Harmonische Analysis, Skript TU-Darmstadt SS2010

Vorlesungsmanuskript
Harmonische Analysis
TU Darmstadt, SS 2010
Mads Kyed
Fachbereich Mathematik
Technische Universität Darmstadt
E-Mail:kyed@mathematik.tu-darmstadt.de
July 17, 2010

Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 5
1.1 Was ist Harmonische Analysis? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Distributionen und die Fouriertransformation 9
2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Schwartz-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Distributionen und Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 Allgemeine Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Distributionen mit Kompakten Trägern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.9 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Interpolation 31
3.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Distributionsfunktion und Schwach-Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Interpolationssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Lp-Theorie für die Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Maximal-Funktion 45
4.1 Hardy-Littlewood Maximal-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Anwendungen der Maximalfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Singuläre Integrale 51
5.1 Hilbert-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Homogene Singuläre Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Riesz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3

1 Einführung
1.1 Was ist Harmonische Analysis?
Harmonische Analysis ist der Teil der mathematischen Analysis, der auf die Zerlegung
von Funktionen in ihre harmonische Bestandteile aufbaut. Ursprünglich war hiermit die
Entwicklung von Funktionen f : [0, 2π) → C in ihre Fourierreihen
f(x) = �
αk e ikx
(1.1.1)
k∈Z
gemeint. Dabei sind e ikx = cos(kx) + i sin(kx) die klassischen “harmonischen Schwingungen”.
Die Fourierkoeffizienten sind bekanntlich durch
(1.1.2)
αk = 1
2π
�
0
2π
f(x) e −ikx dx
gegeben.
Die Zerlegung (1.1.1) kann verallgemeinert werden auf Funktionen f : G → C, deren
Definitionsbereich eine lokal-kompakte, topologische, abelsche Gruppe G ist. Der erste
Schritt in dieser Verallgemeinerung ist es, die Koeffizienten {αk}k∈Z als eine Fouriertransformation
von f aufzufassen. Dazu wird die Charaktergruppe (auch Dualgruppe von G
genannt)
(1.1.3)
�G := {χ : G → T | χ stetiger Homomorphismus}
bestehend aus den stetigen Homomorphismen von G in den Torus T benötigt, wobei
T := {z ∈ C | |z| = 1} mit Multiplikation als Gruppenoperation zu einer Gruppe wird.
Auch das Haar-Maß auf G wird benötigt (jede lokal-kompakte, topologische, abelsche
Gruppe besitzt ein eindeutiges, positives, translationsinvariantes Borel-reguläres Maß;
das so-genannte Haar-Maß1 ). Die Fouriertransformation von f : G → C ist dann durch
�f : � �
(1.1.4)
G → C, f(χ) � := f(x) χ(x) dx
gegeben, wobei dx das Haar-Maß auf G ist. Erstaunlicherweise gilt in diesem abstrakten
“Setting” die Fouriersche Inversionsformel
�
(1.1.5)
f(x) = �f(χ) χ(x) dχ,
�G
1 Die Eindeutigkeit des Haar-Maßes gilt bis auf Multiplikation mit einer positiven Konstanten.
G
5

1 Einführung
vorausgesetzt f sei hinreichend regulär. Dabei wird � G durch die kompakt-offene Topologie
und Multiplikation als Gruppenoperation zu einer lokal-kompakten, topologischen,
abelschen Gruppe mit Haar-Maß dχ.
Die Inversionsformel (1.1.5) ist eine Verallgemeinerung von (1.1.1). Dies stellen wir
fest, indem wir das Intervall [0, 2π) mit der lokal-kompakten, topologischen, abelschen
Gruppe G0 := R/2πZ identifizieren. Man kann leicht zeigen, dass die Charaktere auf G0
genau die Funktionen χ(x) = e ikx , k ∈ Z sind. Die dazu gehörende Charaktergruppe � G0
ist durch die Abbildung k → e ikx topologisch isomorph zu Z. Das Haar-Maß auf G0 ist
einfach das normierte Lebesgue-Integral auf [0, 2π), bzw. das Zählmaß auf Z. In diesem
Fall ist somit
(1.1.6)
und (1.1.5) wird zu
(1.1.7)
�f : Z → C, � f(k) = 1
2π
�
0
2π
f(x) = �
�f(k) e ikx .
k∈Z
f(x) e −ikx dx
Somit erhalten wir (1.1.1) als Spezialfall von (1.1.5).
Indem wir die Charaktere als Verallgemeinerung der “harmonischen Schwingungen”
auffassen, können wir durch (1.1.5) die harmonische Analysis auf eine sehr große Klasse
von Funktionen und Gruppen erweitern. Eine gute Referenz zu der abstrakten harmonischen
Analysis auf topologischen Gruppen ist das zwei-bändige Buch [3], [4] von Hewitt
and Ross. Hier finden Sie z.B. Beweise für die Existenz des Haar-Maßes, sowie der Inversionsformel
(1.1.4) und vieles mehr.
In dieser Vorlesung werden wir uns auf den Fall G1 = R n beschränken. In diesem Fall
besteht die Charaktergruppe � G1 aus den Funktionen χ(x) = e iξ·x , ξ ∈ R n , und � G1 ist
durch die Abbildung ξ → e iξ·x topologisch isomorph zu R n . Die Fouriertransformation
(1.1.4) ist dann durch
(1.1.8)
�
n
�f(ξ)
−
= (2π) 2
gegeben und die Inversionsformel durch
(1.1.9)
R n
n
−
f(x) = (2π) 2
�
R n
f(x) e −ix·ξ dx,
�f(ξ) e ix·ξ dξ.
Die Theorie der harmonischen Analysis auf R n ist sehr reichhaltig und bildet die Grundlage
für viele Methoden in der angewandten Mathematik. Die harmonische Analysis auf
R n sowie auf [0, 2π) wird oft als klassische harmonische Analysis bezeichnet. Eine gute
Referenz zu der klassischen harmonischen Analysis ist das zweibändige Buch [1], [2] von
Grafakos. Wir werden in dieser Vorlesung zum großen Teil dem Buch [1] folgen.
6

1.2 Anwendungen
1.2 Anwendungen
Die klassische harmonische Analysis spielt für die Lösungs- und Regularitätstheorie
von partiellen Differentialgleichungen eine wichtige Rolle. Entscheidend ist dabei die Eigenschaft
(1.2.1)
�∂ku(ξ) = iξk�u(ξ).
D.h. die Fouriertransformation ist ein Kalkül wodurch Differentiation in Multiplikation
mit einem Polynom übergeht. Wir betrachten nun eine lineare partielle Differentialgleichung
in Rn mit konstanten Koeffizienten:
�
aα ∂ α u = f in R n (1.2.2)
.
|α|≤N
Hier bezeichnet α = (α1, . . . , αn) ∈ N n 0 einen Multiindex mit |α| = α1 + · · · + αn, ∂ α den
Differentialoperator
∂ α = ∂ α1
1
. . . ∂αn
n
und aα ∈ R. Wenden wir in (1.2.2) auf beiden Seiten formal die Fouriertransformation
an, so erhalten wir
�
�
aα(iξ) α
�
�u = � f ∈ R n ,
wobei ξα = ξ α1
1
durch
(1.2.3)
|α|≤N
· · · ξαn
n . Somit können wir formal mittels (1.1.9) die Lösung u von (1.2.2)
�
n
−
u(x) = (2π) 2
R n
�f(ξ)
�
|α|≤N aα(iξ) α eix·ξ dξ.
darstellen. Wenn diese formale Rechnung gültig ist, so liefert die harmonische Analysis
eine erstaunlich � einfache Methode zur Lösung von (1.2.2). Sollte das Polynom
aber Nullstellen haben, oder � f nicht genügend Regularität (im Sin-
�
�
|α|≤N aα(iξ) α
ne von Integrabilität) besitzen, so ist es höchst fragwürdig ob das Integral in (1.2.3)
überhaupt existiert.
Es ist ein Ziel dieser Vorlesung zu untersuchen unter welchen Umständen die Lösungsformel
(1.2.3) wohldefiniert ist. Wir werden dafür Funktionenräume X(Rn ) suchen, worin
sowohl die Fouriertransformation F(f) := � f als auch die inverse Fouriertransformation,
die formal über die Inversionsformel durch
F −1 n
−
(g)(x) := (2π) 2
�
R n
g(ξ) e ix·ξ dξ
7

1 Einführung
gegeben ist, sinnvoll definiert sind. D.h. Funktionenräume X(R n ) mit der Eigenschaft
das
F : X(R n ) → X(R n )
ein Homöomorphismus ist. Zunächst werden wir einen möglichst großen Raum suchen,
da dann die Wahrscheinlichkeit das (1.2.3), genauer
u = F −1
�
�
�f(ξ)
(1.2.4)
,
�
|α|≤N aα(iξ) α
wohldefiniert ist steigt. Diese Suche wird uns zu den so-genannten temperierten Distributionen
führen.
Ein weiteres Ziel ist es, Eigenschaften von Lösungen u, die durch (1.2.4) gegeben sind,
herzuleiten. Dabei sind insbesondere Integrabilitätseigenschaften von Interesse. Solche
Integrabilitätseigenschaften sind wichtig für die Lösungstheorie von nichtlinearen partiellen
Differentialgleichungen.
8

2 Distributionen und die
Fouriertransformation
2.1 Notation
Sei n ∈ N. Wenn nichts anderes angegeben ist, bezeichnen x und ξ Vektoren in Rn .
f für
Für Funktionen f : R n → C setzen wir ∂jf = ∂
∂xj f für 1 ≤ j ≤ n und ∂m j
m ∈ N. Ein Multiindex α = (α1, . . . , αn) ∈ N n 0
f = ∂m
∂x m j
ist ein geordnetes Tupel bestehend aus n
nicht-negativen ganzen Zahlen. Wir setzen ∂ α f := ∂ α1 . . . ∂ αn f, |α| := α1 + · · · + αn und
α! := α1!α2! · · · αn!. Wir schreiben β ≤ α wenn βi ≤ αi für alle 1 ≤ i ≤ n.
Mit C k (R n ) bezeichnen wir den Funktionenraum bestehend aus allen zur Ordnung
k stetig differenzierbaren Funktionen, d.h. alle f : R n → C mit ∂ α f stetig für alle
Multiindices |α| ≤ k. Mit C ∞ (R n ) wird der Raum aller unendlich oft differenzierbaren
Funktionen bezeichnet. Schließlich ist C ∞ 0 (Rn ) der Unterraum von C ∞ (R n ) bestehend
aus Funktionen mit kompaktem Träger.
Lemma 2.1.1. Es gilt:
(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)
Beweis. (Übung).
∀α ∈ N n 0 ∀x ∈ R n : |x α | ≤ |x| |α| ,
∀k ∈ N ∀x ∈ R n : |x| k ≤ C(k) �
|x β |,
|β|=k
∀α ∈ N n 0 ∀f, g ∈ C |α| (R n ) : ∂ α (fg) = �
�
α1
2.2 Schwartz-Funktionen
Definition 2.2.1. Für f ∈ C ∞ (R n ) und α, β ∈ N n 0
(2.2.1)
und definieren
(2.2.2)
β≤α
β1
�
· · ·
setzen wir
ρα,β(f) := sup
x∈Rn |x α ∂ β f(x)|
� αn
S := {f ∈ C ∞ (R n ) | ρα,β(f) < ∞ für alle α, β ∈ N n 0 }.
βn
�
(∂ β f)(∂ α−β g).
Wir nennen Funktionen aus S Schwartz-Funktionen und S den Schwartz-Raum. Ferner
führen wir auf S die Initialtopologie der Abbildungsfamilie � ρα,β(f − ·) | α, β ∈ Nn 0 , f ∈
S � ein.
9

2 Distributionen und die Fouriertransformation
Beispiel 2.2.2. Es gilt e −|x|2
alle p ≥ 1.
∈ S aber 1
1+|x| 2 /∈ S . Es ist C ∞ 0 (Rn ) ⊂ S ⊂ L p (R n ) für
Lemma 2.2.3. Eine Folge {fk} ∞ k=1 ⊂ S konvergiert (in der Topologie von S ) gegen
f ∈ S genau dann, wenn
(2.2.3)
∀α, β ∈ N n 0 : lim
k→∞ ρα,β(f − fk) = 0.
Eine Abbildung T : S → S ist stetig genau dann, wenn für alle konvergenten Folgen
{fk} ∞ k=1 ⊂ S mit limk→∞ fk = f ∈ S gilt limk→∞ T (fk) = T (f). Sei X ein topologischer
Raum. Dann ist eine Abbildung T : S → X stetig genau dann, wenn für alle
konvergenten Folgen {fk} ∞ k=1 ⊂ S mit limk→∞ fk = f ∈ S gilt limk→∞ T (fk) = T (f).
Beweis. Die erste Behauptung folgt direkt von der Definition der Initialtopologie. Für
jedes Element f ∈ S bilden alle endlichen Schnitte der Mengen
(2.2.4)
{g ∈ S | ρα,β(f − g) < 1
k }, k ∈ N, α, β ∈ Nn 0
eine abzählbare Umgebungsbasis von f. Somit erfüllt S das erstes Abzählbarkeitsaxiom.
Es folgt, dass Stetigkeit äquivalent zu Folgenstetigkeit in der Topologie von S ist. Damit
folgen die zweite und dritte Behauptung.
Bemerkung 2.2.4. In vielen Lehrbüchern wird Lemma 2.2.3 als Definition von Konvergenz
in S benutzt. Dadurch vermeidet man die Einführung einer Topologie auf S .
Lemma 2.2.5. Sei P : Rn → C ein Polynom und α ∈ Nn 0 . Die Abbildungen
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.7)
(2.2.8)
sind stetig.
Beweis. (Übung)
H1 : S × S → S , H1(f, g) := f + g,
H2 : S × S → S , H2(f, g) := fg,
H3 : S → S , H3(f) := P f,
H4 : S → S , H4(f) := ∂ α f
Bemerkung 2.2.6. Die Abbildungen A := {ρα,β | α, β ∈ Nn 0 } bilden eine Familie von
Seminormen auf S . Die Topologie in Definition 2.2.1 ist die von A induzierte Seminorm-
Topologie. Wie man leicht feststellen kann, ist S ein lokal-konvexer, topologischer Vektorraum.
S ist sogar durch d(f, g) := �∞ h=1 2−j ρj(f−g)
1+ρj(f−g) (ρj, j ∈ N ist hier eine Abzählung
von ρα,β, α, β ∈ Nn 0 ) metrisierbar, und bezüglich dieser Metrik vollständig. Somit
ist S ein Fréchet-Raum.
Proposition 2.2.7. Es seien {fk} ∞ k=1 ⊂ S und f ∈ S mit limk→∞ fk = f in S . Dann
gilt limk→∞ fk = f in Lp (Rn ) für 0 < p ≤ ∞. Ferner gilt
�∂ β f�p ≤ C(p)
�
(2.2.9)
ρα,β(f).
10
|α|≤[1+(n+1)/p]

Beweis. Es gilt
�∂ β � �
f�p ≤
≤
|∂ β f(x)| p dx +
�
2.2 Schwartz-Funktionen
|x| n+1 |∂ β f(x)| p |x| −(n+1) � 1
p
dx
|x|≤1
|x|≥1
�
C�∂ β f(x)� p � n+1 β p�
∞ + sup |x| |∂ f(x)|
|x|≥1
�
|x|
|x|≥1
−(n+1) � 1
p
dx
� 1+[(n+1)/p] � β
|x| |∂ f(x)| �
�
≤ C(p) �∂ β f(x)�∞ + sup
x∈R n
�
≤ C(p) �∂ β f(x)�∞ + sup
x∈Rn �
�
|α|=1+[(n+1)/p]
wobei wir in der letzten Ungleichung (2.1.2) benutzt haben.
Proposition 2.2.8. Der Raum C ∞ 0 (Rn ) liegt dicht in S .
|x α ∂ β f(x)| ��
,
Beweis. Sei ϕ ∈ S . Wähle χ ∈ C∞ 0 (Rn ) mit χ(x) = 1 für |x| ≤ 1 (Übung: Existiert so
eine Funktion?). Setze ϕk(x) := χ( 1
k x)ϕ(x). Offensichtlich ist ϕk ∈ C∞ 0 (Rn ). Wir zeigen
nun, dass ϕk → ϕ in S . Sei α, β ∈ Nn 0 . Es gilt
|x α ∂ β� ϕk(x) − ϕ(x) � |
und
= |x α� 1 − χ( 1
k x)� ∂ β ϕ(x) + �
0

2 Distributionen und die Fouriertransformation
2.3 Temperierte Distributionen
Definition 2.3.1. Die Elemente des Dualraums
von S heißen temperierte Distributionen.
S ′ := � L : S → C | L stetig und linear �
Bemerkung 2.3.2. Wir werden in der Regel Elemente aus S ′ mit z.B. u bezeichnen (wie
bei “normalen” Funktionen) und schreiben u(ϕ) = 〈u, ϕ〉.
Beispiel 2.3.3. Wir werden nun einige wichtige temperierte Distributionen betrachten:
a) Durch δ0 : S → C, 〈δ0, f〉 := f(0) ist eine temperierte Distribution definiert. δ0 heißt
Dirac Maß.
b) Jede Funktion f ∈ L p (R n ) ist durch die Identifikation f → Lf mit
eine temperierte Distribution.
�
Lf : S → C, Lf (ϕ) :=
R n
f ϕ dx
c) Jede meßbare Funktion g : R n → C mit |g(x)| ≤ C(1 + |x|) k für ein k ∈ N ist durch
die Identifikation g → Lg eine temperierte Distribution.
d) log(|x|) ist eine temperierte Distribution.
e) Jedes endliches Borel-Maß µ ist durch die Identifikation µ → Lµ mit
�
Lµ : S → C, Lµ(ϕ) := ϕ dµ
eine temperierte Distribution.
Definition 2.3.4. Seien u ∈ S ′ und α ∈ Nn 0 . Dann ist die distributionelle Ableitung
∂αu die temperierte Distribution die durch
R n
∂ α u : S → C, 〈∂ α u, ϕ〉 := 〈u, (−1) |α| ∂ α ϕ〉
definiert ist (Übung: Ist dadurch tatsächlich eine temperierte Distribution definiert?).
Beispiel 2.3.5. Die Ableitung der Heavyside-Funktion
�
1 für x ≥ 0,
H : R → R, H(x) :=
0 für x < 0,
ist ∂xH = −δ0.
12

2.3 Temperierte Distributionen
Proposition 2.3.6. Sei f ∈ C 1 (R n ) ∩ L p (R n ) mit klassische Ableitung ∂jf ∈ L p (R n ).
Dann stimmt die klassische Ableitung ∂jf mit der distributionellen Ableitung ∂jLf überein.
D.h. L∂jf = ∂jLf .
Beweis. (Übung)
Definition 2.3.7. Für eine Funktion f : R n → R setzen wir für y ∈ R n und a > 0:
τ y (f)(x) := f(x − y), δ a f(x) := f(ax), � f(x) := f(−x).
Definition 2.3.8. Für u ∈ S ′ setzen wir für y ∈ R n , a > 0 und A ∈ GL(R n ):
τ y (u) ∈ S ′ , 〈τ y (u), ϕ〉 := 〈u, τ −y (ϕ)〉,
δ a (u) ∈ S ′ , 〈δ a (u), ϕ〉 := 〈u, a −n δ 1
a (ϕ)〉,
�u ∈ S ′ , 〈�u, ϕ〉 := 〈u, �ϕ〉,
u A ∈ S ′ , 〈u A , ϕ〉 := 〈u, |det A| −1 ϕ ◦ A −1 〉.
Definition 2.3.9. Seien u ∈ S ′ und h ∈ C ∞ (R n ) mit
Das Produkt hu ∈ S ′ ist durch
∀α ∈ N n 0 ∃kα ∈ N, Cα > 0 : |∂ α h(x)| ≤ Cα(1 + |x|) kα .
〈hu, ϕ〉 := 〈u, hϕ〉
definiert. (Übung: Ist hu wohldefiniert als Element in S ′ ?).
Definition 2.3.10. Sei u ∈ S ′ . Der Träger von u ist durch
mit
definiert.
supp u := ∩K∈KK
K := � K ⊂ R n geschlossen | ∀ϕ ∈ C ∞ 0 (R n ) : supp ϕ ⊂ K c ⇒ 〈u, ϕ〉 = 0 �
Beispiel 2.3.11. Es ist supp δ0 = {0} (Übung: Beweisen Sie dies).
Definition 2.3.12. Wir führen auf dem Dualraum S ′ die Schwach ∗ -Topologie ein. D.h.
eine Folge {uk} ∞ k=1 ⊂ S ′ konvergiert gegen u ∈ S ′ genau dann wenn
(2.3.1)
∀ϕ ∈ S : lim
k→∞ 〈uk, ϕ〉 = 〈u, ϕ〉.
Proposition 2.3.13. Seien 1 ≤ p ≤ ∞ und {fk} ∞ k=1 ⊂ Lp (R n ) mit limk→∞ fk = f ∈
L p (R n ) in L p (R n ). Dann gilt limk→∞ fk = f in S ′ .
Beweis. (Übung)
13

2 Distributionen und die Fouriertransformation
2.4 Fourier-Transformation
Definition 2.4.1. Für f ∈ S ist durch
(2.4.1)
�f : R n → R n , � f(ξ) :=
�
R n
f(x) e −2πix·ξ dx
die Fourier-Transformation von f definiert. Wir führen auch die Fourier-Transformation
als Operator F(f) := � f ein.
Beispiel 2.4.2. Die Funktion f(x) := e−π|x|2 erfüllt � f = f. Wir werden diese Identität
zeigen. Zuerst stellen wir mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes fest, dass
Ferner gilt
� �∞
−∞
Es folgt 1
e −x2
�
�f(ξ) =
R n
= f(ξ).
�2 dx =
�∞
�∞
−∞
−∞ −∞
e −πx2
dx =
�∞
−∞
e −π(x+is)2
�∞
e −x2
e −y2
�∞
dxdy =
e −π|x|2
e −2πixjξj
�
dx =
R n
0
�
∂ Br
dx, ∀s ∈ R.
e −r2
−π(xj+iξj) 2 π(iξj) 2
e e
dodr =
dx =
�∞
0
� �∞
−∞
2πr e −r2
e −πy2
dodr = π.
�n dy e −π|ξ|2
1 Wir wenden die Einsteinsche Summenkonvention an. D.h. wir werden manchmal die Summenzeichen
einfach weglassen und implizit über doppelt auftretende Indizes summieren.
14

Proposition 2.4.3. Für f, g ∈ S , y ∈ Rn , b ∈ C, α ∈ Nn 0 , t > 0 gilt:
(2.4.2)
(2.4.3)
(2.4.4)
(2.4.5)
(2.4.6)
(2.4.7)
(2.4.8)
(2.4.9)
(2.4.10)
(2.4.11)
(2.4.12)
(2.4.13)
(2.4.14)
(2.4.15)
Beweis. (Übung)
� � f�∞ ≤ �f� L 1,
�f + g = � f + �g,
�bf = b � f,
� �f = � � f,
�
f = � � f,
�τ y (f)(ξ) = e −2πiy·ξ � f,
�
e 2πix·y f(x)(ξ) = τ y ( � f)(ξ),
�δ t f = t −n δ 1/t ( � f),
�∂ α f(ξ) = (2πiξ) α � f(ξ),
∂ α � f(ξ) = �
(−2πix) α f(ξ),
�f ∈ S ,
�f ◦ A(ξ) = � f(Aξ), ∀A ∈ O(n),
�f ∗ g = � f�g,
�fg = � f ∗ �g.
Definition 2.4.4. Für g ∈ S ist durch
g ∨ �
(x) := g(ξ) e 2πix·ξ dξ = �g(−x)
R n
2.4 Fourier-Transformation
die inverse Fourier-Transformation definiert. Analog zu der Fourier Transformation führen
wir auch die inverse Fourier-Transformation als Operator F −1 (g) := g ∨ ein.
Theorem 2.4.5. Es seien f, g ∈ S . Dann gilt:
�
�
(2.4.16)
f(x)�g(x) dx = �f(x)g(x) dx,
(2.4.17)
(2.4.18)
R n
R n
F −1� Ff � = f,
�
�
f(x)g(x) dx =
R n
R n
�f(x)�g(x) dx.
Beweis. Mittels des Satzes von Fubini kann man leicht (2.4.16) zeigen. Um (2.4.17) zu
zeigen setzen wir für ε > 0 und y ∈ R n
gε(ξ) := e 2πiξ·y e −π|εξ|2
15

2 Distributionen und die Fouriertransformation
in (2.4.16) ein. Am Beispiel 2.4.2 und Proposition 2.4.3 sieht man, dass
�gε(x) = 1
e−π|(x−y)/ε|2 =: ηε(y − x),
εn wobei ηε eine approximierende Einheit ist; d.h.
Wir setzen gε in (2.4.16) ein:
�
R n
ηε(x) = 1
η(1 x) mit
εn ε
�
f(x)ηε(y − x) dx =
R n
�
R n
η dx = 1.
�f(ξ) e i2πξ·y e −π|εξ|2
Lassen wir nun ε → 0, so erhalten wir (siehe Übung 2.3)
�
f(y) =
R n
�f(ξ) e i2πξ·y dξ,
womit wir dann (2.4.17) gezeigt haben. Mit (2.4.17) und Proposition 2.4.3 zeigt man
leicht (2.4.18).
Theorem 2.4.6. F : S → S ist ein Homöomorphismus (d.h. F ist stetig, bijektiv, und
die Inverse F −1 ist stetig).
Beweis. (Übung)
Definition 2.4.7. Sei u ∈ S ′ . Die Fourier-Transformation �u von u ist die temperierte
Distribution
�u : S → C, 〈�u, ϕ〉 := 〈u, �ϕ〉.
Wir schreiben auch F(u) := �u. (Übung: Ist �u wohldefiniert als temperierte Distribution?).
Analog führen wir die inverse Fourier-Transformation von u,
ein und schreiben F −1 (u) := u ∨ .
u ∨ : S → C, 〈u ∨ , ϕ〉 := 〈u, ϕ ∨ 〉,
Beispiel 2.4.8. Es gilt (Übung!) � δ0 = 1 und �∂ α δ0 = (2πix) α .
16
dξ.

Proposition 2.4.9. Für u, v ∈ S ′ , ϕ ∈ S , y ∈ Rn , b ∈ C, α ∈ Nn 0 , t > 0 gilt:
(2.4.19)
(2.4.20)
(2.4.21)
(2.4.22)
(2.4.23)
(2.4.24)
(2.4.25)
(2.4.26)
(2.4.27)
(2.4.28)
Beweis. (Übung)
�u + v = �u + �v,
�bu = b�u,
� �u = � �u,
�τ y (u)(ξ) = e −2πiy·ξ �u,
�
e 2πix·y u = τ y (�u),
�δ t u = (�u)t := t −n δ 1/t (�u),
�∂ α f = (2πiξ) α � f,
∂ α � f = �
(−2πix) α f,
F −1� F(u) � = u,
∂ α (ϕu) = �
γ≤α
� α1
γ1
�
· · ·
� �
αn �∂ �� � α−γ γ
ϕ ∂ u .
γn
2.5 Faltung
Theorem 2.4.10. F : S ′ → S ′ ist ein Homöomorphismus (d.h. F ist stetig, bijektiv,
und die Inverse F −1 ist stetig).
Beweis. (Übung)
2.5 Faltung
Definition 2.5.1. Für f, g ∈ S ist die Faltung von f und g durch
f ∗ g : R n �
→ C, f ∗ g(x) := f(y)g(x − y) dy
definiert.
Bemerkung 2.5.2. Definition 2.5.1 ist auch für f, g ∈ L 1 (R n ) sinnvoll. Mit dem Satz
von Fubini folgt sogar, dass dann wieder f ∗ g ∈ L 1 (R n ). Ausgestattet mit Faltung als
Multiplikationsoperator wird L 1 (R n ) zu einem Banach-Algebra.
Proposition 2.5.3. Es seien f, g ∈ S . Dann gilt
(2.5.1)
(2.5.2)
(2.5.3)
R n
∀α ∈ N n 0 : ∂ α (f ∗ g) = f ∗ (∂ α g),
f ∗ g = g ∗ f ∈ S ,
�f ∗ g = � f�g.
17

2 Distributionen und die Fouriertransformation
Beweis. Mit dem Konvergenzsatz von Lebesgue kann man leicht zeigen, dass
f ∗ g(x + h ej) − f ∗ g(x)
h
Durch Wiederholung dieses Argument folgt (2.5.1).
Sei nun N > n. Es gilt (siehe Übung 2.4)
�
|f ∗ g(x)| ≤ CN
≤ CN
+
R n
→ f ∗ (∂jg)(x) für h → 0.
(1 + |y|) −N (1 + |x − y|) −N dy
� �
{|x−y|≥ 1
2 |x|}
�
{|x−y|< 1
2 |x|}
=: CN(I1 + I2).
(1 + |y|) −N (1 + |x − y|) −N dy
(1 + |y|) −N (1 + |x − y|) −N dy
Setzen wir im Integranden in I1 1
2 |x| für |x − y| ein, so erhalten wir
I1 ≤ CN(1 + |x|) −N
�
R n
(1 + |y|) −N dy ≤ CN(1 + |x|) −N .
Setzen wir im Integranden in I2 1
2 |x| für |y| ein, so erhalten wir
Also gilt
I2 ≤ CN(1 + |x|) −N
�
R n
(1 + |x − y|) −N dy ≤ CN(1 + |x|) −N .
|f ∗ g(x)| ≤ CN(1 + |x|) −N .
Wiederholen wir dieses Argument mit ∂ α g für g, so bekommen wir
∀N ∈ N ∀α ∈ N n 0 : |∂ α (f ∗ g)(x)| ≤ CN,α(1 + |x|) −N .
Es folgt (siehe wieder Übung 2.4) f ∗ g ∈ S . Die Identität f ∗ g = g ∗ f folgt direkt von
der Definition. Somit haben wir (2.5.2) bewiesen.
Mit dem Satz von Fubini folgt
� �
�f ∗ g(ξ) = f(y)g(x − y) e −ix·ξ �
dxdy = f(y)�g(ξ) e −iy·ξ dy = � f(ξ)�g(ξ)
und somit (2.5.3).
18
Rn Rn R n
�

Definition 2.5.4. Für u ∈ S ′ und h ∈ S ist die Faltung von u und h durch
definiert.
h ∗ u ∈ S ′ , 〈h ∗ u, ϕ〉 := 〈u, � h ∗ ϕ〉
Beispiel 2.5.5. Für f ∈ S gilt ∀ϕ ∈ S :
〈f ∗ δ0, ϕ〉 = 〈δ0, � f ∗ ϕ〉 = � �
f ∗ ϕ(0) =
D.h. f ∗ δ0 = f.
Proposition 2.5.6. Für u ∈ S ′ und h ∈ S gilt
(2.5.4)
Beweis. (Übung)
R n
�h ∗ u = � h�u
�
f(−y)h(0 − y) dy =
Lemma 2.5.7. Seien u ∈ S ′ und h ∈ S . Dann ist
�
〈h ∗ u, ϕ〉 = 〈u, τ y ( � (2.5.5)
h)〉 ϕ(y) dy.
D.h. h ∗ u ist gleich die Funktion y → 〈u, τ y ( � h)〉.
Beweis. Sei ϕ ∈ S . Es gilt
〈h ∗ u, ϕ〉 = 〈u, � �
h ∗ ϕ〉 = 〈u,
R n
R n
�
�h(y)ϕ(· − y) dy〉 = 〈u,
R n
R n
f(y)h(y) dy.
� h(· − y)ϕ(y) dy〉
2.5 Faltung
Sei nun N ∈ N. Wir betrachten die Zerlegung von [−N, N] n in den (2N 2 ) n Würfeln Qm
mit Kantenlänge 1/N. Sei ym der Mittelpunkt in Qm. Man kann zeigen (Übung!), dass
die Riemann-Summe
RN(x) :=
(2N 2 ) 2
�
m=1
� h(x − ym)ϕ(ym)|Qm|
in der Topologie von S gegen das Integral
�
�h(y)ϕ(x − y) dy
konvergiert für N → ∞. Die Stetigkeit von u liefert dann
�
〈u, �h(y)ϕ(· − y) dy〉 = lim 〈u, RN〉.
N→∞
R n
R n
19

2 Distributionen und die Fouriertransformation
Da aber 〈u, RN〉 eine Riemann-Summe des Integrals
ist, folgt
und somit die Behauptung.
�
R n
lim
N→∞ 〈u, RN〉
�
=
Lemma 2.5.8. Sei ϕ ∈ S . Es gilt
(2.5.6)
Beweis. Es gilt
〈u, τ y ( � h)〉 ϕ(y) dy
R n
〈u, τ y ( � h)〉 ϕ(y) dy
ϕ(x + t ej) − ϕ(x)
lim
= ∂jϕ(x) in S .
t→0 t
� � � �
2πitξj ϕ(· + t ej) − ϕ(·)
e −1
F
− ∂jϕ(·) (ξ) =
− 2πiξj �ϕ(ξ) =: ψt(ξ) �ϕ(ξ).
t
t
Da F −1 stetig ist, brauchen wir nur zu zeigen, dass limt→0 ψt �ϕ = 0 in S . Dazu schätzen
wir zuerst die Ableitung ∂ γ ψt ab (Übung!):
Für α, β ∈ N n 0
folgt dann
sup
ξ∈Rn |ξ α ∂ β [ψt �ϕ]| = sup
ξ∈Rn und damit limt→0 ψh �ϕ = 0 in S .
|∂ γ ⎧
⎪⎨
t|ξj|
ψt(ξ)| ≤ C
⎪⎩
2
für |γ| = 0,
t|ξj|
t|ξj|
für |γ| = 1,
|γ|−1
für |γ| > 1.
| �
γ≤β
Cγ,β ξ α ∂ γ ψt∂ β−γ �ϕ| ≤ C t → 0 für t → 0
Theorem 2.5.9. Seien u ∈ S ′ und h ∈ S . Dann ist h ∗ u ∈ C ∞ (R n ) mit
(2.5.7)
Ferner gilt:
(2.5.8)
20
∀α ∈ N n 0 : ∂ α (h ∗ u) = (∂ α h) ∗ u = h ∗ (∂ α u).
∀α ∈ N n 0 ∃Cα, kα > 0 : |∂ α (h ∗ u)(x)| ≤ Cα(1 + |x|) kα .

2.6 Distributionen und Partielle Differentialgleichungen
Beweis. Nach Lemma 2.5.7 können wir h ∗ u mit der Funktion x → 〈u, τ x ( � h)〉 identifizieren.
Wir wollen nun zeigen, dass diese Funktion differenzierbar ist. Von Lemma 2.5.8
erhalten wir für alle x ∈ R n :
τ
lim
t→0
x+t ej ( �h)(·) − τ x ( �h)(·) τ
= lim
t
t→0
x ( �h)(· − t ej) − τ x ( �h)(·) = −∂jτ
t
x ( �h)(·) in S .
Die Stetigkeit von u liefert dann
〈u, τ
lim
t→0
x+t ej ( �h)〉 − 〈u, τ x ( �h)〉 = 〈u, −∂jτ
t
x ( �h)〉 = 〈u, τ x ( � ∂jh)〉.
Also ist h ∗ u differenzierbar mit ∂j(h ∗ u) = (∂jh) ∗ u. Wiederholen wir dieses Argument,
erhalten wir (2.5.7). Die Abstäztung kann man mittels Übung 2.9 und 2.4 zeigen (Übung!)
Theorem 2.5.10. C ∞ 0 (Rn ) ist dicht in S ′ .
Beweis. Sei u ∈ S ′ . Wähle ϕ ∈ C ∞ 0 (Rn ) mit ϕ(x) = 1 für |x| < 1. Setze ϕk(x) := ϕ( 1
k x).
Wir werden nun zeigen, dass
Für ψ ∈ S ist
lim
k→∞ ϕkF −1� ϕk�u � = u in S ′ .
〈ϕkF −1� ϕk�u � − u, ψ〉 = 〈F −1� ϕk�u � , ϕkψ〉 − 〈�u, ψ ∨ 〉
Wir brauchen somit nur zu zeigen, dass
Mit Übung 2.11 folgt die Behauptung.
= 〈�u, ϕkF −1� ϕkψ � 〉 − 〈�u, ψ ∨ 〉 = 〈�u, ϕkF −1� ϕkψ � − ψ ∨ 〉.
lim
k→∞ ϕkF −1� ϕkψ � − ψ ∨ = ψ in S .
2.6 Distributionen und Partielle Differentialgleichungen
Definition 2.6.1. Eine Distribution Γ ∈ S ′ heißt Fundamentallösung der partielle Differentialgleichung
�
aα∂ α (2.6.1)
u = f, aα ∈ C,
falls
(2.6.2)
|α|≤N
�
|α|≤N
aα∂ α Γ = δ0.
21

2 Distributionen und die Fouriertransformation
Proposition 2.6.2. Sei f ∈ S und Γ eine Fundamentallösung von (2.6.1). Dann ist
f ∗ Γ eine Lösung von (2.6.1).
Beweis. (Übung!)
Beispiel 2.6.3. Wir werden die Fundamentallösung der Laplace-Gleichung
(2.6.3)
∆u = f (∆u :=
n�
i=1
∂ 2 i u)
bestimmen für n > 2. Dazu wenden wir die Greensche Formel
�
�
v∆w − w∆v dx = v ∂w ∂v
− w
∂n ∂n do
Ω
auf Ω = R n \Bε(0), v = |x| 2−n , w = ϕ ∈ S . Da ∆ � |x| 2−n� = 0 in R n \Bε(0) im klassichen
Sinne (Übung!), erhalten wir
Da
und 2
folgt
�
|x|>ε
�
|
∂ Bε(0)
�
∂ Bε(0)
|x| 2−n ∆ϕ dx =
=
�
∂ Bε(0)
�
∂ Bε(0)
∂Ω
2−n ∂ϕ
ε
∂n do| ≤ ε �∇ϕ�∞ ε 1−n
ε 1−n ϕ(x) do = nωn
|∂ Bε(0)|
lim
�
ε→0
|x|>ε
|x| 2−n ∂ϕ
∂n − (2 − n)|x|−nx · −x
ϕ(x) do
|x|
2−n ∂ϕ
ε
∂n + (2 − n)ε1−nϕ(x) do.
�
∂ Bε(0)
�
∂ Bε(0)
1do → 0 für ε → 0
ϕ(x) do → nωnϕ(0) für ε → 0
2 − n
|x|
nωn
2−n ∆ϕ dx = ϕ(0).
Die Distribution Γ := 2−n
nωn |x|2−n ist also die Fundamentallösung von (2.6.3). Da wir z.B.
Γ zerlegen können als Γ = f1 + f2 mit f1 ∈ L 1 (R n ) und f2 ∈ L p (R n ) für p > n
n−2 folgt
Γ ∈ S ′ .
2 ωn bezeichnet den Volumen von B1(0) ⊂ R n . D.h. ωn = |B1(0)| und somit nωn = |∂ B1(0)|.
22

2.6 Distributionen und Partielle Differentialgleichungen
Proposition 2.6.4. Sei u ∈ S ′ mit supp u = {x0}. Dann gibt es ein k ∈ N und
Konstanten aα ∈ C so dass
u = �
aα ∂ α δx0 ,
(2.6.4)
wobei δx0 ∈ S ′ , 〈δx0 , ϕ〉 := ϕ(x0).
|α|≤k
Beweis. Wir nehmen OBdA x0 = 0 an. Nach Übung 2.9 gibt es C > 0 und m, k ∈ N so
dass
∀ϕ ∈ S : |〈u, ϕ〉| ≤ C
�
ρα,β(ϕ).
Wir zeigen zuerst, dass für ψ ∈ S mit
(2.6.5)
|α|≤m,|β|≤k
∀|α| ≤ k : ∂ α ψ(0) = 0
gilt 〈u, ψ〉 = 0. Wähle dazu η ∈ C ∞ (R n ) mit η(x) = 1 für |x| ≥ 2 und η(x) = 0 für
|x| ≤ 1. Setze ηε(x) := η( 1
εx). Man kann zeigen (Übung!), dass für |α| ≤ m und |β| ≤ k
gilt ρα,β(ηεψ − ψ) → 0 für ε → 0. Es folgt
|〈u, ψ〉| ≤ |〈u, ηεψ〉| + |〈u, ηεψ − ψ〉| ≤ 0 + C
�
|α|≤m,|β|≤k
ρα,β(ηεψ − ψ) → 0 für ε → 0,
und somit 〈u, ψ〉 = 0. Damit ist die Implikation gezeigt.
Als nächstes betrachten wir wieder ein beliebiges ϕ ∈ S und erhalten mit der Taylor-
Formel:
ϕ(x) = � 1 − η(x) �� �
|α|≤k
∂αϕ(0) x
α!
α �
+ h(x) + η(x)ϕ(x),
mit h = O(|x| k+1 ) für x → 0. Da (1−η)h die Bedingung (2.6.5) erfüllt, gilt 〈u, (1−η)h〉 =
0. Ferner ist 〈u, ηϕ〉 = 0. Es folgt
〈u, ϕ〉 = �
|α|≤k
mit aα := (−1) |α| 〈u, � 1 − η(x) � x α 〉/α!.
∂αϕ(0) 〈u,
α!
� 1 − η(x) � x α 〉 = �
aα〈∂
|α|≤k
α δ0, ϕ〉
Korollar 2.6.5. Sei u ∈ S ′ mit supp �u = {0}. Dann ist u ein Polynom.
Beweis. Wenden Sie F −1 in (2.6.4) an.
Beispiel 2.6.6. Sei u ∈ S ′ mit ∆u = 0. Dann gilt −4π 2 |ξ| 2 �u = 0. Nach Korollar 2.6.5
folgt, dass u ein Polynom ist.
23

2 Distributionen und die Fouriertransformation
2.7 Allgemeine Distributionen
Wir haben bisher auf die temperierte Distributionen fokussiert, da diese in der harmonischen
Analysis in Zusammenhang mit der Fourier-Transformation eine besondere
Rolle spielen. Die temperierte Distributionen sind eine Teilmenge von den allgemeinen
Distributionen, die wir jetzt einführen werden.
Definition 2.7.1. Für K ⊂ R n kompakt setzen wir
Auf DK führen wir die Normen
DK := {ϕ ∈ C ∞ 0 (R n ) | supp ϕ ⊂ K}.
˜ρN(ϕ) := sup
x∈Rn , |α|≤N
|D α ϕ(x)|, N ∈ N
und die Initialtopologie τK der Abbildungsfamilie
ein. Ferner sei
{˜ρN(f − ·) | N ∈ N, f ∈ DK}
β := � W ⊂ C ∞ 0 (R n ) | W konvex, ∀α ∈ C mit |α| ≤ 1 : αW ⊂ W,
�
.
∀K ⊂ R n kompakt : W ∩ DK ∈ τK
Wir setzen D := C ∞ 0 (Rn ) und Führen auf D die Topologie τ mit Basis
{ϕ + W | ϕ ∈ C ∞ 0 (R n ), W ∈ β}
ein. (Übung: Ist τ als Topologie wohldefiniert?)
Bemerkung 2.7.2. Die Topologie τ auf D ist die so-genannte induktive Limes Topologie.
Mit dieser Topologie sei D zwar ein vollständiger lokal-konvexer toplogischer Vektorraum
aber nicht metirsierbar.
Lemma 2.7.3. Eine Folge {fk} ∞ k=1 ⊂ D konvergiert (in der Topologie von D) gegen
f ∈ D genau dann, wenn
∃K ⊂ R n kompakt :
Beweis. (Übung!)
�
� �
∀k ∈ N0 : supp fk ⊂ K ∧ ∀α ∈ N n 0 : lim
k→∞ �∂α �
(f − fk)�∞ = 0 .
Definition 2.7.4. Die Elemente des Dualraums
von D heißen Distributionen.
D ′ := {L : D → C | L stetig und linear}
Beispiel 2.7.5. Der Raum der Distribution ist sehr groß. Zum Beispiel:
24

a) S ′ ⊂ D ′ .
2.8 Distributionen mit Kompakten Trägern
b) Jede Funktion f ∈ L 1 loc (Rn ) ist durch die Identifikation f → Lf mit
eine Distribution.
�
Lf : D → C, Lf (ϕ) :=
R n
f ϕ dx
Definition 2.7.6. Seien u ∈ D ′ und α ∈ N n 0 . Dann ist die distributionelle Ableitung ∂α u
die Distribution die durch
∂ α u : D → C, 〈∂ α u, ϕ〉 := 〈u, (−1) |α| ∂ α ϕ〉
definiert ist (Übung: Ist dadurch tatsächlich eine Distribution definiert?).
Proposition 2.7.7. Sei f ∈ C 1 (R n ). Dann stimmt die klassische Ableitung ∂jf mit der
distributionellen Ableitung ∂jLf überein. D.h. L∂jf = ∂jLf .
Beweis. (Übung)
Bemerkung 2.7.8. Die Fourier-Transformation läßt sich nicht sinnvoll auf D ′ definieren.
Theorem 2.7.9 (Malgrange & Ehrenpreis). Die partielle Differentialgleichung
�
|α|=N
aα∂ α u = f, aα ∈ C,
hat eine Fundamentallösung Γ ∈ D ′ (siehe Definition 2.6.1).
Beweis. Siehe Satz 8.5 in [5].
2.8 Distributionen mit Kompakten Trägern
Als letzter Distributionenraum führen wir die Distributionen mit kompakten Trägern
ein.
Definition 2.8.1. Wir setzen E := C ∞ (R n ) und führen auf E die Seminormen
ρN,α(ϕ) := sup
x∈Rn |D
, |x|≤N
α ϕ(x)|, N ∈ N, α ∈ N n 0 ,
und die Initialtopologie τ der Abbildungsfamilie
ein.
{˜ρN,α(f − ·) | N ∈ N, α ∈ N n 0 , f ∈ C ∞ (R n )}
Bemerkung 2.8.2. E ist ein Frechet-Raum.
25

2 Distributionen und die Fouriertransformation
Lemma 2.8.3. Eine Folge {fk} ∞ k=1 ⊂ E konvergiert (in der Topologie von E ) gegen
f ∈ E genau dann, wenn
Beweis. (Übung!)
∀α ∈ N n 0 , N ∈ N : lim
k→∞ sup |∂
|x|≤N
α (f − fk)| = 0.
Definition 2.8.4. Die Elemente des Dualraums
E ′ := {L : E → C | L stetig und linear}
von E heißen Distributionen mit kompakten Träger.
Beispiel 2.8.5. E ′ ⊂ S ′ .
Theorem 2.8.6. u ∈ E ′ genau dann wenn u ∈ D ′ mit supp u kompakt.
Beweis. Sei u ∈ E ′ . Nach Übung 2.17 gibt es C > 0, N, m ∈ N so, dass
∀ϕ ∈ E : |〈u, ϕ〉| ≤ C �
ρN,α(ϕ). |α|≤m
Für ϕ ∈ C ∞ (R n ) mit supp ϕ ⊂ R n \ BN(0) ist ρ N,α(ϕ) = 0 und somit 〈u, ϕ〉 = 0. Also
gilt supp u ⊂ BN(0).
Sei nun u ∈ D ′ mit supp u kompakt. Dann gibt es N ∈ N so, dass supp u ⊂ BN(0).
Wähle nun η ∈ C ∞ 0 (Rn ) mit η = 1 auf BN(0) und η = 0 auf R n \ BN+1(0). Für
ϕ ∈ C ∞ (R n ) setzte 〈ũ, ϕ〉 := 〈u, ηϕ〉. Nach Übung 2.16 gibt es C > 0, m ∈ N so, dass
|〈ũ, ϕ〉| = |〈u, ηϕ〉| ≤ C �
�∂ α [ηϕ]�∞ ≤ C �
ρN+1,α(ϕ). |α|≤m
|α|≤m
Nach Übung 2.17 folgt ũ ∈ E ′ . Ferner gilt für ψ ∈ D (da supp u ⊂ BN(0))
D.h. ũ |D = u.
26
〈ũ, ψ〉 := 〈u, ηψ〉 = 〈u, ηψ〉 + 〈u, (1 − η)ψ〉 = 〈u, ψ〉.

2.9 Übungen
Ü2.1 Sei {ak} ∞ k=1 ⊂ R+ eine Folge nicht-negativer Zahlen. Zeigen Sie, dass
(2.9.1)
(2.9.2)
(2.9.3)
(2.9.4)
∀ 0 ≤ θ ≤ 1 :
∀ 1 ≤ θ < ∞ :
∀ 1 ≤ θ < ∞ :
∀ 0 ≤ θ ≤ 1 :
Ü2.2(Glättender Faltungskern)
a) Zeigen Sie, dass die Funktion
(2.9.5)
in C ∞ 0 (Rn ) liegt.
� ∞ �
k=1
∞�
k=1
� N �
N�
k=1
ak
a θ k ≤
k=1
a θ k
�θ ≤
ak
∞�
k=1
� ∞ �
k=1
ak
a θ k ,
� θ
,
�θ ≤ N θ−1
N�
�
�N
1−θ
≤ N
k=1
k=1
ak
a θ k ,
� θ
.
η : R n ⎧ �
⎪⎨
1
C exp
→ R, η(x) := |x|
⎪⎩
2 �
für |x| < 1,
− 1
0 für |x| ≥ 1
b) Wir wählen nun die Konstante C so, dass �
(2.9.6)
Für f ∈ L 1 loc (Rn ) setzen wir
(2.9.7)
Zeigen Sie, dass fε ∈ C ∞ (R n ).
R n η dx = 1, und setzen
ηε : R n → R, ηε(x) := 1
η�1
εn ε x� .
fε : R n → C, fε(x) :=
�
R n
ηε(x − y)f(y) dy.
2.9 Übungen
c) Sei f ∈ L1 loc (Rn ). Zeigen Sie, dass limε→0 fε(x) = f(x) f.ü. in Rn �
. Hinweis: Für
f ∈ L 1 loc (Rn ) gilt limr→0
von Lebesgue).
1
|Br(x)|
Br(x) f(x) dx = f(x) f.ü. in Rn (Differentiationssatz
d) Sei f ∈ C(R n ). Zeigen Sie, dass ∀K ⊂ R n kompakt : limε→0�fε − f� L ∞ (K) = 0.
27

2 Distributionen und die Fouriertransformation
Ü2.3(Approximierende Einheit) Es sei
η : R n �
(2.9.8)
→ R meßbar,
R n
η(x) dx = 1, ηε(x) := 1
η�1
εn ε x� .
Für f ∈ L p (R n ) definieren wir die Glättung fε : R n → C wie in (2.9.7). Zeigen Sie, dass
limε→0�fε − f�Lp = 0. Bemerkung: Die Funktion η ist eine approximierende Einheit in
der Banach-Algebra L1 (Rn ).
Ü2.4 Zeigen Sie: f ∈ S genau dann wenn
(2.9.9)
∀N ∈ N ∀α ∈ N n 0 ∃Cα,N ∀x ∈ R n : |∂ α f(x)| ≤ Cα,N(1 + |x|) −N
Ü2.5 Seien 1 ≤ p, q ≤ ∞ mit 1 1
p + q = 1. Zeigen Sie:
a) Für f ∈ S (R) gilt �f� 2 ∞ ≤ 2�f�p�f ′ �q. Hinweis: f(x) 2 = � x
−∞
b) Für f ∈ S (R n ) gilt �f� 2 ∞ ≤ 2 �
α+β=(1,...,1) �∂α f�p�∂ β f ′ �q.
Ü2.6 Seien k ∈ N und µ ein positives Borelmaß auf Rn mit
�
1
dµ(x) < ∞.
(1 + |x|) k (2.9.10)
Zeigen Sie, dass µ ∈ S (durch die Identifikation µ → Lµ).
R n
�
d
dy f 2 � dy.
Ü2.7 Zeigen Sie, dass f(x) = log |x| ∈ S (R) und zeigen Sie, dass die distributionelle
Ableitung f ′ von f die Distribution
〈f ′ �
ϕ(x)
, ϕ〉 = lim dx, ϕ ∈ S (R)
ε→0 x
ist.
ε≤|x|
Ü2.8(Minkowskische Integralungleichung)
a) Seien 1 ≤ p < ∞ und f : R n × R n → C meßbar. Zeigen Sie die Ungleichung:
� �
R n
� �
R n
�p � 1
p
|f(x, y)| dx dy
�
≤
R n
� �
R n
|f(x, y)| p � 1
p
dy dx.
b) Seien 0 < p < 1 und f : R n × R n → C meßbar. Zeigen Sie die Ungleichung:
28
� �
R n
� �
R n
�p � 1
p
|f(x, y)| dx dy
�
≥
R n
� �
R n
|f(x, y)| p � 1
p
dy dx.

2.9 Übungen
c) Verifizieren Sie, dass die Aussage in a) und b) auch dann gilt, wenn wir R n × R n mit
X × Y ersetzen, wobei (X, µ) und (Y, µ) positive Maßräume sind.
Ü2.9 Ein lineares Funktional L : S → C ist genau dann stetig wenn gilt:
∃C > 0, k, m ∈ N ∀ϕ ∈ S : |〈L, ϕ〉| ≤ C
�
(2.9.11)
ρα,β(ϕ).
|α|≤m,|β|≤k
Ü2.10 Zeigen Sie, dass die Identifikation in Beispiel 2.3.3, c) injektiv ist, d.h. Lf =
Lg ⇒ f = g.
Ü2.11 Sei f ∈ S und ϕ ∈ C ∞ 0 (Rn ) mit ϕ(x) = 1 für |x| < 1. Setze ϕk(x) := ϕ( 1
k x).
Zeigen Sie, dass limk→∞ ϕkf = f und limk→∞ ϕkF −1� ϕk � f) = f in S .
Ü2.12 Sei ϕ, f ∈ S . Setze ϕε(x) := ε−nϕ(ε−1x) für ε > 0 . Zeigen Sie, dass
� � �
ϕ(x) dx f in S .
lim
ε→0 ϕε ∗ f =
Ü2.13 Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und f ∈ Lp (Rn ). Zeigen Sie, dass
�
lim f(x) e
N→∞
−2πix·ξ dx = � f in S .
BN (0)
Ü2.14 Zeigen Sie, dass limk→∞ e ikx = 0 in S ′ (R).
R n
Ü2.15 Sei n = 2. Zeigen Sie, dass (2π) −1 log |x| die Fundamentallösung der partielle
Differentialgleichung ∆u = f ist.
Ü2.16 Ein lineares Funktional u : D → C ist genau dann stetig wenn gilt:
∀K ⊂ R n kompakt ∃C > 0, m ∈ N : ∀ϕ ∈ DK : |〈u, ϕ〉| ≤ C �
|α|≤m
Ü2.17 Ein lineares Funktional u : E → C ist genau dann stetig wenn gilt:
∃C > 0, N, m ∈ N : ∀ϕ ∈ E : |〈u, ϕ〉| ≤ C �
ρN,α(ϕ). |α|≤m
�∂ α ϕ�∞.
Ü2.18 Es sei ϕ ∈ C∞ 0 (R) mit ϕ �= 0. Setze ϕk(x) := 1
k ϕ(x − k). Zeigen Sie, dass ϕk
nicht gegen 0 in der Topologie von D(R) konvergiert.
29

3 Interpolation
In der harmonischen Analysis spielen L p -Abschätzungen von singulären Integralen und
Fourier-Multiplikatoren eine wichtige Rolle. Viele solche Abschätzungen können elegant
mittels Interpolation etabliert werden. In diesem Kapitel werden wir einige wichtige Interpolationssätze
beweisen.
3.1 Notation
In diesem Kapitel bezeichnen (X, µ) (und (Y, ν)) einen σ-endlichen 1 Maßraum mit
zugehörigem positiven Maß µ (bzw. ν). Mit Lp (X, µ) (0 < p < ∞) bezeichnen wir den
�
�
normierten Raum aller messbaren Funktionen f : X → C mit �f�p := X |f|p � 1
p
dµ <
∞. Der Raum L ∞ (X, µ) ist definiert als alle messbaren Funktionen f : X → C mit
�f�∞ := ess sup x∈X |f(x)| < ∞.
3.2 Distributionsfunktion und Schwach-Lp
Definition 3.2.1. Sei f : X → C messbar. Die Funktion
df : [0, ∞) → [0, ∞], df (α) := µ � {x ∈ X | |f(x)| > α} �
heißt Distributionsfunktion von f.
Proposition 3.2.2. Seien f, g : X → C messbare Funktionen. Für α, β > 0 gilt:
a) Wenn |g| ≤ |f| µ-f.ü. dann ist dg ≤ df .
b) Für alle c ∈ C \ {0} ist dcf (α) = df ( α
|c| ).
c) df+g(α + β) ≤ df (α) + dg(β).
d) dfg(αβ) ≤ df (α) + dg(β).
Beweis. (Übung!)
Proposition 3.2.3. Seien 0 < p < ∞ und f ∈ L p (X, µ). Dann gilt
(3.2.1)
�f� p p = p
�
0
∞
α p−1 df (α) dα.
1 Um den Satz von Fubini anwenden zu können, setzen wir voraus, dass die Maßräume σ-endlich sind.
31

3 Interpolation
Beweis. Mittels den Satz von Fubini bekommen wir:
�
p
0
∞
α p−1 df (α) dα = p
�
=
X
�
=
X
�
∞
0
∞
�
0
α p−1
�
�
X
χ {x∈X | |f(x)|>α} dµ dα
pα p−1 χ {x∈X | |f(x)|>α}(y) dα dµ(y)
|f(y)|
0
pα p−1 �
dα dµ(y) =
X
|f(y)| p dµ(y).
Bemerkung: Eine zulässige Anwendung von dem Fubinischen Satzes setzt voraus, dass
der Integrand in dem Doppelintegral meßbar bzgl. das Produkt-Maß X × [0, ∞) ist. Dies
ist in diesem Fall erfüllt (siehe Übung 3.3).
Definition 3.2.4. Sei 0 < p < ∞. Der Raum
L p,∞ (X, µ) := {f : X → C | f ist meßbar, �f�p,∞ < ∞} mit
�f�p,∞ := inf{K > 0 | ∀α > 0 : df (α) ≤ K p /α p }
heißt Schwach-L p . Wir setzen L ∞,∞ (X, µ) := L ∞ (X, µ).
Proposition 3.2.5. Seien 0 < p < ∞ und f ∈ L p (X, µ). Dann gilt
�f�p,∞ = sup
γ>0
�
γdf (γ) 1 �
p .
Beweis. Sei K > 0 mit df (α) ≤ Kp /αp für alle α > 0. Dann ist K ≥ supγ>0 Es folgt
Umgekehrt gilt sup γ>0
inf{K > 0 | ∀α > 0 : df (α) ≤ K p /α p } ≥ sup
γ>0
sup
γ>0
�
γdf (γ) 1 �
p .
�
γdf (γ) 1 �
p ≥ αdf (α) 1
p für alle α > 0 und somit
�
γdf (γ) 1 �
p ≥ inf{K > 0 | ∀α > 0 : df (α) ≤ K p /α p }.
�
γdf (γ) 1 �
p .
Bemerkung 3.2.6. Wie bei den gewöhnlichen Lp-Räumen unterschieden wir zwischen zwei
Funktionen in Lp,∞ (X, µ) nicht, wenn sie nur auf eine Nullmenge in X verschiedene Werte
annehmen. D.h., Lp,∞ (X, µ) ist streng genommen der Faktor-Raum Lp,∞ (X, µ)/N mit
N := {g : X → C | g ist meßbar, g(x) = 0 f.ü.}.
Proposition 3.2.7. Sei 0 < p < ∞. � Lp,∞ , ��Lp,∞ �
ist ein quasi-normierter Raum.
32

Beweis. Für p ≥ 1 gilt
�f + g�Lp,∞ = sup
γ>0
� γdf+g(γ) 1
p
3.2 Distributionsfunktion und Schwach-Lp
� ≤ sup
γ>0
≤ sup
γ>0
� �
γ df ( 1
2
�
γdf ( 1 1
γ) p + γdg(
2 1
2
�
.
≤ 2 � �f�Lp,∞ + �g�Lp,∞ 1 1
p γ) + dg( γ)�
2 �
1 �
γ) p
1 � �
Analog zeigt man �f + g�Lp,∞ ≤ 2 p �f�Lp,∞ + �g�Lp,∞ wenn 0 < p ≤ 1. Für k ∈ C
zeigt man leicht �kf�L p,∞ = |k|�f�Lp,∞. Ferner gilt �f�Lp,∞ = 0 ⇒ ∀γ > 0 : df (γ) =
0 ⇒ f = 0 f.ü. Somit haben wir gezeigt, dass ��Lp,∞ ein Quasinorm (Seminorm) ist.
Proposition 3.2.8. Sei 0 < p < ∞. Es gilt �f�L p,∞ ≤ �f�L p (d.h. Lp (X, µ) ⊂
L p,∞ (X, µ)).
Beweis. Sei α > 0. Dann ist
α p df (α) = α p
Es folgt �f�Lp,∞ ≤ �f�Lp. �
{|f(x)|>α}
dµ ≤
�
{|f(x)| p >α p }
|f(x)| p dµ ≤ �f� p
L p.
Beispiel 3.2.9. Sei X = Rn und f(x) := |x| −n/p . Dann gilt �f�Lp,∞ = ωn und �f�Lp = ∞.
Proposition 3.2.10. Seien 0 < p < ∞, {fk} ∞ k=1 ∈ Lp,∞ (X, µ) und f ∈ L p,∞ (X, µ).
Falls limk → ∞fk = f in L p,∞ , dann gilt limk → ∞fk = f dem Maße nach.
Beweis. Es gilt
für alle α > 0. Es folgt
�fk − f� p
Lp,∞ � p
= sup γ df (γ)
γ>0
� ≥ α p df (α)
�fk − f� p
L p,∞ < ε p+1 ⇒ ε p µ{x ∈ X | |fk(x) − f(x)| > ε} < ε p+1
für all ε > 0, und somit die Behauptung.
Proposition 3.2.11. Seien 0 < p < q ≤ ∞. Sei f ∈ L p,∞ (X, µ) ∩ L q,∞ (X, µ). Dann gilt
f ∈ L r (X, µ) für alle p < r < q und
(3.2.2)
� � 1
r r r
�f�Lr ≤ +
r − p q − r
1/r−1/q
1/p−1/q
�f�
L p,∞
1/p−1/r
1/p−1/q
�f� .
L q,∞
33

3 Interpolation
Beweis. Sei q < ∞. Setze
Mit
und Proposition 3.2.3 folgt
�f� r Lr = r
� q
�f�
B :=
df (α) ≤ min � �f� p
�
∞
0
∞
�
≤ r
0
B
�
≤ r
0
α r−1 df (α) dα
L q,∞
�f� p
L p,∞
� 1/(q−p)
.
Lp,∞/α p , �f� q q�
Lq,∞/α α r−1 min � �f� p
L p,∞/α p , �f� q
L q,∞/α q� dα
α r−1−p �f� p
L p,∞ dα + r
�∞
= r
r − p �f�p Lp,∞B r−p + r
q − r �f�q L
� �
r r ��f�p = + L r − p q − r
p,∞
B
α r−1−q �f� q
Lq,∞ �
dα
p,∞B r−q
� q−r
q−p � �f� q
Lq,∞ � r−p
q−p .
Damit folgt (3.2.2) für den Fall q < ∞. Sei nun q = ∞. Da df (α) = 0 wenn α > �f�∞,
folgt
3.3 Faltung
�f� r Lr = r
≤ r
�
0
∞
�
α r−1 df (α) dα ≤ r
�f�∞
0
�
�f�∞
0
α r−1 df (α) dα
α r−1−p �f� p
Lp,∞ dα = r
r − p �f�p L
p,∞�f� r−p
Die Faltungsoperation (Siehe Definition 2.5.1) wollen wir in diesem Paragraphen auf
den L p (R n )- und L p,∞ (R n )-Räumen erweitern.
Theorem 3.3.1. Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Für f ∈ L p (R n ) und g ∈ L 1 (R n ) gilt
(3.3.1)
34
�g ∗ f�Lp ≤ �g�L1�f�L p.
∞ .

Beweis. (Übung! Hinweis: Hölder und Fubini.)
Theorem 3.3.2 (Youngsche Ungleichung). Seien 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ mit
(3.3.2)
Für f ∈ L p (R n ) und g ∈ L r (R n ) gilt
(3.3.3)
1 1 1
+ 1 = +
q p r .
�g ∗ f�Lq ≤ �g�Lr�f�L p.
Beweis. (Übung! Hinweis: Hölder und Fubini.)
3.3 Faltung
Theorem 3.3.3 (Youngsche Ungleichung in L p,∞ ). Seien 1 ≤ p < ∞ und 1 < q, r < ∞
mit
(3.3.4)
1 1 1
+ 1 = +
q p r .
Es gibt eine Konstante C(r, q, p) > 0 so, dass für alle f ∈ L p (R n ) und g ∈ L r,∞ (R n ) gilt
(3.3.5)
Beweis. Sei M > 0. Setze
Nach Übung 3.2 folgt
�
dg(α) für α > M,
dg2 (α) =
dg(M) für α ≤ M,
Ferner gilt nach Proposition 3.2.2:
�g ∗ f�Lq,∞ ≤ C(r, q, p) �g�Lr,∞�f�L p.
g1 := gχ {|g(x)|≤M}, g2 := gχ {|g(x)|>M}.
dg1 (α) =
df∗g(α) ≤ df∗g1 (α/2) + df∗g2 (α/2).
Wir fixieren jetzt α > 0. Mit Proposition 3.2.3 gilt für r < s < ∞:
(3.3.6)
�
R n
|g1| s �
dx = s
0
∞
�
= s
M
0
M
�
≤ s
0
α s−1 dg1 (α) dα
α s−1� dg(α) − dg(M) � dα
α s−1−r �g� r �
Lr,∞ dα − s
≤ s
s − r M s−r �g� r L r,∞ − M s dg(M).
� 0 für α ≥ M,
dg(α) − dg(M) für α < M.
0
M
α s−1 dg(M) dα
35

3 Interpolation
Analog berechnen wir für g2 und 0 < t < r:
(3.3.7)
�
R n
Sei p ′ die Hölder-konjugierte zu p (d.h. 1
p
|g1| t dx ≤ r
r − t M t−r �g� r L r,∞.
1 + p ′ = 1). Da 1
r
nun s = p ′ in (3.3.6). Mit der Hölder-Ungleichung folgern wir dann:
|f ∗ g1(x)| ≤ �f�Lp�g1� Lp ′ ≤ �f�Lp in dem Fall p ′ < ∞. In dem Fall p ′ = ∞ gilt
Wir wählen nun M > 0 so, dass
Genauer setzten wir
Dann gilt
M :=
� p ′
|f ∗ g1(x)| ≤ �f�L pM
|f ∗ g1(x)| ≤ α
2 .
� �αp ′
2 −p′
rq −1 �f� −p′
Lp �g� −r
Lr,∞ �1/(q ′ −r)
= 1
p ′ + 1
q , gilt 1 < r < p′ . Wähle
p ′ − r M p′ −r �g� r L r,∞
für p ′ < ∞,
α/(2�f� L 1) für p ′ = ∞.
df∗g1 (α/2) = 0.
Wähle nun t = 1 in (3.3.7). Nach Theorem 3.3.1 folgt
Wir haben dann
�f ∗ g2�L p ≤ �f�L p�g2� L 1 ≤ �f�L p
df∗g(α) ≤ df∗g2 (α/2)
�
≤
Es folgt (3.3.5).
36
|f ∗ g2(x)| p (α/2) −p dx
Rn = � 2�f ∗ g2�Lpα−1� p
r
r − 1 M 1−r �g� r Lr,∞. ≤ � 2�f�Lp r
r − 1 M 1−r �g� r Lr,∞α−1� p −q q
= C(p, q, r)α �f�L � 1/p ′
q
p�g�Lr,∞.

3.4 Interpolationssätze
3.4 Interpolationssätze
Theorem 3.4.1 (Interpolationssatz von Marcinkiewicz). Es seien 0 < p0 < p1 ≤ ∞,
M := {g : Y → C | g ist ν-meßbar} der Raum aller (Y, ν)-meßbaren Funktionen, und
eine Abbildung mit
(3.4.1)
(3.4.2)
(3.4.3)
T : L p0 (X, µ) + L p1 (X, µ) → M
|T (f + g)(y)| ≤ |T (f)(y)| + |T (g)(y)| für alle y ∈ Y,
�T (f)�L p 0 ,∞ ≤ M0�f�L p 0 ,
�T (f)�L p 1 ,∞ ≤ M1�f�L p 1 .
Dann gilt für all 0 < p0 < p < p1 ≤ ∞:
(3.4.4)
wobei
(3.4.5)
�T (f)�Lp ≤ M�f�L p,
�
p
M = 2 +
p − p0
p
� 1
p
p1 − p
M
1/p−1/p1 1/p0−1/p1 0
M
1/p0−1/p 1/p0−1/p1 1
Beweis. Wir betrachten zuerst den Fall p1 < ∞. Sei f ∈ Lp (X) und α > 0. Sei δ > 0
und
� �
f(x) für |f(x)| > δα,
f(x) für |f(x)| ≤ δα,
(3.4.6)
Da p0 < p gilt
und da p < p1:
f α 0 (x) :=
�f α 0 � p0
L p 0 =
�f α 1 � p1
L p 1 =
0 für |f(x)| ≤ δα,
�
{|f(x)|>δα}
�
{|f(x)|≤δα}
f α 1 (x) :=
.
0 für |f(x)| > δα.
|f| p |f| p0−p dµ(x) ≤ (δα) p0−p �f� p
L p,
|f| p |f| p1−p dµ(x) ≤ (δα) p1−p �f� p
L p.
Also ist f α 0 ∈ Lp0 (X, µ) und f α 1 ∈ L p1 (X, µ). Es folgt nach (3.4.1):
und damit
|T (f)(y)| ≤ |T (f α 0 )(y)| + |T (f α 1 )(y)|
{y ∈ Y | |T (f)(y)| > α} ⊂ {y ∈ Y | |T (f α 0 )(y)| > α
2 } ∪ {y ∈ Y | |T (f α 1 )(y)| > α
2 }.
37

3 Interpolation
Somit folgt
d T (f)(α) ≤ d T (f α 0 )
Nach (3.2.5), (3.4.2) und (3.4.3) folgt dann
d T (f)(α) ≤
Mit Proposition 3.2.3 bekommen wir somit:
�T (f)� p
L p ≤ p(2M0) p0
≤ p(2M0) p0
p(2M1) p1
�∞
0
∞
�
0
�
0
∞
�α
2
� + dT (f α 1 )
�α �
.
2
p0 M0 (α/2) p0 �f α 0 � p0
Lp p1 M1 0 +
(α/2) p1 �f α 1 � p1
Lp1 .
α p−1−p0 �f α 0 � p0
L p 0 dα + p(2M1) p1
α p−1−p0
α p−1−p1
�
{|f(x)|>δα}
�
{|f(x)|≤δα}
�∞
|f(x)| p0 dµ(x)dα+
0
|f(x)| p1 dµ(x)dα.
Wenden wir nun den Satz von Fubini an, so erhalten wir
�T (f)� p
Lp ≤ p(2M0) p0
�
X
p(2M1) p1
�
X
|f(x)| p0
|f(x)| p1
1
δ |f(x)|
�
0
�
∞
1
δ |f(x)|
α p−1−p0 dαdµ(x)+
α p−1−p1 �f α 1 � p1
L p 1 dα
α p−1−p1 dαdµ(x)
= p(2M0) p0 1
p − p0 δp−p0 �
|f(x)|
X
p0 p−p0 |f(x)| dµ(x)+
p(2M1) p1 1
p1 − p δp−p1 �
|f(x)|
X
p1 p−p1 |f(x)| dµ(x)
�
p(2M0)
=
p0
p1
1 p(2M1)
+ p−p0 p − p0 δ p1 − p δp1−p
�
�f� p
Lp. Diese Ungleichung gilt für jedes δ > 0. Wir wählen nun δ > 0 so, dass
womit (3.4.4), (3.4.5) folgt.
38
(2M0) p0
1
δ p−p0 = (2M1) p1 δ p1−p ,

3.4 Interpolationssätze
Wir betrachten nun den Fall p1 = ∞. Wir werden wieder für δ > 0 die Zerlegung
(3.4.6) benutzen. Da nach Definition L ∞,∞ (X, µ) = L ∞ (X, µ), gilt nach (3.4.3):
Wählen wir δ = (2M1) −1 , so erhalten wir
Es folgt dann
Nach (3.4.2) erhalten wir:
�T (f α 1 )�L∞ ≤ M1�f α 1 �L∞ ≤ M1δα.
�T (f α 1 )�L∞ ≤ α/2.
d T (f α 1 )(α/2) = ν � {y ∈ Y | |T (f α 1 )| > α/2} � = 0.
dT (f α
0 )( α
2 ) ≤ (2M0) p0�f α
0 � p0
Lp0 αp0 p0 (2M0)
≤
αp0 �
{|f(x)|> α
2M 1 }
Nach (3.4.1), Proposition 3.2.3 und den Satz von Fubini folgt damit:
�T (f)� p
Lp �∞
= p α p−1 dT (f)(α) dα
0
∞
�
≤ p
0
= p(2M0) p0
p0
p−1 (2M0)
α
αp0 �
X
|f(x)| p0
�
{|f(x)|> α
2M 1 }
�
2M1|f(x)|
0
|f(x)| p0 dµ(x) dα
Somit folgt (3.4.4), (3.4.5) auch für den Fall p1 = ∞.
|f(x)| p0 dµ(x).
α p−p0−1 p(2M1)
dαdµ(x) = p−p0 (2M0) p0
�f�
p − p0
p
Lp. Theorem 3.4.2 (Interpolationssatz von Riesz-Thorin). Es seien 1 ≤ p0, p1, q0, q1 ≤
∞,
und
T := {f : X → C | f =
N�
βi χAi , Ai ⊂ X µ-meßbar, βi ∈ C},
i=1
M := {g : Y → C | g ist ν-meßbar}
T : T → M
39

3 Interpolation
eine Abbildung mit
(3.4.7)
(3.4.8)
(3.4.9)
Dann gilt für all 0 < θ < 1:
(3.4.10)
wobei
(3.4.11)
T (f + g)(y) = T (f)(y) + T (g)(y) für alle y ∈ Y,
�T (f)�L q 0 ≤ M0�f�L p 0 ,
�T (f)�L q 1 ≤ M1�f�L p 1 .
1−θ
�T (f)�Lq ≤ M M θ 1 �f�Lp, 1 1 − θ
= +
p p0
θ
p1
0
and
1
q
= 1 − θ
q0
+ θ
.
q1
Ferner gibt es eine eindeutige Erweiterung von T auf einen stetigen linearen Operator
von L p (X, µ) nach L q (Y, ν) (mit p und q wie in (3.4.11)).
Beweis. (Siehe Kapitel 1.3.2 in [1]).
3.5 Lp-Theorie für die Fourier-Transformation
Proposition 3.5.1 (Plancherel). Die Fouriertransformation ist eine Isometrie auf dem
Funktionenraum L 2 (R n ), d.h. �f� L 2 = � � f� L 2 für alle f ∈ L 2 (R n ).
Beweis. Sei f ∈ L2 (Rn ). Da S dicht in L2 (Rn ) liegt (folgt aus Übung 2.2 und 2.3)
gibt es eine Folge {ϕk} ∞ k=1 ⊂ S mit limk→∞ ϕk = f in L2 (Rn ). Nach Theorem 2.4.5
(genauer (2.4.18)) ist �ϕk −ϕm�L2 = � �ϕk − �ϕm� L2. Also ist { �ϕk} ∞ k=1 eine Cauchy-Folge in
L2 (Rn ) und somit konvergent. D.h. limk→∞ �ϕk = F ∈ L2 (Rn ) in L2 (Rn ) und somit, nach
Proposition 2.3.13, auch limk→∞ �ϕk = F in S ′ . Nach Proposition 2.3.13 und Theorem
2.4.10 ist aber limk→∞ �ϕk = � f in S ′ . Also muss F = � f und damit
� � f�L2 = �F �L2 = lim
k→∞ � �ϕ� L2 = lim
k→∞ �ϕ�L2 = �f�L2. Proposition 3.5.2. Die Fouriertransformation ist eine lineare stetige Abbildung von
L1 (Rn ) nach L∞ (Rn ), genauer ist F : L1 (Rn ) → L∞ (Rn ) mit �F(f)�L ∞ ≤ �f�L1. Ferner gilt
∀f ∈ L 1 (R n �
) : f(ξ) � = f(x) e −2πix·ξ (3.5.1)
dx
punktweise.
40
R n

3.5 Lp-Theorie für die Fourier-Transformation
Beweis. Sei f ∈ L1 (Rn ). Genau wie in dem Beweis von Proposition 3.5.1 können wir eine
Folge {ϕk} ∞ k=1 ⊂ S mit limk→∞ ϕk = f in L1 (Rn ) und limk→∞ �ϕk = � f in S ′ . Da
�
� �ϕk(ξ) − f(x) e −2πix·ξ dx�L∞ ≤ �ϕk − f�L1 ist aber auch limk→∞ �ϕk = �
R n
und somit auch �F(f)�L ∞ ≤ �f� L 1.
Rn f(x) e−2πix·ξ dx in S ′ . Es folgt
�
�f(ξ) = f(x) e −2πix·ξ dx
R n
Bemerkung 3.5.3. Wir können zum Beispiel für Funktionen in L 2 (R n ) im allgemeinen
nicht die Fouriertransformation explizit angeben wie in (3.5.1).
Theorem 3.5.4 (Hausdorff-Young). Sei 1 ≤ p ≤ 2. Dann gilt
(3.5.2)
∀f ∈ L p (R n ) : � � f�p ′ ≤ �f�Lp, wobei 1 = 1 1
p + p ′ . D.h. F : Lp (Rn ) → Lp′ (Rn ).
Beweis. Nach Proposition 3.5.1 und 3.5.2 können wir den Interpolationssatz von Riesz-
Thorin (Theorem 3.4.2) anwenden mit q0 = 2, p0 = 2, q1 = ∞, p1 = 1 und θ = 2
p − 1. Es
folgt (3.5.2).
Wir werden nun eine Verallgemeinerung von Theorem 3.5.4 in gewichteten L p -Räumen
beweisen. Für eine nicht-negative messbare Funktion w : R n → R führen wir den gewichtete
L p -Raum
(3.5.3)
ein.
L p w(R n ) := {f : R n → C | f messbar, �f� p
Lw

3 Interpolation
ist dann nach Theorem 3.5.4 wohldefiniert als Abbildung nach M. Ferner ist T linear,
und erfüllt somit (3.4.1). Da, nach Proposition 3.2.8 und 3.5.1,
�T (f)� L 2,∞ (Y,ν) ≤ �T (f)� L 2 (Y,ν) =
� �
R n
| � f(ξ)|ξ| n | 2 |ξ| −2n � 1
2
dξ
= � � f� L 2 = �f� L 2
erfüllt T auch (3.4.2) mit p0 = 2. Weiter gilt für α > 0, nach Proposition 3.5.2:
α dT (f)(α) = αν � {ξ ∈ R n | | � f|(ξ)|ξ| n > α} �
≤ αν � {ξ ∈ R n | �f�L1|ξ| n > α} �
�
= α
|ξ| −2n dξ
≤ Cα
{ξ∈R n | |ξ|>(α/�f� L 1 ) 1/n }
= C�f� L 1.
�
∞
(α/�f� L 1 ) 1/n
r −2n r 2 dr; Polar-Koordinaten!
Es folgt �T (f)� L 1,∞ (Y,ν) ≤ C�f� L 1. Somit erfüllt T auch (3.4.3) mit p1 = 1. Nach
Theorem 3.4.1 folgt nun für 1 ≤ p ≤ 2: �T (f)� L p (Y,ν) ≤ C�f� L p (X,ν). D.h.
und damit (3.5.4).
42
� �
R n
� 1
�
| f(ξ)|ξ| � n � p
p|ξ| −2n
| dξ
≤ C�f� L p (R n ),

3.5 Lp-Theorie für die Fourier-Transformation
Ü3.1 Sei ϕ : [0, ∞) → R eine stetig differenzierbare monoton wachsende Funktion mit
ϕ(0) = 0. Seien 0 < p < ∞ und f ∈ L p (X, µ). Zeigen Sie, dass
(3.5.5)
�
X
ϕ(|f|) dµ =
�∞
0
ϕ ′ (α) df (α) dα.
Ü3.2 Es sei f : X → C meßbar. Für γ > 0 seien fγ := fχ {|f(x)|>γ} und f γ := f − fγ =
fχ {|f(x)|≤γ}.
a) Zeigen Sie, dass
�
df (α) für α > γ,
dfγ (α) =
df (γ) für α ≤ γ,
b) Zeigen Sie, dass für f ∈ L p (X, µ) gilt
�fγ� p
Lp �∞
= p
γ
γ
�f γ � p
Lp �
= p
�
{γ p und fγ ∈ L r (X, µ)
für alle r < p.
Ü3.3 Es es f : X → C µ-meßbar. Zeigen Sie, dass die Funktion
ψ : X × (0, ∞) → R, ψ(y, α) := α p χ {x∈X | |f(x)|>α}(y)
meßbar bzgl. das Produktmaß auf X × (0, ∞) ist. Hinweis: Approximieren Sie f durch
Treppenfunktionen.
Ü3.4 Zeigen Sie, dass der Raum L p,∞ (X, µ) vollständig in der vom Halbnorm �·�L p,∞
induzierte Topologie ist.
43

4 Maximal-Funktion
Die Maximal-Funktion M(f) einer Funktion f ist, wie die Distributionsfunktion (siehe
Definition 3.2.1), einer von f abgeleitete Funktion, die zwar nicht sämtliche qualitative
Informationen von f besitzt, aber genug um wichtige Eigenschaften von f über M(f)
herzuleiten.
4.1 Hardy-Littlewood Maximal-Operator
Definition 4.1.1. Sei f ∈ L1 loc (Rn ). Die Funktion
�
1
(4.1.1)
M(f)(x) := sup
δ>0 |Bδ(x)|
heißt zentrierte Maximalfunktion von f.
Definition 4.1.2. Sei f ∈ L 1 loc (Rn ). Die Funktion
(4.1.2)
M (f)(x) := sup
δ>0,|y−x| ji so, dass Bs und ∪ i r=1 Bjr disjunkt
sind. Somit erhalten wir eine endliche Teil-Familie von paarweise disjunkte Kugeln
{Bj1 , Bj2 , . . . , Bjl }. Wir betrachten nun eine Kugel Bm, die nicht ausgewählt wurde.
Dann muss Bm ∩ Bjr �= ∅ für ein jr < m. Da |Bjr| ≥ |Bm| folgt Bm ⊂ 3Bjr. Somit folgt
|∪ k i=1Bi| ≤ |∪ l r=13Bjr| ≤
l�
|3Bjr| ≤ 3 n
r=1
l�
|Bjr|.
r=1
45

4 Maximal-Funktion
Wir betrachten nun die Operatoren f → M(f) und f → M (f). Diese Operatoren
heißen Hardy-Littlewood Maximal-Operatoren.
Theorem 4.1.5. Sei 1 < p < ∞. Es gilt
(4.1.4)
(4.1.5)
und
(4.1.6)
(4.1.7)
M : L 1 (R n ) → L 1,∞ (R n ) mit �M(f)� L 1,∞ ≤ 3 n �f� L 1,
M : L p (R n ) → L p (R n ) mit �M(f)�L
�f�Lp. p − 1
p ≤ p3n/p
M : L 1 (R n ) → L 1,∞ (R n ) mit �M (f)� L 1,∞ ≤ 3 n �f�L q,
M : L p (R n ) → L p (R n ) mit �M (f)�L
�f�Lp. p − 1
p ≤ p3n/p
Beweis. Zuerst zeigen wir, dass die Menge Eα := {x ∈ Rn | |M (f)(x)| > α} offen ist.
Sei dazu x ∈ Eα. Wähle nun δ > 0 und y ∈ Bδ(x) so, dass
�
1
|f(z)| dz > α.
|Bδ(y)|
Für ˜y ∈ Bδ(y) gilt y ∈ Bδ(˜y) und somit
Bδ(y)
1
M (f)(˜y) ≥
|Bδ(y)|
�
Bδ(y)
|f(z)| dz > α.
Es folgt x ∈ Bδ(y) ⊂ Eα. Also ist Eα offen.
Sei nun K ⊂ Eα kompakt. Mit dem Argument von oben, gibt es für x ∈ K eine Kugel
Bx ⊂ Eα so, dass x ∈ Bx und
�
|f(z)| dz > |Bx|α.
Bx
Da K kompakt ist, können wir eine endliche Familie {Bx1 , Bx2 , . . . , Bxk } auswählen mit
K ⊂ ∪k Bxi i=1 . Nach Lemma 4.1.4 gibt es eine endliche Teil-Familie von disjunkten Kugeln
{Bxj , Bxj , . . . , Bxj } die (4.1.3) erfüllt. Es folgt
1 2 l
|K| ≤ |∪ k i=1 Bxi | ≤ 3n
l�
|Bxj | ≤
i 3n
α
i=1
l�
�
i=1
Bxji |Eα| = sup |K| ≤
K⊂Eα,K kompakt
3n
α
Eα
|f(z)| dz ≤ 3n
α
Das Lebesguemaß ist ein reguläres Maß, und somit ist
�
|f(z)| dz ≤ 3n
α �f�L1. 46
�
Eα
|f(z)| dz.

Es folgt
�M (f)�L1,∞ = sup α|Eα| ≤ 3
α>0
n �f�L1. 4.2 Anwendungen der Maximalfunktion
Also haben wir (4.1.6) gezeigt.
Um (4.1.7) zu zeigen, werden wir den Interpolationssatz von Marcinkiewicz benutzen.
Es gilt nämlich
�
1
�M (f)�L∞,∞ = ess sup sup
|f(z)| dz ≤ �f�L
|Bδ(y)|
∞
x∈R n
δ>0,|y−x|0 ωn εn �
Rn |f(x − y)|χB1(0)(y/ε) dy
(4.2.2)
= sup |f| ∗ kε(x),
ε>0
wobei k = ω −1
n χ B1(0), schreiben. In diesem Sinne ist die Maximalfunktion ein Supremum
von Glättungen. Wir können sogar die Maximalfunktion benutzen um eine große Klasse
von Glättungen zu “kontrollieren”:
Theorem 4.2.1. Sei j : [0, ∞) → [0, ∞) eine monoton fallende und bis auf endliche
viele Punkte stetige Funktion derart, dass
integrierbar ist. Dann gilt
(4.2.3)
J : R n → [0, ∞), J(x) := j(|x|)
∀f ∈ L 1 loc (Rn ) : sup[|f|
∗ Jε](x) ≤ �J�L1M(f)(x). ε>0
1 ωn bezeichnet den Volumen von B1(0) ⊂ R n . D.h. ωn = |B1(0)| und somit nωn = |∂ B1(0)|.
47

4 Maximal-Funktion
Beweis. Wir beweisen den Satz unter der Annahme, dass J ∈ C∞ 0 (Rn ). Der allgemeine
Fall folgt dann nach einem Approximation von J durch C∞ 0 -Funktionen (Übung: Führen
Sie diese Approximation durch!). Ferner nehmen wir x = 0 an. Den Fall x �= 0 folgt
einfach indem wir τxf für f einsetzen.
Wir setzen
�
F (r) := |f(rθ)| do(θ).
∂ B1(0)
Durch Anwendung von Polarkoordinaten und partielle Integration folgt
�
|f| ∗ Jε(0) = |f(y)|Jε(−y) dy
Rn ∞
�
=
�
=
�
=
�
0 ∂ Br(0)
∞
�
0 ∂ B1(0)
∞
0
� �r
=
�
= −
�
= −
�
≤ −
|f(y)|Jε(r e1) dodr
r n−1 |f(rθ)|Jε(r e1) do(θ)dr
r n−1 F (r)Jε(r e1) dr
t
0
n−1 �∞ F (t) dt Jε(r e1)
0
∞ r
�
0 0
∞
�
0 Br(0)
∞
0
�
= M(f)(0)
�
−
0
∞
t n−1 F (t) dt d
dr Jε(r e1) dr
f(y) dy d
dr Jε(r e1) dr
ωnr n M(f)(0) d
dr Jε(r e1) dr
0
∞
�
0
r
t n−1 F (t) dt d
dr Jε(r e1) dr
ωnnr n−1 Jε(r e1) dr = M(f)(0)�J� L 1.
Korollar 4.2.2. Sei ϕ ∈ L 1 (R n ) und Φ ∈ L 1 (R n ) mit |ϕ(x)| ≤ |Φ(x)| und Φ(x) = j(|x|)
mit j wie in Theorem 4.2.1. Dann gilt
(4.2.4)
48
∀f ∈ L 1 loc (Rn ) : sup |f ∗ ϕε(x)| ≤ �Φ�L1M(f)(x). ε>0

4.2 Anwendungen der Maximalfunktion
Als nächste Anwendung wollen wir den Differentiationssatz von Lebesgue beweisen.
Dazu benötigen wir folgende Definition und Hilfssatz:
Definition 4.2.3. Sei {Tε}ε>0 eine Familie von linearen Operatoren Tε : L p (X, µ) →
M, wobei (X, µ), (Y, ν) Maßräume mit positiven Maße sind und M := {g : Y →
C | g ist ν-meßbar}. Dann setzen wir
(4.2.5)
T∗ : L p (X, µ) → M, T∗(f)(y) := sup |Tε(f)(y)|
ε>0
Theorem 4.2.4. Es seien 0 < p ≤ ∞, 0 < q < ∞ und {Tε}ε>0, T∗ wie in Definition
4.2.3. Wenn gilt
(4.2.6)
∀f ∈ L p (X, µ) : �T∗(f)�L q,∞ ≤ C�f�L p
und für eine Menge D, die dicht in L p (X, µ) liegt,
(4.2.7)
∀g ∈ D : lim
ε→∞ Tε(g)(y) = T (g)(y) ν − f.ü,
dann existiert der Grenzwert in (4.2.7) für alle f ∈ L p (X, µ) und
(4.2.8)
Beweis. Sei f ∈ L p (X, µ). Setze
Wir wollen nun zeigen, dass
(4.2.9)
∀f ∈ L p (X, µ) : �T (f)�Lq,∞ ≤ C�f�L p.
Of (y) := lim sup
ε→0
lim sup |Tε(f)(y) − Tθ(f)(y)|.
θ→0
ν � {y ∈ Y | Of (y) > δ} � = 0
für alle δ > 0. Betrachte dazu η > 0 und wähle g ∈ D so, dass �f − g�Lp < η. Da
limε→0 Tε(g)(y) = T (g)(y) ν-f.ü. folgt Og = 0 ν-f.ü. Es folgt
und somit für δ > 0
Of (y) ≤ Og(y) + Of−g(y) = Of−g(y) ν − f.ü.,
ν � {y ∈ Y | Of (y) > δ} � ≤ ν � {y ∈ Y | Of−g(y) > δ} �
≤ ν � {y ∈ Y | 2T∗(f − g)(y) > δ} �
�
≤ 2 �T∗(f − g)�Lq,∞ �q δ
�
�q �
�f − g�Lp,∞ ≤ 2C ≤ 2C
δ
η
�q .
δ
Lassen wir η → 0 folgt (4.2.9). Aus (4.2.9) sehen wir, dass Of (y) = 0 ν-f.ü. D.h. Tε(f)(y)
ist für ν-f.a. y ∈ Y eine Cauchy-Folge und somit konvergent ist, d.h. limε→0 Tε(f)(y) =:
T (f)(y). Da |T (f)(y)| ≤ |T∗(f)(y)| folgt (4.2.8).
49

4 Maximal-Funktion
Korollar 4.2.5. Für f ∈ L1 loc (Rn ) gilt
1
lim
r→0 |Br(x)|
�
f(y) dy = f(x) für f.a. x ∈ R n .
Br(x)
Beweis. Es genügt, wenn wir diese lokale Eigenschaft für f ∈ L1 (Rn ) zeigen. Wir setzen
dazu jε = ω−1 n χB1(0) und
�
1
Tε(f)(x) := f ∗ jε(x) =
f(y) dy.
|Bε(x)|
Weiter definieren wir T (f) = f. Offensichtlich gilt
Bε(x)
∀f ∈ C 0(R n ) : lim
ε→0 Tε(f)(x) = f(x) = T (f)(x).
Da |T∗(f)(y)| ≤ M(f)(y) folgt nach Theorem 4.1.5, dass
∀f ∈ L 1 (R n ) : �T∗(f)� L 1,∞ ≤ C�f� L 1.
Das Korollar folgt nun nach eine Anwendung von Theorem 4.2.4.
50

5 Singuläre Integrale
Wir werden in diesem Kapitel singuläre Integral-Operatoren analysieren. Insbesondere
werden wir L p -Abschätzungen für solche Operatoren etablieren.
5.1 Hilbert-Transformation
Lemma 5.1.1. Für ϕ ∈ S (R) setzen wir
Es ist W0 ∈ S ′ (R).
Beweis. Für η > ε > 0 gilt
�
|
ϕ(x)
dx −
x
�
η≤|x|
ε≤|x|
〈W0, ϕ〉 := 1
π lim
ε→0
ϕ(x)
x
dx| = |
= |
�
ε≤|x|≤η
�
ε≤|x|≤η
�
ε≤|x|
ϕ(x)
x dx
ϕ(x)
x dx|
ϕ(x) − ϕ(0)
x
Also ist { �
ε≤|x|
stellen damit fest, dass W0 wohldefiniert ist. Ferner gilt
|〈W0, ϕ〉| = | 1
π lim
�
�
ϕ(x) 1
dx +
ε→0 x π
dx| ≤ 2(η − ε)�ϕ ′ �∞.
ϕ(x)
x dx}ε>0 eine Cauchy-Folge (für ε → 0) und somit konvergent. Wir
= | 1
π lim
ε→0
ε≤|x|≤1
�
ε≤|x|≤1
ϕ(x) − ϕ(0)
x
≤ 1
π 2�ϕ′ �∞ + 1
π sup |xϕ(x)|
mit α = β = 1. Es folgt W0 ∈ S ′ (R).
Bemerkung 5.1.2. Das Integral
�∞
−∞
x∈R
ϕ(x)
x dx
|x|>1
dx + 1
π
�
|x|>1
ϕ(x)
x dx|
�
|x|>1
ϕ(x)
x dx|
1
dx ≤ Cρα,β(ϕ)
x2 51

5 Singuläre Integrale
existiert nicht im klassischen Sinne (Riemann oder Lebesgue); es ist ein so-genanntes
singuläres Integral. Wir können allerdings mit Lemma 5.1.1 dieses Integral als
�∞
−∞
ϕ(x)
x
dx := lim
�
ε→0
ε≤|x|
ϕ(x)
x dx
definieren. Es ist gebräuchlich dieses Integral als ein Cauchy Hauptwert zu bezeichnen
(oder V.P. (valeur principale) oder P.V. (principal value)).
Definition 5.1.3. Die Hilbert-Transformation ist durch
definiert.
H : S (R) → S ′ (R), H(f) := f ∗ W0
Bemerkung 5.1.4. Nach Theorem 2.5.9 ist H(f) ∈ C ∞ (R) für f ∈ S (R).
Definition 5.1.5. Für f ∈ Lp (R) mit 1 ≤ p < ∞ setzen wir
H (ε) (f)(x) := 1
π
�
f(x − y)
dy.
y
ε≤|y|
Bemerkung 5.1.6. Nach Theorem 3.3.1 ist H (ε) (f) ∈ L ∞ (R) und es gilt (2.5.8).
Proposition 5.1.7. Für f ∈ S (R) gilt
Beweis. (Übung!)
Proposition 5.1.8. Es sei
(5.1.1)
Q : R → R, Q(x) := 1
π
Sei 1 ≤ p < ∞. Für f ∈ L p (R) gilt
(5.1.2)
Beweis. Es gilt
(5.1.3)
mit
(5.1.4)
52
∀x ∈ R : H(f)(x) = lim
ε→0 H (ε) (f)(x).
x
x 2 + 1 , Qε : R → R, Qε(x) := ε −1 Q(ε −1 x).
lim
ε→0 f ∗ Qε − H (ε) (f) = 0 in L p (R).
f ∗ Qε(x) − H (ε) (f)(x) = 1
f ∗ ψε(x)
π
ψε(x) := ε −1 ψ(ε −1 x), ψ(t) :=
⎧
⎪⎨
t
t
⎪⎩
2 + 1
t
t2 + 1
− 1
t
für |t| ≥ 1,
für |t| < 1.

Ferner gilt � ∞
−∞ ψ(t) dt = 0 und somit
f ∗ ψε(x) =
�∞
−∞
f(t − x)ψε(t) dt =
�∞
−∞
5.1 Hilbert-Transformation
� f(t − x) − f(x) � ψε(t) dt.
Man kann nun zeigen (Übung! Hinweis: Übung 2.3), dass limε→0 f ∗ψε = 0 in L p (R n ).
Proposition 5.1.9. Für f ∈ S (R) gilt
Beweis. Sei ϕ ∈ S (R). Dann ist
〈 � W0, ϕ〉 = 〈W0, �ϕ〉
= 1
π lim
�
ε→0
= 1
π lim
ε→0
ε

5 Singuläre Integrale
Korollar 5.1.10. H ist eine Isometrie auf L 2 (R) und H 2 = H ◦ H = I.
Beweis. (Übung!)
Theorem 5.1.11. Sei 1 < p < ∞. Es gilt
(5.1.5)
∀f ∈ S (R) : �H(f)�L p ≤ C(p)�f�L p.
Beweis. Setze m(ξ) := −i sgn ξ. Es gilt
F � f 2� (ξ) + 2F � H(fH(f)) � (ξ) = � f ∗ � �
f(ξ) + 2m(ξ) �f ∗ F � H(f) � �
(ξ)
�
= �f(η) � �
f(ξ − η) dη + 2m(ξ) �f(η) � f(ξ − η)m(η) dη
R
�
=
R
�f(η) � �
f(ξ − η) dη + 2m(ξ)
R
R
�f(η) � f(ξ − η)m(ξ − η) dη.
Es folgt
F � f 2� (ξ) + 2F � H(fH(f)) � (ξ) = 1
�
2
�f(η)
R
� �
f(ξ − η) dη + 2m(ξ) �f(η)
R
� f(ξ − η)m(η) dη
+ 1
�
2
�f(η)
R
� �
f(ξ − η) dη + 2m(ξ) �f(η)
R
� f(ξ − η)m(ξ − η) dη
�
= �f(η) � f(ξ − η) � 1 + m(ξ) � m(η) + m(ξ − η) �� dη
und somit
R
�
=
R
�f(η) � f(ξ − η) � m(η)m(ξ − η) �� dη
= F � H(f) � ∗ F � H(f) � (ξ),
f 2 + 2H(fH(f)) = H(f) 2 .
Wir werden nun (5.1.5) für p = 2 k und alle k ∈ N zeigen. Wir beweisen dies durch
Induktion. Der Fall p = 1 folgt nach Korollar 5.1.10. Angenommen es gilt (5.1.5) für ein
k ∈ N. Dann folgt
54
�H(f)� L 2 k+1 = �H(f)2 � 1
2
L 2k
≤ � �f 2 � L 2 k + �2H(fH(f))� L 2k
� 1
2
≤ � �f� 2
L2k+1 + 2C�fH(f)�
L2k � 1
2
≤ � �f� 2
L 2k+1 + 2C�f� L 2 k+1 �H(f)� L 2k+1
� 1
2 ,

und somit
Also ist
� �H(f)�L 2 k+1
�f� L 2 k+1
� 2
�H(f)� L 2 k+1
�f� L 2 k+1
− 2C �H(f)� L 2k+1
�f� L 2 k+1
≤ C + � C 2 + 1.
5.1 Hilbert-Transformation
− 1 ≤ 0.
Es folgt damit (5.1.5) für k + 1. Per Induktion haben wir somit (5.1.5) für p = 2 k und
alle k ∈ N gezeigt. Für ein beliebige p ≥ 2 folgt nun (5.1.5) indem wir k ∈ N wählen mit
2 k ≤ p < 2 k+1 und den Interpolationssatz von Riesz-Thorin (Theorem 3.4.2) anwenden.
Für 1 < p < 2 gilt, zunächst für f ∈ S (R), (1 = 1
p
+ 1
p ′ )
�H(f)�L p = sup
g∈Lp′ |〈H(f), g〉 Lp ,Lp ′ |
,�g�p ′=1
�
= sup | H(f) g dx|
g∈S (R),�g�p ′=1
R
�
(Übung!) = sup | �H(f) �g dξ|
g∈S (R),�g�p ′=1
R
�
= sup | −i sgn ξ
g∈S (R),�g�p ′=1
R
� f �g dx|
�
= sup | �f
g∈S (R),�g�p ′=1
R
� −H(g) dξ|
�
= sup
g∈S (R),�g�p ′=1
| f −H(g) dx|
= sup �f�L
g∈S (R),�g�p ′=1
p�H(g)� Lp′ R
= sup �f�L
g∈S (R),�g�p ′=1
p�H(g)� Lp′ ≤ C�f�L p.
Bemerkung 5.1.12. Nach Theorem 5.1.11 besitzt H eine eindeutige Erweiterung auf einen
beschränkten linearen Operator H : L p (R) → L p (R).
Definition 5.1.13. Sei 1 ≤ p < ∞. Für f ∈ L p (R) ist durch
H (∗) [f](x) := sup |H
ε>0
(ε) (f)(x)|
die maximale Hilberttransformation definiert.
55

5 Singuläre Integrale
Theorem 5.1.14. Sei 1 < p < ∞. Es gibt eine Konstante C > 0 so, dass
(5.1.6)
Ferner gilt:
(5.1.7)
Beweis. Setze
∀f ∈ L p (R) : �H (∗) [f]�Lp ≤ C(p) �f�Lp. ∀f ∈ L p (R) : lim
ε→0 H (ε) [f] = H[f] in L p (R) und f.ü..
P : R → R, P (x) := 1
π
Wir zeigen zuerst, dass
(5.1.8)
1
x 2 + 1 , Pε : R → R, Pε(x) := ε −1 P (ε −1 x).
∀ε > 0 : f ∗ Qε = H[f] ∗ Pε.
Wie man mit (2.4.9) leicht feststellt, genügt es (5.1.8) für ε = 1 zu zeigen. Ferner stellt
man fest, dass (5.1.8) (mit ε = 1) aus der Identität
(5.1.9)
�Q(ξ) = (−i sgn(ξ)) � P (ξ)
folgt. Es gilt (Übung! Hinweis: Residuensatz)
Um (5.1.9) zu zeigen, müssen wir also nur
zeigen. Es gilt
F −1 [(−i sgn(ξ)) e −2π|ξ| ] =
�P (ξ) = e −2π|ξ| .
F −1 [(−i sgn(ξ)) e −2π|ξ| ] = 1
π
=
�∞
−∞
∞
�
−∞
∞
�
= 2
0
x
x 2 + 1
(−i sgn(ξ)) e −2π|ξ| � cos(2πxξ) + i sin(2πxξ) � dξ
sgn(ξ) e −2π|ξ| sin(2πxξ) dξ
e −2π|ξ| sin(2πxξ) dξ = 1 x
π x2 + 1 ,
wobei die letzte Identität durch partielle Integration (zwei mal) folgt. Wir haben somit
(5.1.8) gezeigt. Als nächstes benutzen wir, wie im Beweis von Proposition 5.1.8, dass
56
f ∗ Qε(x) − H (ε) (f)(x) = 1
f ∗ ψε(x)
π

mit ψ wie in (5.1.4). Da
folgt nach Korollar 4.2.1, dass
Analog folgt
Somit können wir nun schliessen, dass
(5.1.10)
(5.1.11)
⎧
⎨
x
|ψε(x)| ≤ Ψ(x) := x
⎩
2 für |x| ≥ 1,
+ 1
1 für |x| < 1,
sup |H
ε>0
(ε) [f](x) − f ∗ Qε(x)| ≤ �Ψ�L1 M(f)(x).
sup
ε>0
sup |H[f] ∗ Pε(x)| ≤ M(H[f])(x).
ε>0
5.2 Homogene Singuläre Integrale
|H (ε) [f](x)| = sup |H
ε>0
(ε) [f](x) − f ∗ Qε + H[f] ∗ Pε(x)|
≤ �Ψ� L 1 M(f)(x) + M(H[f])(x).
Theorem 4.1.5 in Verbindung mit Theorem 5.1.11 liefert nun (5.1.6). Schliesslich liefert
Theorem 4.2.4 in Verbindung mit Proposition 5.1.7 (wähle dabei D := S ), dass
∀f ∈ L p (R) : lim
ε→0 H (ε) [f] = H[f] f.ü.
Dass dieser Grenzwert auch in L p (R) gültig ist, folgt nach dem Konvergenzsatz von
Lebesgue und (5.1.10).
5.2 Homogene Singuläre Integrale
Definition 5.2.1. Sei B1 ⊂ Rn . Für Ω : ∂ B1 → C integrierbar mit �
wir
KΩ : R n \ {0} → R, KΩ(x) := Ω(x/|x|)
|x| n .
Lemma 5.2.2. Sei Ω wie in Definition 5.2.1. Für ϕ ∈ S (R n ) setzen wir
Es ist WΩ ∈ S ′ (R n ).
〈WΩ, ϕ〉 := lim
�
ε→0
ε≤|x|
Beweis. Analog zum Beweis von Lemma 5.1.1.
KΩ(x)ϕ(x) dx.
∂ B1
Ω do = 0 setzen
57

5 Singuläre Integrale
Definition 5.2.3. Sei Ω und WΩ wie in Definition 5.2.1 bzw. Lemma 5.2.2. Wir definieren
Für 1 ≤ p < ∞ und f ∈ L p (R n ) setzen wir
TΩ : S (R n ) → S ′ (R n ), TΩ(f) := f ∗ WΩ.
T (ε,N)
Ω (f)(x) :=
�
ε≤|y|≤N
T (∗)
Ω (f)(x) := sup sup
0

ε≤|y|≤N
5.2 Homogene Singuläre Integrale
Wir wollen nun TΩ als Integral über Hθ schreiben. Sei dazu f ∈ S (Rn ). Mit Polarkoordinaten
erhalten wir zunächst
T (ε,N)
�
Ω (f)(x) = f(x − y) Ω(y/|y|)
|y| n dy
=
=
�N
ε
�N
ε
�
∂ Br
�
∂ B1
f(x − y) Ω(y/|y|)
|y| n
dodr
f(x − rθ) Ω(θ)
r do(θ)dr.
Da Ω(−θ) = −Ω(θ) folgt durch einen Koordinatentransformation ( ˜ θ = −θ):
Somit folgt
(5.2.3)
�
∂ B1
�N
ε
f(x − rθ) Ω(θ)
r
T (ε,N)
Ω (f)(x) = 1
Da f ∈ S (R n ) gilt (Übung!)
2
�
∂ B1
= 1
�
2
|
∂ B1
�
ε

5 Singuläre Integrale
Theorem 5.2.7. Sei Ω : ∂ B1 → C mit Ω integrierbar und Ω(−x) = −Ω(x). Sei TΩ wie
in Definition 5.2.3. Für 1 < p < ∞ gibt es eine Konstante C so, dass
Beweis. (Übung!).
5.3 Riesz-Transformation
∀f ∈ L p (R n ) : �T (∗)
Ω (f)�Lp ≤ C�f�L p.
Die Riesz-Transformation ist der n-dimensionale Analogon zu der Hilberttransformation.
Lemma 5.3.1. Sei 1 ≤ j ≤ n. Für ϕ ∈ S (R n ) setzen wir
Es ist Wj ∈ S ′ (R n ).
〈Wj, ϕ〉 :=
1
lim
�
πωn−1 ε→0
ε≤|x|
xj
n+1 ϕ(x) dx
|x|
Beweis. (Übung! Hinweis: Analog zum Beweis von Lemma 5.1.1).
Definition 5.3.2. Sei 1 ≤ j ≤ n. Die Riesz-Transformation ist durch
definiert.
Rj : S (R n ) → S ′ (R n ) : ∀f ∈ S (R n ) : Rj(f) := f ∗ Wj
Bemerkung 5.3.3. Nach Theorem 2.5.9 ist Rj(f) ∈ C ∞ (R n ) für f ∈ S (R) und es gilt
(2.5.8).
Proposition 5.3.4. Für f ∈ S (R) gilt
60
Rj(f) = F −1
�
− i ξj
|ξ| � �
f(ξ) .

Beweis. Für ϕ ∈ S (R n ) gilt:
〈 � Wj, ϕ〉 = 〈Wj, �ϕ〉
=
1
lim
=
=
=
=
=
�
πωn−1 ε→0
ε≤|ξ|
1
πωn−1
1
lim
ε→0
�
lim
�
ξj
ε≤|ξ|≤ 1 R
ε
n
πωn−1 ε→0
Rn ε≤|ξ|≤ 1
ε
1
�
lim
n+1 �ϕ(ξ) dξ
|ξ|
�
�
�
πωn−1 ε→0
Rn ε≤r≤ 1 ∂ Br
ε
1
�
lim
�
ϕ(x) e −2πix·ξ dx ξj
n+1 dξ
|ξ|
ϕ(x) e −2πix·ξ
�
�
πωn−1 ε→0
Rn ε≤r≤ 1 ∂ B1
ε
1
�
lim
πωn−1 ε→0
Rn = −i
Da (siehe Übung 5.1)
folgt
�
πωn−1
Rn ϕ(x)
�
ε≤r≤ 1
ε
�∞
−∞
〈 � Wj, ϕ〉 = −i
Da ferner (siehe Übung 5.2)
ist
Es folgt � Wj(ξ) = (−i) ξj
|ξ|
1
�
∂ B1
ωn−1
Rn �
ωn−1
∂ B1
�
∂ B1
θj
�∞
−∞
sin(br)
r
�
ϕ(x)
〈 � �
Wj, ϕ〉 =
ϕ(x) e −2πix·ξ
ξj
n+1 dξdx
|ξ|
ξj
5.3 Riesz-Transformation
n+1 do(ξ)drdx
|ξ|
ϕ(x) e −2πirx·θ rθj
|r| n+1 rn−1 do(θ)drdx
ϕ(x)i sin(−2πrx · θ) θj
r do(θ)drdx
sin(2πrx · θ)
r
dr = π sgn b,
�
∂ B1
drdo(θ)dx.
θj sgn(x · θ) do(θ)dx.
θj sgn(x · θ) drdo(θ) = xj
|x| ,
R n
ϕ(x)(−i) xj
|x| dx.
und somit die Behauptung.
61

5 Singuläre Integrale
Theorem 5.3.5. Sei 1 < p < ∞. Es gibt eine Konstante C so, dass
∀f ∈ S (R n ) : �Rj(f)�L p ≤ C�f�L p.
Beweis. Rj erfüllt die Bedingungen in Theorem 5.2.6.
Bemerkung 5.3.6. Sei 1 < p < ∞. Nach Theorem 5.3.5 besitzt Rj eine eindeutige Erweiterung
auf L p (R n ), d.h. als beschränkter lineare Operator Rj : L p (R n ) → L p (R n ).
Beispiel 5.3.7 (Eine Anwendung). Sei 1 < p < ∞. Seien f ∈ S (R n ) und u ∈ S ′ eine
Lösung der partielle Differentialgleichung
Dann ist
und somit
Es folgt mit Theorem 5.3.5, dass
62
∆u = f in R n .
−4π 2 |ξ| 2 �u = � f,
∂j∂ku = F −1
�
�
(2πiξj)(2πiξk)�u
= F −1
�
(2πiξj)(2πiξk)
�
= −Rj Rk(f) � .
�∇ 2 u�Lp ≤ C�f�L p.
�f
−4π 2 |ξ| 2
�

Ü5.1
a) Zeigen Sie, dass für 0 < a < b < ∞ gilt
�
|
a
b
sin x
x
dx| ≤ 4.
5.3 Riesz-Transformation
Hinweis: Betrachten Sie die Fälle b ≤ 1, a ≤ 1 ≤ b, 1 ≤ a separat. Im Fall a ≥ 1:
Partielle Integration.
b) Setze für a > 0:
I(a) :=
�∞
0
sin x
x e−ax dx.
Zeigen Sie, dass der Grenzwert lima→0 I(a) existiert. Berechnen Sie I ′ (a) und zeigen
Sie:
und
c) Zeigen Sie für a ≥ 0:
�∞
0
1 − cos x
x 2
I(a) = π
− arctan(a)
2
�∞
−∞
Ü5.2 Sei B1 ⊂ Rn . Zeigen Sie, dass
�
1
sin(bx)
x
dx = π sgn b.
e −ax dx = π
a
− arctan(a) + a log √
2 1 + a2 .
ωn−1
∂ B1
θj sgn(x · θ) do(θ) = xj
|x| .
Hinweis: Das Integral ist rotationsinvariant. Es genügt somit x = ej zu betrachten.
63

Literaturverzeichnis
[1] L. Grafakos. Classical Fourier analysis. 2nd ed. Graduate Texts in Mathematics 249.
New York, NY: Springer. xvi, 2008. 6, 40, 47
[2] L. Grafakos. Modern Fourier analysis. 2nd ed. Graduate Texts in Mathematics 250.
New York, NY: Springer. xv, 2009. 6
[3] E. Hewitt and K. Ross. Abstract harmonic analysis. Volume I: Structure of topological
groups, integration theory, group representations. 2nd ed. Grundlehren der
Mathematischen Wissenschaften. 115. Berlin: Springer- Verlag. viii, 1994. 6
[4] E. Hewitt and K. A. Ross. Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis
for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups. 2nd ed. Grundlehren
der Mathematischen Wissenschaften. 152. Berlin: Springer- Verlag. viii, 1994. 6
[5] W. Rudin. Functional analysis. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics. New
York etc.: McGraw-Hill Book Comp. XIII, 1973. 25
65