Approximation durch Taylorpolynome - Schüler-Uni - TU Berlin

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<strong>Taylorpolynome</strong> Seite 3 Beweis. Wir beginnen den Beweis von Satz 1 damit, dass wir Definition 2 nach f (x) umstellen. Und Rn(x) mit 1 = (x−x0) n+1 (x−x0) n+1 multiplizieren. Da laut Vorraussetzung x �= x0 ist, darf mit Rn(x) := f (x) − Tnf (x) ⇒ f (x) = Tnf (x) + Rn(x) = Tnf (x) + Nun betrachten wir das Taylorpolynom an der Stelle x0. Tnf (x0) = n� k=0 f (k) (x0) (x0 − x0) k! k = n� k=0 Daraus können wir für das Restglied an der Stelle x0 folgern, dass (x−x0) n+1 (x−x0) n+1 multipliziert werden. Rn(x) n+1 (x − x0) (x − x0) n+1 f (k) (x0) 0 k! k = f (x0) Rn(x0) = f (x0) − Tnf (x0) = f (x0) − f (x0) = 0 gilt. Wir sehen also, dass sowohl Rn(x0) = 0 als auch das (x0 − x0) n+1 = 0 für n > 0, daraus folgt g(x) := Rn(x) = (x − x0) n+1 Rn(x) − Rn(x0) (x − x0) n+1 − (x0 − x0) n+1 Jetzt dürfen wir den zweiten Mittelwertsatz anwenden, da ((x −x0) n+1 ) ′ = (n +1)(x −x0) n �= 0 für x �= x0. Es existiert also ein c1 zwischen x und x0, so dass gilt g(x) = Rn(x) − Rn(x0) (x − x0) n+1 = − (x0 − x0) n+1 Wenden wir nun den zweiten Mittelwertsatz n + 1-mal an, erhalten wir g(x) = = =. = R ′ n(c1) (n + 1)(c1 − x0) n R ′′ n(c2) n(n + 1)(c2 − x0) n R (n+1) n (cn+1) 1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1) R ′ n(c1) (n + 1)(c1 − x0) n Der Nenner lässt sich nach der Definition der Fakultät zu (n + 1)! zusammenfassen. Für die (n + 1)-te Ableitung von R n(x) gilt R (n+1) n (x) = (f (x) − Tnf (x)) (n+1) = f (n+1) (x) − Tnf (n+1) (x) da Tnf (x) ein Polynom mit Grad n ist, gilt für die n+1-te Ableitung Tnf (n+1) (x) = 0 und damit R (n+1) n (x) = f (n+1) (x). Also ist g(x) = f (n+1) (cn+1) (n + 1)! Und damit nach Definition von g(x) Umstellen ergibt für c := cn+1 Rn(x) (x − x0) n+1 = f (n+1) (cn+1) (n + 1)! Rn(x) = f (n+1) (c) n+1 (x − x0) (n + 1)!
<strong>Taylorpolynome</strong> Seite 4 Literatur [FRI] K. Fritzsche: Grundkurs Analysis 1: Differentiation und Integration in einer Veränderlichen, 2. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2008 [FUR] P. Furlan: Das Gelbe Rechenbuch 1, 1. Auflage, Martina Furlan Verlag, Dortmund 1995
Seite 1 und 2: Ansprechpartner Markus Rausch Inhal
Seite 3: Taylorpolynome Seite 2 Zunächst we

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