2016_Aufgabe 7; Geometrie

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Baden-Württemberg
Abitur 2010 (4 VP)
Gegeben sind die Ebene E: 3x 1 − 4x 3 = −7 und der Punkt P (9|−4|1).
a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E.
Da die Ebene bereits in der Koordinatenform gegeben ist, ergibt sich der gesuchte
Abstand d des Punktes P von der Ebene E mit der Hessesche Normalenform.
d = |n 1p 1 + n 2 p 2 + n 3 p 3 − d|
√n 1 2 + n 2 2 + n 3
2
=
|3 ∙ 9 + 0 − 4 ∙ 1 + 7|
√3 2 + 0 2 + (−4) 2 = 30
5 = 6
Der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand d = 6.
b) Der Punkt S = (−1|1|1) liegt auf E. Bestimmen Sie den Punkt Q auf der Geraden
durch S und P, der genauso weit von E entfernt ist wie P.
Der gesuchte Punkt Q ergibt sich aus:
9 −10 −11
0Q ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0P ⃗⃗⃗⃗⃗ + 2 ∙ ⃗⃗⃗⃗ PS = ( −4) + 2 ∙ ( 5 ) = ( 6 )
1
0 1
g
Q
S
E
O
P
Der gesuchte Punkt ist Q (−11|6|1).