Technische Universität München Übungsblatt 10 Hausaufgaben

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0.5 −0.5 3 2 1 0 4 −1 −2 −3 0 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −4 −4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Aufgabe 10.2 Gibt es eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : R 2 → R, die folgende Gleichungen erfüllt? ∂xf(x, y) = 4x 2 y und ∂yf(x, y) = x 2 + 3 2 −2 0 2 4
Lösung zu Aufgabe 10.2 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung Aufgabe 10.3 Berechnen Sie die Gradienten folgender Funktionen und geben Sie jeweils an, wo die Funktionen partiell differenzierbar bzw. total differenzierbar sind. a) f : R 2 → R, f(x, y) := xy + 3x 2 + 2(x + y) b) f : R 2 → R, f(x, y) := x 3 e x+y2 c) f : R 2 → R, f(x, y) := xy ln(1 + √ x 2 + 2y 2 ) d) f : R 3 → R, f(x, y, z) := |x| (x + y + z) e) f : R 3 → R, f(x, y, z) := x 2 y 2 z 2 + e x+2y−3z f) f : R 4 → R, f(x1, x2, x3, x4) := sin(x1x2) + cos(x3x4) − x2x3 ln(x 2 3 + x 4 4) Lösung zu Aufgabe 10.3 Die meisten Funktionen sind überall stetig differenzierbar, daher existiert auch die totale Ableitung. a) Es gilt: b) Es gilt: c) Es gilt: ∇f(x, y) = � � y + 6x + 2 ∇f(x, y) = . x + 2 � 3x 2 e x+y2 + x3ex+y2 2x3yex+y2 � = x 2 e x+y2 � ⎛ y ln ⎜ ∇f(x, y) = ⎝ � 1 + √ x2 + 2y2 � + x ln � 1 + √ x2 + 2y2 � + 3 + x 2xy � x2 √ y x2 +2y2 +x2 +2y2 2xy2 ⎞ ⎟ ⎠ . √ x2 +2y2 +x2 +2y2 Diese Ableitung ist im Nullpunkt (0, 0) T nicht definiert, dort untersuchen wir die partiellen Ableitungen daher gesondert mit Hilfe der Differentialquotienten: f(0 + h, 0) − f(0, 0) ∂1(0, 0) = lim h→h h ∂2(0, 0) = lim h→h f(0, 0 + h) − f(0, 0) h 0 − 0 = lim h→0 h = lim h→0 0 − 0 h Also ist die Funktion in (0, 0) T partiell differenzierbar mit ∇f(0, 0) = (0, 0) T . Für die totale Differenzierbarkeit ist zu prüfen, ob = 0 = 0 f(0 + (h1, h2) T ) = f(0, 0) + ∇f(0, 0) T (h1, h2) T + o �� (h1, h2) T �� 3 .
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Seite 11 und 12: für �d� → 0, also ist f an d
Seite 13: = 2: r = 3: Es gilt: i = 2, j = 0 :

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