Approximation durch Taylorpolynome - Schüler-Uni - TU Berlin

Taylorpolynome Seite 5
4 Aufgaben
Aufgabe 1. Sei f : � → �, x ↦→ e x . Berechne das 3. und 4. Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt
x0 := 0 und bestimme jeweils die maximale Abweichung in den Intervallen (0, 0.1], (0, 1] und (0, 10].
5 Lösungen
Lösung 1. Zunächst werden die benötigten Ableitungen berechnet:
f ′ (x) = e x , f ′′ (x) = e x , f ′′′ (x) = e x
Nun wird das dritte Taylorpolynom zum Entwicklungspunkt x0 = 0 aufgestellt:
T3f (x) = 1 1
f (0) +
0! 1! f ′ (0)(x − 0) + 1
2! f ′′ (0)(x − 0) 2 + 1
3! f ′′′ (0)(x − 0) 3 = 1 + x + 1
2 x 2 + 1 3
x
6
Restgliedabschätzung:
Für die Restgliedabschätzung wird zusätzlich die 4. Ableitung f (4) (x) = e x gebraucht. Mit der Restgliedabschätzung
nach Lagrange folgt:
R3(x) = f (3+1) (c)
(3 + 1)! (x − 0)3+1 = ec 4
x
24
Nun suchen wir den größten Wert, den das Restglied annehmen kann. Dieser hängt von x und c ab. x 4
wächst für x > 0 bei zunehmendem x. Wir wählen also für x den größten Wert aus dem Intervall. e c
wächst ebenfalls bei zunehmendem c, wir wählen also auch hier den größtmöglichen Wert für c.
Es gilt also:
Für das 4. Taylorpolynom gilt:
Restglied:
x ∈ (0, 0.1] R3(x) ≤ e0.1
24 (0.1)4 ≈ 4.6 × 10 −6
x ∈ (0, 1] R3(x) ≤ e1
24 14 ≈ 0.11
x ∈ (0, 10] R3(x) ≤ e10
24 104 ≈ 9177694
T4f (x) = 1 + x + 1
2 x 2 + 1
6 x 3 + 1 4
x
24
R4(x) = ec 5
x
5!
Das Restglied ist wieder für große x und c am größten. Es gilt also:
x ∈ (0, 0.1] R4(x) ≤ e0.1
5! 0.15 ≈ 9.2x10 −8
x ∈ (0, 1] R4(x) ≤ e1
5! 15 ≈ 0.022
x ∈ (0, 10] R4(x) ≤ e10
5! 105 ≈ 18355388