Abitur 2015; Aufgabe A 2.1

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© www.mathe-abi-bw.de Mathe-Abi Baden-Württemberg b) Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen. Berechnen Sie den Bestand der Population zu Beginn des Jahres 2017. In welchem Jahr erreichte die Population erstmals wieder den Bestand von 1960? (3 VP) Der Bestand wird mit einer Integralfunktion berechnet. B(T = 57) = 20000 + ∫ 0 57 g(t) − s(t) dt ≈ 35636 Zu Beginn des Jahres 2017 ergibt sich ein Bestand von 35.636 Individuen. Damit die Population wieder den Bestand von 1960 erreicht, muss die Differenz der Geburten- und Sterbefälle gleich Null sein. T B(T) = ∫ g(t) − s(t) dt = 0 0 Dieses trifft nach ca. 6,87 Jahren zu. Daher wird im Jahr 1966 erstmals wieder der Bestand von 1960 erreicht.
© www.mathe-abi-bw.de Mathe-Abi Baden-Württemberg Betrachtet wird nun das Größenwachstum eines einzelnen Individuums der Population. Dies kann im Beobachtungszeitraum durch das Gesetz des beschränkten Wachstums modelliert werden. Man geht davon aus, dass dieses Individuum in ausgewachsenem Zustand 0,8m groß ist. Zu Beobachtungsbeginn betragen seine Größe 0,5m und seine momentane Wachstumsgeschwindigkeit 0,15m pro Jahr. c) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen? (4 VP) Beim beschränkten Wachstum ist die Wachstumsrate proportional zur Differenz aus einer Schranke (auch Sättigungswert genannt) und dem aktuellen Bestand. Die Differenzialgleichung lautet g′(t) = k ∙ (S − g(t)) Die Lösung dieser Differenzialgleichung lautet g(t) = S + (g(0) − S) ∙ e −kt mit g(0) = 0,5; g´(0) = 0,15; S = 0,8 ⟹ k = g′ (0) S−g(0) = 0,15 0,8−0,5 = 0,5 Die Gleichung der Funktion, die die Körpergröße des Individuums in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt lautet daher g(t) = S + (g(0) − S) ∙ e −kt = 0,8 + (0,5 − 0,8) ∙ e −0,5t = 0,8 − 0,3 ∙ e −0,5t Nachdem die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen hat, beträgt sie g = 1,5 ∙ 0,5m = 0,75m Für diesen Zeitpunkt gilt g(t) = S + (g(0) − S) ∙ e −kt = 0,8 − 0,3 ∙ e −0,5t = 0,75 Nach ca. 3,6 Jahren hat die Körpergröße des Individuums um 50% zugenommen.
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