Approximation durch Taylorpolynome - Schüler-Uni - TU Berlin

Taylorpolynome Seite 3
Beweis. Wir beginnen den Beweis von Satz 1 damit, dass wir Definition 2 nach f (x) umstellen. Und Rn(x)
mit 1 =
(x−x0) n+1
(x−x0) n+1 multiplizieren. Da laut Vorraussetzung x �= x0 ist, darf mit
Rn(x) := f (x) − Tnf (x) ⇒ f (x) = Tnf (x) + Rn(x) = Tnf (x) +
Nun betrachten wir das Taylorpolynom an der Stelle x0.
Tnf (x0) =
n�
k=0
f (k) (x0)
(x0 − x0)
k!
k =
n�
k=0
Daraus können wir für das Restglied an der Stelle x0 folgern, dass
(x−x0) n+1
(x−x0) n+1 multipliziert werden.
Rn(x)
n+1
(x − x0)
(x − x0) n+1
f (k) (x0)
0
k!
k = f (x0)
Rn(x0) = f (x0) − Tnf (x0) = f (x0) − f (x0) = 0
gilt.
Wir sehen also, dass sowohl Rn(x0) = 0 als auch das (x0 − x0) n+1 = 0 für n > 0, daraus folgt
g(x) :=
Rn(x)
=
(x − x0) n+1
Rn(x) − Rn(x0)
(x − x0) n+1 − (x0 − x0) n+1
Jetzt dürfen wir den zweiten Mittelwertsatz anwenden, da ((x −x0) n+1 ) ′ = (n +1)(x −x0) n �= 0 für x �= x0.
Es existiert also ein c1 zwischen x und x0, so dass gilt
g(x) =
Rn(x) − Rn(x0)
(x − x0) n+1 =
− (x0 − x0) n+1
Wenden wir nun den zweiten Mittelwertsatz n + 1-mal an, erhalten wir
g(x) =
=
=.
=
R ′ n(c1)
(n + 1)(c1 − x0) n
R ′′
n(c2)
n(n + 1)(c2 − x0) n
R (n+1)
n (cn+1)
1 · 2 · 3 · ... · n · (n + 1)
R ′ n(c1)
(n + 1)(c1 − x0) n
Der Nenner lässt sich nach der Definition der Fakultät zu (n + 1)! zusammenfassen. Für die (n + 1)-te
Ableitung von R n(x) gilt
R (n+1)
n (x) = (f (x) − Tnf (x)) (n+1) = f (n+1) (x) − Tnf (n+1) (x)
da Tnf (x) ein Polynom mit Grad n ist, gilt für die n+1-te Ableitung Tnf (n+1) (x) = 0 und damit R (n+1)
n (x) =
f (n+1) (x). Also ist
g(x) = f (n+1) (cn+1)
(n + 1)!
Und damit nach Definition von g(x)
Umstellen ergibt für c := cn+1
Rn(x)
(x − x0) n+1 = f (n+1) (cn+1)
(n + 1)!
Rn(x) = f (n+1) (c) n+1
(x − x0)
(n + 1)!