Approximation durch Taylorpolynome - Schüler-Uni - TU Berlin

Ansprechpartner
Markus Rausch
Inhaltsverzeichnis
TU Berlin • Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften
Sekretariat MA 4-1 • Straße des 17. Juni • 10623 Berlin
Hochschultag
Approximation durch Taylorpolynome
Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni an der Fakultät II
der Technischen Universität Berlin
Marcel König, Filiz Büyükcaglar und Markus Rausch
10. September 2009
E-Mail
rausch@math.tu-berlin.de
Web
www.schuluni.tu-berlin.de
1 Grundlagen 1
2 Taylorpolynome 1
3 Restglied 2
3.1 Lagrange’sche Form des Restglieds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 Aufgaben 5
5 Lösungen 5
Diese Arbeit ist im Rahmen eines Schülerpraktikums entstanden.
Verfasser: Lukas Richter

Taylorpolynome Seite 1
1 Grundlagen
Funktionen sind im Allgemeinen schwer handhabbar. Bereits das Ausrechnen des Funktionswertes f (x) an
einer Stelle x kann Probleme bereiten. Zum Beispiel lässt sich bei der Funktion f (x) = ex per Hand nur
schwer ein Funktionswert ermitteln. Weitere Beispiele sind die Sinus- und Cosinus-Funktionen. Auch hier
sind konkrete Funktionswerte nur schwer ermittelbar. Der Taschenrechner kann auch nur eine begrenzte
Anzahl an Zeichen anzeigen, es reicht also, wenn er eine Annäherung berechnet. Auch in der Physik kann
es ausreichend sein, mit einfachen Annäherungen statt mit komplizierten Formeln zu arbeiten. Die oben
genannten Funktionen haben eine Besonderheit: sie sind differenzierbar. Das heisst, dass in jedem Punkt
x0 der Differentialquotient
f (x) − f (x0)
lim
x→x0 x − x0
existiert.
Wenn es nun erwünscht ist, die Ännäherung an einem Punkt x0 zu haben, dann bietet es sich an, die
Tangente an diesen Punkt zu nehmen. Diese ist ein lineare Funktion der Form f (x) = m · x + n. Im
Punkt x0 stimmt diese zwar mit der ursprünglichen Funktion überein, für den Rest der Funktion bietet sie
aber im Allgemeinen keine gute Annäherung. Eine bessere Methode fanden Brook Taylor (1685-1731) und
Colin Maclaurin (1698-1746). Sie fanden eine Möglichkeit, differenzierbare Funktionen durch Polynome,
sogenannte Taylorpolynome, anzunähern. Ein Polynom hat die Form
p(x) :=
n�
k=0
akx k = a0 + a1x + a2x 2 + ... + anx n
wobei gilt, dass ai ∈ �. Das Summensymbol �n k=0 bedeutet, dass beginnend mit k = 0 der hinter dem
Summenzeichen stehende Term addiert wird und dabei jedes mal k um eins erhöht wird, bis es n erreicht.
Also ist zum Beispiel
Beispiel 1.
n�
k = 0 + 1 + 2 + ... + n
k=0
Polynome sind einfach ausrechenbar, problemlos differenzierbar und integrierbar. Taylorpolynome sind von
einem Punkt x0, dem Entwicklungspunkt abhängig. Sie bieten in einem kleinen Intervall meist eine gute
Annäherung an die Ausgangsfunktion. Entfernt man sich allerdings weiter vom Entwicklungspunkt, wird die
Annäherung schlechter.
2 Taylorpolynome
Definition 1. Sei f eine n-mal differenzierbare Funktion und x0 ein Punkt, dann wird das n-te Taylorpolynom
zum Entwicklungspunkt x0 definiert durch:
Tnf (x) :=
n�
k=0
f (k) (x0)
(x − x0)
k!
k = f (x0) + f ′ (x0)(x − x0) + 1
2 f ′′ (x0)(x − x0) 2 + ... + f (n) (x0)
n!
Dabei bezeichnet f (n) die n-te Ableitung von f und n! die n-te Fakultät. Diese ist definiert durch
n! := 1 · 2 · 3 · ... · n
(x − x0) n
Beispiel 2. Seien f (x) := 1 + x + x 2 und x0 := 0, x1 := 2 Entwicklungspunkte. Berechne das zweite
Taylorpolynom zu den Entwicklungspunkten x0 und x1.

Taylorpolynome Seite 2
Zunächst werden die erste und zweite Ableitung benötigt. Wie leicht nachzurechnen ist, gilt:
f ′ (x) = 1 + 2x, f ′′ (x) = 2
Wir setzten nun den Punkt x0 = 0 in die Definition für das Taylorpolynom ein und fassen zusammen
T2f (x) =
Selbiges tun wir für den Punkt x1 = 2
T2f (x) =
f (0)
0! (x − 0)0 + f ′ (0)
1! (x − 0)1 + 1
2! f ′′ (0)(x − 0) 2 = 1 + x + x 2
f (2)
0! (x − 2)0 + f ′ (2)
1! (x − 2)1 + 1
2! f ′′ (2)(x − 2) 2 = 7 + 5(x − 2) + (x − 2) 2 = 1 + x + x 2
Wir sehen, dass das zweite Taylorpolynom sowohl zum Entwicklungspunkt x0 = 0 als auch zum Entwicklungspunkt
x1 = 2 mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.
3 Restglied
Im letzten Beispiel stimmte das Taylorpolynom mit der ursprünglichen Funktion überein. Dies ist nicht immer
so, besonders dann nicht, wenn die Ausgangsfunktion kein Polynom ist. In diesem Fall ist es interessant zu
wissen, um wie viel das Taylorpolynom von der ursprünglichen Funktion abweicht. Besonders bei praktischen
Anwendungen kann es sein, dass die Abweichung einen bestimmten Grenzwert nicht überschreiten darf. So
sollte zum Beispiel die Abweichung bei einem Taschenrechner, der das Ergebnis auf 8 Stellen genau angibt,
kleiner als 10 −8 sein. Um diese Abweichung gut ausdrücken zu können, wird ein Restglied R n(x) eingeführt.
Dieses klären wir in folgender
Definition 2.
Rn(x) := f (x) − Tnf (x)
Es ist, wie leicht zu erkennen, sowohl von dem Grad des Taylorpolynoms als auch von der Stelle x abhängig.
Zum konkreten Abschätzen des Restglieds gibt es verschiedene Wege. Ist die Funktion nicht nur n-mal
differenzierbar, wie für das Taylorpolynom vorrausgesetzt, sondern n + 1-mal differenzierbar lässt sich die
Restgliedabschätzung nach Lagrange durchführen. Diese ist meistens einfach durchführbar und liefert eine
gute Abschätzung.
3.1 Lagrange’sche Form des Restglieds
Satz 1. Ist f n + 1-mal differenzierbar dann existiert zu jedem x �= x0 ein c zwischen x0 und x, so dass gilt:
Rn(x) = f (n+1) (c) n+1
(x − x0)
(n + 1)!
Wir wollen diese Aussage nun Beweisen. Dazu wird der zweite Mittelwertsatz benötigt. Dieser besagt:
Satz 2. Seien f , g auf einem Intervall I := (a, b) differenzierbar und g ′ (x) �= 0 in I. Dann existiert ein
Punkt c in I, so dass gilt:
f ′ (c)
g ′ f (b) − f (a)
=
(c) g(b) − g(a)
Hierbei lässt sich der linke Teil als das Verhältnis des Anstiegs der Tangenten an die Funktionen f und g
im Punkt c verstehen. Die rechte Seite kann man als Verhältnis des Anstiegs der Sekanten von f und g
zwischen a und b verstehen. Der Satz sagt aus, dass, sofern die Voraussetzungen erfüllt sind, immer ein c
existiert, so dass die rechte gleich der linken Seite ist.

Taylorpolynome Seite 3
Beweis. Wir beginnen den Beweis von Satz 1 damit, dass wir Definition 2 nach f (x) umstellen. Und Rn(x)
mit 1 =
(x−x0) n+1
(x−x0) n+1 multiplizieren. Da laut Vorraussetzung x �= x0 ist, darf mit
Rn(x) := f (x) − Tnf (x) ⇒ f (x) = Tnf (x) + Rn(x) = Tnf (x) +
Nun betrachten wir das Taylorpolynom an der Stelle x0.
Tnf (x0) =
n�
k=0
f (k) (x0)
(x0 − x0)
k!
k =
n�
k=0
Daraus können wir für das Restglied an der Stelle x0 folgern, dass
(x−x0) n+1
(x−x0) n+1 multipliziert werden.
Rn(x)
n+1
(x − x0)
(x − x0) n+1
f (k) (x0)
0
k!
k = f (x0)
Rn(x0) = f (x0) − Tnf (x0) = f (x0) − f (x0) = 0
gilt.
Wir sehen also, dass sowohl Rn(x0) = 0 als auch das (x0 − x0) n+1 = 0 für n > 0, daraus folgt
g(x) :=
Rn(x)
=
(x − x0) n+1
Rn(x) − Rn(x0)
(x − x0) n+1 − (x0 − x0) n+1
Jetzt dürfen wir den zweiten Mittelwertsatz anwenden, da ((x −x0) n+1 ) ′ = (n +1)(x −x0) n �= 0 für x �= x0.
Es existiert also ein c1 zwischen x und x0, so dass gilt
g(x) =
Rn(x) − Rn(x0)
(x − x0) n+1 =
− (x0 − x0) n+1
Wenden wir nun den zweiten Mittelwertsatz n + 1-mal an, erhalten wir
g(x) =
=
=.
=
R ′ n(c1)
(n + 1)(c1 − x0) n
R ′′
n(c2)
n(n + 1)(c2 − x0) n
R (n+1)
n (cn+1)
1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1)
R ′ n(c1)
(n + 1)(c1 − x0) n
Der Nenner lässt sich nach der Definition der Fakultät zu (n + 1)! zusammenfassen. Für die (n + 1)-te
Ableitung von R n(x) gilt
R (n+1)
n (x) = (f (x) − Tnf (x)) (n+1) = f (n+1) (x) − Tnf (n+1) (x)
da Tnf (x) ein Polynom mit Grad n ist, gilt für die n+1-te Ableitung Tnf (n+1) (x) = 0 und damit R (n+1)
n (x) =
f (n+1) (x). Also ist
g(x) = f (n+1) (cn+1)
(n + 1)!
Und damit nach Definition von g(x)
Umstellen ergibt für c := cn+1
Rn(x)
(x − x0) n+1 = f (n+1) (cn+1)
(n + 1)!
Rn(x) = f (n+1) (c) n+1
(x − x0)
(n + 1)!

Taylorpolynome Seite 4
Literatur
[FRI] K. Fritzsche: Grundkurs Analysis 1: Differentiation und Integration in einer Veränderlichen,
2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008
[FUR] P. Furlan: Das Gelbe Rechenbuch 1, 1. Auflage, Martina Furlan Verlag, Dortmund 1995

Taylorpolynome Seite 5
4 Aufgaben
Aufgabe 1. Sei f : � → �, x ↦→ e x . Berechne das 3. und 4. Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt
x0 := 0 und bestimme jeweils die maximale Abweichung in den Intervallen (0, 0.1], (0, 1] und (0, 10].
5 Lösungen
Lösung 1. Zunächst werden die benötigten Ableitungen berechnet:
f ′ (x) = e x , f ′′ (x) = e x , f ′′′ (x) = e x
Nun wird das dritte Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x0 = 0 aufgestellt:
T3f (x) = 1 1
f (0) +
0! 1! f ′ (0)(x − 0) + 1
2! f ′′ (0)(x − 0) 2 + 1
3! f ′′′ (0)(x − 0) 3 = 1 + x + 1
2 x 2 + 1 3
x
6
Restgliedabschätzung:
Für die Restgliedabschätzung wird zusätzlich die 4. Ableitung f (4) (x) = e x gebraucht. Mit der Restgliedabschätzung
nach Lagrange folgt:
R3(x) = f (3+1) (c)
(3 + 1)! (x − 0)3+1 = ec 4
x
24
Nun suchen wir den größten Wert, den das Restglied annehmen kann. Dieser hängt von x und c ab. x 4
wächst für x > 0 bei zunehmendem x. Wir wählen also für x den größten Wert aus dem Intervall. e c
wächst ebenfalls bei zunehmendem c, wir wählen also auch hier den größtmöglichen Wert für c.
Es gilt also:
Für das 4. Taylorpolynom gilt:
Restglied:
x ∈ (0, 0.1] R3(x) ≤ e0.1
24 (0.1)4 ≈ 4.6 × 10 −6
x ∈ (0, 1] R3(x) ≤ e1
24 14 ≈ 0.11
x ∈ (0, 10] R3(x) ≤ e10
24 104 ≈ 9177694
T4f (x) = 1 + x + 1
2 x 2 + 1
6 x 3 + 1 4
x
24
R4(x) = ec 5
x
5!
Das Restglied ist wieder für große x und c am größten. Es gilt also:
x ∈ (0, 0.1] R4(x) ≤ e0.1
5! 0.15 ≈ 9.2x10 −8
x ∈ (0, 1] R4(x) ≤ e1
5! 15 ≈ 0.022
x ∈ (0, 10] R4(x) ≤ e10
5! 105 ≈ 18355388