Das Korrespondenzproblem für Statistische 3D-Formmodelle ... - ZIB

Das Korrespondenzproblem für Statistische 3D-Formmodelle in
biomedizinischen Anwendungen
Übersicht und Klassifikation
Studienarbeit
im Studiengang Diplom-Informatik
Thomas Wenckebach
geb. am 2.12.1977
in Traben-Trarbach
Institut für Informatik
Humboldt-Universität zu Berlin
Betreuer:
Prof. Dr. Beate Meffert, Lehrstuhl Signalverarbeitung und Mustererkennung
Hans Lamecker, Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik Berlin (ZIB)
eingereicht am 29. April 2004

Zusammenfassung
Es wird eine Auswahl bekannter Verfahren zur Korrespondenzfindung bei der Erzeugung statistischer
Formmodelle vorgestellt. Die Auswahl richtet sich nach Anwendbarkeit in 3D und Eignung
für biomedizinische Aufgabenstellungen. Die Verfahren werden aufgrund einer mathematischen
Formulierung des Korrespondenzproblems klassifiziert und verglichen. Daneben werden
sie hinsichtlich ihrer Allgemeinheit bezüglich der Topologie der Formen und hinsichtlich der verwendeten
Optimierungsverfahren, also ihrer Komplexität, unterschieden. Bei der Analyse wird
besonders darauf geachtet, inwieweit der Anforderung, anatomisch plausible Korrespondenzen
zu liefern, genügt wird.

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 3
2 Ziel dieser Arbeit 3
3 Statistische 3D-Formmodelle 4
3.1 Anforderungen an die Korrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Anforderungen an das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Korrespondenzproblem für statistische Formmodelle 7
4.1 Repräsentation der Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1.1 Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Bewertung der Korrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Verfahren zur Korrespondenzfindung 11
5.1 Bildregistrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1.1 Volumenregistrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.2 Oberflächenregistrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.2 Implizite Korrespondenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2.1 Kanonische Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2.2 Minimale Beschreibungslänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3 Matching mit Formdeskriptoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3.1 Modal Matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Diskussion und Ausblick 22
2

1 Einleitung
Das Finden von Korrespondenzen zwischen Punktmengen im Raum ist ein zentrales Problem
der Gebiete Computergraphik, Computer Vision, Robotik, Mustererkennung sowie Bildverarbeitung.
Eine Vielzahl von Anwendungen führt darauf, unter anderem Morphing [ZSH00], Objektmodellierung
bzw. Formrekonstruktion [HHI95], Objekterkennung [SP95], Bewegungsverfolgung
[KG92], Positionsbestimmung bzw. Navigation [SB92], Erzeugen von Atlanten [CTCG95], multimodale
Bildfusion [Roh00], oder bildgesteuerte Chirurgie [MMF98].
Die letzten drei Punkte sind typische Beispiele aus der biomedizinischen Bildverarbeitung, wo
das Korrespondenzproblem oft durch Bildregistrierung gelöst wird. In der Computer Vision
spricht man auch häufig von Point bzw. Shape Matching.
Statistische Formmodelle werden seit einiger Zeit in der Computer Vision und der biomedizinischen
Bildverarbeitung erfogreich eingesetzt, um dem Ziel der Interpretation von Bildern näher
zu kommen, z.B. dem automatischen Erkennen von Gesichtern [CT01] oder der automatischen
Segmentierung von Organen [LLS03]. Sie wurden auch für die Analyse von anatomischen Strukturen
im Rahmen der Bewegungsanalyse (z.B. des Herzens) oder zu diagnostischen Zwecken
(z.B. Alzheimer oder Schizophrenie [WPS03]) angewendet, zur Planung radiologischer Behandlungen
[CHTH93] sowie zur funktionalen Analyse des Gehirns [CT99].
Die Idee, die der Erzeugung statistischer Formmodelle zugrundeliegt, ist die Annahme, daß
Objekte unserer Anschauung Klassen bilden, deren Elemente sich durch eine eingeschränkte
Variabilität in Größe, Form und Aussehen unterscheiden [CTCG95]. Erfaßt man eine vergleichsweise
geringe Zahl N von Vertretern einer Klasse (die sogenannte Trainingsmenge), kann man
diese spezifische Variabilität mittels einer Hauptmodenanalyse [Jol86] auf kompakte Weise modellieren.
Während die Hauptmodenanalyse ein etabliertes Verfahren ist, um Meßreihen großer Dimension
zu entkorrelieren, ist ihre Anwendung auf die Modellierung von dreidimensionalen Formen
immer noch Gegenstand aktiver Forschung. Grund ist, daß im Gegensatz zu traditionellen Anwendungen,
wo Objektmerkmale wie Körpergröße und -gewicht klar definiert sind, hier der
Merkmalsvektor in kanonischer Form für jedes der N Objekte der Klasse erst generiert werden
muß. Damit aber ein sinnvolles statistisches Formmodell resultiert, muß das i-te Element eines
Merkmalvektors vj mit dem i-ten Element eines Merkmalvektors vl, l �= j, i = 1...N korrespondieren
1 . Man trifft auf das Korrespondenzproblem. Ursprünglich wurde es manuell gelöst,
das heißt für jedes Element der Trainingsmenge wurden homologe Punkte definiert 2 [CHTH93].
Diese Praxis hat sich mangels Alternativen lange gehalten. Noch in 2000 veröffentlichten Lorenz
und Krahnstöver [LK00] ein manuelles Verfahren zur statistischen Formmodellbildung, obwohl
das manuelle Bestimmen von Landmarken ein langwieriger Prozeß ist, der große Fachkenntnis
und Routine verlangt.
In der Folge wurden semiautomatische Methoden entwickelt [LLS03], welche immer noch eine
gewisse Absicherung der Ergebnisse durch ein menschliches Expertenurteil ermöglichen.
Heute stehen vermehrt automatische Verfahren zur Verfügung, deren Lösungen zum Teil problematisch
sind, weil sie nicht notwendig homologe Punkte liefern.
2 Ziel dieser Arbeit
Es wird beabsichtigt, einen Überblick über Verfahren zu geben, die zur Lösung des Korrespondenzproblems
bei der Erzeugung statistischer 3D-Formmodelle eingesetzt werden, vorwiegend
zur Modellierung biomedizinischer dreidimensionaler Formen. Da die Forschung schnell voranschreitet,
erscheint eine vergleichende bzw. resümierende Darstellung existierender Methoden
1 Im Falle von biologischen oder medizinischen Daten bezeichnet man korrespondierende Punkte, also solche,
die anatomisch denselben Ort darstellen, als homologe Punkte.
2 Anatomisch oder geometrisch bedeutungsvolle Punkte werden im biomedizinischen Kontext als Landmarken
bezeichnet [Boo89].
3

wünschenswert. Sie werden nach einem Schema klassifiziert, welches sich aus einer mathematischen
Formulierung des Korrespondenzproblems ableitet.
Die zu verarbeitenden Bilddaten können verschiedener Herkunft sein, hauptsächlich handelt es
sich um Bilder, die von einem Computertomographen, einem Magnetresonanztomographen oder
einem konfokalen Mikroskop aufgenommen worden sind.
Ein großer Teil der Literatur über das Finden von Korrespondenzen aus den eingangs genannten
Feldern läßt sich aus folgenden Gründen kaum zur Erzeugung biomedizinischer statistischer 3D-
Formmodelle anwenden und wird daher hier allenfalls am Rande erwähnt:
• Häufig wird angenommen, daß affine Transformationen ausreichen, um die Formen aufeinander
abzubilden, da es sich um Aufnahmen desselben Objekts handelt, bzw. daß Veränderungen
der Formen nur inkrementell stattfinden.
Hier werden jedoch verschiedene Exemplare einer Klasse betrachtet. Auch kann man hier
nicht annehmen, daß die Formen geordnet sind.
• Die Anwendung in 3D bringt besondere Probleme mit sich. Das 2D-Shape-Matching ist ein
eigenes Forschungsgebiet, von dem hier nur Ansätze erwähnt werden, deren erfolgreiche
Erweiterung auf 3D-Probleme dokumentiert ist.
• Es soll das Korrespondenzproblem für Formmodelle untersucht werden: Daher wird der
Spezialfall, wo Modelle basierend auf den Grauwerten erzeugt werden, ausgeklammert.
• Die manuelle Definition korrespondierender Landmarken für große 3D-Datensätze ist kaum
praktikabel (s.o.).
Die Auswahl orientiert sich weiterhin an einem technischen Report sowie einer aktuellen tabellarischen
Übersicht des Erfinders der Active Shape Models, Timothy Cootes [CT01, Coo04],
dessen Auflistung verwandter Verfahren nahezu übereinstimmt mit [DTC + 02]. Hinzu kommen
Ergebnisse eigener Recherche.
3 Statistische 3D-Formmodelle
Prominente Vertreter statistischer 3D-Formmodelle sind die Active Shape Models, unter diesem
Namen eingeführt von Cootes et al. [CHTH93]. Sie werden hauptsächlich für die automatische
Segmentierung benutzt. Bei den verwandten Active Contour Models oder Snakes [MT96] passen
sich die Konturlinien nur durch allgemeine mechanische Modelle eingeschränkt den Umrissen des
zu segmentierenden Objekts an (Free-Form Deformations) und werden dabei leicht zu störenden
Attraktoren geleitet, welche nicht Teil der Kontur sind. Im Gegensatz dazu werden bei den Active
Shape Models die Einschränkungen der Variabilität direkt aus der Klasse, der das Objekt
angehört, abgeleitet. Dennoch ist das Verfahren sehr allgemein, ist also nicht an die Anwendung
auf eine bestimmte Klasse gebunden. Die folgende methodische Beschreibung orientiert sich an
diesem verbreiteten Ansatz.
Statistische Formmodelle basieren in vielen Fällen auf der Repräsentation von Formen Sn,
(n = 1..N), als Mengen diskreter numerierter Punkte, wobei man sich jeden Punkt als an
einer ausgezeichneten Stelle des Objekts plaziert vorstellt, d.h. die Form Sn wird diskret repräsentiert
durch eine Parametrisierung Φn. Indem die Statistik der Positionen der numerierten
Punkte untersucht wird, wird ein Punktverteilungsmodell berechnet. Dieses Modell stellt die
Mittelwerte der Positionen der Punkte dar, sowie die Hauptmoden der Variation, welche in der
Trainingsmenge angetroffen wurde.
Sei {Sn} eine Menge von N Formen mit M korrespondierenden Punkten und
vn = (xn0, yn0, zn0, ..., xnM−1, ynM−1, znM−1) T , vn ∈ R 3M , 0 ≤ n < N (1)
4

ein Formvektor, wobei (xnj, ynj, znj) der j-te Punkt der n-ten Form ist, der durch die Parametrisierung
Φn auf die Position j (0 ≤ j < M) abgebildet wurde.
Mit der Hauptmodenanalyse kann die mittlere Form und die Variabilität gefunden werden, mit
deren Hilfe die vn als Linearkombination geschrieben werden können - das gesuchte lineare
Modell:
vn = v + Pbn = v + �
mit v dem mittleren Formvektor und P = {p k } der Matrix der Eigenvektoren der Kovarianzmatrix.
Die zugehörigen Eigenwerte {λ k } beschreiben die Varianz in Richtung der Eigenvektoren.
Der Anteil an der gesamten Varianz, der durch jeden Eigenvektor erklärt wird, ist gleich dem
zugehörigen Eigenwert [Jol86]. Der größte Teil der Variabilität kann in der Regel durch eine
kleine Anzahl Moden erklärt werden (t < 3n). Die Formparameter b = {bk} steuern die Moden
der Variation. Eine ausführlichere Herleitung findet sich bei Cootes et al. [CTCG95] bzw. Jolliffe
[Jol86].
Wie bereits erwähnt, ist es für ein korrektes statistisches Modell wesentlich, daß alle M Punkte
jeder Form in anatomisch plausibler Korrespondenz stehen, also homolog sind und relativ zu
einem gemeinsamen Referenzkoordinatensystem gegeben sind. Diese Teilprobleme werden i. A.
unabhängig voneinander gelöst [LLS03].
Alternativ kann ein statistisches 3D-Formmodell durch die Hauptmodenanalyse analog auf
Grundlage anderer Formbeschreibungen aufgebaut werden, z.B. mittels der Koeffizienten der
Entwicklung der sphärischen Harmonischen [KSG99], oder Deformationsfeldern [FRSN02]. Diese
Formbeschreibungen lassen sich in Punktrepräsentationen überführen, daher liegt das Korrespondenzproblem
dort in analoger Form vor.
3.1 Anforderungen an die Korrespondenz
k
p k b k n
Eigenschaften eines guten Algorithmus zur Korrespondenzfindung zwischen Punkten sind:
1. Medizinisch geschultes Fachpersonal sollte der Lösung zustimmen, d.h. die Korrespondenz
sollte anatomisch plausibel sein.
2. Die definierten Punkte sollten die Form verläßlich darstellen, d.h. es sollten keine Teile
ausgelassen werden. Die Punkte sollten ausreichend dicht sein, so daß Details der Form
durch die Koordinaten der Punkte hinreichend repräsentiert werden.
3. Die Korrespondenzfunktion fij : Si → Sj sollte bijektiv und diffeomorph sein: Benachbarte
pi ∈ Si sollten mit benachbarten pi ∈ Sj korrespondieren.
4. Die Korrespondenzfindung sollte symmetrisch sein, also im Wesentlichen unabhängig von
der Wahl einer Referenzform Sr (s. Kap. 4).
5. Der Algorithmus sollte robust sein gegen Ausreißer.
6. Der Algorithmus sollte praktikabel sein, d.h. eine gute Performanz aufweisen und mit
wenigen Parametern ausgestattet sein.
7. Die definierten Landmarken sollten zu einer guten Performanz einer nachgeordneten Verarbeitung
führen (z.B. Segmentierung).
8. Eine gute Korrespondenz sollte auf ein gutes statistisches Formmodell führen.
Für Punkt 3. haben Caunce und Taylor das Maß der Punktkohärenz entwickelt [CT99]. Da jeder
Hauptmodus eine Weise angibt, wie sich alle Punkte bewegen, sollten sich benachbarte Punkte
5
(2)

ei Variation eines Formparameters bi in ähnliche Richtungen bewegen. Ein solcher Indikator
kann für jeden Modus p k berechnet werden:
c k = 1
M
M�
1
nm
m=1 j=1
nm�
||d k m · d k j ||, (3)
wobei nm die Anzahl der Punkte in der Nachbarschaft von Punkt pm und dk i
bungsvektor des Punktes pi bezeichnet3 .
3.2 Anforderungen an das Modell
den Verschie-
Zwei Ziele stehen bei der Erzeugung eines statistischen Formmodells in Konflikt [CTCG95]:
Die Allgemeinheit bzw. die Vollständigkeit des Modells sollte möglichst groß sein, um auch Vertreter
einer Klasse, die nicht in den Modellbildungsprozeß einbezogen worden sind, durch das
Modell repräsentieren zu können. Dies kann durch Kreuzvalidierung (Leave-one-out-Tests) gemessen
werden. Die Spezifität des Modells verlangt, daß nur Vertreter der Klasse durch das
Modell repräsentiert werden können, daß also jede Linearkombination der Eigenmoden ausschließlich
gültige Objektinstanzen generiert.
Abbildung 1: Wenn Elemente des Formvektors (v1 und v2) korreliert sind, können auch
sehr untypische Formen konstruiert werden (aus Cootes [CTCG95]).
Daneben tritt die Kompaktheit des Modells gemessen z.B. an der Minimalen Beschreibungslänge
(s. Kap. 4.2), also eine Darstellung aller Formen Sn mit möglichst wenig Eigenmoden, als dritter
wesentlicher Aspekt eines guten statistischen Formmodells. Das zweite Ziel wird prinzipiell
durch die der Hauptmodenanalyse zugrundeliegende Entkorrelierung der Variablen, in dem Fall
der Positionen der Punkte (s. Abb. 1), erreicht. Dennoch kann eine ungünstige Wahl einer Menge
von Parametrisierungen {Φn} trotz ‘legaler’ Werte von {bn} ‘illegale’ Forminstanzen erzeugen
(s. Abb. 2).
Abbildung 2: Der erste Modus zweier Formmodelle. Links: Modell A, manuell parametrisiert.
Rechts: Modell B, parametrisiert nach der Bogenlänge (aus Davies [DTC + 02]).
Die Güte des Modells ist also ein schwer zu quantifizierender Begriff, der zudem stark anwendungsabhängig
ist.
3 Caunce und Taylor schreiben vermutlich versehentlich ck = 1
M
6
M
m=1
1
nm || nm
j=1 dj||.

4 Korrespondenzproblem für statistische Formmodelle
Das Korrespondenzproblem beim statistischen Modellieren von Formen besteht darin, für jede
Form Landmarken zu definieren, so daß über die gesamte Menge der Formen die Punkte
miteinander korrespondieren. Dies entspricht der Suche nach einer Menge {Φn} von geeigneten
Parametrisierungen der Formen oder äquivalent einer Menge von Korrespondenzfunktionen
{fij}, i, j = 1..N,
Si
fij
→ Sj. (4)
Um die Korrespondenz zu finden, muß eine geeignete Repräsentation Si der Formen gewählt
werden, welche abweichen kann von der meist zur Modellbildung verwendeten Punktmengenrepräsentation.
In manchen Fällen genügt eine Repräsentation der Oberfläche, es kann aber auch
sinnvoll sein, das gesamte Volumen zu modellieren.
Aus der Repräsentation der Formen ergibt sich die Art der Korrespondenzfunktion: Sie kann
auf Punktmengen definiert sein, fij : Si → Sj, auf 2D-Mannigfaltigkeiten, fij : Si → Sj, oder
auf dem Raum, in den die Formen eingebettet sind: fij : R 3 → R 3 .
Die Suche nach fij geschieht durch Minimierung eines Funktionals:
min E(fij, Si, Sj). (5)
fij
Das Funktional, auch Kostenfunktional genannt, bewertet die Qualität der Korrespondenz. Verwendet
werden Terme zur Messung der geometrischen Verzerrung, die durch fij entsteht, oder
zur Bewertung der Ähnlichkeit der Formen. Daneben werden Einschränkungen formuliert, die
gewünschte Eigenschaften einer optimalen Korrespondenzfunktion unterstützen, wie z.B. deren
Glattheit.
Individuelle versus simultane Korrespondenzfindung Bei der individuellen Korrespondenzfindung
wird die Korrespondenz zwischen zwei Formen gesucht. Um ein statistisches Formmodell
erzeugen zu können, muß also für eine Referenzform Sr ein Formvektor vr definiert
werden. Mit Hilfe einer Abbildung fij kann die Parametrisierung Φn von Sr auf die Sn übertragen
werden, damit erhält man mit vr korrespondierende vn. Damit wird aber implizit unterstellt,
die Sn seien einer willkürlich ausgewählten Form Sr besonders ähnlich, die Korrespondenz ist
asymmetrisch. Manche Verfahren versuchen, die Dominanz der Referenzform iterativ abzumildern,
um die Korrespondenz zu verbessern [FLJ99].
Bei der simultanen Korrespondenzfindung wird versucht, die Korrespondenzen zwischen allen
Formen untereinander simultan zu optimieren. Dies ist ein sehr aufwendiger Vorgang, der immer
dann, wenn die Trainingsmenge um neue Exemplare erweitert wird, aufs Neue durchgeführt
werden muß. Dagegen ist die Erweiterung der Trainingsmenge für individuelle Korrespondenzfindungsverfahren
vergleichsweise einfach.
Optimierungsverfahren Nur in zwei der hier vorgestellten Verfahren liegt ein lineares Optimierungsproblem
vor (s. Kap. 5.2.1). Ansonsten kann man zwei große Klassen nichtlinearer
Optimierungsverfahren unterscheiden: Gradientenbasierte Verfahren und solche, die keine Gradienten
verwenden, weil das Funktional nicht differenzierbar ist. Beispiele für Letztere sind
Simulated Annealing, Powells Methode, das Nelder-Mead-Simplexverfahren sowie Genetische
Algorithmen. Sie werden nach Möglichkeit vermieden, weil sie deutlich komplexer und im Allgemeinen
weniger robust sind. Die Klasse der Gradientenverfahren kann man weiter in solche
erster Ordnung, welche nur die erste Ableitung benutzen, und zweiter Ordnung, welche auch die
zweite Ableitung benutzen, was zu einer schnelleren Konvergenz führt, unterteilen. Ein guter
Optimierer erster Ordnung ist z.B. Quasi-Newton. Kompliziertere, aber i.A. wesentlich effizientere
Verfahren wie z.B. Levenberg-Marquardt [KNFM04] und Konjugierte Gradienten sind
zweiter Ordnung. Eine ausführliche Beschreibung findet man in [PTVF93].
7

4.1 Repräsentation der Formen
Die Formen liegen in der Regel nach einer manuellen Segmentierung als dreidimensionale, markierte
Voxelbilder vor (Labelfelder). Die Marken zeigen an, zu welchem Segment ein Voxel gehört.
Punkte Mengen von unverbundenen Punkten sind die einfachste Repräsentation von Formen.
Linien Teilmengen von Punkten können zu eindimensionalen Kurvensegmenten zusammengefaßt
werden. Damit wird versucht, strukturelle Eigenschaften der Form hervorzuheben und als
Randbedingung in die Korrespondenzfindung aufzunehmen. Man kann Kurvensegmente durch
Pfade maximaler Hauptkrümmung definieren, welche geometrische Invarianten der triangulierten
Oberfläche darstellen (Crest Lines, [STA98]).
Flächen Eine triangulierte Oberfläche Sn ist eine Menge von Vertizes und Kanten. Damit liegen
zusätzlich Informationen zu Konnektivität und Geometrie vor, es handelt sich um eine stückweise
lineare, zweidimensionale Struktur im R 3 - eine explizite Darstellung der Fläche. Sie kann
aus dem binären Voxeldatensatz mittels einer Distanztransformation [Bor96] extrahiert werden,
denn die Voxel, die den Rand einer Markierung bilden, beschreiben die Fläche bereits implizit.
Um die Triangulierung durchzuführen, wird die Punktdichte der Oberfläche reduziert, in der Regel
geleitet durch geometrische Eigenschaften wie Krümmung. Das ist insofern problematisch,
als im Ergebnis korrespondierende Punkte in verschiedenen Formen teils als Vertex ‘überleben’,
teils ausgedünnt worden sind. Daraus folgt, daß die Ausdünnung nur gering sein darf 4 . Anschließend
wird ein Voronoi-Graph der Punktmenge benutzt, um die Delaunay-Triangulierung
zu erhalten [BKOS98]. Häufig wird auch der Marching-Cubes-Algorithmus [LC87] direkt auf den
Voxeldaten angewendet.
Volumen Ein Volumendatensatz ist eine Menge von Punkten, deren Koordinaten auf einem
dreidimensionalen Gitter definiert sind.
Stetige Parametrisierung Eine Oberfläche kann mittels einer stetigen bijektiven Abbildung
zweier Parameterwerte (u, v) ∈ D für ein konvexes D ⊂ R2 auf die Punkte der Oberfläche
parametrisiert werden:
⎛
x(u, v) = ⎝
x(u, v)
y(u, v)
z(u, v)
wobei x, y und z Koordinatenfunktionen R 2 → R sind.
Um Deformationen von Formen zu modellieren, können die Koordinatenfunktionen wiederum
durch Parametrisierungsfunktionen Φ ausgedrückt werden, z.B. durch die Asymmetrische θ-
Transformation nach Davies et al. (s. Kap. 5.2.2).
Formdeskriptoren Die Formen Sn können ausgehend von den bisher beschriebenen Repräsentationen
weitergehend charakterisiert werden, wobei als Resultat ein Formvektor vn abweichend
vom oben beschriebenen (s. Gl. (1)) möglich ist. Man spricht von Feature Vectors
oder Formdeskriptoren. Sie sind in der Lage, verschiedene Formen, möglichst auch verschiedener
Topologie, in ihren globalen und lokalen Eigenschaften exakt und auf kanonische Weise darzustellen.
Formdeskriptoren wie der Formkontext [BMP02] oder das Spin Image [JH97] sind von hoher
räumlicher Komplexität, da dort die Topographie der Formen durch mehrdimensionale Histogramme
repräsentiert wird. Sie eignen sich deshalb zur Zeit nur für 2D Probleme. Für die
Anwendung des Shape Retrievals aus Datenbanken über das World Wide Web wurde die Erweiterung
auf 3D bereits dokumentiert [KPNK03]. Die so gewonnen Korrespondenzen sind aber
4 Eine Triangulierung einer menschlichen Leber beispielsweise enthält immer noch ca. 11000 Vertizes.
8
⎞
⎠ ,

für die Zwecke der statistischen Formmodellierung nicht exakt genug.
Eine andere Art, Formdeskriptoren abzuleiten, ist die Entwicklung über eine vollständige Menge
von Basisfunktionen wie B-Splines, Wavelets oder sphärische Harmonische nach Kelemen et al.
(s. Kap. 5.2.1).
Geometrische Formen kann man auch mit Hilfe von Finite Elemente Methoden [Bet97] hierarchisch
in natürliche Schwingungen zerlegen [SP95]. Aus den pm ∈ Sn wird ein Finite-Elemente-
Modell generiert. In dieses Modell gehen neben den Punktkoordinaten noch Informationen zur
Konnektivität der Punkte ein, es besteht im Wesentlichen aus Masse- und Steifigkeitsmatrizen.
Zur weiteren Analyse werden die Eigenvektoren p k dieses Modells errechnet (Eigenmoden). Sie
liefern eine orthogonale, nach der Frequenz geordnete kanonische Beschreibung der Form und
ihrer natürlichen Deformationen.
4.1.1 Diskretisierung
Ein Aspekt der Formrepräsentation ist die notwendige Diskretisierung. Im Ergebnis kann es
sein, daß für manche pi ∈ Si kein korrespondierender pj ∈ Sj existiert (s. Abb. 3). Diese
Situation kann auch auftreten, wenn für die Korrespondenzfindung Landmarken automatisch
auf der Form definiert werden, z.B. Kurvensegmente. Chui et al. [CZR04] sprechen sogar vom
Konsistenzproblem, dem als wichtigen Teilproblem der Korrespondenzfindung nicht immer die
nötige Aufmerksamkeit geschenkt werde (s. Abb.3).
Abbildung 3: Das Konsistenzproblem. Von links nach rechts: a) Die Originalpunkmenge mit einer dichten
Punktverteilung. b), c) Zwei abgetastete Punktmengen. d) Beide abgetastete Mengen übereinandergelegt (nach
Chui et al. [CZR04]).
Je dichter die Punktverteilungen der Sn sind, desto weniger bedeutend wird allerdings diese
Problematik (dichte Korrespondenz).
4.2 Bewertung der Korrespondenz
Das zu minimierende Funktional E (s. Gl. (5)), welches die Qualität der Korrespondenz mißt,
kann unterschiedliche Gestalt annehmen:
Euklidischer Abstand Bei der Bildregistrierung (s. Kap. 5.1) muß gemessen werden, wie
ähnlich sich zwei Formen unter der jeweils aktualisierten geometrischen Transformation sind.
Dies geschieht durch eine anwendungsspezifische Metrik.
Der Euklidische Abstand zwischen zwei Punkten pi und pj im R 3 ist definiert als
d e ij = ||pi
�
− pj|| =
(xi − xj) 2 + (yi − yj) 2 + (zi − zj) 2 . (6)
Werden Oberflächen Si und Sj registriert, wird für jeden Punkt pi ∈ Si der minimale Euklidische
Abstand zu einem Punkt pj ∈ Sj gemessen:
d(pi, Sj) = min ||pi − pj|| (7)
pj∈Sj
9

Der Abstand der Oberflächen ist dann
d(Si, Sj) = �
pi∈Si
d(pi, Sj). (8)
Geometrische Ähnlichkeit Im Sinne einer anatomisch plausiblen Korrespondenz ist es grundsätzlich
wünschenswert, die Geometrie der Formen in den Optimimierungsprozess einzubeziehen.
Ein Maß für die Ähnlichkeit der Oberflächennormalenvektoren ni ist [WPS00] deren Projektion:
d n ij = ni · nj
Analog kann für Kurvensegmente die Übereinstimmung der Tangenten ti gemessen werden:
d t ij = ti · tj
Auch die Hauptkrümmungen k1 und k2 [Wün97] der Oberfläche können in die Messung eingehen.
Mit ihrer Hilfe kann man die Oberfläche in eine von neun Klassen einordnen [WPS00]. Dazu
dient der Formindex
(9)
(10)
S = 2
π arctan[(k1 + k2)/(k2 − k1)]. (11)
Weiterhin läßt sich das Ausmaß der Krümmung [WPS00] bestimmen:
�
C = (k2 1 + k2 2 )/2. (12)
Topographische Ähnlichkeit Topographische Eigenschaften, also die räumliche Struktur
der Form, werden wegen des immensen Speicherbedarfs selten ausgewertet. Um den Formkontext
darzustellen, können Nachbarschaftshistogramme angelegt werden, was im Falle der vergleichsweise
effizienten Repräsentation der Formen durch Kurvensegmente durchaus praktikabel ist.
Jedem Punkt pi eines Kurvensegments wird ein zweidimensionales Histogramm hik zugeordnet
(wenn er an einer Verzweigung liegt, mehrere, k > 1). Es wird nach der Tangente der Kurve
orientiert und stellt die mit einer Auflösung von acht Pixeln quantisierte Projektion von 3D nach
2D dar [CT99]. Histogramme können verglichen werden, indem die Zeilen zu Einheitsvektoren
konkateniert und aufeinander projeziert werden:
d h ij
= max(hik
· hjl ) (13)
kl
Ist die Form als Markenbild repräsentiert, kann man die Ähnlichkeit zweier Formen mit der
Markenkonsistenz [FRSN02] messen:
E(f, Si, Sj) =
L�
l=1
pSiSj (l, l), (14)
wobei pSiSj (l, m) die Wahrscheinlichkeit für ein gemeinsames Auftreten der Marken l und m in
Si und Sj ist.
Regularisierung Wenn die Korrespondenzfunktion fij eine Abbildung zwischen Oberflächen
ist, wird versucht, die durch diese Abbildung entstehende Verzerrung zu minimieren. Dazu gibt
es verschiedene Ansätze:
Durch eine Parametrisierung nach Floater [Flo97] werden Verzerrung, lokale Scherung und
Skalierung der Oberfläche minimiert, indem die intrinsischen geometrischen Eigenschaften Bogenlänge
und Winkel lokal so weit wie möglich bewahrt werden (s. Kap. 5.2.1).
Diesem Ansatz ähnlich ist der der harmonischen Abbildung: h : D → P bildet eine triangulierte
Oberfläche D ⊂ R 3 , welche topologisch äquivalent einer Kreisscheibe ist, auf eine polygonale
10

Region P des R 2 ab und minimiert dabei die sogenannte metrische Dispersion [BT00]. Darunter
verstehen Brett und Taylor das Ausmaß, mit dem kleine Regionen von D durch die Abbildung
gestreckt werden (s. Kap. 5.2.1).
Eine dritte Variante nach Brechbühler [BGK95] sucht eine flächenerhaltende Parametrisierung
(s. Kap. 5.2.1): Jede Region der Objektoberfläche muß auf eine proportionale Region der Einheitskugel
abgebildet werden.
Um das aus einer Freiform-Bildregistrierung (s. Kap. 5.1) resultierende Deformationsfeld einzuschränken,
werden Regularisierungsterme in das Funktional E aufgenommen. Die Deformation
wird geglättet, indem die Krümmung des Gitters nach einem Elastizitätsmodell bestraft wird.
Durch Bewertung der Jacobi-Determinante kann außerdem eine Ausdehnung des Volumens eingeschränkt
und eine Überfaltung ausgeschlossen werden (s. Kap. 5.1).
Informationstheoretisches Maß Die Minimale Beschreibungslänge als Maß für die Kompaktheit
des statistischen Formmodells [DTC + 02] ist folgendermaßen motiviert: Man stelle sich
vor, eine Menge von Formen, welche durch ein lineares statistisches Modell (s. Gl. (2)) beschrieben
werden, als codierte Nachricht versenden zu müssen. Die vollständige Sendung beinhaltet
dann nicht nur die codierten Daten, sondern auch die codierten Modellparameter, wie z.B. die
Varianzen in den Richtungen der Eigenvektoren der Kovarianzmatrix. Die Balance zwischen
der Komplexität des Modells, welche sich in den Kosten für das Senden der Modellparameter
ausdrückt, und der Qualität der Anpassung des Modells an die Formen, ausgedrückt durch die
Beschreibungslänge der Daten, wird durch das Maß Minimale Beschreibungslänge hergestellt
[DTC + 02]. Dazu wird ein Ausdruck für die Beschreibungslänge eindimensionaler, beschränkter
und quantisierter Daten abgeleitet, welcher auf einer zentrierten Gauß-Verteilung basiert und
nach Shannons idealer Beschreibungslänge berechnet wird (Details siehe [DTC + 02]).
5 Verfahren zur Korrespondenzfindung
5.1 Bildregistrierung
Das Auffinden einer Zuordnung einer (Teil-)Menge von Punkten eines Datensatzes zu einer
(Teil-)Menge von Punkten eines anderen Datensatzes wird als Bildregistrierung bezeichnet. Der
Begriff Registrierung ist motiviert durch die rigide Registrierung, wo nur Translation und Rotation
erlaubt sind: Hierbei handelt es sich um die Ausrichtung von Datensätzen in ein gemeinsames
Koordinatensystem.
Die Bildregistrierung verbindet die Suche nach einer Korrespondenz zwischen Objekten mit der
Suche nach einer geometrischen Transformation, welche die Objekte bestmöglich aufeinander
abbildet. Die Qualität der Korrespondenz wird anhand ihres Überlappbereichs auf verschiedene
Weise gemessen, bei Grauwertbildern z.B. mit dem Euklidischen Abstand oder der Korrelation.
Einen guten Überblick über die medizinische Bildregistrierung bieten [HBHH01, AFP00].
Zur Erzeugung von statistischen Formmodellen kann die Bildregistrierung nach dem Prinzip der
individuellen Korrespondenzfindung (s. Kap. 4) eingesetzt werden. Es sind keine Einschränkungen
an die Objekttopologie nötig.
Affine Bildregistrierung Bei der affinen Bildregistrierung wird die gesuchte Transformation
auf die Klasse der affinen Transformationen eingeschränkt. Eine affine Transformation im R 3
weist je drei Freiheitsgrade für Translation, Rotation, Skalierung und Scherung auf.
Freiform-Bildregistrierung Freiform-Deformationen, entwickelt in der Computergraphik,
erlauben geometrische Transformationen mit einer frei wählbaren Zahl von Freiheitsgraden.
Durch Interpolation von Steuergitterkoordinaten können Objekte lokal deformiert werden. Zur
Modellierung von Freiform-Deformationen wird einer Form Sn eine Transformation Tn zugeord-
11

net, welche sich aus einer globalen und einer lokalen Komponente zusammensetzt:
Tn(x) = Tnl(x) ◦ Tng(x). (15)
Tng ist eine globale, affine 5 und Tnl eine nicht-lineare Transformation mit beliebig vielen Freiheitsgraden.
Um letztere zu repräsentieren, werden die Sn nach einer Methode von Lee et al.
[LWS97] oder Szeliski und Lavallée [SL96] in ein Steuergitter der Größe nx × ny × nz mit Gitterabstand
δ eingebettet, welches iterativ verfeinert werden kann. Dieses definiert zusammen mit
Tng ein stetiges Deformationsfeld durch B-Spline-Basisfunktionen Bi, die an jedem Gitterpunkt
definiert sind (s. Abb. 4). Mit c als der Bezeichnung der Steuerpunkte, u = x/nx − ⌊x/nx⌋,
v = y/ny − ⌊y/ny⌋, w = z/nz − ⌊z/nz⌋ der relativen Positionen der Bildpunkte in einer Gitterzelle
und i = ⌊x/nx⌋ − 1, j = ⌊y/ny⌋ − 1, k = ⌊z/nz⌋ − 1 der Gitterindizes des Knotens für B0
ergibt sich
Tnl(x) =
Die Basisfunktionen Bi sind
3�
3�
l=0 m=0 n=0
3�
Bl(u)Bm(v)Bn(w)ci+l,j+m,k+n. (16)
B0(t) = (−t 3 + 3t 2 − 3t + 1)/6,
B1(t) = (3t 3 − 6t 2 + 4)/6,
B2(t) = (−3t 3 + 3t 2 + 3t + 1)/6,
B3(t) = t 3 /6.
fij ist im Allgemeinen nicht surjektiv. Es ist praktisch kaum durchführbar, die Formen so zu
registrieren, daß sie sich vollständig überdecken. Kritischer ist eine Überfaltung, bei der die Injektivität
der Abbildung verloren geht (s. Abb. 4, 5). Um die Deformation einzuschränken, werden
Abbildung 4: Vektorfeld einer B-Spline-
Deformation. In der Bildmitte ist deutlich
eine globale Überfaltung erkennbar.
(17)
Abbildung 5: Lokale Überfaltung: Der markierte Bereich bezeichnet
eine Bildregion, die in zwei Schritten durch Verschiebung
eines Steuerpunktes deformiert wird. Im zweiten Schritt
ensteht die Mehrdeutigkeit.
in den unten vorgestellten Verfahren folgende Regularisierer eingesetzt:
a) Verformungsenergie
Die Biegungsenergie einer dünnen Metallplatte wird als Modell für die Verformung des Raumes
durch Spline-Interpolationsfunktionen hergenommen [Boo89]:
�
3
�
∂2T ∂x2 �2 +
�
∂2T ∂y2 �2 +
�
∂2T ∂z2 �2 + 2
�� �
∂2 2 � �
T ∂2 2 � � �
T ∂2 2
T
+ +
dx. (18)
∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z
Im Falle der B-Splines wird daraus eine Summation über die Steuerpunkte. Wenn nur eine affine
Transformation vorliegt, ist der Term Null, ansonsten sorgt er für eine Glättung der Abbildung.
5 Bei Szeliski und Lavallée [SL96] werden auch trilineare und quadratische Transformationen zugelassen.
12

) Regularisierung mit Stabilisierern Die ’Verformungsenergie’ ist ein Tichonow-Stabilisierer
zweiter Ordnung [Sze89, SL96], und damit ein Spezialfall der allgemeinen Regularisierung
P (T) = 1
2
j1+···+jd=m
p�
wmRm(T) (19)
m=0
mit dem Gewicht wm und dem Tichonow-Stabilisierer m-ter Ordnung
�
Rm(T(x)) =
3
�
�
m!
�
� ∂
�
j1! · · · jd! �
mT(x) ∂x j1
�
�
�
�
1 · · · ∂xjd �
1
2
dx. (20)
Der Stabilisierer nullter Ordnung bestraft die Ausdehnung des Volumens, während der Stabilisierer
erster Ordnung lineare Variationen in T bestraft.
c) Jacobi-Determinante
Die Determinante der Jacobischen Matrix [Wün97],
�⎛
∂T1 �
� ∂x
|J(T(x))| = �⎝
∂T1
� ∂y
�
∂T1
∂z
∂T2
∂x
∂T2
∂y
∂T2
∂z
∂T3
∂x
∂T3
∂y
∂T3
∂z
⎞�
�
�
⎠�
� , (21)
�
wobei Ti die i-te Koordinatentransformation ist, gibt den Faktor an, um den sich das Volumen
eines Voxels mit dem Zentrum (x, y, z) unter der Transformation T ändert. Wenn |J| = 0,
ist die lineare Unabhängigkeit der Basisvektoren des Koordinatensystems verloren gegangen
und damit die Injektivität. Wenn |J| < 0, ist aus dem rechtsdrehenden Koordinatensystem ein
linksdrehendes geworden, die Transformation bewirkt eine lokale Überfaltung. Mit
�
�
log |J(T)| wenn |J(T)| > 0,
V (J, T(x)) dx, V (J, T(x)) =
(22)
3
∞ sonst
erhält man ein entsprechendes Maß für die gesamte Form.
Durch Bewertung der Jacobi-Determinante werden lokale Überfaltungen (s. Abb. 5) ausgeschlossen,
während globale Überfaltungen (s. Abb. 4) lediglich unwahrscheinlicher werden.
5.1.1 Volumenregistrierung
Die von Frangi et al. [FRSN02] verwendete Methode ist eine Freiform-Bildregistrierung, die zur
Interpolation B-Splines nach Lee et al. (s. Kap. 5.1) verwendet. Es handelt sich um ein Multiskalenverfahren,
bei dem auf jeder Stufe das Steuergitter verfeinert wird. So vermeiden sie lokale
Minima der Optimierung, deren Parameter die Steuerpunkte sind. Sie registrieren das ganze Volumen,
welches aus Voxeln besteht, die keine Grauwerte, sondern Marken tragen. Als Metrik für
die Bildregistrierung dient die Markenkonsistenz (s. Kap. 4.2) ergänzt um den Regularisierungsterm
’Verformungsenergie’ (s. Kap. 5.1). Restriktive Annahmen über die Topologie der Objekte
sind nicht nötig. Der erfolgreiche Einsatz zur Erzeugung statistischer Formmodelle der rechten
und linken Ventrikel des Herzens wird demonstriert. Das Funktional wird maximiert mittels
eines Gradientenaufstiegsverfahren. Die Hauptmodenanalyse wird anschließend auf Grundlage
der Deformationsvektoren durchgeführt.
Bei diesem Ansatz wird die Geometrie der Formen nicht berücksichtigt. Die Verformung des
Volumens wird auf willkürliche Art und Weise eingeschränkt, in dem Fall durch die ’Verformungsenergie’.
Eine Verwendung der Jacobideterminante an der Stelle würde grundsätzlich eine
ebenso gute Abbildung im Sinne der verwendeten Metrik liefern, dennoch sähe das Gitter dann
anders aus. Auch ganz ohne Einschränkung würde die Bildregistrierung gelingen, allerdings sind
dann Überfaltungen wahrscheinlicher. Die Punkte, welche aufeinander abgebildet werden, werden
aufgrund ihrer Marken unterschieden, welche in großen Bereichen homogen sind. Dadurch
wird die Qualität der Übereinstimmung problematisch. Um die Korrespondenz zu verbessern,
also die Abbildung homologer Punkte aufeinander zu befördern, ist folgende Modifikation denkbar:
13

Skizze: Propagation geometrischer Eigenschaften Ausgangspunkt für die Bildregistrierung
sind nicht die homogenen Voxelbilder nach der manuellen Segmentierung, sondern die
extrahierten triangulierten Oberflächen Si der Formen. Auf den Si werden für jeden Vertex geometrische
Eigenschaften gj bestimmt, z.B. Normalenvektor oder Krümmung. Jeder Punkt der
Oberfläche trägt also neben seinen Koordinaten noch Information über die lokale Geometrie der
Oberfläche. Dieser Wert wird mittels einer Distanztransformation [Bor96] in den R 3 propagiert.
Registriert werden nun diese Bilder der Referenzform Sr mit den Si nach dem vorhergehenden
Verfahren, wobei geeignete Metriken zu entwickeln sind. Für verschiedene gj können einzeln
Bildregistrierungen durchgeführt werden, deren Ergebnisse in geeigneter Weise kombiniert werden
müssen. Wenn dies für jede Form durchgeführt wurde, kann die Parametrisierung einer
Referenzoberfläche auf die Si übertragen werden.
5.1.2 Oberflächenregistrierung
Bei der Bildregistrierung von Oberflächen werden grundsätzlich die Abstände zwischen den
Oberflächen minimiert. Ein wegweisendes Verfahren für die Klasse der affinen Transformationen
war der Iterative-Closest-Points-Algorithmus (ICP) von Besl und McKay [BM92]. Einige der hier
vorgestellten Registrierungsverfahren können als Derivate dieses Algorithmus betrachtet werden.
Iterative-Closest-Points
Eingabe: Eine Punktmenge {pi}, i = 1 . . . N, eine Zielpunktmenge {qj}, j = 1 . . . M.
Ausgabe: Eine rigide Transformation Tg, welche d(Si, Sj) minimiert.
1. Finde in Iteration k zu jedem Punkt pi den nächsten Punkt qj der Zielpunktmenge, so
daß d(pj, Si) = d(pj, qj).
�
2. Bestimme analytisch minTk g i (Tkg (pki ) − (qkj ))2 .
3. Wende Tk g auf jeden Punkt pi an, um eine neue Punktmenge {p k+1
i } zu erhalten.
4. Terminiere die Iteration nach dem Abbruchkriterium. Ansonsten setze k = k + 1 und
wiederhole von 1.-4.
Abbruchkriterium:
a) d(Si, Sj) unterschreitet eine feste Schranke.
b) Der Unterschied zwischen T k g
und Tk+1
g
c) Eine Höchstzahl an Iterationen wird erreicht.
fällt unter eine feste Schranke.
Es gibt zahlreiche Variationen, wo neben den Punktabständen noch andere Maße, z.B. geometrische,
verwendet werden, um die Transformation zu bewerten [RL01, SLW02]. In unserem
Kontext genügen allerdings rigide Transformationen nicht, um zwei Oberflächen zufriedenstellend
aufeinander abzubilden. Adaptionen für Freiform-Oberflächenregistrierung findet man in
[SL96, XF04, CR03]. Chui und Rangarajan entwickeln zusätzlich das bemerkenswerte Optimierungsverfahren
Soft Assign und nennen ihren Algorithmus Robust Point Matching [CR03].
Auf dem ICP-Algorithmus basierende Verfahren bringen Korrespondenzfunktionen hervor, welche
weder injektiv noch surjektiv sind, weil es leicht möglich ist, daß für einige Punkte keine
korrespondierenden Punkte vorhanden sind. Das kann dazu führen, daß nach Optimierung eines
beliebigen Ähnlichkeitsmaßes (s. Kap. 4.2) mehrere Punkte pi mit demselben pj korrespondieren.
14

ICP für Kurvensegmente Caunce und Taylor [CT99] erstellen statistische Modelle von
Gehirnen. Jede Form Sn wird mit einer willkürlich ausgewählten Referenzform Srregistriert.
Sie verwenden den ICP-Algorithmus, ohne dabei die rigide Transformation durch eine Freiform-
Transformation zu ersetzen. Stattdessen verbessern sie die Korrespondenz, in dem sie neben
dem Euklidischen Abstand (s. Gl. (6)) einige weitere Informationen auswerten (s. Kap. 4.2). Ihr
Funktional lautet (mit δ ≈ 0)
E(f, pi, Sj) = d e ij(pi, f(pj)) ·
2 + δ
d n ij (pi, f(pj)) + 1 + δ ·
1 + δ
d t ij (pi, f(pj)) + δ ·
1 + δ
d h ij (pi, f(pj)) + δ ,
welches für eine erste Stufe verwendet wird, wo sie Kurvensegmente registrieren. Das Funktional
wird nur für E > 0 ⇔ 〈ti, tj〉 ∈ [0, π
2 ] ausgewertet. Es wird durch extensive Suche minimiert und
liefert jeweils einen korrespondierenden pj ∈ Sj. Nachdem auf diese Weise eine Punktkorrespondenz
bestimmt wurde, wird in einem Abstimmungsverfahren festgelegt, daß die Kurvensegmente
mit den meisten Punktkorrespondenzen als korrespondierend betrachtet werden.
In der zweiten Stufe werden dann mittels de ij erneut Punktkorrespondenzen gesucht, aber nur
noch innerhalb der korrespondierenden Kurvensegmente. Dazu werden noch die korrespondierenden
Kurvenstücke auf gleiche Größen skaliert, auf ihre Schwerpunkte aligniert und gegebenenfalls
neu verbunden. In einer Analyse zeigen die Autoren, daß sich die Punktkohärenz (s. Gl. (3)),
ausgehend vom klassischen ICP-Algorithmus, immer mehr verbessert, wenn man zuerst dn ij und
dt ij einbezieht, dann das Abstimmungsverfahren, die Skalierung, Alignierung und Verbindung
und schließlich noch dh ij hinzunimmt.
Subsol et al. [STA98] registrieren ebenfalls Kurvensegmente mittels einer Adaption von ICP. Sie
zeigen ihr Verfahren in der Anwendung auf Schädelmodelle. Ihr Ansatz ist jedoch methodisch
überzeugender, da sie anstelle von rigiden Transformationen B-Spline-basierte Transformationen
(s. Kap. 5.1) zulassen und weiterhin die Kurvensegmente nicht durch einen Heurismus (s. Kap.
4.1), sondern aufgrund von Pfaden maximaler Krümmung gewinnen, welche geometrische Invarianten
einer Oberfläche darstellen. Sie betonen die anatomische Relevanz ihrer Formbeschreibung,
welche mit durch Mediziner definierten weithin übereinstimmen. Die Korrespondenzen
finden sie wie Caunce und Taylor zunächst zwischen Kurvensegmenten mit Hilfe eines Abstimmungsverfahrens
und dann zwischen den Punkten der korrespondierenden Segmente. Um die
Korrespondenzfindung bijektiv zu machen, führen sie Injektivitäts- und Punktordnungsrandbedingungen
ein, benutzen aber als Ähnlichkeitsmaß nur de ij (s. Gl. (6)) erweitert um einen
Tichonow-Stabilisierer (s. Kap. 5.1).
Das Konsistenzproblem (s. Kap. 4.1.1) lösen beide Ansätze nicht. Es wird nicht vorgesehen,
daß sich die Kurvensegmente während der Optimierung auf der Oberfläche der Form bewegen.
Auch finden sie keine dichte Korrespondenz: Subsol et al. nennen als wünschenswerte Zahl von
Kurvensegmenten 20 bis 30 [STA98]! Beide Verfahren eignen sich nur für Anwendungen, wo
ausgeprägte Kurvensegmente extrahiert werden können. Für Schädel und Gehirn ist das, wie
die Autoren zeigen, in robuster Weise möglich, für andere Organe, wie z.B. Leber oder Herz, im
Allgemeinen jedoch nicht.
Einbettung der Oberfläche in B-Spline-Steuergitter Fleute et al. [FLJ99] schildern
die Erzeugung statistischer Formmodelle von Oberschenkelknochen. Sie betten die Formoberfläche
in ein B-Spline-Steuergitter ein (s. Kap. 5.1), wozu sie die Methode von Szeliski und Lavallée
[SL96] benutzen. Dort werden auch die Stabilisierer m-ter Ordnung (s. Kap. 5.1) beschrieben,
welche zur Regularisierung eingesetzt werden. Die Bildregistrierung ist eine Minimierung
der Fehlerquadrate, wobei als Fehler der oben erwähnte Abstand der Oberflächen betrachtet
wird (s. Gl. (7)). Wegen seiner guten Konvergenzeigenschaften wird der Levenberg-Marquardt-
Algorithmus verwendet. 3D-Distanzfelder werden vorausberechnet [Bor96], um die Berechnungen
zu beschleunigen. Weiterhin wird das Gitter mit den zugehörigen B-Spline-Basisfunktionen in
sogenannten Octrees abgespeichert, was eine effiziente Implementation des auch hier verwendeten
Multiskalenverfahrens erlaubt [SL96]. Die Robustheit des Algorithmus wird erhöht, indem
15

nach Konvergenz der Optimierung erneut einige Male iteriert wird, wobei Ausreißer, für die
d 2 ≫ σ 2 gilt, aus der Punktmenge entfernt werden.
Wenn alle Sn mit Sr registriert worden sind, wird daraus ein erster mittlerer Formvektor v
berechnet. Danach wird bis zur Konvergenz wiederholt erneut registriert und gemittelt, was zur
Abmilderung der Dominanz der Referenzform dient (s. Kap. 4).
Euklidischer Abstand und Oberflächengeometrie Mit der semiautomatischen Methode
von Wang et al. [WPS00] werden korrespondierende Punkte zweier Oberflächen in zwei Stufen
anders als bei ICP direkt bestimmt. Zunächst wird eine Oberfläche Sr trianguliert. Dann wird
Sr mit den Sn affin registriert. Da es sich bei den Formen um Aufnahmen des Gehirns handelt,
wo man leicht zwei verschiedene Bereiche unterscheiden kann, nämlich ’Täler’ (Sulci) und
’Höhenzüge’ (Gyri), werden Vertizes interaktiv ausgewählt und markiert: Neben gewöhnlichen
Sulci (Marke Nr. 3) und Gyri (Nr. 4) werden noch Punkte in Spalten zwischen den Gehirnhemisphären
(Nr. 1) und Punkte in Falten am Gehirnstamm (Nr. 2) markiert. Diese Unterscheidung
wird benutzt, um die Eindeutigkeit der Korrespondenz zu befördern: Für Punkte, die mit
Marken Nr. 3 und Nr. 4 ausgestattet sind, werden korrespondierende Punkte gesucht, nachdem
die Bilder mit einem Gaußfilter mit σ = 0.5 geglättet worden sind. Für die Marken Nr. 1 und
Nr. 2 wird σ = 1.5 bzw. σ = 2.5 verwendet (s. Abb. 6).
Abbildung 6: Durch das Krümmungsmaß markierte Sulci (rot) und Gyri (grün).
Oben: Dorsale Ansicht; Unten: Ventrale Ansicht (aus Wang [WPS00]).
Mit dem Formindex (s. Gl. (11)) lassen sich Punkte eindeutig den Klassen Sulcus oder Gyrus
zuordnen. Zusammen mit dem Ausmaß der Krümmung (s. Gl. (12)) wird daraus ein feature
match mij, welches angibt, mit welcher Sicherheit zwei Punkte pi ∈ Si und pj ∈ Sj einem
gemeinsamen Bereich angehören. Das Funktional lautet dann
E(f, pi, S ′ j ) = (1 + de ij (pi, f(pi))) · (2 − d n ij (pi, f(pi))) · mij(pi, f(pi)),
welches für jeden pi ∈ Sr in einer Region S ′ j ⊆ Sj durch extensive Suche minimiert wird und
damit jeweils einen korrespondierenden pj ∈ Sj liefert. Wenn für jeden der auf der Referenzoberfläche
markierten Punkte ein korrespondierender Punkt pj gefunden wurde, wird eine dichte
Korrespondenz definiert, indem die pj ∈ Sj mittels Suche nach dem geodätischen kürzesten Pfad
[WPS00], verbunden werden. In der Mitte der Verbindungslinien werden Vertizes eingefügt, die
mit entsprechenden Zwischenpunkten der Referenztriangulierung korrespondieren. Dieser Prozeß
wird mehrmals wiederholt, bis eine Menge {frj} von Korrespondenzfunktionen frj : Sr → Sj
für j = 1 . . . N − 1 vorliegt. Durch die zweite Stufe der Korrespondenzfindung wird eine gewisse
Kontinuität der Korrespondenzfunktion gewährleistet. Die Wahrscheinlichkeit, daß benachbarte
Punkte korrespondieren, wird erhöht.
Das Verfahren ist bei der Anwendung auf Gehirne sehr erfolgreich, insbesondere weil hier die
Korrespondenz auch anatomisch fundiert ist. Fraglich ist allerdings, ob ein feature match für
16

andere Formen mit einer ebensolchen Aussagekraft wie im Falle der Gyri und Sulci definiert
werden kann.
5.2 Implizite Korrespondenz
Den in diesem Abschnitt zusammengefaßten Verfahren ist gemeinsam, daß hier nicht explizit
nach einer Korrespondenzfunktion gesucht wird, sondern nach geeigneten Parametrisierungen
der Formen: Anstatt direkt eine Funktion von einer Form auf die andere zu definieren, kann
man, um die Korrespondenz zu finden, auch die Oberflächen Sn auf eine Zwischenoberfläche Z,
welche topologisch äquivalent ist, mittels einer Hilfsfunktion hn abbilden: hn : Sn → Z.
Die Korrespondenzfunktion fij ergibt sich dann aus einer Überlagerung der stetigen Parametrisierungen:
Weil die hi bijektiv sind, ist auch fij bijektiv.
5.2.1 Kanonische Parametrisierung
fij = h −1
j ◦ hi, fij : Si → Sj. (23)
Abbildung auf Einheitskugel Kelemen et al. [KSG99] verwenden für die Erzeugung ihres
statistischen Formmodells die Koeffizienten der Entwicklung nach den sphärischen Harmonischen,
welche sie aus einer stetigen Oberflächenparametrisierung nach Brechbühler [BGK95]
gewinnen: Um die Formen auf eine invariante, kanonische Weise zu repräsentieren, parametrisieren
sie die Oberfläche der Formen zunächst, indem sie eine stetige bijektive Abbildung von den
Oberflächen, in dem Fall sind das die äußeren Seiten der Randvoxel, auf die Oberfläche einer
Einheitskugel definieren. Dies wird als nichtlineares Optimierungsproblem mit Randbedingungen
formuliert: Die zu maximierende Zielfunktion ist 1 �3 2 i=0 cos si, wobei cos si das Skalarprodukt
der beiden Vektoren vom Zentrum der Kugel zu den Endpunkten der Seite ist (s. Abb. 7). Jede
Region der Objektoberflächen muß auf eine proportionale Region der Einheitskugel abgebildet
werden, damit ist die Parametrisierung flächenerhaltend. Überfaltungen werden ausgeschlossen,
indem die Winkel αi der sphärischen Vierecke auf das Intervall [0, π] eingeschränkt werden.
So wird auch eine homogene Dichte des Parameterraumes erreicht. Auf der Grundlage dieser
Abbildung 7: Jede Außenseite der Randvoxel wird auf ein sphärisches Viereck abgebildet. Weil der
Radius der Kugel eins ist, hat jede Seite si die Länge des zugehörigen Zentrumswinkels im Bogenmaß (aus
Brechbühler [BGK95]).
Parametrisierung wird eine Entwicklung ähnlich einer Fourier-Reihe durchgeführt:
v(θ, φ) =
∞�
l�
l=0 m=−l
17
c m l
m
Yl (θ, φ), (24)

wobei Y m
l die sphärische Harmonische m-ter Ordnung vom Grade l ist [GD86]. Die Koeffizienten
cm l beschreiben räumliche Frequenzbestandteile der Formen und somit hierarchisch globale und
lokale Formeigenschaften (s. Abb. 8). Um Rotationsinvarianz herzustellen, wird der Parameterraum
so rotiert, daß der “Nordpol” (θ = 0) und der Schnittpunkt des “Greenwich Meridians”
mit dem “Äquator” (φ = 0, θ = π
2 ) an den Hauptachsen der Ellipse, die durch die sphärischen
Harmonischen erster Ordnung beschrieben wird (s. Abb. 8b)), ausgerichtet wird. Damit erhält
man eine kanonische Parametrisierung, die eine Eins-zu-Eins-Punktkorrespondenz darstellt.
Abbildung 8: Modellbildung. (a) Manuelle Segmentierung des linken Hippocampus.
(b) Rekonstruktion mit Oberflächenformdeskriptor bis Grad 1. (c) bis Grad 10. (d) Normalisierung
der Position im Objektraum (aus Kelemen [KSG99]).
Die Autoren zeigen, daß diese Methode geeignet ist, Gehirnstrukturen wie Hippocampus oder
Thalamus verschiedener Individuen in Korrespondenz zu bringen. Dadurch, daß die Parametrisierungen
kanonisch sind, werden sie für ähnliche Formen vergleichbar, d.h. Parameterkoordinaten
(θ, φ) befinden sich in ähnlichen Regionen der Form innerhalb der Elemente der Trainingsmenge.
Wegen der Verwendung der Einheitskugel als Zwischenoberfläche beschränkt sich das
Verfahren auf Formen mit sphärischer Topologie.
Die Normalisierungsmethode verlangt, daß die Koeffizienten erster Ordnung eine echte Ellipse
beschreiben. Wenn die Ellipse rotationssymmetrisch ist oder gar zu einer Kugel degeneriert,
kann das Verfahren nicht angewendet werden.
Harmonische Abbildung Anstelle einer Kugel benutzen Brett und Taylor eine Kreisscheibe,
um mittels harmonischer Abbildungen eine kanonische Parametrisierung zu erhalten [BT00].
Damit wird die erlaubte Topologie der Formen weiter eingeschränkt. Die Parametrisierung wird
wie folgt konstruiert:
Zuerst werden die Randvertizes der triangulierten Oberfläche proportional der Bogenlänge von
D auf einen Kreis in R 2 abgebildet. Die Positionen der übrigen Vertizes xi werden unter Minimierung
eines Energiefunktionals berechnet:
Eh(x) = 1
2
�
{i,j}∈kanten(D)
κi,j||xi − xj|| 2
Eh kann als die Energie einer Konfiguration von Federn interpretiert werden, wobei jeder Kante
von D eine Feder zugeordnet wird. In die Berechnung der Federkonstante κi,j gehen die
Längen der Kanten {i, j} sowie die Fläche der Facetten, welche an {i, j} angrenzen, ein. Diese
Approximation der harmonischen Abbildung nach Eck et al. [ERD + 95] ist ein lineares Optimierungsproblem,
welches analytisch (∇Eh = 0) gelöst wird.
In einem weiteren Schritt werden Oberflächen Sn, n = 1 . . . N − 1 mittels einer ICP-Variante
18
(25)

(s. Kap. 5.1.2) mit einer Referenzoberfläche Sr registriert. Dadurch wird das Verfahren asymmetrisch
(s. Kap. 4). Bei der Bildregistrierung werden neben den Euklidischen Abständen der
Punkte (s. Gl. (6)) noch die Übereinstimmung der Oberflächennormalen (s. Gl. (9)) als Abstandsmaß
benutzt. Die resultierende Rotation wird dann auf die harmonischen Parametrisierungen
Pn angewendet, um die Korrespondenzfunktion (s. Gl. (23)) zu erhalten.
Convex-Combination Maps Bei Lamecker et al. [LLS03] sind die Formen Sn ebenfalls als
triangulierte Oberflächen Sn gegeben. Die Autoren beschreiben ein individuelles, asymmetrisches
Korrespondenzfindungsverfahren. In einer interaktiven Vorverarbeitung wird jede Oberfläche
gleichermaßen in Flächenstücke mit der Topologie von Kreisscheiben zerlegt. Jedes Flächenstück
wird auf das entsprechende Flächenstück der Referenzoberfläche abgebildet (s. Abb. 9). Dies
Abbildung 9: Ein Homöomorphismus f zwischen den Formen (Lebern) S1 und S2 wird berechnet, indem jedes
Flächenstück der zwei Formen nach Floater (s. Kap. 4.2) mittels der verzerrungsminimierenden Abbildungen φ1
and φ2 auf eine Kreisscheibe abgebildet wird. Die Ränder werden proportional zur Bogenlänge auf den beiden
Oberflächen abgebildet. Die resultierende Abbildung für ein Flächenstück ist φ −1
2 ◦φ1 (aus Lamecker et al. [LLS03]).
wird über die Parametrisierung mittels Convex-Combination Maps [Flo97] erreicht, d.h. hier
werden keine Zwischenoberflächen verwendet, der Parameterraum ist eine Kreisscheibe. Convex-
Combination Maps approximieren für jeden Vertex lokal die geodätische polare Abbildung (s.
Abb. 10). Auf diese Weise können Verzerrung, lokale Scherung und Skalierung der Oberfläche in
Abbildung 10: Die geodätische polare Abbildung wird um die sternförmige Nachbarschaft eines Vertizes
xi einer Oberflächentriangulisierung approximiert: Die Vertizes xjk werden auf pk so abgebildet,
daß ||pk − p|| = ||xjk − xi|| und θ ′ = 2πθk/ n i
l=1 θl (aus Lamecker et al. [LLS03]).
einem linearen Optimierungsverfahren minimiert werden. Durch Überlagerung der Parametrisierungen
von entsprechenden Flächenstücken erhält man die Korrespondenzfunktion wie in (s.
Gl. (23)). Sind die Korrespondenzen bekannt, können mit einer Minimierung der Fehlerquadrate
analytisch affine Transformationen berechnet werden, welche die Formen in ein gemeinsame
Koordinatensystem überführen.
In diesem Verfahren wird besonders die Konnektivität der Punkte und die lokale Geometrie der
Oberfläche berücksichtigt, was für eine anatomisch plausible Korrespondenz ein vielversprechender
Ansatz ist.
19

5.2.2 Minimale Beschreibungslänge
Davies et al. [DTC + 02] betrachten das Korrespondenzproblem ebenfalls als die Suche nach einer
geeigneten Parametrisierung {Φn} der verschiedenen Formoberflächen. Eine stetige Parametrisierung
der Formoberfläche mittels sphärischer polaren Variablen (θ und φ) nach Brechbühler (s.
Kap. 5.2.1) wird mit Hilfe der asymmetrischen θ-Transformation in einem Multiskalenverfahren
optimiert. Einer Veränderung der Parametrisierung der Oberfläche entspricht eine Veränderung
der Position der auf die Einheitskugel abgebildeten Vertizes,
Sn → S ′ n, θ → θ ′ , φ → φ, ′
wobei Sn(θ, φ) = S ′ n (θ′ , φ ′ ) und θ ′ = Φ θ n (θ, φ), φ′ = Φ φ n(θ, φ) ist. Gültige Parametrisierungsfunktionen
Φn sind homöomorphe Abbildungen der Kugel. Es wird zunächst nur eine Reparametrisierung
θ → f(θ) betrachtet (symmetrische θ-Transformation), wofür die Autoren die
Cauchy-Verteilung [Mar72] verwenden. Sie wird durch eine variable Breite a um den Punkt P
und eine Amplitude A definiert (Cauchy-Kern).
Diese Parametrisierung kann zu θ → f(θ, φ) modifiziert werden, indem die Amplitude als glatte
Funktion von φ geschrieben wird: A → A(φ), wozu wiederum die Cauchy-Verteilung benutzt
wird (asymmetrische θ-Transformation, s. Abb. 11).
Verdrehungen und Scherungen um die Achse erreicht man, wenn man φ auf ähnliche Weise wie
θ parametrisiert.
Während der Optimierung wird auf jeder Auflösungsstufe die Einheitskugel annähernd uni-
Abbildung 11: Links: Originalkugel. Rechts: Kugel nach einer asymmetrischen
θ-Transformation (aus Davies [DTC + 02]).
form abgetastet, um die Cauchy-Kerne P zu plazieren. Nacheinander wird für jeden Kern die
Amplitude A optimiert, während die Breite a festgehalten wird. Mit der nächsten Iteration
wird die Abtastrate erhöht und gleichzeitig a verringert, so wird die Parametrisierung immer
mehr verfeinert. Die Optimierung wird mit dem Nelder-Mead-Simplexalgorithmus durchgeführt
[PTVF93], kürzlich wurde allerdings ein deutlich effizienterer Gradientenabstieg erster Ordnung
vorgestellt [E˚A03], was die praktische Anwendbarkeit deutlich erhöhen könnte.
Nach der Definition von Davies et al. ist das beste Modell jenes mit der optimalen Kompaktheit,
Spezifität und Vollständigkeit. Die Korrespondenz wird nach der Minimalen Beschreibungslänge
simultan optimiert, welche jedoch ausschließlich die Kompaktheit des Modells beschreibt - Spezifität
und Vollständigkeit lassen sich nicht in ein Optimierungsverfahren integrieren. Daß ein
Modell mit optimaler Kompaktheit auch optimale Spezifität und Vollständigkeit aufweist bzw.
auf anatomisch plausiblen Korrespondenzen aufbaut, konnte bisher nicht gezeigt werden.
Erweiterung um Krümmung Die Methode von Davies et al. sucht eine kompakte Beschreibung
der Positionen der Punkte auf den Oberflächen der Formen. Damit wird aber die Geometrie,
ein wichtiges Charakteristikum, ignoriert.
Thodberg und Olafsdottir [TO03] erweitern den Ansatz für 2D-Formen, indem sie außer der
Kompaktheit noch die Übereinstimmung der Krümmung der Oberflächen optimieren. Die Übertragung
dieser Idee auf 3D-Formen ist Gegenstand zukünftiger Forschung.
20
(26)

5.3 Matching mit Formdeskriptoren
5.3.1 Modal Matching
Sclaroff und Pentland [SP95] hatten in einem früheren Verfahren, ähnlich dem Prinzip der Abbildung
auf Zwischenoberflächen, die Korrespondenz gesucht, indem sie einen elastischen Körper
durch Federn mit den Punkten der Form verbunden haben. Unter der Kraft, die durch die Federn
auf den Körper wirkt, paßt er sich an die Form an, bis er ein dynamisches Gleichgewicht
erreicht:
M Ü + D ˙ U + KU = R, (27)
wobei M die Massenmatrix, U die Knotenverschiebungen, D die Reibungsmatrix, K die Steifigkeitsmatrix
und R die Matrix der Federkräfte darstellen. Der genaue Aufbau dieses Finite-
Elemente-Modells findet sich in [SP95]. Mittels einer Eigenanalyse findet man eine analytische
Lösung für diese Gleichung. Führt man dies für mehrere Formen durch, kann man direkt die
Punktkorrespondenz ablesen, wenn man beobachtet, welche Punkte auf korrespondierende Orte
des elastischen Körpers projeziert werden.
Die Autoren vermeiden mit dem neuen Modal Matching bewußt die kanonische Parametrisierung,
die dem vorigen Verfahren innewohnte. Sie plädieren dafür, daß die Daten selbst ihre
natürliche Parametrisierung bestimmen. Sie benutzen eine Repräsentation der Formen durch
ein lokales Koordinatensystem, welches ebenfalls auf einem Finite-Elemente-Modell aufbaut. In
dieser neueren Variante werden aber die Punkte der Form als Knoten des Modells verwendet,
es gibt keinen Zwischenkörper, der verformt wird.
Abbildung 12: Systemdiagramm (aus Sclaroff und Pentland [SP95]).
Die Eigenmoden dieses Modells, auch Modale Formvektoren genannt, geben an, wie ein Modus
den Formvektor (s. Gl. (1)) durch Verschiebung der Punkte deformiert (a ∈ R):
v ′ n = vn + ap k
Die kartesischen Koordinaten eines Punktes können eindeutig der Art und Weise, wie er sich
innerhalb jedes Eigenmodus bewegt, zugeordnet werden. Die Verschiebungsvektoren eines Punktes
unter allen Moden p k erzeugen eine Verschiebungssignatur. Die einzelnen Schritte werden
durch Abbildung 12 illustriert.
Zur Korrespondenzfindung wird ausgenutzt, daß ähnliche Formen ähnliche niederfrequente Eigenmoden
aufweisen (s. Abb. 13), selbst unter affinen oder nicht-linearen geometrischen Transformationen.
Die Übereinstimmung der Richtungen der Verschiebungsvektoren der niederfrequenten
Moden für pi ∈ Si und pj ∈ Sj wird gemessen (Modal Matching) unter Verwendung
21
(28)

einer Assoziatonsmatrix nach Shapiro und Brady [SB92]. In Abbildung 13 sieht man, daß die
mit Vektoren versehenen Punkte der Formen a) und b) korrespondieren, während der markierte
Punkt der Form c) eine deutlich unterschiedliche Verschiebungssignatur besitzt. Das Konsistenz-
Abbildung 13: 1. Spalte: Ähnliche Originalformen. 2.-5. Spalte: Fünf niederfrequente
Moden. Zusätzlich sind die Verschiebungsvektoren jedes Modus für drei ausgewählte
Punkte der Formen eingezeichnet (aus Sclaroff und Pentland [SP95]).
problem wird durch diesen Ansatz dadurch gelöst, daß dem Modell nicht die exakten Positionen
der Knoten zugrundeliegen, sondern Punkte, die durch Gaußsche Interpolationsfunktionen
verschmiert werden. Das kann man sich als eine Anreicherung des Knotenmodells mit einer weichen
Füllmasse vorstellen. Wegen der Komplexität des Finite-Elemente-Modells kann eine dichte
Punktkorrespondenz nicht direkt gesucht werden. In einem Multiskalenverfahren wird deshalb
anfangs mit einer niedrigen Auflösung des Modells gearbeitet, in das nur wenige Knoten eingehen.
Wegen der verwendeten Interpolationsfunktionen können dann die Knotenverschiebungen
dieses Modells auf eines einer höheren Auflösung übertragen werden.
6 Diskussion und Ausblick
Es wurde eine Auswahl bekannter Verfahren zur Korrespondenzfindung bei der Erzeugung statistischer
3D-Formmodelle in biomedizinischen Anwendungen vorgestellt. Die Verfahren wurden
aufgrund einer mathematischen Formulierung des Korrespondenzproblems klassifiziert und verglichen.
Sie unterscheiden sich weiterhin in ihrer Allgemeinheit bezüglich der Topologie der Formen: Die
auf der Bildregistrierung und auf der Verwendung von Formdeskriptoren basierenden Verfahren
sind für Formen beliebiger Topologie anwendbar, während solche, die über eine kanonische
Parametrisierung eine implizite Korrespondenz suchen, grundsätzlich auf die Topologie des Parameterraumes
eingeschränkt sind. Lamecker et al. (s. Kap. 5.2.1) umgehen das Problem durch
Zerlegung der Form in Flächenstücke, die topologisch äquivalent einer Kreisscheibe sind.
Die Komplexität der Verfahren wurde lediglich hinsichtlich der verwendeten Optimierungsverfahren
bewertet. Da es sich um Standardverfahren handelt, deren eingehende Analyse über den
Rahmen dieser Arbeit hinausgeht, muss hier eine grobe Einteilung genügen: Lineare Optimierungsprobleme
sind die Verfahren von Lamecker et al. sowie, abgesehen vom Registrierungsschritt,
das von Brett und Taylor (s. Kap. 5.2.1). Der Ansatz von Sclaroff und Pentland (s. Kap.
5.3.1) wird ebenfalls in geschlossener Form gelöst. Die Bildregistrierung ist ein nichtlineares Optimierungsproblem,
welches sich mit Gradientenverfahren erster und zweiter Ordnung lösen läßt.
Für die Optimierung der Minimalen Beschreibungslänge wurden bisher ineffiziente, nichtgradientenbasierte
nichtlineare Optimierer verwendet, kürzlich wurde jedoch ein Gradientenverfahren
erster Ordnung präsentiert [E˚A03].
Voraussichtlich werden Verfahren zur Korrespondenzfindung in Zukunft vermehrt geometrische
und andere strukturelle Formeigenschaften wie den Formkontext in das Kostenfunktional aufnehmen,
um der Korrespondenz eine größere anatomische Fundierung zu verleihen. Für die
22

ICP-basierten Verfahren wäre das analog zu schon vorhandenen Erweiterungen für den klassischen
ICP-Algorithmus leicht möglich [SLW02].
Bei der Analyse der Verfahren wurde darauf geachtet, inwieweit sie der Anforderung, anatomisch
plausible Korrespondenzen zu liefern, genügen. Dieses Kriterium ist schwer theoretisch zu
definieren, es unterliegt vielmehr dem subjektiven Urteil medizinisch geschulter Experten. Daher
sind die semiautomatischen Verfahren von Lamecker et al. (s. Kap. 5.2.1) sowie von Wang und
Staib (s. Kap. 5.1.2) in diesem Sinne positiv zu bewerten. Für automatisierte Verfahren ist es
naheliegend, die Geometrie bzw. die Topographie der Formen in die Korrespondenzfindung einzubeziehen,
was aber nur bei den verwandten Registrierungsverfahren von Caunce und Taylor
sowie Subsol et al. (s. Kap. 5.1.2), bei den Parametrisierungsverfahren von Kelemen et al. (s.
Kap. 5.2.1), Brett und Taylor (s. Kap. 5.2.1), Lamecker et al. (s. Kap. 5.2.1) sowie Thodberg
und Olafsdottir (s. Kap. 5.2.2) geschieht.
Cootes zufolge wird man ein Zusammenwachsen der bisher eher getrennten Forschungen im
Bereich der Korrespondenzfindung zur statistischen Modellbildung und der Bildregistrierung erleben
[CTTN02], was durch die hier vorgestellten Bildregistrierungsansätze belegt wird.
Eine interessante Fragestellung ist, inwieweit sich die Volumenregistrierung nach Frangi et al.
(s. Kap. 5.1.1) durch eine Erweiterung des Funktionals um Geometriemaße verbunden mit topographischen
Informationen (Distanztransformation) verbessern läßt. Ein entsprechender Ansatz
wurde skizziert (s. Kap. 5.1.1).
23

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