Darstellung und Rechenregeln Komplexer Zahlen

Darstellung und Rechenregeln Komplexer Zahlen
Darstellung
Die Komplexe Zahlenebene
Imaginärteil
Im{} z = y
z
ϕ
−ϕ
z = x + jy
Re{} z = x
z = x - jy
Realteil
z heißt Betrag von z ϕ= arg{ z} heißt Phase / Argument von z
Verschiedene Darstellungen
kartesische Darstellung: z= x+ jy
durch Real- und Imaginärteil
z= z ⋅ cos ϕ + jsin ϕ durch Betrag und Phase
polare Darstellung: ( ( ) ( ) )
Eulersche Darstellung:
Umformungen
j
z z e ϕ
= ⋅ durch Betrag und Phase
kartesische Koordinaten x,y ↔ Polarkoordinaten |z|,ϕ
x = z ⋅cosϕ y= z ⋅sinϕ 2 2
z = x + y
y
tan ϕ = Vorsicht (*)
x
(*) Die Umrechnung in den richtigen Quadranten erfordert eine Fallunterscheidung:

π
2
≤ϕ

Algebraisch:
Addition z+ w = x+ jy+ u+ jv= � x+ u+ j( y+ v)
���
Realteil
Imaginärteil
Subtraktion z− w = x+ jy− ( u+ jv) = � x− u+ j( y−v) ���
Multiplikation
Division
Regeln für die Komplex-Konjugation:
( z + z ) = z * + z *
1
2
* 1 2
Realteil
( )
j j
j
z w z e w e z w e ϕ+γ
ϕ γ
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
jϕ
z ⋅e
jγ
z jϕ −jγ z
z
= = ⋅e ⋅ e = ⋅e
w w ⋅e
w w
( z ⋅ z ) = z * ⋅ z *
1
2
* 1 2
Imaginärteil
( ϕ−γ)
j
⎛ z
⎜
⎝ z
2
*
⎞
⎟
⎠
1 =
z1
*
z *
*
z * = z* = z z2
* * z2
( z ) = ( z ) und speziell damit für die relle Zahl e
z * ( z*
) ( ) e
e = ln(
)
1
* [ ] ln(
z * )
1
z = ( ) *
z* = z
d.h. die Komplex-Konjugation vertauscht mit allen wesentlichen algebraischen Operationen!
Separation von Brüchen::
* *
Zähler Zähler Nenner Zähler ⋅ Nenner
= =
* 2
Nenner Nenner Nenner Nenner
z z z z z
z z z z
Berechnung von Re{z}, Im{z} und |z| via Komplex-Konjugation:
1
1
Re {} z = x= ( z+ z * )
Im {} z = y = ( z−z* )
2
2 j
2
2
z = z ⋅ z *
Darstellung der reellen trigonometrischen Funktionen durch Exponentialfunktionen mit
imaginärem Argument
cos
( ϕ )
1
⎡ jϕ − jϕ
1 ϕ ϕ
= ⋅ e + e ⎤
sin(
ϕ ) ⎡ j − j
= ⋅ e −e
⎤
2 ⎣ ⎦
2 j ⎣ ⎦
Beachte: Die Formeln gelten allgemeiner, nämlich auch für eine beliebige komplexe Zahl z
anstelle von ϕ, und sie definieren damit die trigonometrischen Funktionen in der gesamten
komplexen Ebene!