1. Leistungsgrößen

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1. Leistungsgrößen
Ausgehend von Gleichgrößen konnte die umgesetzte Leistung P0 immer über das Joulsche Gesetz durch
Multiplikation der Strom- I0 und Spannungswerte U0 bestimmt werden.
Joulsches Gesetz: P = U I
Wird auf Wechselgrößen (somit zeitvariable Größen) übergegangen, so sind die Zusammenhänge nicht mehr
so trivial, da auf Grund von Reaktanzen 1 im Kreis die zeitlichen Verläufe von Strom und Spannung nicht
mehr gleich sind. Ist der betrachtete Kreis nicht mehr rein ohmsch, so kommt es zwischen dem Strom i(t)
und der Spannung u(t) zu einer zeitlichen Verschiebung – der Phasenverschiebung φ. Die tatsächlich in der
Last umgesetzte Leistung kann jetzt nicht mehr ausschließlich aus dem Produkt der Effektivwerte UEFF und
IEFF berechnet werden, sondern es muß deren zeitliche Lage zueinander ebenfalls berücksichtigt werden.
Die im folgenden besprochenen Leistungsgrößen sind ausschließlich auf elektrische Größen anzuwenden
und haben nicht mehr den allgemeinen Charakter der im letzten Kapitel vorgestellten Signalkenngrößen.
Diese waren hinsichtlich der Anwendbarkeit auf physikalische Gesetzmäßigkeiten keinerlei
Einschränkungen unterworfen. Für folgende Betrachtungen werden die Größen des elektrischen Stromes i(t)
und der Spannung u(t) als sinusförmig vorausgesetzt 2 und folgendermaßen definiert:
u( t)
= Uˆ
⋅ sin( ω t + ϕ )
und i( t)
= Iˆ
⋅sin(
ω t + ϕ )
U
I .
Der Momentanwert (instantaneous power) P(t) der elektrischen Leistung kann entsprechend obiger
Definition somit aus dem Produkt der beiden Momentanwerte i(t) und u(t) errechnet werden, und ergibt sich
dementsprechend zu
P( t)
= u(
t)
⋅ i(
t)
= Uˆ
⋅ sin( ω t + ϕ ) ˆ
U ⋅ I ⋅ sin( ωt
+ ϕ I )
Unter Anwendung des Produktsatzes für trigonometrische Funktionen 3 ergibt sich für den Momentanwert
P(t) der Leistung folgender Ausdruck:
[ Uˆ
Iˆ
⋅cos(
ϕ −ϕ
) −Uˆ
Iˆ
⋅cos(
2ωt
+ ϕ + ) ]
1
P( t)
= ⋅
U I
U ϕI
2
1
Die Impedanz teilt sich in die beiden Anteil Resistanz (Widerstand – reell) und Reaktanz (Induktivtät und Kapazität -
imaginär).
Z = R + jX
mit R Resistanz und X Reaktanz
2 Die Voraussetzung von sinusförmigen Signalformen stellt keine Einschränkung dar, da alle nicht sinusförmigen
Größen mit Hilfe der Fourieranalyse wieder in Ihre sinusförmigen Spektralanteile zerlegt werden können. Somit
können oben besprochene Gesetzmäßigkeiten wieder angewandt werden und erhalten somit einen allgemeinen
Charakter.
3 Vereinfachung der Beziehung durch Anwendung des Produktsatzes
1
sinα ⋅
sin β = ⋅
+ β
2
[ cos( α − β ) − cos( α ) ]
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Dies bedeutet, das sich die Momentanleistung aus zwei Anteilen zusammensetzt. Der erste Anteil ist zeitlich
konstant und berechnet sich zum Joulschen Gesetz. Im Unterschied zu Gleichgrößen wird dieser Anteil aber
noch mit cos(ϕ) gewichtet 4 . Der zweite Anteil weist die doppelte Frequenz der ursprünglichen Schwingung
auf und zeigt wieder sinusförmigen Verlauf.
Abb. 1. Verlauf von Spannung U(t), Strom I(t) und der Momentanleistung P(t)
Die tatsächlich in der Last umgesetzte Leistung ergibt sich aus der zeitlichen Mittelung der
Momentanleistung P(t) über die Zeit. Durch die Mittelung der Momentanwert P(t) der Leistung über die
Periode T errechnet sich somit die Wirkleistung (true power) 5 PW. Eine andere Art der Definition für die
Wirkleistung läßt sich aus der komplexen Wechselstromrechnung ableiten. Die Wirkleistung PW ist jener
Anteil an der elektrischen Leistung, die in einer Impedanz Z in eine andere (nicht elektrische) Energieform
umgewandelt wird (z.B. Wärme, oder mechanische Arbeit bei Motoren).
T
T
PW I
0
0
1
1
= P(
t)
= ⋅ u(
t)
⋅i(
t)
dt = ( Uˆ
⋅ Iˆ)
⋅ sin( ω t + ϕU
) ⋅sin(
ωt
+ ϕ ) dt
T ∫
T ∫
T
1 1
1
= ⋅Uˆ
Iˆ
⋅ cos( − ) − cos( 2 + + ) = ⋅ ˆˆ
⋅cos
⋅ −........
2 ∫ ϕ U ϕ I ωt
ϕU
ϕ I dt UI
ϕ
2 ∫ dt
T
T
0
Die Integration über die Periode T ergibt bei Sinus und Cosinusfunktionen stets Null. Somit ist der zweite
Term Null und es ergibt sich für die Wirkleistung PW:
4 Entspricht dem Phasenwinkel zwischen dem Strom i(t) und der Spannung u(t) an der Last. Kann auch als Differenz
der Phasenwinkeln von Strom ϕI und Spannung ϕU dargestellt werden.
5 Ähnlich der Gleichstromtechnik ist die Wirkleistung über die Wärmeentwicklung definiert. Die sich in einer Last
entwickelnde Wärme ist in fundamentaler Weise mit der Wirkleistung PW verknüpft. In der HF Technik wird die
Wirkleistung PW oft nur über die Wärmeentwicklung gemessen.
Ein exzellenter Artikel über RF Leistungsmessung, Normung und eine kurze Einführung stellt die AN-64-1B von
Agilent Technology dar und findet sich unter:
http://literature.agilent.com/litweb/pdf/5965-6630E.pdf
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T
0

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1
P ˆ ˆ
W = U ⋅ I ⋅cosϕ
= U EFF ⋅ I EFF
⋅ cosϕ
mit ϕ = ϕU
−ϕ
I
2
Die Wirkleistung ist somit von der Zeit unabhängig 6 und nur von den Effektivwerten von Strom i(t) und
Spannung u(t) und deren Phasenlage φ zueinander abhängig. Die Wirkleistung wird in Watt (W)
angegeben. Betrachtet man den zeitlichen Verlauf der Momentanleistung P(t), so läßt sich dieser durch
einen konstanten und einen zeitabhängigen Anteil darstellen (siehe Abbildung 4).
Wird von der zeitliche Integration über die Periodendauer abgegangen so ergibt sich folgender
Zusammenhang:
ˆ ⋅ ˆ ˆ ⋅ ˆ
= ˆ + ⋅ ˆ
U I U I
P( t)
U sin( ω t ϕU
) I sin( ωt
+ ϕ I ) = cosϕ
− cos( 2ωt
+ ϕU
+ ϕ I ) =
2 2
= PW − PS
⋅cos(
2ω
t + ϕU
+ ϕ I )
Hieraus ist die Größe der Scheinleistung PS ableitbar. Die Scheinleistung PS errechnet sich aus dem Produkt
der Effektivwerte von Strom i(t) und Spannung u(t). Zusammenfassend kann festgehalten werden, daß die
Momentanleistung P(t) mit der doppelten Kreisfrequenz 2ω variiert und die Amplitude PS aufweist. Der
arithmetische Mittelwert der Momentanleistung P(t) ist durch die Wirkleistung PW gegeben.
Ist PW kleiner als PS (ist bei komplexen Lasten auf Grund der Phasenverschiebung φ zwischen Strom i(t) und
Spannung u(t) immer der Fall), so treten Zeitpunkte mit negativer Momentanleistung P(t) auf. Diese
negativen Leistungsanteile sind als Energiefluß vom Verbraucher zum Erzeuger zu interpretieren. Kapazitive
und induktive Verbraucher zeigen die Fähigkeit der Energiespeicherung und liefern deshalb wieder Energie
an den Erzeuger zurück. Die in der Induktivität und der Kapazität gespeicherte Energie läßt sich
folgendermaßen berechnen:
1
EIND ⋅ LI
2
2
= und
1
ECAP = ⋅CU
2
Im Falle der Induktivität wird die Energie somit im magnetischen Feld gespeichert und ist proportional zum
Stromquadrat I 2 . Für die Kapazität wird die Energie im elektrischen Feld gespeichert und ist proportional
zum Spannungsquadrat U 2 .
Dieser zwischen Verbraucher und Erzeuger pendelnde Anteil der Momentanleistung P(t) wird demzufolge
auch als Pendel- oder Blindleistung PB bezeichnet (Angabe in VAr – Volt-Ampere-Reaktiv).
Die in einem nicht rein ohmschen Kreis auftretende Blindleistung PB ist also stets die Folge der
Energiespeicherung in induktiven oder kapazitiven Bauelementen. Hat eine Baugruppe keinen ohmschen
Verbraucher, so wird in dieser Baugruppe auch keine Leistung umgesetzt. Die in induktiven oder kapazitiven
Bauelementen gespeicherte Energie wird stets wieder zur Gänze an den Erzeuger zurückgeliefert. Der
augenblickliche Leistungsfluß zwischen Verbraucher und Quelle wird immer durch P(t) beschrieben. Der
Spitzenwert von P(t) wird durch PS beschrieben, und die Größe der Scheinleistung PS wird in der Einheit
Volt-Ampere VA angegeben.
Für die Leistungsgrößen gilt folgender Zusammenhang:
6 Die Wirkleistung ist keine in jeder beliebig kurzen Zeitspanne in der Last meßbare Leistungskomponente sondern sie
ist definitionsgemäß ein arithmetischer Mittelwert über ein bestimmtes Zeitintervall. Bei periodischen Signalformen
wird sinnvollerweise die Periodendauer als Mittelungsintervall herangezogen.
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2

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P P ⋅ cosϕ
und P P ⋅sinϕ
W
= S
und somit
2
S
2
W
P = P + P
2
B
B = S
Die Blindleistung PB ist stets mittelwertfrei und beschreibt die oszillierenden, zwischen Quelle und Senke
(oder auch Last) pendelnden Leistungsanteile. Nachfolgenden sind noch einige Beispiel für den Verlauf der
Momentanleistung P(t) bei verschiedenen Verbrauchern dargestellt.
Abb. 2. Kapazitiv – Verlauf von Spannung U(t), Strom IR(t), IC(t) und der Momentanleistung PR(t), PC(t)
Wird die Leistung am Kondensator PC(t) betrachtet so ist deutlich zu erkennen, daß deren Mittelwert NULL
beträgt. Dies bedeute aber nicht das keine Energie transportiert wird, diese wird im idealen Kondensator
verlustlos gespeichert und zu nachfolgenden Zeitpunkten wieder an die Quelle zurückgeliefert.
Abb. 3. Induktiv – Verlauf von Spannung U(t), Strom IR(t), IL(t) und der Momentanleistung PR(t), PL(t) und P(t)
Analog zum Kondensator ist die Leistung an der idealen Spule L1 ebenfalls mittelwertfrei. Dies bedeutet,
daß in idealen Spulen keine Leistung umgesetzt wird, diese wird gespeichert und anschließend wieder an die
Quelle zurückgeliefert. Auf Grund des ohmschen Verbrauchers ist der zeitliche Mittelwert von P(t) nicht
Null, es wird also in der Last Wirkleistung PW umgesetzt.
Folgende Abbildung verdeutlicht die Zusammenhänge der drei Leistungsgrößen PS, PW und PB. Die Größe
des Stromes i(t) und der Spannung u(t) sind für alle drei Fälle unverändert, der einzige Unterschied besteht
in der Variation des Phasenwinkels φ zwischen i(t) und u(t).
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Abb. 4. Verlauf der Leistungsgrößen bei unterschiedlichen Phasenlagen φ
Für den Fall φ = 90° sind die positiven und negativen Flächen unter P(t) gleich, es wird also netto keine
Leistung zum Verbraucher transportiert und es gilt somit PW = 0. Die innerhalb eines Teils der
Periodendauer an die Last übertragene Energie wird in dieser gespeichert und anschließend wieder zur
Gänze an die Quelle zurückgeliefert. Es sei darauf hingewiesen, daß weder die gemessenen Werte für den
Strom i(t) noch die für die Spannung u(t) Null sind, sondern auch durchaus große Werte annehmen können.
Trotzdem ist aber die von der Last aufgenommene Leistung Null. Die Wirkleistung PW kann somit nicht aus
zwei Einzelmessungen für Strom i(t) und Spannung u(t) bestimmt werden, da hierbei die Phasenbeziehung φ
der beiden Größen zueinander verloren geht.
Der Quotient aus Wirkleistung PW und Scheinleistung PS wird auch als Leistungsfaktor 7 cosϕ bezeichnet
und charakterisiert die an einem Erzeuger angeschlossene Last. Für cosϕ gilt stets ≤ 1.00. Für rein ohmsche
Lasten ist cosϕ = 1.00. Für rein reaktive Lasten, induktiv φ = 90° (Spannung ist voreilend) und kapazitiv φ =
– 90° (Strom ist voreilend) ist der Leistungsfaktor exakt Null.
cos ϕ =
P
P
W
S
Die Erfassung der Wirkleistung PW kann wie in Kapitel 2 beschrieben, in elementarer Weise durch ein
elektrodynamisches Meßwerk erfolgen. Für die Leistungsmessung müssen also stets multiplizierende
Meßwerke eingesetzt werden. Bei den einfachen elektromechanischen Meßwerken wird die Integration über
die Periodendauer durch die mechanische Trägheit des Instruments erreicht.
Ein als Wirkleistungsmesser arbeitendes elektrodynamisches Meßwerk wird als Wattmeter bezeichnet. Die
zu messende Wirkleistung kann nicht direkt angezeigt werden, sondern muß aus der sogenannten
Wattmeterkonstanten cW berechnet werden. Die Wattmeterkonstante cW berechnet sich aus den verwendeten
Meßbereichen und Anzahl N der Skalenteile und gibt somit die Leistung pro Skalenteil an.
U MAX ⋅ I MAX ⋅cosϕ
MAX
CW
=
N
für eine Anzeige von n Skalenteilen ergibt sich die Leistung somit zu PW = cW n.
7 Im englischen auch power factor.
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Für folgendes Wattmeter ist die Wattmeterkonstante cW zu berechnen:
Umax = 240V, Imax = 5A, cosϕmax = 1 und 150 Teilstrichen ergibt sich Cw = 8,00 W/Skt.
Abb. 5. Messung der Wirkleistung mit elektrodynamischem Meßwerk (Strompfad fett, Spannungspfad dünn)
Für die Bestimmung der Blindleistung muß entweder der Strom oder der Spannungspfad des MW in der
Phase um 90° gedreht werden. Eine sinnvolle Realisierung ist aber nur über eine Phasenverschiebung des
Stromes im Spannungspfad möglich.
Abb. 6. Messung der Blindleistung über 90° Phasenschiebernetzwerk
Für die Erfassung der Blindleistung ist es notwendig, zwischen dem Strom des Spannungspfades und dem
Eingangsstrom IQ eine 90° Phasenverschiebung zu erreichen. Die notwendige Phasendrehung von 90° kann
durch passive Kunstschaltungen erreicht werden (Hummel Schaltungen). Die Phasendrehung von exakt 90°
gilt aber nur für die Frequenz, für die der Phasenschieber berechnet wurde.
In modernen Meßgeräten wird die Leistungsmessung über intergrierte Multiplizierer (logarithmische
Verstärker) durchgeführt 8 .
8
Ein Artikel über den Aufbau eines einfachen digitalen Leistungsmeßgerätes, das über oben erwähntes Prinzip arbeitet,
findet sich unter:
http://www.ednmag.com/ednmag/reg/1998/091198/19di.htm#make
Multiplizier und logarithmische Verstärker siehe auch: Analog Devices – AD834
http://products.analog.com/products/info.asp?product=AD834
Oder Burr Brown – MPY 634
http://focus.ti.com/docs/prod/productfolder.jhtml?genericPartNumber=MPY634
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Die Spannungsgröße u(t) kann hierbei direkt erfaßt werden, und der Strom i(t) wird im allgemeinen über
einen in den Kreis eingefügten Shunt Widerstand RS gemessen.
Abb. 7. Verlustleistungsmessung an einem Transistor über multiplizierenden Verstärker EL4452 [Elantec]
Aus der Multiplikation des Stromes i(t) und der Spannung u(t) ergibt sich die Momentanleistung P(t), und
über die zeitliche Intergration erhält man die Wirkleistung PW.
Obige Schaltungsvariante zeigt die Möglichkeit der Messung der Verlustleistung PV an einem Transistor.
Über die Widerstände RC1 und RC2 wird die Kollektor-Emitter Spannung UCE am Transistor erfaßt. Der
Strom durch den Transistor wird über den Spannungsabfall am Emitterwiderstand RE gemessen. Über die
Multiplikation und anschließende Mittelung wird die Wirkleistung PW, also die effektive Verlustleistung PV
am Transistor für beliebige Phasenverschiebungen φ bestimmt. Siehe auch application note AN-7:
http://www.elantec.com/pages/apppdf/d40951.pdf
1.1. Energiemessung
Wird die, dem Verbraucher entnommene, Wirkleistung über die Zeit integriert läßt sich die elektrische
Arbeit oder Energie bestimmen. Die Einheit für die elektrische Arbeit ergibt sich direkt aus der
Bestimmungsgleichung zu Ws (Watt x Sekunde).
Für die Messung der elektrischen Arbeit dienen Elektrizitätszähler. Bei den klassischen mechanischen
Geräten wird die Integration über ein mechanisches Zählwerk realisiert. In Zusammenhang mit der
Elektrizitätsmengenmessung im industriellen Bereich ist die Einheit Ws natürlich viel zu klein und es wird
im allgemeinen durch kWh oder MWh ersetzt.
t 0+
T
E = ∫ PW
dt = UI ⋅ cosϕ
⋅T
t 0
Als klassisches MW für die Messung der elektrischen Arbeit in Haushalt und Industrie (Elektrizitätszähler)
gilt das Induktionsmeßwerk oder Ferraris-Zähler (Wanderfeld Zähler). Im folgenden soll das
Funktionsprinzip kurz dargestellt werden.
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Abb. 8. Funktionsprinzip des Ferraris Zählers
Der Strom des Leistungskreises erzeugt über Spule 2 in der elektrisch leitfähigen (Aluminium ) Scheibe 3
Wirbelströme. Die Spannung des Leistungskreises erzeugt über Spule 1 ein Magnetfeld das in Kombination
mit den Wirbelströme eine Kraft FA zur Folge hat, die die Scheibe 3 in Rotation versetzt. Das durch die Kraft
FA erzeugte Antriebsmoment ist mit dem, vom Bremsmagneten 4 erzeugten Gegenmoment stets im
Gleichgewicht. Die Rotationsgeschwindigkeit ist somit ein Maß für die Momentanleistung. Die Integration
der Momentanleistung erfolgt über das Zählwerk 5, dessen Anzeige somit proportional zur transportierten
Energie ist.
Obiger Ferraris Zähler ist das klassische MW zur Verbrauchsbestimmung (billing meter) bei privaten oder
kleinindustriellen Stromabnehmern. Auf Grund seines mechanischen Aufbaus ist dieser Zähler sehr teuer in
der Produktion und wird heute weitgehend durch elektronische Zähler 9 ersetzt. Moderne
Elektrizitätsmengenzähler auf Halbleiterbasis gehen über die klassische Aufgabe der kWh / MWh Messung
weit hinaus und bieten auch die Möglichkeit der Bestimmung von Effektivwerten für Strom IEFF und
Spannung UEFF als auch die Bestimmung der Momentanleistung P(t).
Abb. 6 zeigt eine mögliche Variante zur Bestimmung der verbrauchten Energie auf der Basis eines
intergierten Elektrizitätsmengen Zählers von Analog Devices dem AD7750. Über den externen
Spannungsteiler RA, RB wird die Spannung gemessen. Die Strommessung erfolgt über einen 400µΩ Shunt
(aus Kostengründen oft in der Form eines Leiterbahnstückes am PCB realisiert).
9 Auf Grund der weiten Verbreitung von Elektrizitätsmengenzähler bieten mehrere Halbleiterhersteller Ein-Chip
Lösung für derren Realisierung an. Es sind sowohl Ausführungen zur Ansteuerung von mechanischen als auch
elektrischen Anzeigeeinrichtungen am Markt, z.B. CS5460 von Cirrus Logic.
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Abb. 9. Messung des Leistungsverbrauchs über AD7750 von Analog Devices
Die einzige aktive externe Komponente für die Funktion des MW ist die Spannungsversorgung von 5VDC.
Die notwendige Zeitbasis für die Zeitmessung wird über den Quarz XTAL abgeleitet. Als Ausgangsgröße
stehen zwei Impulsausgänge F1 und F2 mit 100 oder 3200 Impulsen pro kWh zur Verfügung.
Für weiter Information siehe:
http://products.analog.com/products/info.asp?product=AD7750
http://207.87.22.21/design/products/overview/index.cfm?ProductID=142
Eine empfehlenswerte Einführung in obige Thematik siehe auch:
http://www.analog.com/techsupt/application_notes/AN545.pdf
2. Meßwandler
Die primäre Aufgabe der Meßwandler 10 besteht darin, die interessierende Größe (den zu messenden Strom
oder die zu messende Spannung) auf einfach zu erfassende Werte zu transformieren. Des weiteren wird der
Meßkreis vom Lastkreis galvanisch getrennt. Dies ist des öfteren aus sicherheitstechnischen Gründen
gefordert (z.B. Hochspannungstechnik, Messung von Spannungen bis 100kV und darüber). Ein weiterer
Vorteil des Einsatzes von Meßwandlern besteht in der Vermeidung von Erdschleifen und die Möglichkeit
Spannungen, die auf verschiedene Bezugspotentiale referenziert sind, gemeinsam zu verarbeiten.
10 Im folgenden soll ausschließlich die Wandlung elektrische Größen betrachtet werden. Wird die Umwandlung
physikalische Größen in Betracht gezogen so spricht man von Sensoren oder Sensorik im allgemeinen.
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Ausgangspunkt für die Überlegungen an den Meßwandlern 11 soll die Gegenüberstellung von elektrischem
und magnetischem Kreis bilden.
Abb. 1. Vergleich elektrischer und magnetischer Kreis mit treibender Kraft EMF (U) und MMF (I)
Wird für den Fall des elektrischen Kreises der Schalter S geschlossen so bildet sich auf Grund der
Potentialdifferenz U (EMF – ElectroMotive Force) ein Stromfluß I aus. Für den Fall des magnetischen
Kreises ist die treibende Kraft (MMF – Magneto Motive Force) der Strom I. Umschlingt die Wicklung den
Kern mehrmals so gilt:
MMF = I ⋅ N in [A] oder „Ampere Windungen“
Auf Grund der MMF bildet sich im Inneren des Kern ein Feldgradient aus – die magnetische Feldstärke H.
Mit der magnetischen Feldstärke H ist der magnetische Fluß Φ verknüpft.
Φ = µ H ⋅ A
µ 0 R
in [Wb / Weber] mit
MMF
H =
lKernDurchmesser
mit µ0 als magnetische Permeabilität 12 des Vakuums. µ 0 = 4π ·10 –7 [Vs/Am]
mit µR als Permeabilität 13 des Werkstoffes (materialabhängige Größe).
mit A als Querschnitt des Magnetkerns.
Wird über den Kern noch eine zweite Wicklung gelegt, so werden diese als primär N1 und sekundär
Wicklung N2 bezeichnet, wobei beide Wicklungen mit dem Fluß Φ verknüpft sind. Der Aufbau aus
Magnetkern mit primär und sekundär Wicklung wird als Transformator oder Übertrager 14 bezeichnet. Je
nach Anwendungsbereich unterscheiden sich die Wandler in ihrem Kernmaterial (z.B.: HF Technik
Ferritkerne) und der Ausführung der Wicklungen.
11 In diesem Zusammenhang wird auch oft von Übertragern gesprochen, diese ist aber vor allem im Bereich der
Audiotechnik üblich. Hier werden die Übertrager für die galvanische Trennung von einzelnen Komponenten in der
Signalkette verwendet um Brummschleifen zu vermeiden.
12 Wird ein magnetisierbarer Werkstoff in ein Magnetfeld H eingebracht, so ist festzustellen, daß sich die magnetischen
Feldlinien in diesem Werkstoff konzentrieren. Der magnetisierbare Werkstoff stellt in Analogie zum elektrischen
Widerstand eines Leiters einen besseren magnetischen Leiter als das umgebende Medium (i.a. Luft) dar. Somit läßt sich
die magnetische Permeabilität µ auch als magnetische Leit- oder Durchdringungsfähigkeit darstellen.
13 Die Permeabilität µR des Werkstoffes ist für jeden Werkstoff spezifisch und keine Konstante. Sie ist von der
magnetischen Feldstärke, der Temperatur und überdies stark von der Frequenz abhängig.
14 Der Ausdruck Übertrager bezieht sich auf Bereiche, in denen der magnetische Wandler nicht für die
Leistungsübertragung eingesetzt wird z.B.: Audiobereich zur galvanischen Trennung zweier Systeme, Meßwandler
oder auch Zündübertrager in Steuerungsaufgaben.
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Meßwandler unterscheiden sich in Ihrem prinzipiellen Aufbau nicht von normalen Übertragern oder
Transformatoren. Sie zeichnen sich jedoch durch ein exakt definiertes Übersetzungsverhältnis ü für die zu
übertragende Größe aus. Primärwicklung N1 und Sekundärwicklung N2 sitzen auf einem gemeinsamen
Eisen- oder Ferritkern, der für den idealen Fall vom gleichen magnetischen Fluß Φ durchflossen ist. Für den
Fluß Φ des idealen Übertragers folgt aus dem Induktionsgesetz :
dΦ
U
− =
dt N
1
1
U
=
N
2
2
Abb. 2. Aufbau eines Transformators. Primär- N1 und Sekundärwicklung N2
Die Magneto Motorischen Kräfte (MMF) zufolge der beiden stromdurchflossenen Wicklungen N1 und N2
bringen im Kern die Durchflutung Θ auf. Aus dem Durchflutungssatz folgt:
Θ = N1 ⋅ I1
+ N2
⋅ I2
= 0 = ∑ N ⋅
K
K I K
Aus dem Durchflutungssatz und Induktionsgesetz und lassen sich somit für den idealen (verlustlosen) Fall
die Beziehungen für primär- und sekundärseitigen Strom- und Spannungsverhältnisse herleiten. Wird der
reale Fall betrachtet so müssen noch die Verlustgrößen betrachtet werden. Diese stellen sich durch den
elektrischen Widerstand und die Streuinduktivität der primär und sekundärseitigen Wicklung dar. Die durch
das Ummagnetisieren des Kerns bedingten Kernverluste führen zu einer Erwärmung des Kernmaterials, die
aber für den Fall des Übertrages im allgemeinen vernachlässigt werden kann.
Die sekundärseitig an den Übertrager angeschlossene Lastimpedanz Z1 (für den Bereich der Meßtechnik im
allgemeinen das Meßwerk MW oder eine Meßwertverarbeitungseinheit, z.B.: ADC) wird Bürde genannt.
Im folgenden Ersatzschaltbild des Meßwandler stellen R1, R2 die ohmschen Wicklungsverluste dar. Xσ1, Xσ2
stellen primäre und sekundäre Streuinduktivitäten dar.
Abb. 3. Ersatzschaltung eines Transformators. Der Übertrager mit ü:1 ist ideal
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RE stellt die durch das Ummagnetisieren des Kerns bedingten Eisenverluste und die Wirbelstrom-verluste
dar. Die Induktivität XH stellt die Primärinduktivität dar und wird vom Magnetisierungsstrom durchflossen.
Dies ist jener Strom, den der leerlaufender Transformator aufnimmt, um die sekundärseitige
Klemmenspannung aufzubauen. Strom und Spannung werden mit dem Faktor ü – dem
Übersetzungsverhältnis von der sekundär auf die primär Seite umgerechnet. Hieraus folgt, daß alle
Impedanzen mit ü 2 umgerechnet werden müssen, d.h. die Lastimpedanz oder Bürde rechnet sich mit ü 2 auf
die Primärseite um.
Für das Übersetzungsverhältnis ü gilt stets:
2.1. Spannungswandler
N
ü =
N
Beim Spannungswandler liegt die zu messende Spannung an der Primärwicklung N1 des Wandlers. Die
Sekundärwicklung N2 wird durch das Spannungsmeßwerk idealerweise nicht belastet. Für den
Spannungswandler gilt 15 :
U1EFF
U
N1
= = ü
N
2 EFF
2
Der Spannungswandler ist also stets hochohmig abzuschließen und darf nie im Kurzschluß betrieben werden
(Gefahr der thermischen Überlastung). Beim idealen Wandler sind Primär- und Sekundärspannung exakt in
Phase und deren Quotient entspricht ü. Dies ist praktisch nicht realisierbar und im allgemeinen werden die
Fehlergrößen eines Meßwandlers durch seinen Betragsfehler FB und Phasenfehler Fϕ beschrieben. Für die
Berechnung der Fehler soll angenommen werden, daß der Übertrager mit einem elektronischen Meßgerät
abgeschlossen ist, und es gilt annähernd RB → ∞ und I2’ → 0 16 .
F
ϕ
F B
=
U
R1
1 1
arctan = arctan = arctan
U L I ωL
H
1 H
'
2
1
'
2
U − U1
U
= =
U U
1
−1
I
R
R1
ωL
mit I2’ → 0 gilt aber auch U2’ = ULH, da an R2 kein Spannungsabfall auftritt. U2’ kann deshalb aus der
Beziehung für den unbelasteten Spannungsteiler abgeleitete werden:
F
B
U
=
1
jωLH
⋅
R1
+ jωL
U
1
H
−1
=
ωL
( ωL
)
H
H
2
+ R
2
1
15 Für den Spannungswandler gilt im allgemeinen ü >> 1. Dies bedeutet, daß sich der hohe Innenwiderstand RM der
Bürde von der Primärseite gesehen noch wesentlich vergrößert. Ähnlich dem Stromwandler werden die Eigenschaften
des Spannungsmeßgerätes also durch den Übertrager noch verbessert.
16 Dies stellt eine grobe Vereinfachung dar, bei der I2 exakt 0 angenommen wurde. Für endlichen Sekundärstrom I2 ist
das Dreieck ULH – UR1 – U1 kein rechtwinkeliges mehr, und die Vereinfachung verliert Ihre Gültigkeit.
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H
−1
1
2

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Für endliche Belastung ergibt sich folgendes Ersatzschaltbild für den Spannungswandler. Für die
Berechnung der Fehlergrößen ist noch zusätzlich die Spannungsteilung R2’ und RB’ zu berücksichtigen.
Abb. 6. Spannungswandler vereinfachtes Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramm
Praktisch wird der Spannungswandler so in den Meßkreis geschalten, daß dieser zu der zu messenden
Spannung UP parallel liegt.
Abb. 7. Spannungswandler mit standardmäßiger Bezeichnung der Klemmen
Durch den Einsatz des Spannungswandlers wird der im allgemeinen hohe Innenwiderstand RMU des MW
zusätzlich um den Faktor ü 2 erhöht. Weiters ist es möglich die Meßgröße auf ein Bezugspotential zu
referenzieren, z.B.: Masse oder Erde.
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2.2. Stromwandler
Beim Stromwandler fließt der zu messende Strom durch die Primärwicklung N1 des Wandlers. Die
Sekundärwicklung N2 ist durch das Strommeßwerk idealerweise kurzgeschlossen. Für den Stromwandler
gilt 17 I1
N
EFF 2 1
: = =
I N ü
2EFF
1
Der Stromwandler ist stets niederohmig abzuschließen (idealerweise Kurzschluß) und darf nie im Leerlauf
betrieben werden (Gefahr des Überschlages). Die Primärwicklung besteht im allgemeinen aus wenigen
Windungen. Für Primärströme > 500A kann diese auch aus nur einer einzigen Windung bestehen.
Abb. 4. Stromwandler vereinfachtes Ersatzschaltbild und Zeigerdiagramm
Stromwandler werden bis in den Bereich < 100kA verwendet und ähnlich dem Spannungswandler kann auch
der Stromwandler durch seinen Betragsfehler FB - Fehler des Stromübertragungsverhältnisses und
Phasenfehler Fϕ 18 - Phasendifferenz zwischen Primär- und Sekundärstrom charakterisiert werden.
F
ϕ
F B
I
= arctan
I
=
I
'
2
− I
I
1
1
I
⋅
2
ü ( R2
+ RB
)
( R + R ) + j
1 2
ü
B ωL
0 2
H
= arctan
= arctan
'
ωL
2
H
I1
⋅ 2
ü ( R2
+ RB
) + jωLH
=
I
'
2
I
1
−1
Nach Anwendung der Stromteilerbeziehung für I1 und I2’ ergibt sich für FB:
( R + R )
17 Für den Stromwandler gilt im allgemeinen ü

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F
B
=
I
1
⋅
R
'
2
+ R
I
ωL
H
'
B +
1
jωL
H
−1
=
' ' ( R + R )
2
ωL
B
+ ( ωL
Die Berechnung dieser Fehlergrößen kann aus dem vereinfachten Ersatzschaltbild und dem entsprechenden
Zeigerdiagramm abgeleitet werden. Der Betragsfehler FB kann hierbei aus der Stromteilung von I1 auf I0 und
I2’ berechnet werden. Der Phasenfehler Fϕ kann direkt aus dem Dreieck I1 - I0 - I2’ abgeleitet werden.
Praktisch wird der Stromwandler nach folgender Abbildung in den Meßkreis gesetzt. Es ist stets darauf zu
achten, daß die Bürde möglichst niederohmig ist. Im allgemeinen wird der Stromwandler sekundärseitig
geerdet, um im Falle eines Überschlages einen Schutz des Bedieners zu erreichen.
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2
H
H
)
2
−1
Abb. 5. Stromwandler mit standardmäßiger Bezeichnung der Klemmen
Analog zum Spannungswandlers wird der im allgemeinen niedrige Innenwiderstand RMI des MW um den
Faktor ü 2 transformiert. Das Übersetzungsverhältnis ü beim Stromwandler ist aber wesentlich kleiner als
1.00 und ergibt somit eine extreme Verminderung von RMI auf der Primärseite. Als Schutzmaßnahme gegen
sekündärseitigen Leerlauf werden Stromwandler oft mit Überspannungsschutzelementen versehen, z.B.
VDR Widerstände mit kleiner Durchbruchs-spannung oder Schutzdioden.
Wird der Eisenkreis konstruktiv so aufgebaut, daß dieser jederzeit geöffnet, um Leiterschleifen gelegt und
wieder geschlossen werden kann, so spricht man von Zangenwandler. Der Strom kann in diesen
Leiterschleifen somit ohne deren Auftrennung gemessen werden, und es erfolgt auch keine - oder nur
verschwindende - Beeinflussung der Meßkreises.
Abb. 8. Klassische Stromwandlerzange für Wechselgrößen (AEG)
Meßwandler auf Übertragerbasís eignen sich ausschließlich für Wechselgrößen, da die Spannung im
Sekundärkreis proportional zu dΦ/dt ist. Sollen auch Gleichgrößen erfaßt werden, so müssen Meßwandler,
die nach dem Hall Prinzip arbeiten, eingesetzt werden.

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Zur Erfassung des elektrischen Stromes sind in erster Linie drei verschieden Verfahren gebräuchlich. Das am
häufigsten verwendetste Verfahren, die resistive Strommessung ist sehr einfach und im allgemeinen sehr
genau. Es beruht auf dem Einfügen eines Shuntwiderstandes RS in den Meßkreis. Damit ist der Meßkreis
aber immer mit dem Lastkreis galvanisch verbunden und es wird im Shunt RS stets die Verlustleistung RSIL 2
umgesetzt. Die beiden anderen Verfahren bringen vom Funktionsprinzip her eine galvanische Trennung der
beiden Kreise mit sich. Es sind dies das oben beschrieben Prinzip der transformatorischen Meßwandler
(nur Wechselanteil des Signals, arbeiten aber ohne Hilfsenergie) und das im folgenden vorgestellte Prinzip
der Hallwandler. Beide Verfahren zeigen keine oder nur minimale Verluste im Lastkreis.
Andere Verfahren (z.B.: magnetoresistive) werden nur vereinzelt, oder im Labor eingesetzt und sind
speziellen Anwendungen vorbehalten.
2.3. Hallsonden
Hallsonden werden prinzipiell für die Vermessung von Magnetfelder benutzt. Damit können aber auch
Größen erfaßt werden, die Magnetfelder erzeugen oder in magnetische Felder umgewandelt werden können.
Somit ist der Halleffekt auch direkt für die Strommessung anwendbar 19 . Diese ist ohne Eingriff in den
Lastkreis möglich und es besteht immer eine galvanische Trennung zwischen Meß- und Lastkreis. Der
Halleffekt wurde 1879 von Edwin H. Hall entdeckt, erste Anwendungen wurden aber erst durch die
Entwicklungen auf dem Gebiet der Halbleiter 20 ab den 60er Jahren ermöglicht.
Der zu messende Strom erzeugt in einem Magnetkreis die Induktion B 21 , die über die Hallsonde bestimmt
werden kann. Bei konstantem Steuerstrom der Hallsonde ist die Hallspannung ein direktes Maß für den zu
messenden Strom. Über das Hallprinzip sind sowohl Wechsel- als auch Gleichströme galvanisch isoliert
meßbar.
Funktionsprinzip von Hallsonden:
Werden elektrische Ladungsträger mit der Ladung Q in einem magnetischen Feld B mit der Geschwindigkeit
v bewegt, so werden diese Ladungsträger durch die Lorentz Kraft FL von Ihrer geradlinigen Flugbahn
abgelenkt.
r
F L
= Q ⋅
r
r ( v × B)
19
Jeder, vom Strom I durchflossene Leiter erzeugt ein Magnetfeld H. Wird der Leiter als unendlich lange und
geradlinig angenommen, so bildet sich um diesen ein zylindersymmetrisches Feld aus das einfachst aus dem
Durchflutungssatz abgeleitet werden kann und sich folgendermasen berechnen läßt:
I
H =
2πr
Für r > RLEITER. Die Gleichung beschreibt somit das Feld außerhalb des Leiters.
20 Moderne Halleffekt Sensoren für die Strommessung haben eine monolithisch integrierte Verstärkerstufe am Chip um
den niedrigen Nutzsignalpegel direkt anzuheben und damit den Rauschabstand zu verbessern.
21 Als Magnetkreis wird kann hier, z.B. ein Ferritring verstanden werden, in dem durch eine Wicklung der magnetische
Fluß Φ aufgebaut wird. Im Extremfall eines Zangenstromwandlers kann diese Wicklung auch nur in Form, des durch
den Ferritkern geführten Leiters bestehen. Der Kern besitzt einen Luftspalt für die Aufnahme des Hallplättchen. Durch
diese Anordnung ist sichergestellt, das über die gesamte Fläche A des Hallplättchen eine konstante Induktion B
herrscht.
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Für Elektronen als Ladungsträger gilt Q = - e0.
Abb. 9. Prinzipieller Aufbau einer Hallsonde und I/B Kennlinie
Dies gilt natürlich auch im Inneren von Festkörpern 22 . Die Bewegung der Ladungsträger wird durch den
Steuerstrom IS erzwungen. Für die Bestimmung der Kraftwirkung FL ist die Ladungsträgerart entscheidend.
Werden Elektronen e - als Ladungsträger angenommen so ist deren Bewegungsrichtung entgegengesetzt zur
technischen Stromrichtung. Durch das externe Magnetfeld B werden die Ladungsträger zufolge der Lorentz
Kraft auf eine Seite des Plättchens abgelenkt, und es entsteht somit, durch die unterschiedliche
Ladungsträgerdichte, eine von außen meßbare Spannungsdifferenz UH.
Zufolge der Hallspannung UH entsteht im Inneren des Festkörpers ein elektrische Feld 23 E = U/b, dessen
Kraftwirkung der Lorentz Kraft FL entgegen wirkt und einen Gleichgewichtzustand hervorruft. Die Hall
Spannung UH ist somit nur vom Steuerstrom IS und Magnetfeld B abhängig.
IS
⋅ B
U H = RH
⋅
d
Die Hallkonstante RH ist materialspezifisch. Für Hallplättchen werden in erster Linie Halbleitermaterialien,
z.B.: InAs oder InSb eingesetzt, da bei diesen die Beweglichkeit µ bedeutend größer ist als bei Leitern.
Typische Werte für die Hallkonstante liegen bei 100 ... 200 cm 3 /As.
Ein wichtiger Punkt bei der Strommessung über ratiometrische 24 Halleffekt Sensoren stellt die Linearität und
die Empfindlichkeit des Chips dar.
22
Der Hall Effekt tritt natürlich auch im Inneren von Metallen auf. Der Effekt ist aber auf Grund der extrem kleinen
Größe der Hallkonstante sehr schwach ausgeprägt.
23
Je nach betrachteter Ladungsträgerart – Löcherleitung oder Elektronenleitung – bildet sich die Hallspannung in
verschiedener Polarität aus.
24 Ratiometrische Sensoren zeigen immer einen streng linearen Zusammenhang zwischen Eingangs- und
Ausgangsgröße. Dies vereinfacht die weitere Meßwertverarbeitung wesentlich und wird im allgemeinen stets bei der
Konstruktion von Sensoren angestrebt.
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Abb. 10. Ausgangskennlinie für integrierten Hallchip und Innenschaltung
Moderne Sensoren zeigen weitgehende Linearität bei Feldstärken bis +/– 800 G 25 und Empfindlichkeiten
von ~5 mV/G. Die hohe Empfindlichkeit der Sensoren wird durch einen monolithisch integrieren
Meßverstärker direkt am Hallchip erreicht. Durch den Meßverstärker erfolgt ebenfalls eine
Impedanzanpassung und somit eine Entkopplung des Hallplättchens von der nachfolgenden
Anwenderschaltung. Die Innenschaltung für den oben vorgestellten Hallchip A3515EUA von Allegro
Microsystems zeigt die Einprägung des Steuerstromes über den 4-fach Diodenzweig. Die vier in Serie
geschaltenen Dioden dienen zur Erzeugung der Betriebsspannung für den Differenzverstärker
(Prinzipschaltbild). Der nachfolgende Differenzverstärker für die Verstärkung der Hallspannung
(Konstantstromquelle im Emitterzweig für höhere Gleichtaktunterdrückung – CMRR) dient zur Aufbreitung
des sehr schwachen Ausgangssignales des Hallchips.
Mögliche praktische Realisierungen des Magnetkreises – typischerweise Ringkern - für eine Strommessung
über den Halleffekt zeigt Abb. 11.
Abb. 11. Zwei Möglichkeiten der Einbringung des Hallchips in den Magnetkreis
Liegt der zu messende Strom im Bereich > 25A, so kann der Leiter einfach durch den Ringkern geführt
werden. Für kleine Ströme ist es empfehlenswert, den Leiter mehrmals um den Magnetkern zu legen, um das
25 Das Gauss (G) ist eine veraltete Einheit und nicht SI konform, ist aber im englischen Sprachraum sehr stark
verbreitet. Als SI Einheit der magnetischen Flußdichte oder Induktion gilt das Tesla [T] wobei gilt 1G = 10 -4 T
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vom Strom erzeugt Magnetfeld uns somit die Empfindlichkeit des Wandlers zu erhöhen. Für weitere
Informationen und Anwendungen zur Strommessung über integrierte linearen Hallchips siehe auch:
http://www.allegromicro.com/
http://www.allegromicro.com/datafile/3515.pdf
Zur Kompensation von Alterungseffekten und des Temperaturdrifts werden die Hallsensoren oft in einer
Brückenanordnung eingesetzt (siehe auch Wheatstone Brücke Kap.5). Hierbei befindet sich einer der beiden
Sensoren in einem feldfreien Raum – Kapselung - und dient als Nullreferenz. Mit dieser Anordnung ist eine
wesentlich bessere Langzeitstabilität erreichbar als mit Einzelsensoren.
Leistungsmessung über Hallsonden:
Werden bei der Beziehung für die Hallspannung die konstanten Terme zusammengefaßt so ergibt sich
folgende Gleichung
= C ⋅ I ⋅ B
U H HALL S
Wie aus obiger Gleichung ersichtlich, ist der Streuerstrom IS und die magnetische Induktion B multiplikativ
verknüpft, dies ermöglicht die einfache Realisierung eines Multiplizierers. Wird der Steuerstrom IS des
Hallplättchens entsprechend einer Meßgröße F1 variiert und das Magnetfeld entsprechend F2, so sind über
den Halleffekt direkt multiplizierende Meßwerke realisierbar. Diese können für die Bestimmung des
Effektivwertes oder die Leistungsmessung verwendet werden.
Nachfolgende Prinzipschaltung zeigt die Möglichkeit der Leistungsmessung über ein Hallelement. Der Shunt
RB ist in Form einer Wicklung ausgeführt die, die Induktion B im Magnetkreis aufbaut. Der Steuerstrom IS
für des Hallelement wird über die Spannung U an der Last bestimmt.
Abb. 12. Hall-Mulipizierer für die Leistungsmessung
Neben dem Einsatz der Hallelemente als Meßwandler können diese auch für Aufgaben der Sensorik, z.B.
für die Positionsmessung oder Drehzahl und Drehrichtungserfassung verwendet werden. Für diese
Anwendungen sind speziell miniaturisierte, voll integrierte Hallsensoren entwickelt worden (z. B.
A3516EUA von Allegro Microsystems).
Für andere Hersteller von Halleffekt Sensoren siehe z. B.:
http://www.honeywell.at/sensorik/welcome.htm
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Abb. 13. Miniaturisierter Hallchip in SMD Bauform und Prinzip Drehzahlmessung
Ein großes Anwendungsgebiet der Hallsensoren sind magnetisch gesteuerte, berührungslose Schalter zur
Minimierung des mechanischen Verschleißes. Weiterführende Anwendungen siehe auch unter:
http://www.allegromicro.com/techpub2/an/an27701.pdf
http://www.allegromicro.com/techpub2/an/an27705.pdf
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3. Weiterführende Literatur
/1/ C. Bateman, Electronics World October 2000 – Measuring true power, p814-p817, Reed business
information, London 2000
/2/ G. Heyne, Elektronische Meßtechnik – Eine Einführung für angehende Wissenschaftler, Verlag R.
Oldenbourg, München Wien 1999
/3/ W. Schmusch, Elektronische Meßtechnik – Prinzipien, Verfahren, Schaltungen, Vogel Fachbuch,
Würzburg 1998
/4/ M. Stöckl, K. H. Winterling, Elektrische Meßtechnik, B. G. Teubner, Stuttgart Wien 1978
/5/ R. P. Patzelt, H. Schweinzer, Elektrische Meßtechnik, Zweite Auflage, Verlag Springer, Wien New
York1996
/6/ R. Lerch, Elektrische Meßtechnik - analog und digitale Verfahren, Verlag Springer, Wien New
York1996
/7/ John C. Morris, Analogue Electronics – Second edition, Arnold Publications, London Sydney
Auckland 1999
/8/ I. Hickman, Electronics World June 2001 – Understanding transformers, p458-p461, Reed business
information, London 2001
/9/ H. Zenker, A.Gerfer, Trilogie der Induktivitäten, Swiridoff Verlag, Künzelsau 1999, ISBN 3-
934350-50-5
/10/ R. Parthier, Messtechnik – Grundlagen für technische Fachrichtungen, Vieweg Verlag, Wiesbaden
2001, ISBN 3-528-03941-8
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