − qn+1
−
1 − q 1 − q
= qn+1
1 − q ,
nimmt also mit wachsendem n exponentiell ab. Dies lässt sich folgendermassen
interpretieren: Mit jedem zusätzlich berücksichtigten Glied erhält
man log 10(1/q) weitere Dezimalstellen der gesuchten Summe. Man spricht in
diesem Zusammenhang von linearer Konvergenz.

176 5 Reihen
An der Grenze zur Divergenz
Die konvergente Reihe � ∞
k=1 1/k2 von Beispiel 5.1.○3 konvergiert schlechter.
Für beliebiges q < 1 ist ja limk→∞ k 2 q k = 0 und somit
lim
k→∞
1/k2 = ∞ .
qk Hieraus zieht man den Schluss, dass es keine Abschätzung der Form
1
≤ Cqk
k2 (k ≥ k0)
geben kann. Wie dieses Beispiel zeigt, folgt aus dem “Versagen” eines Konvergenzkriteriums
noch lange nicht, dass die betrachtete Reihe divergiert. Die
allfällige Divergenz muss vielmehr mit Hilfe eines Divergenzkriteriums, zum
Beispiel (5.1) oder (5.8)(b), ausdrücklich bewiesen werden.
Um weitere Vergleichsreihen zur Verfügung zu stellen, beweisen wir noch den
folgenden Satz, der das Resultat von Beispiel 5.1○3 wesentlich verbessert (ein
einfacherer Beweis wird in Abschnitt 9.5 gegeben):
(5.11) Die Reihe
ist für jedes feste ε > 0 konvergent.
∞�
k=1
1
k 1+ε
Es gibt ein natürliches p mit 1
< ε, und hieraus folgt
p
1
≤
k1+ε 1
k 1+1/p
(k ≥ 1) .
Wir stellen die folgende Hilfsbetrachtung an: Ist 0 < x < y, so gilt
y p − x p = (y − x)(y p−1 + y p−2 x + . . . + x p−1 ) < (y − x) p y p−1 · y2
xy ,
wobei wir rechter Hand den Faktor y 2 /(xy) > 1 hinzugefügt haben. Es folgt
y p − x p
y p+1
� �
1 1
< p −
x y
Setzen wir x := (k − 1) 1/p und y := k 1/p , so geht dies über in
�
1
1 1
< p
−
k1+1/p (k − 1) 1/p k1/p �
,
.

5.2 Absolute Konvergenz 177
und durch Summation ergibt sich (das meiste hebt sich heraus):
n�
k=2
1
<
k1+ε n�
k=2
�
1
< p 1 −
k1+1/p 1
n1/p �
< p (n ≥ 2) .
Hieraus folgt mit (5.3) die Behauptung (p ist fest!).
Satz (5.11) und das Beispiel der harmonischen Reihe � Beispiel 5.1.○2 � zusammen
genommen lassen vielleicht die Vermutung aufkommen, es existiere
eine “letzte” konvergente Reihe oder eine “erste” divergente Reihe mit positiven
Gliedern ck. Die betreffenden Folgen c. lägen “irgendwo in der Nähe
der Folge k ↦→ 1/k ” und müssten dann ein “universelles Vergleichskriterium”
liefern. Um solche Vorstellungen ein für allemal auszuräumen, beweisen wir
den folgenden Satz:
(5.12) Zu jeder konvergenten Reihe � ∞
k=0 ck, alle ck > 0, gibt es eine Folge
d. mit dk/ck → ∞, so dass die Reihe � ∞
k=0 dk immer noch konvergiert.
Die Restsummen Rn := � ∞
k=n+1 ck konvergieren nach (5.6) und nach
Voraussetzung über die ck monoton fallend nach 0. Setzen wir daher
dk := � Rk−1 − � Rk
(k ≥ 1) ,
so gilt für die Partialsummen sn der Reihe � ∞
k=1 dk:
sn =
n� ��
Rk−1 − � �
Rk = � R0 − � Rn → � R0
k=1
(n → ∞) .
Die Reihe � ∞
k=1 dk ist also konvergent. Ferner hat man wegen der Monotonie
der Rk:
und hieraus ergibt sich
dk = Rk−1 − Rk
�
Rk−1 + √ Rk
dk
ck
1
≥
2 � Rk−1
ck
≥
2 � ,
Rk−1
→ ∞ (k → ∞) .
Auf ähnliche Art beweist man den zu (5.12) komplementären Satz für eine
divergente Ausgangsreihe � ∞
k=0 ck: Hier gibt es eine Folge d. mit dk/ck → 0,
so dass die Reihe � ∞
k=0 dk immer noch divergiert.

178 5 Reihen
Aufgaben
1. Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
∞� k −
(a)
k=1
√ k
(k + √ ∞� (−1)
, (b)
k) 2
k=1
k + ik (3i) k ,
− 2k (c)
∞� k2 ,
2k (d)
∞� 1
k√ .
k!
k=0
k=1
2. Für welche x ∈ R sind die folgenden Reihen konvergent?
(a)
∞�
sin(x/k) , (b)
∞� � �
1 − cos(x/k) ,
(c)
k=1
∞�
k=1
1
k tan
�
x
�
, (d)
k
k=1
∞�
k=1
� �
2k
x
k
k
(Quotientenkriterium).
3. Zeige: Konvergieren die ak monoton fallend gegen 0 und ist die Reihe
� ∞
k=0 ak konvergent, so gilt
� �
lim kak = 0 .
k→∞
Hinweis: na2n ≤ � 2n
k=n+1 ak .
4. Es sei K die Menge der Punkte in der (α, β)-Ebene, für die die Reihe
∞�
k=1
β k
k α
konvergiert. Zeichne die Menge K, mit Angabe von Gründen.
5. Zeige: Zu jeder divergenten Reihe �
k ck mit positiven Gliedern ck gibt
es eine Folge d. mit dk/ck → 0, so dass die Reihe �
k dk immer noch
divergiert.
6. Schreibt man eine Binärfolge
β. : Z → B , k ↦→ βk
mit βk = 0 (k < −r) als “unendlichen Dualbruch”
‘ β−r . . . β−1 β0 . β1 β2 β3 . . . ’ ,
so wird dadurch eine reelle Zahl x bestimmt, nämlich
x :=
∞�
βk2 −k . (∗)
k=−r
Umgekehrt: Jedes x ≥ 0 lässt sich in der Form (∗) darstellen, und zwar
besitzen die x ∈ D>0 genau zwei derartige Darstellungen, alle übrigen x ≥
0 genau eine. Hinweis: Ist x > 0 gegeben, so lassen sich die zugehörigen
βn rekursiv bestimmen, indem man zunächst ein zulässiges r findet und
dann die Grössen x − � n−1
k=−r βk2 −k betrachtet.

5.3 Bedingt konvergente Reihen
Alternierende Reihen
Bei absolut konvergenten Reihen � ∞
k=0 ak kommt die Konvergenz allein durch
das Kleinwerden der Beträge |ak| zustande, bei bedingt konvergenten Reihen
hingegen in erster Linie durch den Ausgleich zwischen positiven und
negativen Gliedern. Am anschaulichsten kommt dies bei den sogenannten
alternierenden Reihen zum Ausdruck, das sind Reihen
∞�
k=0
(−1) k ck
mit positiven und streng monoton nach 0 abnehmenden ck:
Es gilt der folgende Satz:
ck > ck+1 > 0 (k ≥ 0) , lim
k→∞ ck = 0 . (1)
(5.13) (a) Alternierende Reihen sind konvergent.
(b) Ist �∞ k=0 (−1)kck eine alternierende Reihe mit Summe s, so bilden die
Partialsummen s2, s4, s6, . . . eine streng monoton fallende und die Partialsummen
s1, s3, s5, . . . eine streng monoton wachsende Folge, und für alle n
gilt
s = sn + θ (−1) n+1 cn+1
(2)
mit einem (von n abhängigen) θ ∈ ] 0, 1 [ . In anderen Worten: Der Abbrechfehler
ist ein echter Bruchteil des ersten vernachlässigten Gliedes.
Für beliebiges m ≥ 0 gelten die Ungleichungen
s2m+2 = s2m − c2m+1 + c2m+2 < s2m ,
s2m+3 = s2m+1 + c2m+2 − c2m+3 > s2m+1
(Fig. 5.3.1). Die beiden Folgen (s2m)m≥0 und (s2m+1)m≥0 sind somit streng
monoton wie angegeben, und es folgt weiter
s1 ≤ s2m+1 = s2m − c2m+1 < s2m ≤ s0
(m ≥ 0) .
Aufgrund von Satz (4.2) konvergieren daher die s2m+1 gegen einen Grenzwert
s ′ und die s2m gegen s ′′ . Wegen s2m − s2m+1 = c2m+1 → 0 (m → ∞)
ist notwendigerweise s ′ = s ′′ =: s. Man hat daher
s2m+1 < s < s2m+2 = s2m+1 + c2m+2 ,

180 5 Reihen
0 s1 s2m+1 s2m+3 s s2m+2 s2m s2 s0 Summenspeicher
−c 2m+3
Fig. 5.3.1
+c 2m+2 −c 2m+1
und dies ist äquivalent zu (2) für n := 2m + 1. Analog schliesst man für
gerades n. (1) und (2) zusammen liefern schliesslich limn→∞ sn = s.
○1 Das Standardbeispiel einer bedingt konvergenten Reihe ist die alternierende
harmonische Reihe
∞� (−1) k+1
k=1
k
= 1 − 1 1 1
+ − + . . . .
2 3 4
Wie wir später zeigen werden, besitzt sie die Summe log 2. Mit dieser Reihe
verwandt ist die Leibnizsche Reihe
∞�
k=0
(−1) k 1 1 1 1
= 1 − + − + − . . .
2k + 1 3 5 7 9
mit der Summe π/4. Zur numerischen Berechnung von log 2 und π/4 sind
diese Reihen natürlich ungeeignet. ○
Satz (5.13)(a) ist enthalten in dem folgenden Konvergenzkriterium von
Abel:
(5.14) Genügt die Folge c. der Bedingung (1) und besitzt die Reihe � αk,
αk ∈ C, beschränkte Partialsummen, so ist die Reihe � ∞
k=0 ck αk konvergent.
Bei den hier betrachteten Reihen � ∞
k=0 ck αk erbringen die αk (sie brauchen
nicht zu konvergieren) die für bedingte Konvergenz erforderliche Oszillation,
während die “Dämpfungsfaktoren” ck dafür sorgen, dass jedenfalls ckαk → 0
(k → ∞) gilt. Charakteristische Kandidaten für das Abelsche Konvergenzkriterium
sind die Reihen
∞�
k=1
cos(kφ)
k
,
∞�
k=1
sin(kφ)
k
φ fest. Die in Beispiel ○1 betrachteten Reihen sind Spezialfälle hiervon. Wir
werden darauf zurückkommen.
,

5.3 Bedingt konvergente Reihen 181
Zum Beweis von (5.14) benötigen wir den Kunstgriff der partiellen Summation,
die offensichtlich der partiellen Integration (Abschnitt 9.3) nachempfunden
ist. Für beliebige Folgen s. und c. und für beliebige m ≥ n ≥ 0
gilt:
m�
m�
m�
(sk − sk−1)ck = skck −
k=n+1
=
k=n+1
m�
k=n+1
skck −
k=n+1
m−1 �
k ′ =n
sk−1ck
sk ′ck ′ +1
m−1 �
= smcm − sncn + sk(ck − ck+1) .
Beweis von (5.14): Wir setzen � n
k=0 αk =: sn. Nach Voraussetzung
gibt es ein M > 0 mit |sn| ≤ M für alle n. Es sei nun ein ε > 0 vorgegeben
und n0 so bestimmt, dass gilt:
cn < ε
2M
k=n
(n > n0) .
Wegen sk − sk−1 = αk ergibt sich nun mit (3), dass folgende Abschätzung
für alle n > n0 zutrifft:
�
� m�
�
�
� �
� αkck�
� �
k=n+1
≤ |sm|
m−1 �
|cm| + |sn| |cn| + |sk| |ck+1 − ck|
k=n
�
�
m−1 �
≤ M cm + cn + (ck − ck+1) = M · 2cn < ε .
k=n
Da ε > 0 beliebig war, folgt mit (5.3) die Behauptung.
Umstellung der Reihenglieder
Absolut konvergente Reihen sind ziemlich robust und haben in vielerlei Hinsicht
dieselben Eigenschaften wie endliche Summen. Insbesondere können
ihre Glieder beliebig umgestellt werden, und die Summe bleibt dieselbe. Im
Gegensatz dazu sind bedingt konvergente Reihen sehr subtile Kreaturen.
Wird die Reihenfolge der Glieder verändert, so ändert sich im allgemeinen
auch die Summe — noch schlimmer: Durch geeignete Umstellung der Glieder
lässt sich jedes vorgegebene σ ∈ ¯ R als Summe realisieren. Wir beweisen
darüber:
(5.15) Es sei �∞ k=0 ak, ak ∈ X, eine absolut konvergente Reihe mit Summe
s. Dann besitzt auch jede durch Vertauschung der ak erhaltene Reihe �∞ j=0 bj
die Summe s.
(3)

182 5 Reihen
Die Umstellung der Ausgangsreihe wird durch eine bijektive Abbildung
φ : N → N realisiert; es ist bj := aφ(j) (j ≥ 0). — Zu vorgegebenem ε > 0
gibt es ein n0 mit
∞�
|ak| < ε .
k=n0+1
Es gibt ein r0, so dass die Menge der Zahlen φ(j), 0 ≤ j ≤ r0, wenigstens
alle Zahlen von 0 bis n0 enthält. Für alle r ≥ r0 und für alle n ≥ n0 gilt
daher � �
����� r� n�
�
�
bj − ak�
�
� ≤
N�
|ak| < ε , (4)
j=0
k=0
k=n0+1
dabei bezeichnet N die grösste der Zahlen n, φ(0), φ(1), . . ., φ(r). Beide
Summen linker Hand enthalten nämlich wenigstens die Glieder a0, a1, . . .,
an0 , aber kein ak mit k > N. Aus (4) folgt mit n → ∞:
� �
�
�
r�
�
�
�
� bj − s�
�
� � ≤ ε (r ≥ r0) ,
was zu beweisen war.
j=0
(5.16) Es sei � ∞
k=0 ak eine bedingt konvergente Reihe mit reellen Gliedern
ak, und es sei ein Wert σ ∈ ¯ R beliebig vorgegeben. Dann gibt es eine Permutation
φ von N mit � ∞
j=0 a φ(j) = σ.
Für beliebige a ∈ R bezeichnet man mit
a + := max{a, 0} , a − := max{−a, 0}
den positiven und den negativen “Anteil” von a. Es gilt
Da die Reihe �∞ k=0 (a+ k
Reihen
a = a + − a − , |a| = a + + a − .
+ a−
k ) divergiert, muss wenigstens eine der beiden
∞�
k=0
a +
k ,
divergieren, und da �∞ k=0 (a+ k − a−
k ) konvergiert, müssen dann gleich beide
Reihen (5) divergieren. Hieraus folgt mit (5.5):
∞�
k=0
(∗) Zu jedem n und zu jedem C gibt es ein m und ein m ′ mit
m�
k=n+1
a +
k
> C ,
a −
k
m ′
�
k=n+1
a −
k
> C .
(5)

5.3 Bedingt konvergente Reihen 183
Wir konstruieren nun rekursiv eine Permutation φ, die die Glieder der Ausgangsreihe
so umstellt, dass eine Reihe �∞ j=0 bj, bj = aφ(j) , mit Summe
σ ∈ R entsteht (die Fälle σ = ±∞ überlassen wir dem Leser). Mit sn
bezeichnen wir die Partialsummen der umgestellten Reihe, s−1 := 0.
Rekursionsvorschrift lautet folgendermassen:
Die
� � �
min k � ak > 0 ∧ k �= φ(j) (0 ≤ j < n)
φ(n) :=
�
min
(sn−1 < σ)
� k � � ak ≤ 0 ∧ k �= φ(j) (0 ≤ j < n) �
(sn−1 ≥ σ)
.
In Worten: Ist sn−1 < σ, so wählt man als bn das erste noch “unverbrauchte”
ak > 0, und ist sn−1 ≥ σ, so wählt man als bn das erste noch “unverbrauchte”
ak ≤ 0. Durch (∗) ist sichergestellt, dass die Partialsummen sn nie
definitiv auf einer Seite von σ bleiben (siehe die Fig. 5.3.2), so dass sowohl
die ak > 0 wie die ak ≤ 0 nach und nach “aufgebraucht” werden. Durch
das beschriebene Verfahren wird also in der Tat eine Permutation φ von N
definiert.
Summenspeicher
sn–2 σ
sn+1 sn s n–1
Fig. 5.3.2
b n = a φ(n)
Um nun � ∞
j=0 bj = σ zu beweisen, geben wir ein ε > 0 vor und beachten,
dass die ak gegen 0 konvergieren. Es gibt daher ein k0 mit |ak| < ε für alle
k > k0. Weiter gibt es ein r0 mit
φ(j) > k0 (j > r0) , (6)
denn nach einer gewissen Anzahl Schritten sind a0, a1, . . . , ak0 bestimmt
“aufgebraucht”. Aus (6) folgt
Schliesslich gibt es ein r1 > r0, so dass gilt:
|bj| = |a φ(j)| < ε (j > r0) . (7)
sr1−1 < σ ≤ sr1 = sr1−1 + br1
. (8)
Wir behaupten: Für alle n ≥ r1 gilt |sn − σ| < ε. Wegen (8) trifft dies
jedenfalls zu für n = r1. Im weiteren Verlauf liegt sn+1 jeweils näher bei σ
als sn, falls kein Sprung über σ hinweg erfolgt, und wegen (7) gilt
|sn+1 − σ| ≤ |bn+1| < ε ,
wenn sn und sn+1 auf verschiedenen Seiten von σ liegen.

184 5 Reihen
Aufgaben
1. Man stelle die Glieder der alternierenden harmonischen Reihe so um, dass
eine divergente Reihe entsteht. Es sind so viele Glieder der umgestellten
Reihe anzuschreiben, dass ein Konstruktionsgesetz erkennbar wird.
Hinweis: Divergenzbeweis für die harmonische Reihe.
2. Behandle den Fall σ = ∞ in Satz (5.16).

5.4 Potenzreihen I
Funktionenreihen
Die bis dahin betrachteten Reihen � ∞
k=0 ak waren konstante Reihen: Für
jedes k ist ak eine bestimmte Zahl bzw. ein Vektor. Die Summe einer derartigen
Reihe ist wieder eine gewisse Zahl, zum Beispiel π, bzw. ein Vektor.
Wesentlich aufregender sind Funktionenreihen, mit deren Hilfe wir vom Boden
der rationalen Funktionen abheben und in vielfältiger Weise neuartige
Klassen von Funktionen produzieren können.
Ist für jedes k ∈ N eine Funktion
fk : A → X, x ↦→ fk(x) (1)
erklärt, so spricht man von einer Funktionenfolge auf A und bezeichnet diese
Folge mit (fk)k≥0 oder ähnlich. Die allgemeine Untersuchung von Funktionenfolgen
findet in Kapitel 11 statt; insbesondere wird man erklären müssen,
was “Konvergenz gegen eine Grenzfunktion f” bedeutet.
Ist eine Funktionenfolge (1) gegeben, so stellt �∞ k=0 fk(x) für jedes feste
x ∈ A eine konstante Reihe dar. Für einige x ∈ A wird diese Reihe konvergieren,
für andere nicht. Die erstgenannten x ∈ A konstituieren zusammen
den Konvergenzbereich A ′ (⊂ A) der Funktionenreihe �∞ k=0 fk. Die Summe
dieser Funktionenreihe ist dann — wie erwartet — die Funktion
s(·) : A ′ → X , x ↦→ s(x) :=
∞�
fk(x) .
Von den Funktionenreihen sind die Potenzreihen am verbreitetsten und am
leichtesten zu handhaben, theoretisch und rechnerisch. Von Newton stammt
das folgende Prinzip: “Jede vernünftige Funktion f lässt sich an jeder Stelle
x0 im Innern von dom (f) in eine Potenzreihe entwickeln oder als Potenzreihe
ansetzen.” Die Theorie der Potenzreihen wird am besten verständlich,
wenn man sie im Komplexen betrachtet. Wir werden also wahlweise die reelle
Variable t (bzw. x) oder die komplexe Variable z benützen.
Es sei a. eine beliebige Folge von reellen oder komplexen Zahlen. Dann heisst
k=0
∞�
akz k = a0 + a1z + a2z 2 + . . . (2)
k=0
eine Potenzreihe (mit Mittelpunkt 0), etwas allgemeiner ist
∞�
ak(x − x0) k = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0) 2 + . . .
k=0

186 5 Reihen
eine Potenzreihe mit Mittelpunkt x0. Für grundsätzliche Erwägungen genügt
es natürlich, Reihen der Form (2) zu betrachten.
Die einzelnen Summanden in (2) sind Monome z ↦→ akz k , die Partialsummen
sn(z) sind Polynome in der Variablen z und damit auf ganz C definiert. Der
Konvergenzbereich einer Reihe (2) hängt natürlich ab von den Koeffizienten
ak: Werden die Beträge |ak| mit k → ∞ rasch sehr klein, so darf |z| ziemlich
gross sein, und die Reihe (2) konvergiert immer noch. Wenn die Beträge |ak|
im Gegenteil mit k → ∞ rasch anwachsen, so wird die Reihe nur für sehr
kleine |z| konvergieren. Im einzelnen gilt der folgende Satz:
Potenzreihen konvergieren auf Kreisscheiben
(5.17) (a) Jede Potenzreihe (2) besitzt einen wohlbestimmten Konvergenzradius
ρ, 0 ≤ ρ ≤ ∞: Für |z| < ρ ist die Reihe absolut konvergent und für
|z| > ρ divergent.
(b) Der Konvergenzradius ρ hat den Wert
ρ = lim
k→∞
�
�
�
�
ak
ak+1
�
�
�
� (≤ ∞) , (3)
falls dieser Grenzwert existiert, und in jedem Fall den Wert
wobei 1/0 := ∞, 1/∞ := 0 gesetzt werden soll.
1
ρ = � , (4)
k lim sup |ak|
k→∞
Es sei ρ definiert durch (3). Ist |z| > ρ, so gibt es ein k0 mit
�
�
�
�
ak
ak+1
�
�
�
� < |z| (k > k0) ,
und hieraus folgt |ak+1z k+1 | > |akz k | (k > k0). Mit akz k → 0 (k → ∞)
ist dies jedenfalls nicht vereinbar; somit ist die Reihe (2) für ein derartiges z
divergent.
Ist |z| < ρ (≤ ∞), so gibt es ein ρ ′ mit |z| < ρ ′ < ρ und weiter ein k0 mit
Hieraus folgt
�
�
�
�
ak
ak+1
|ak+1z k+1 |
|akz k |
�
�
�
�
> ρ′
(k > k0) .
< |z|
ρ ′ < 1 (k > k0) ;

5.4 Potenzreihen I 187
die Reihe � ∞
k=0 |akz k | ist daher nach dem Quotientenkriterium (5.10) konvergent.
Es sei jetzt ρ definiert durch (4). Ist |z| > ρ (≥ 0), so gilt
1
�
k
< lim sup |ak|
|z| k→∞
und folglich k� |ak| > 1/|z| für unendlich viele k. Dies impliziert |akz k | > 1
für unendlich viele k; somit ist die Reihe (2) für dieses z divergent.
Ist |z| < ρ, so gibt es wieder ein ρ ′ mit |z| < ρ ′ < ρ (≤ ∞), und man hat
1 �
k
> lim sup |ak| .
ρ ′
k→∞
Es gibt daher ein k0 mit k� |ak| < 1/ρ ′ für alle k > k0, und hieraus folgt
weiter
|akz k �
|z|
| <
ρ ′
�k (k > k0) .
Wegen q := |z|/ρ ′ < 1 folgt hieraus mit (5.9), dass die Reihe (2) für das
betreffende z absolut konvergiert.
○1 Die geometrische Reihe � ∞
k=0 zk konvergiert auf der offenen Kreisscheibe
D := � z ∈ C � � |z| < 1 � und stellt dort, aber nicht darüber hinaus, die
Funktion z ↦→ 1/(1 − z) dar.
Allgemeiner: Gibt es ein p ∈ N, ein C > 0 und ein k0 mit
1
Ck p ≤ |ak| ≤ Ck p
(k > k0) , (5)
so besitzt die Potenzreihe �∞ k=0 akzk den Konvergenzradius 1. Aus (5) folgt
nämlich
1
�
k√ √ �p ≤
k
C k
k� |ak| ≤ k√ �√ �p k
C k ,
und hier konvergieren die äusseren Glieder mit k → ∞ gegen 1.
Die Reihe
∞�
j=0
z j2
j!
= 1 + z + z4
2!
+ z9
3!
+ z16
4!
+ . . .
muss erst auf die Form (2) gebracht werden. Es ergibt sich
� 2 1/j! (k = j , j ∈ N)
ak =
0 (sonst)

188 5 Reihen
und somit
lim sup
k→∞
�
k
|ak| = lim sup
j→∞
Für alle j ≥ 1 gilt 1 ≤ j! ≤ j j und folglich
1 ≤ j2� j! ≤ j� j .
j 2� 1/j! .
Da hier die rechte Seite mit j → ∞ gegen 1 konvergiert, ergibt sich auch in
diesem Beispiel: ρ = 1. ○
Satz (5.17) sagt nichts aus über das Verhalten der Reihe (2) auf der Kreislinie
|z| = ρ. Dieses Verhalten ist tatsächlich von Reihe zu Reihe verschieden, wie
die folgenden Beispiele zeigen.
○2 Die Reihe � ∞
k=0 zk ist in allen Punkten von ∂D := � z ∈ C � � |z| = 1 �
divergent. — Die Reihe � ∞
k=1 zk /k divergiert an der Stelle z := 1 und konvergiert
an der Stelle z := −1. Mit Hilfe des Abelschen Konvergenzkriteriums
lässt sich zeigen, dass diese Reihe tatsächlich in allen Punkten z ∈ ∂D \ {1}
konvergiert (s.u.). — Die Reihe � ∞
k=1 zk /k 2 konvergiert nach dem Majorantenkriterium
in allen Punkten von ∂D. ○
Vor allem sagt (5.17) nichts aus über die Eigenschaften der von der Reihe
(2) dargestellten Funktion
f(z) :=
∞�
k=0
akz k
� |z| < ρ � .
Ist f stetig (differenzierbar, . . . ) ? Wir werden in Abschnitt 11.5 sehen, dass
ein derartiges f so “schön” ist, wie man nur will. Bis wir so weit sind, müssen
wir gegebenenfalls ad hoc Stetigkeitsbetrachtungen durchführen.
Es seien
f(z) :=
∞�
akz k , g(z) :=
k=0
∞�
k=0
bkz k
zwei in der Kreisscheibe |z| < ρ durch Potenzreihen dargestellte Funktionen.
Dann gilt natürlich
f(z) + g(z) =
∞�
(ak + bk)z k
k=0
(|z| < ρ) .
(6)

5.4 Potenzreihen I 189
Produkt zweier Reihen
Lässt sich auch das Produkt f ·g durch eine Potenzreihe ausdrücken? Werden
die zwei Reihen (6) wie Polynome distributiv ausmultipliziert und die sich
ergebenden Terme nach ihrem Grad in Pakete zusammengefasst, so ergibt
sich rein formal
f(z)g(z) = �
akz k · �
blz l ? �
= akblz k+l ∞�
� �
? �
=
z r . (7)
Dies legt nahe, die Grössen
k
cr := �
l
k+l=r
akbl =
k, l
r=0
k+l=r
akbl
r�
akbr−k ∈ C (r ∈ N) (8)
k=0
einzuführen. Jedes einzelne cr ist eine endliche Summe; die Folge
c. =: a. ∗ b.
heisst das Faltungsprodukt der beiden Folgen a. und b. . — Der folgende Satz
handelt von konstanten Reihen (bzw. vom Spezialfall z := 1), wobei wir uns
natürlich von (7) inspirieren lassen.
(5.18) Die beiden (reellen oder komplexen) Reihen �∞ k=0 ak und �∞ l=0 bl
�
seien absolut konvergent, und es sei c. := a. ∗ b. . Dann ist auch die Reihe
∞
r=0 cr absolut konvergent, und es gilt
∞�
cr =
r=0
Aus (8) folgt zunächst
�
� N� N�
�
� cr −
�
r=0
k=0
ak ·
N�
l=0
∞�
k=0
bl
ak ·
∞�
bl . (9)
l=0
�
�
� �
� ≤
�
(k,l)∈∆
|akbl| =: R , (10)
dabei bezeichnet ∆ die Menge der (k, l) ∈ [0. .N] × [0. .N] mit k + l > N. Ist
k + l > N, so ist wenigstens eine der Zahlen k und l grösser als N/2. Wir
haben daher weiter (siehe die Fig. 5.4.1):
R ≤ �
N/2N/2
|ak| ·
l=0
N�
|bl| +
l=0
k=0
N�
|ak| · �
k=0
N/2N/2
|bl|

190 5 Reihen
N
0
l
0
∆
N/2
Fig. 5.4.1
Da die Ausgangsreihen absolut konvergieren, strebt hier die rechte Seite nach
(5.6) mit N → ∞ gegen 0, also auch die linke Seite von (10). Damit ist (9)
bewiesen.
Weiter gilt |cr| ≤ �
k+l=r |ak| |bl| =: ˜cr, und die Reihe �∞ r=0 ˜cr ist nach
dem schon Bewiesenen konvergent. Folglich ist die Reihe �∞ r=0 cr absolut
konvergent.
Besitzen die beiden Reihen (6) Konvergenzradien ≥ ρ , so genügen sie für
jedes feste z mit |z| < ρ den Voraussetzungen von Satz (5.18). Für jedes
solche z gilt daher
∞�
�
r�
f(z)g(z) = akz k br−kz r−k
�
∞�
�
r�
�
=
z r ,
r=0
k=0
N
r=0
mit absoluter Konvergenz. Damit haben wir bewiesen:
(5.19) Besitzen die beiden Reihen
f(z) :=
∞�
akz k , g(z) :=
k=0
k=0
k
∞�
bkz k
k=0
akbr−k
Konvergenzradien ≥ ρ und ist c. := a. ∗ b. , so besitzt f · g die Darstellung
○3 Für |z| < 1 gilt
f(z)g(z) =
∞�
crz r
r=0
1
1 − z =
∞�
1 · z k .
k=0
� |z| < ρ � .

5.4 Potenzreihen I 191
Faltet man die Folge (1, 1, 1, . . .) mit sich selbst, so ergibt sich �r k=0 1 · 1 =
r + 1 für alle r ∈ N. Die Funktion z ↦→ 1/(1 − z) 2 besitzt daher die folgende
Reihenentwicklung:
1
=
(1 − z) 2
∞�
r=0
Die Exponentialreihe
Die Reihe
∞�
k=0
(r + 1)z r = 1 + 2z + 3z 2 + . . . (|z| < 1) .
z k
k!
= 1 + z + z2
2
+ z3
6
heisst Exponentialreihe. Wegen
�
�
�
�
ak
�
�
�
(k + 1)!
� = = k + 1 → ∞
k!
(k → ∞)
ak+1
besitzt sie den Konvergenzradius ∞, somit ist
exp : z ↦→ exp z :=
○
z4
+ + . . . (11)
24
eine in der ganzen z-Ebene definierte komplexwertige Funktion, genannt Exponentialfunktion.
Für reelle z ist natürlich auch exp z reell. Wir werden
diese Funktion im nächsten Kapitel eingehend untersuchen und beweisen hier
nur die folgenden drei Grundtatsachen:
Erstens die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, eine fundamentale
Identität, die man als “Additionstheorem” von exp auffassen kann:
(5.20) Für beliebige z1, z2 ∈ C gilt
∞�
k=0
z k
k!
exp(z1 + z2) = exp z1 · exp z2 .
Faltet man die Folgen ak := z k 1 /k! und bl := z l 2/l! , so erhält man nach
dem binomischen Lehrsatz:
cr :=
r�
k=0
akbr−k = 1
r!
und mit (5.18) ergibt sich
exp z1 · exp z2 =
r�
k=0
r!
k!(r − k)! zk 1 z r−k
2 = (z1 + z2) r
r!
∞�
k=0
ak ·
∞�
bl =
l=0
∞�
cr = exp(z1 + z2) .
r=0
(r ∈ N) ,

192 5 Reihen
Zweitens gibt es einen Grenzwert:
exp z − 1
(5.21) lim = 1 .
z→0 z
Wir dürfen von vorneherein |z| < 1 annehmen. Aus (11) folgt
exp z − 1
z
wobei sich R(z) durch
|R(z)| ≤ |z|
2
+ |z|2
6
+ |z|3
24
= 1 + z z2
+ + . . . =: 1 + R(z) ,
2 6
|z| � � 2
+ . . . ≤ 1 + |z| + |z| + . . . =
2
|z|
2(1 − |z|)
abschätzen lässt. Hier strebt die rechte Seite mit z → 0 gegen 0, somit ist
auch limz→0 R(z) = 0.
Drittens ergibt sich mit Hilfe der beiden ersten:
(5.22) Die Exponentialfunktion ist auf ganz C stetig.
Betrachte ein festes z0 ∈ C. Nach (5.20) gilt für alle z ∈ C \ {z0}:
exp z = exp z0 + exp z0 · � exp(z − z0) − 1 �
= exp z0 + exp z0
exp(z − z0) − 1
z − z0
(z − z0) .
Nach (3.15) und (5.21) strebt hier der Bruch rechter Hand mit z → z0
gegen 1, und es folgt
lim exp z = exp z0 .
z→z0
Da z0 ∈ C beliebig war, ist hiermit die Behauptung bewiesen.
Aufgaben
1. Es bezeichne βn die Anzahl der Ziffern in der Binärdarstellung von n.
Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe � ∞
n=1 βnz n .
2. Es seien α1, α2, . . ., αp gegebene nichtnegative Zahlen. Bestimme den
Konvergenzradius der Reihe
∞� � k
α1 + α k 2 + . . . + α k� 2k
p t .
k=0

5.4 Potenzreihen I 193
3. Es bezeichne an die Anzahl Arten, n Leute im Verhältnis 1 : 2 in zwei
Gruppen einzuteilen. Berechne den Konvergenzradius der Potenzreihe
∞�
n=0
anz n = 1 + 3z 3 + . . . .
4. Es seien α und β positive Zahlen. Wie gross ist der Konvergenzradius der
Reihe
∞�
5. Mit Hilfe der Fibonacci-Folge
k=0
1 + α k
1 + β k zk ?
a0 := 0 , a1 := 1 ak := ak−1 + ak−2 (k ≥ 2)
wird folgende Potenzreihe gebildet:
∞�
k=0
akz k = z + z 2 + 2z 3 + 3z 4 + 5z 5 + . . . . (∗)
(a) Die Reihe (∗) konvergiert mindestens für |z| < 1/2 und stellt dort eine
Funktion f(z) dar.
z
(b) Es ist f(z) =
1 − z − z2 . Hinweis: Verifiziere (1 − z − z2 )f(z) ≡ z .
(c) Die Funktion f besitzt eine Zerlegung der Form
f(z) = A B
+
1 − λz 1 − µz
und lässt sich daher als Summe von zwei geometrischen Reihen schreiben.
Dies liefert eine zweite Darstellung von f als Potenzreihe und
damit einen geschlossenen Ausdruck für die k-te Fibonacci-Zahl ak.
(d) Bestimme den Konvergenzradius der Reihe (∗).
6. Zeige (ohne Verweis auf die Exponentialfunktion): Die Funktion
genügt der Funktionalgleichung
f(z) :=
∞�
k=0
z 2k
(2k)!
f(2z) = 2 � f(z) � 2 − 1 (z ∈ C) .
Hinweis: Beginne mit der rechten Seite der behaupteten Identität. Es
werden Potenzen (1 ± 1) r auftreten.