K - FB 4 Allgemein - Fachhochschule Düsseldorf

. 

Power Generation 

Versuchstechnik 

Mellinghofer Str. 55 

FH D FB 4 

45473 Mülheim a. d. Ruhr 

Fachhochschule Düsseldorf Fachbereich Maschinenbau und 

Verfahrenstechnik 

IFS Institut für Strömungstechnik 

Josef-Gockeln Str. 9 

40474 Düsseldorf 

Masterarbeit 

„Experimentelle Untersuchung der temperaturabhängigen 

Empfindlichkeitsänderung von dynamischen Hochtemperatur-Dehnungsmessstreifen“ 

Matrikelnummer 431072 

von 

Weiqing Cheng 

Studiengang Simulation und Experimentaltechnik 

Betreuer der Siemens AG Power Generation: Dipl.-Ing. Martin Vennemann 

Betreuer der Fachhochschule Düsseldorf: Prof. Dr.-Ing. Frank Kameier

Power Generation FH D FB 4 

Fachhochschule Düsseldorf 

INHALTSVERZEICHNIS 

1 EINLEITUNG.................................................................................................................................................. 4 

1.1 MOTIVATION UND HINTERGRUND............................................................................................................. 4 

1.2 AUFGABENSTELLUNG................................................................................................................................4 

1.3 AUFBAU DER ARBEIT ................................................................................................................................5 

2 THEORETISCHER HINTERGRUND ........................................................................................................ 6 

2.1 ARTEN VON MESSUNGEN MIT DMS.......................................................................................................... 6 

2.2 PHYSIKALISCHES WIRKPRINZIP DER DEHNUNGSMESSSTREIFEN .............................................................. 7 

2.3 ARTEN VON DEHNUNGSMESSSTREIFEN..................................................................................................... 8 

2.4 ANWENDUNG UND EIGENSCHAFTEN VON DMS...................................................................................... 11 

2.5 DER K–FAKTOR ....................................................................................................................................... 12 

2.5.1 Definition k-Faktor............................................................................................................................. 12 

2.5.2 Thermisch bedingte Änderung des k-Faktors.................................................................................... 12 

2.6 E - MODUL............................................................................................................................................... 13 

2.6.1 Hookesches Gesetz ............................................................................................................................. 13 

2.6.2 Dynamisches E-Modul ....................................................................................................................... 14 

2.7 MESSPRINZIPIEN...................................................................................................................................... 16 

2.7.1 Wheatstonsche Brückenschaltung...................................................................................................... 16 

2.7.2 Konstantstrom-Speisung .................................................................................................................... 18 

3 VORGEHENSMODELL.............................................................................................................................. 20 

3.1 ALTERNATIVE LÖSUNGSANSÄTZE........................................................................................................... 20 

3.2 DATENBASIS DER LÖSUNGSANSÄTZE...................................................................................................... 20 

3.3 ANWENDUNG UND VALIDIERUNG DER LÖSUNGSANSÄTZE..................................................................... 21 

3.4 DURCHFÜHRUNG DER MESSUNGEN ........................................................................................................ 21 

4 DIE FINITE-ELEMENT-METHODE (FEM) .......................................................................................... 23 

4.1 RECHNERISCHE SIMULATION .................................................................................................................. 23 

4.2 EINFÜHRUNG IN FEM.............................................................................................................................. 23 

4.3 FORMFUNKTION EINES BALKENELEMENTES........................................................................................... 24 

4.4 EIGENSCHAFTEN DER FEM ..................................................................................................................... 27 

5 VERSUCHSAUFBAU................................................................................................................................... 28 

5.1 ALLGEMEINE ERLÄUTERUNG ZUM VERSUCHSAUFBAU .......................................................................... 28 

5.2 FUNKTIONSWEISE DES VERSUCHSAUFBAUS ........................................................................................... 30 

5.3 BESTANDTEILE DES VERSUCHSAUFBAUS................................................................................................ 31 

Weiqing Cheng - 1 - Master Thesis (2005)



6 LÖSUNGSANSÄTZE ................................................................................................................................... 34 

6.1 ANALYTISCHE LÖSUNGSANSÄTZE .......................................................................................................... 34 

6.1.1 Einführung.......................................................................................................................................... 34 

6.1.2 Ansatz I: Eingespanntes Balkenelement mit Einzellast F(T)- FEM.................................................. 36 

6.1.3 Ansatz II: Biegeschwingung eines Balkens ....................................................................................... 44 

6.1.4 Ansatz III: Biegeschwingung vom Stab ............................................................................................. 47 

6.1.5 Bewertung der Lösungsansätze.......................................................................................................... 48 

6.2 NUMERISCHER LÖSUNGSANSATZ............................................................................................................ 48 

6.2.1 Theoretische Überlegungen ............................................................................................................... 48 

6.2.2 Lösungsweg ........................................................................................................................................ 48 

7 ERMITTLUNG DES E-MODULS.............................................................................................................. 51 

7.1 EINFÜHRUNG ........................................................................................................................................... 51 

7.2 SCHALTBILD ............................................................................................................................................ 52 

7.3 VERSUCHSERGEBNISSE............................................................................................................................ 54 

8 VALIDIERUNG DER LÖSUNGSANSÄTZE ........................................................................................... 58 

8.1 ZIEL ......................................................................................................................................................... 58 

8.2 ANALYTISCHE LÖSUNG........................................................................................................................... 58 

8.2.1 Spannung des Biegestabes ................................................................................................................. 59 

8.2.2 Dehnungsverteilung ........................................................................................................................... 60 

8.3 SIMULATION MIT ANSYS 9.0 ................................................................................................................... 62 

8.3.1 Biegung des Stabes............................................................................................................................. 62 

8.3.2 Spannung des Biegestabes ................................................................................................................. 63 

8.3.3 Dehnungsverteilung entlang des Stabes über die Zeit ...................................................................... 64 

8.4 VERGLEICH ZWISCHEN ANALYTISCHER UND NUMERISCHER LÖSUNG ................................................... 67 

9 MESSUNG DER EMPFINDLICHKEITSÄNDERUNG VERSCHIEDENER HT-DMS.................... 69 

9.1 EINFÜHRUNG ........................................................................................................................................... 69 

9.2 SCHALTBILD ............................................................................................................................................ 70 

9.3 DMS-TYPEN............................................................................................................................................ 71 

9.4 AUSWERTUNG (K-FAKTOR-ÄNDERUNG)................................................................................................. 72 

9.4.1 k-Faktor-Änderung (Typ A) ............................................................................................................... 72 

9.4.2 k-Faktor-Änderung (Typ B) ............................................................................................................... 74 

9.4.3 k-Faktor-Änderung (Typ C) ............................................................................................................... 75 

9.4.4 k-Faktor-Änderung (Typ D).............................................................................................................. 76 

9.4.5 k-Faktor-Änderung (Typ E) .............................................................................................................. 77 

9.4.6 k-Faktor-Änderung (Typ F) .............................................................................................................. 78 

9.4.7 k-Faktor-Änderung (Typ G)............................................................................................................... 79 




9.5 AUSWERTUNG (ALTERUNG).................................................................................................................... 82 

9.5.1 Alterung (Typ A)................................................................................................................................. 83 

9.5.2 Alterung (Typ D) ................................................................................................................................ 85 

10 ZUSAMMENFASSUNG .......................................................................................................................... 86 

11 ANHANG ................................................................................................................................................... 88 

11.1 ABBILDUNGSVERZEICHNIS...................................................................................................................... 88 

11.2 TABELLENVERZEICHNIS .......................................................................................................................... 91 

11.3 ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS..................................................................................................................... 92 

11.4 LITERATURVERZEICHNIS......................................................................................................................... 93 

11.5 DATENBASIS ZUR E-MODUL ERMITTLUNG BZW. DEHNUNGSVERTEILUNG............................................ 96 

11.6 SPEZIFIKATIONEN VON DMS TYPEN...................................................................................................... 99 

11.7 DATENBASIS ZUR BESTIMMUNG DER K-FAKTOR-ÄNDERUNGEN.......................................................... 102 




1 Einleitung 

1.1 Motivation und Hintergrund 

Die mechanische Beanspruchung und Belastung von Bauteilen wird häufig mittels Dehnungsmessstreifen 

(DMS) experimentell geprüft. Dabei wird in seiner einfachsten Form bei Applikationen 

im Temperaturbereich bis ca. 200 °C ein Messstreifen, bestehend aus einem gewendelten 

Widerstandsdraht auf einer Trägerfolie, auf das Messobjekt geklebt. Wird das Messobjekt – und 

damit auch der DMS – gedehnt oder gestaucht, ändert sich der elektrische Widerstand des DMS. 

Die Widerstandsänderung ist somit ein Maß für die Dehnung des Messobjektes. 

Hochtemperatur-Dehnungsmessstreifen (HT-DMS) sind in vielen Fällen das einzig mögliche 

Messmittel, welches an thermisch hoch belasteten Bauteilen (z.B. Verbrennungsmotoren, Gasturbinen, 

Turboladern, Reaktorkomponenten usw.) mit vertretbarem Aufwand Betriebsbeanspruchungen 

erfassen oder überwachen kann. 

Die Bestimmung der Empfindlichkeit (k-Faktor) eines DMS bei hoher Temperatur ist nicht trivial. 

Unter Temperatureinwirkung ändert sich die Empfindlichkeit des DMS, also das Verhältnis von 

Widerstandsänderung zu Dehnungsänderung. Dieser Effekt ist besonders bei den hier zu untersuchenden 

HT-DMS im Einsatz bei 800 - 1000 °C von Bedeutung. Aufbauend auf den langjährigen 

Erfahrungen der Versuchstechnik bei Siemens in Mülheim mit Hochtemperatur- 

Dehnungsmessungen besteht Interesse, im Bereich der temperaturabhängigen k-Faktor- 

Änderung weitere Erkenntnisse zu gewinnen. 

1.2 Aufgabenstellung 

Die Hersteller von HT-DMS machen zwar Angaben zur k-Faktor-Änderung unter Temperatureinfluss. 

Es ist jedoch nicht bekannt, wie diese Daten gewonnen wurden. Aus diesem Grund soll in 

dieser Arbeit die temperaturabhängige Empfindlichkeitsänderung von dynamischen HT-DMS 

untersucht werden. Es werden dafür umfangreiche Tests und Messungen für unterschiedliche 

DMS-Typen an einem vorhandenen Prüfstand (Biegestab mit Erregungseinrichtung und Temperaturstrahler) 

der Firma Siemens PG Mülheim a. d. Ruhr durchgeführt. Der berechneten Dehnungsverteilung 

entlang des Stabes wird die experimentell gemessene Dehnungsverteilung gegenüber 

gestellt. Aus der Abweichung zwischen Berechnung und Messung geht die k-Faktor 

Änderung hervor. 




Der Aufbau des Prüfstandes wurde bereits im Rahmen einer früheren Diplomarbeit von Helmut 

Friesenkothen (Friesenkothen, H.; 2004 [2]) durchgeführt. In der Arbeit von Friesenkothen wurden 

jedoch keine rechnerischen Korrekturverfahren für den k-Faktor ermittelt. 

1.3 Aufbau der Arbeit 

Der Aufbau der Arbeit gestaltet sich wie folgt: In Kapitel 2 wird das theoretische Fundament der 

Arbeit gelegt und die verschiedenen relevanten Begrifflichkeiten geklärt. Nach der Erörterung der 

Grundlagen soll in Kapitel 3 dem Leser zunächst die weitere Vorgehensweise zur Lösung der 

Aufgabenstellung erläutert werden. Kapitel 4 stellt die so genannte Finite-Element-Methode vor, 

welche die Grundlage aller weiteren Berechnungen bildet. Im Anschluss wird in Kapitel 5 der für 

die experimentellen Versuche verwendete Versuchsaufbau detailliert beschrieben, um in Kapitel 

6 die Lösungsansätze darzustellen. Kapitel 7 beschreibt die Ermittlung des E-Moduls, um so die 

im vorherigen Kapitel erarbeiteten Lösungsansätze zur Anwendung bringen zu können. In Kapitel 

8 werden die Lösungsansätze validiert, und in Kapitel 9 werden die zuvor validierten Lösungsansätze 

zu Untersuchungen der Empfindlichkeitsänderungen verschiedener DMS verwendet. 

Kapitel 10 enthält schließlich zusammenfassende Bemerkungen. 




2 Theoretischer Hintergrund 

In diesem Kapitel wird der theoretische Hintergrund, der für das Verständnis der weiteren Arbeit 

notwendig ist, dargestellt. 

2.1 Arten von Messungen mit DMS 

Nach Hoffmann (Hoffmann, K.; 1987 [9]) kann man folgende Arten von Messungen mit DMS unterscheiden: 

• Statische Messungen (nullpunktbezogen): 

Der Begriff „statische Messung“ umfasst in der DMS–Technik alle Messungen zeitlich 

konstanter Dehnungen oder Dehnungsanteile. Er wird also z. B. auch für einen zeitlich 

konstanten Vorgang verwendet, dem ein schwingender überlagert ist (VDI/VDE-Richtlinie 

2635,1974; [10]). 

• Quasistatische Messungen: 

Quasistatische Messungen nennt man langsam veränderliche Vorgänge, deren Änderungsgeschwindigkeit 

so klein ist, dass ein Anzeigegerät noch ohne besondere Hilfsmittel 

mit genügender Genauigkeit abgelesen werden kann. 

• Dynamische Messungen (nicht - nullpunktbezogen): 

Alle Messungen veränderlicher Dehnungsvorgänge, bei denen lediglich die dynamische 

Komponente ermittelt wird, z. B. die Amplitude einer Schwingung, gelten als dynamische 

Messungen (VDI/VDE-Richtlinie 2635,1974; [10]). 

Abbildung 2-1 zeigt den beispielhaften Verlauf eines Messsignals in Abhängigkeit von der Zeit. 

Die grüne Kurve ist der zeitlich gemittelte Wert der Messsignale, und ist das Ergebnis einer statischen 

Messung. Die schwarze Kurve stellt die gemessenen Signale dar. Die Schwankung b´ 

einer physikalischen Größe ist definiert als die Differenz aus dem Momentanwert b und dem Mit- 

telwert b , es gilt stets: 

b = b + b′ 

(2.1) 

In der Festigkeitslehre ist der Gleichanteil des Signals eines Dehnungsmessstreifens ein Maß für 

die statische und der Wechselanteil ein Maß für die dynamische Belastung einer mechanischen 

Struktur (Kameier, F.; 2002 [12]). 




Abbildung 2-1: Elektrische Größen und Schwankungsgrößen 1 

In der vorliegenden Arbeit wird die dynamische Belastung untersucht, aus diesem Grunde ist 

lediglich die Schwankungsgröße relevant. Diese ist in Abbildung 2-2 dargestellt. 

Abbildung 2-2: Dynamische Belastung einer mechanischen Struktur 2 

Bei diesen dynamischen Messungen werden lediglich die Amplituden einer zeitlich veränderlichen 

Messgröße erfasst. 

2.2 Physikalisches Wirkprinzip der Dehnungsmessstreifen 

Das Funktionsprinzip ist für alle Arten von Dehnungsmessstreifen identisch. Die Dehnung des zu 

untersuchenden Objekts wird direkt auf den DMS übertragen. Die vom Messobjekt auf den DMS 

übertragene Dehnung verursacht eine messbare Veränderung des elektrischen Widerstandes 

des DMS. 

1 vgl. Kameier, F.; 2002 [12] 

2 vgl. Kameier, F.; 2002 [12] 




Der DMS wird als ein elektrischer Leiter mit der Länge l, der Querschnittsfläche A und dem spezi- 

fischen Widerstand ρ abgebildet. Im Folgenden wird der Zusammenhang zwischen der Widerstandsänderung 

und der mechanischen Belastung hergeleitet. Der elektrische Widerstand dieses 

Leiters ist gegeben durch: 

l 

R = ρ ⋅ 

(2.2) 

A 

Die relative Widerstandsänderung setzt sich aus der Änderung des spezifischen Widerstandes 

und der Änderung der geometrischen Abmessungen des Drahtes zusammen. Für die verwendeten 

DMS-Materialen wird allgemein angenommen, dass im elastischen Bereich die Änderung des 

spezifischen Widerstandes proportional zur Dehnung ist (Keil, S.; 1995, [7]). 

Abbildung 2-3: Verformung eines elektrischen Leiters 

Die durch mechanische Beanspruchung hervorgerufene Dehnung eines Körpers bewirkt eine 

Änderung der geometrischen Abmessung (Abbildung 2-3). Durch Vergrößerung der Länge und 

Verringerung der Querschnittsfläche steigt der elektrische Widerstand. 

2.3 Arten von Dehnungsmessstreifen 

Bis ca. 70 °C sind die gebräuchlichen Standard-DMS mit Konstantangitter und organischen Trägern 

im Allgemeinen mit kalthärtenden Klebern problemlos anwendbar. Für die Anwendung von 

Dehnungsmessstreifen mit Messgittern aus Konstantan ist nach oben hin eine Grenze von ca. 

200 °C gesetzt. 

Ab 230 °C wurden speziell für das Messen bei höheren Temperaturen Dehnungsmessstreifen 

ohne organische Bestandteile entwickelt. Dabei entstanden als typische Bauformen die Freigitterstreifen, 

die mit keramischem Kitt oder durch Flammspritzen am Messobjekt befestigt werden, 

und durch Punktschweißen zu installierenden Röhrchenstreifen, bei denen sich der Widerstandsdraht 

in einem auf ein kleines Montageblech aufgeschweißten Edelstahlröhrchen befindet. 




Folien-Dehnungsmessstreifen 

Diese Art von DMS bestehen aus einem elektrischen Leiter, der auf eine Trägerfolie aufgebracht 

ist. Je nach Art und Technologie der Herstellung kann der Leiter aus Metalldraht, einem aus Metallfolie 

geätztem Gitter, einem Dickschichtwiderstand oder einem Halbleiterstäbchen bestehen 

(Keil, S.; 1995, [7]). 

Abbildung 2-4: Foliendehnungsmessstreifen 1 

Die im Messobjekt erzeugte Dehnung wird über den Kleber und das Trägermaterial des DMS auf 

das Messgitter übertragen (Abbildung 2-4 und Abbildung 2-5). Dadurch erfährt auch das Messgitter 

eine Längenänderung, die sich wiederum in einer Widerstandsänderung bemerkbar macht. 

Diese Widerstandsänderung ist direkt proportional der Dehnung. 

Abbildung 2-5: Folien DMS Aufbau 

Aufschweißbare Röhrchen-Dehnungsmessstreifen 

Bei diesen Dehnungsmessstreifen befindet sich der eigentliche Widerstandsdraht in einem mit 

hochreinem Magnesiumoxid gefüllten dünnen Gehäuseröhrchen. Das hochkomprimierte Magnesiumoxid 

überträgt positive wie negative Dehnungen des Röhrchens und des Drahts. Um den 

Dehnungsmessstreifen auf dem Messobjekt zu befestigen wurde das Röhrchen auf einem dünnen 

Trägerblech befestigt, welches auf dem Messobjekt durch Punktschweißen appliziert wird. 

1 vgl. Keil, S.; 1995 [7] 

Messobjekt 




Die Röhrchenstreifen werden als Viertel- und als Halbbrückenschaltung hergestellt. Abbildung 

2-6 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Röhrchen-Dehnungsmessstreifen. Die Anschlussleitungen 

sind in die totale Kapselung der Dehnungsmessstreifen integriert (Keil, S.; 1995 [7]). 

Abbildung 2-6: Aufbau von Röhrchen-DMS für Hochtemperatur-Anwendungen 1 

Freigitter-Dehnungsmessstreifen 

Freigitter-Dehnungsmessstreifen werden ohne Träger durch das Flammspritzverfahren oder 

durch keramische Kleber am Messobjekt befestigt. Die Messgitter sind in verschiedenen Längen 

und Werkstoffen erhältlich (s. Abbildung 2-7). 

Flammspritzen ist eine speziell für das Befestigen von Freigitter-Dehnungsmessstreifen und 

Thermoelementen für deren Einsatz unter hohen Temperaturen oder Kernstrahlung entwickeltes 

Verfahren. Dabei wird in einer speziellen Sprühpistole ein Keramikstab in einer Gasflamme abgeschmolzen 

und das Schmelzgut durch einen Luftstrahl in feine Partikel zerstäubt und auf die 

Messstelle gesprüht. Der Isolationswiderstand zwischen Messgitter und Messobjekt nimmt mit 

zunehmender Temperatur ab und ist vom Reinheitsgrad der Keramikstäbe abhängig (Keil, S.; 

1995 [7]). 

1 vgl. Keil, S.; 1995 [7] 




Abbildung 2-7: Aufbau von Freigitter-DMS 

2.4 Anwendung und Eigenschaften von DMS 

Das Messen mit derartigen Hochtemperatur-Dehnungsmessstreifen erfordert Sachkenntnis und 

einige Vorbereitungen. Des Weiteren können sich unter Temperatureinfluss Änderungen der charakteristischen 

Eigenschaften des Dehnungsmessstreifens ergeben. Ohne die Kenntnis der Eigenschaften 

und deren Korrektur ist eine Interpretation der gemessenen Ergebnisse nicht möglich. 

Die zwei wesentlichen temperaturabhängigen Eigenschaften sind der veränderliche k-Faktor, auf 

den im folgenden Abschnitt gesondert eingegangen wird und das Temperaturausgangssignal - 

auch „scheinbare Dehnung“ genannt. Hierunter versteht man das vom DMS gelieferte Ausgangssignal 

in Abhängigkeit der Temperatur, ohne dass das Messobjekt mechanisch belastet 

wird. Ursache dafür sind die unterschiedlichen Wärmeausdehnungskoeffizienten von DMS und 

Messobjekt, sowie die thermische Widerstandsänderung des Messgitters. 

Da die scheinbare Dehnung einer Temperaturänderung des Messobjektes folgt, kann sie aufgrund 

der relativ langsamen Zeitkonstante als „quasistatisch“ angesehen werden. Bei statischen 

– also nullpunktbezogenen - Messungen müssen Maßnahmen getroffen werden, um das eigentliche 

Messsignal von der scheinbaren Dehnung zu trennen. Bei rein dynamischen Messungen – 

wie im vorliegenden Fall dieser Arbeit – kann das Temperaturausgangssignal unberücksichtigt 

bleiben. 




2.5 Der k–Faktor 

2.5.1 Definition k-Faktor 

Definitionsgemäß versteht man unter der Empfindlichkeit eines Messelements das Verhältnis 

einer am Messelement beobachteten Änderung seiner Ausgangsgröße zu der sie verursachenden 

Änderung der Eingangsgröße (DIN 1319; 1980 [11]). Die Eingangsgröße des Dehnungsmessstreifens 

ist die von ihm aufgenommene Dehnungε , die Ausgangsgröße die von der Dehnungsänderung 

erzeugte Widerstandsänderung dR / R . Der Zusammenhang zwischen beiden 

wird bei Dehnungsmessstreifen durch den k-Faktor beschrieben. 

dR 

Widerstandsänderung: = kε 

(2.3) 

R 

Die Dehnungsempfindlichkeit ist das Zahlenverhältnis zwischen der zu messenden Dehnung und 

dem von DMS gelieferten Signal. Die Empfindlichkeit eines DMS wird ausgedrückt durch das 

Verhältnis von relativer Widerstandsänderung ∆R / R zur relativen Längenänderung ∆ l / l , d.h. 

Dehnungε , und wird mit dem Formelzeichen k bezeichnet: 

∆l 

Dehnung: ε = 

(2.4) 

l 

k-Faktor: ∆R 

/ R ∆R 

/ R ⎡Ω / 

Ω ⎤ 

k = = 

⎢ ⎥ 

(2.5) 

∆l 

/ l ε ⎣ m / m ⎦ 

2.5.2 Thermisch bedingte Änderung des k-Faktors 

Als Folge einer Temperaturerhöhung kann sich ein gemessenes Signal eines DMS abschwächen 

oder verstärken, d.h., der Dehnungsmessstreifen wird unempfindlicher oder empfindlicher, obwohl 

die eingeleitete Dehnung gleich eingestellt bleibt. Der k-Faktor ändert sich somit unter Temperatureinwirkung. 

Bei den hier zu untersuchenden HT–DMS im Einsatz bei 800 – 1000 °C ist 

dieser Effekt von besonderer Bedeutung, da gerade im höheren Temperaturbereich nennenswerte 

Änderungen auftreten. Die k-Faktor Änderung ist sowohl für statische, als auch für dynamische 

Messungen relevant. 




2.6 E - Modul 

2.6.1 Hookesches Gesetz 

Bei so genannten „linearelastischen“ Werkstoffen findet man im elastischen Verformungsbereich 

einen linearen Anstieg der σ/ε - Kurve (s. Abbildung 2-8). Die Steigung dieses Diagrammteils 

kennzeichnet die Steifigkeit des Werkstoffs (Keil, S.; 1995 [7]). 

Abbildung 2-8: Spannungs-Dehnungs-Diagramm 1 

Man bezeichnet diese Gerade nach dem englischen Naturwissenschaftler Robert Hooke als 

Hookesche Gerade. Führt man als Proportionalitätsfaktor zwischen Nennspannung σ und Dehnung 

ε l das Elastizitätsmodul E ein, so erhält man mit 

σ = ε E 

(2.6) 

l 

die Gleichung der Hookeschen Geraden. Diese Gleichung definiert im elastischen Verformungsbereich 

das Werkstoffverhalten bei einachsigem Spannungszustand. Im Bereich der Hookeschen 

Geraden verhalten sich die Werkstoffe elastisch, die eingetretenen Verformungen sind reversibel, 

nach Entlastung stellen sich die ursprünglichen Werkstoffabmessungen wieder ein. In der überwiegenden 

Zahl der Anwendungsfälle beschränken sich Spannungsanalysen mit Dehnungsmessstreifen 

an metallischen Werkstoffen auf den elastischen Verformungsbereich. 

Das Elastizitätsmodul E als Proportionalitätsfaktor zwischen Spannung und Dehnung ist eine 

Werkstoffkenngröße, die Aufschluss über das elastische Verformungsverhalten des Werkstoffs 

gibt. Der unterschiedliche Anstieg der Hookeschen Geraden zeigt sich bei verschiedenen metal- 

1 vgl. Keil, S.; 1995 [7] 




lischen Werkstoffen mit unterschiedlichen Elastizitätsmodulen. Betrachtet man in Abbildung 2-9 

vergleichsweise die von einer Nennspannung in unterschiedlichen Werkstoffen hervorgerufenen 

Dehnungen, so stellt man beträchtliche Unterschiede in der elastischen Verformbarkeit fest. 

Abbildung 2-9: Beispiele für Anstiege der Hookeschen Geraden verschiedener metallischer 

Werkstoffe mit unterschiedlichen Elastizitätsmodulen 1 

2.6.2 Dynamisches E-Modul 

Im Zusammenhang mit der Beanspruchungsgeschwindigkeit spricht man von einem statischen 

oder dynamischen E-Modul. Literaturangaben (Förster, F.; 1937 [29]) bestätigen, dass bezüglich 

des dynamischen E-Moduls die Beanspruchungsgeschwindigkeiten ab einer Größenordnung von 

4 

2 

10 N / mm s liegen. 

In einer Gemeinschaftsuntersuchung zur Ermittlung der Einflussfaktoren bei der Bestimmung des 

dynamischen Elastizitätsmoduls bei höheren Temperaturen wurde eine kennzeichnende Abhängigkeit 

von der Beanspruchungsgeschwindigkeit festgestellt. Die Versuchsergebnisse lassen 

erkennen, dass das dynamische E-Modul unabhängig davon ist, ob stetig oder stufenweise beoder 

entlastet wird, oder ob eine Wechsellast längere Zeit gehalten wird (Maier, G.; 1987 [26]). 

1 vgl. Keil, S.; 1995 [7] 




In Bezug auf die zuvor dargestellten zeitabhängigen Vorgänge im Werkstoff wurde für die vorliegende 

Arbeit eine Frequenz von 15 Hz als optimal ermittelt. Der dynamische Wert liegt dann bei 

dieser Beanspruchungsgeschwindigkeit deutlich näher am tatsächlichen Wert, als dies bei dem 

statischen Wert der Fall ist. Es sollte somit das dynamische E-Modul verwendet werden. 

E dyn [GPa] 

240 

220 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

Dynamisches E-Modul X22CrMoV12-1 

0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 720 780 840 900 

Weiqing Cheng - 15 - Master Thesis (2005) 

T [°C] 

Edyn 

Abbildung 2-10: Dynamisches E-Modul X22CrMoV12-1 1 

Eine weitere Werkstoffeigenschaft ist, dass das E-Modul temperaturveränderlich ist. Abbildung 

2.10 zeigt den Temperaturverlauf des dynamischen E-Moduls des Stabes, der in der vorliegenden 

Arbeit verwendet wird und aus der Legierung X22CrMoV12-1 besteht. Es wird deutlich, dass 

die Elastizität der Legierung X22CrMoV12-1 mit steigender Temperatur sinkt. Das dynamische E- 

Modul hat die folgende Funktion in Abhängigkeit von der Temperatur: 

mit 

E dyn 

b 

0 

1 

2 

3 

4 

= 

= f 

(2.7) 

219, 

31101 

b = −0, 

058486 

b 

b 

b 

= −6, 

55 ⋅10 

= 1, 

48 ⋅10 

4 

3 

2 

( T ) = b4 

⋅T 

+ b3 

⋅T 

+ b2 

⋅T 

+ b1 

⋅T 

+ b0 

−7 

−5 

= −1, 

96 ⋅10 

−10 

1 vgl. Mannesmann; 1983 [44]. Die Werte bis 700 °C sind von Mannesmann bestimmt worden, die Werte 

ab 700 °C sind extrapoliert.



2.7 Messprinzipien 

2.7.1 Wheatstonsche Brückenschaltung 

Abbildung 2-11: Wheastonesche Brückenschaltung in unterschiedlicher Darstellungsweise 1 

Abbildung 2-11 zeigt den schematischen Aufbau der Wheatstonschen Brückenschaltung in den 

heute üblichen Schaltbildern. Die Brückenschaltung besteht aus vier Einzelzweigen mit den Wi- 

derständen R1 bis R4 und den vier Anschlüssen 1 bis 4. Eine Besonderheit der Schaltung ist, 

dass bei angelegter Eingangsspannung UB und gleichen Widerständen (R1 = R2 = R3 = R4) die 

Ausgangsspannung UM gleich Null ist. Eine Brückenschaltung in einem solchen Zustand wird als 

abgeglichen bezeichnet. Ändert sich bei angelegter Spannung ein Widerstand in der Schaltung, 

so fließt ein Strom zwischen Anschluss 1 und 4, und bewirkt eine Spannung, die ein Maß für die 

Widerstandsänderung ist (Hoffmann, K.; 1987 [9]). 

Die Anwendung der Grundgesetze der Elektrotechnik (Kirchhoffsche Maschenregel) auf die 

Wheatstonsche Brückenschaltung führt zu folgenden Zusammenhängen: 

U M R1 

R4 

= − 

(2.8) 

U B R1 

+ R2 

R3 

+ R4 

Man geht davon aus, dass vor Eintreten der Widerstandsänderungen alle Dehnungsmessstreifen 

in den vier Brückenzweigen den gleichen Widerstand haben. Mit 

R = R = R = R = R 

1 

2 

3 

4 

0 

wird die obige Gleichung zu: 

U M 

U 

( ∆R1 

− ∆R2 

+ ∆R3 

− ∆R4 

) 

= 

2( 

2R 

+ ∆R 

+ ∆R 

+ ∆R 

+ ∆R 

) 

(2.9) 

B 

1 vgl. Hoffmann, K.; 1987 [9] 

0 

1 

2 

3 


4



Wenn nur einer der vier Brückenzweige einen aktiven Dehnungsmessstreifen enthält, also nur in 

einem Brückenzweig eine Widerstandsänderung eintritt („Viertelbrücke“, s. Abbildung 2-12), dann 

vereinfacht sich die Gleichung mit ∆R1 = ∆R2 =∆ R3 = 0 zu 

U 

U 

M 

B 

∆R1 

= (2.10) 

( 2R 

+ ∆R 

) 

2 0 1 

Mit dem Ergebnis dieser Gleichung wird die Auswirkung der Widerstandsänderung auf das 

Spannungsverhältnis UM /UB beschrieben. Es ist erkennbar, dass der Zusammenhang zwischen 

∆R1 und dem Spannungsverhältnis UM /UB wegen der Summe im Nenner nicht linear ist. Da man 

aber beim Messen mit Dehnungsmessstreifen an metallischen Werkstoffen im elastischen Ver- 

formungsbereich ∆R1



Abbildung 2-13: Widerstandsänderung bei Stauchung einer Viertelbrücke 

Abbildung 2-14: Widerstandsänderung bei Dehnung einer Viertelbrücke 

2.7.2 Konstantstrom-Speisung 

In Abbildung 2-15 wird die Messschaltung einer DMS-Viertel-Brücke mit Konstantstromspeisung 

gezeigt. Diese Schaltung wird auch zur Durchführung der Messungen im Rahmen dieser Arbeit 

genutzt. Aus der anliegenden schnell regelnden Stromquelle fließt ein konstanter Strom I durch 

den Dehnungsmessstreifen und durch die Leitung. 




Abbildung 2-15: Elektrische Schaltung des Versuchs 

Eine Widerstandsänderung am DMS bewirkt eine Änderung der Messspannung UM . Wird von 

dem nachgeschalteten Messverstärker der reine AC-Anteil des Signals ausgekoppelt, so bleibt 

die temperaturabhängige Änderung des Leitungswiderstandes unberücksichtigt, da diese Widerstandsänderung 

als „quasistatisch“ angesehen werden kann. 


UM



3 Vorgehensmodell 

Das vorliegende Kapitel präsentiert das Vorgehensmodell, welches für die Lösung des anstehenden 

Problems, der Bestimmung der Dehnungsverteilung in Abhängigkeit von der Temperatur, 

verwendet wird. 

3.1 Alternative Lösungsansätze 

Es erscheinen zwei Arten von Rechnungen geeignet, die anstehende Aufgabe zu lösen: 

• Analytische Rechnungen, und eine 

• numerische Rechnung. 

Analytische Rechnungen streben eine möglichst genaue Ermittlung der Lösung an, in der Regel 

basierend auf mathematischen Modellen. In der vorliegenden Arbeit wird neben zwei reinen analytischen 

Lösungen auch eine analytische Nährungslösung erarbeitet. Im Hinblick auf die Nebenbedingungen 

ist dann zu beurteilen, welche der drei analytischen Lösungen zu verwenden ist. 

Aufgrund der heute erreichbaren Rechnerleistung und der Verfügbarkeit komplexer Simulationssoftware, 

bietet sich zur Lösungsfindung auch eine numerische Rechnung an. Diese wird mit 

Hilfe des Softwareprogramms Ansys 9.0 durchgeführt. Da die Berechnungen in der Software 

stattfinden, ist der Lösungsweg der numerischen Rechnung jedoch nicht vollkommen nachvollziehbar. 

Aus diesem Grund ist die Überprüfung der verwendeten Modelle und auch der entsprechenden 

Randbedingungen schwierig. Es erscheint daher sinnvoll, die numerische Rechnung 

nicht als eigenständigen Lösungsansatz, sondern zur Validierung des analytischen Ansatzes zu 

verwenden. 

Sowohl der Nährungslösungsansatz, als auch die numerische Rechnung, basieren auf der so 

genannten Finite Elemente Methode (FEM), welche aus diesem Grund in Kapitel 4 intensiv diskutiert 

wird. 

3.2 Datenbasis der Lösungsansätze 

Nach der Erarbeitung der Lösungsansätze sind diese jedoch noch nicht anwendbar. Es sind zunächst 

E-Modulberechnungen, basierend auf den gemessenen Temperaturen entlang des Stabes 

in Abhängigkeit von der Zeit, durchzuführen. Die ermittelten Werte dienen dann den Lösungsansätzen 

als Datenbasis, so dass diese zur praktischen Anwendung kommen können. 




3.3 Anwendung und Validierung der Lösungsansätze 

Die Lösungsansätze kommen nun zur Anwendung. Die numerische Rechnung wird dabei zur 

Überprüfung der analytischen Ansätze verwendet, woraufhin diese in Bezug auf ihre Praxistauglichkeit 

beurteilt werden können. 

3.4 Durchführung der Messungen 

Nachdem die Anwendung der Lösungsansätze zu den berechneten Ergebnissen geführt hat, 

werden im Anschluss einige Messungen an HT-DMS durchgeführt. Die Messergebnisse werden 

dann mit den berechneten Ergebnissen verglichen. Um eine erweiterte Validierung der berechneten 

Ergebnisse zu erlangen, wird mit jeder Messung auch ein Referenz-DMS 1 , dessen Messergebnisse 

als verlässlich gelten, einbezogen. Sollten die Ergebnisse der Messungen mit den berechneten 

Ergebnissen übereinstimmen oder nur gering voneinander abweichen, so kann der 

gewählte Lösungsansatz als praktisch einsetzbar empfohlen werden. 

1 welche jenseits der Kühlklemme mit einer stets konstanten Temperatur von ca. 20 Grad Celsius befestigt 

wird, vgl. Kapitel 5. 




Das Vorgehensmodell wird in folgender Abbildung dargestellt. 

Experiment 

Analytische 

Rechnungen 

Lösungsansätze 

Bestimmung des 

E-Moduls 

Numerische 

Rechnung 

Anwendung des 

Softwareprogramms Ansys 9.0 

Vergleich der analytischen Lösung und 

der numerischen Lösung 

Anwendung der 

Lösungsrechnungen 

Vergleich der Ergebnisse 

Empfindlichkeitsänderung 

(k-Faktor-Änderung) 

Abbildung 3-1: Schema des Vorgehensmodells 

Bestimmung der Datenbasis 

durch Messung 

Validierung des 

Lösungsansatzes 

Durchführung 

der Messungen 




4 Die Finite-Element-Methode (FEM) 

4.1 Rechnerische Simulation 

Bei der rechnerischen Simulation geht man von Differentialgleichungen aus. Die zugrunde liegende 

theoretische Überlegung beruht dabei auf der Kontinuumshypothese. Im Rahmen der Festigkeitslehre 

ist ein Kontinuum eine kontinuierliche Verteilung von Teilchen. Zur Berechnung von 

Festigkeitsproblemen nimmt man vereinfachend an, dass sich ein Festkörper als Kontinuum beschreiben 

lässt. Da Sprünge also unzulässig sind, lässt sich somit die Infinitesimalrechnung (Differentialrechnung) 

anwenden. 

Die Differentialgleichungen beschreiben an einem differentiell kleinen Teil das Verhalten einer 

Struktur. Die Funktion, für die die Differentialgleichungen aufgestellt werden, ist eine charakteristische 

Größe. Für Festigkeitsprobleme ist dies die Verschiebung. Primäres Ziel der rechnerischen 

Simulation ist es, diese Funktion, z.B. die Verschiebungsfunktion, näherungsweise zu 

bestimmen. Durch Ableitung der Funktion nach den Koordinaten ermittelt man dann weitere gewünschte 

Größen, wie z.B. die Dehnungen, die Spannungen oder die mechanische Belastung. 

Als Lösungsverfahren für die Differentialgleichungen stehen analytische und analytischnumerische 

Verfahren zur Verfügung. Die rein analytischen Verfahren werden oft als „exakte“ 

Verfahren bezeichnet. Im Rahmen der numerischen Verfahren wird dagegen ein Nährungsansatz 

für die unbekannte Funktion aufgestellt. Der Nährungsansatz ist in der Regel ein Produktansatz, 

der aus vorgegebenen Formfunktionen und freien Koeffizienten besteht. Diese Formfunktionen 

werden nicht ganz willkürlich gewählt. Sie müssen gewisse Bedingungen, insbesondere Bedingungen 

am Rand, erfüllen. 

4.2 Einführung in FEM 

Die Finite-Element-Methode (FEM) ist ein bereichsweise angewandtes numerisches Nährungsverfahren. 

Während sich bei klassischen Verfahren die Ansatzfunktionen über das gesamte Gebiet 

(die gesamte Struktur) erstrecken, werden bei der FEM Ansatzfunktionen gewählt, die jeweils 

nur Teilgebiete überdecken. Es werden also nur bereichsweise Ansatzfunktionen eingeführt. 

Diese sind so geartet, dass sie an den Übergängen der Bereiche kontinuierlich an die 

Nachbarbereiche anschließen. Die Nährungsfunktion für das Gesamtgebiet setzt sich also zusammen 

aus den Lösungsansätzen der Teilgebiete. 

Entscheidend ist, dass für die Teilbereiche gleiche Formfunktionen gewählt werden. Die Teilgebiete 

werden als Elemente bezeichnet. Die Stellen, an denen die Elemente mit den Nachbarele- 




menten verbunden sind, werden als Knoten bezeichnet. Bei der Festigkeitsberechnung sind dies 

Knotenverschiebungen. Es können pro Knoten bis zu sechs Größen auftreten: 3 Verschiebungen 

in den drei Koordinatenrichtungen X, Y, Z ( u x , u y , u z ) und 3 Verdrehungen um die Achsen 

( φ x , φ y , φ z ). 

Die Berechnung der unbekannten Knotenverschiebungsgrößen kann nach Müller (Müller, G.; 

2000 [34]) in Matrizenschreibweise erfolgen: 

[ S ] {} u = {} k 

⋅ (4.1) 

o Dabei sind in [S] die Koeffizienten des Gleichungssystems zusammengefasst. Da sich die 

Koeffizienten bei der Festigkeitsberechnung im Wesentlichen aus Materialdaten und Geometriedaten 

errechnen, wird die Matrix [S] auch als Steifigkeitsmatrix bezeichnet. 

o {} u ist der Knotenverschiebungsvektor. In ihm sind alle Knotenverschiebungsgrößen (Ver- 

schiebungen u x , u y , z u und Verdrehungen φ x , φ y und φ z ) enthalten. 

o {} k ist der Lastvektor, der sich aus der Belastung ergibt. 

o Die Matrix [S] hat die Ordnung (n, n), wenn n unbekannte Knotenverschiebungen eingeführt 

werden.{ u } und { k } haben entsprechend die Ordnung (n, 1). 

o Die gesuchte Knotenverschiebung { u } ergibt sich aus der Lösung des Gleichungssystems. 

−1 {} u = [ S] 

⋅{} 

k 

4.3 Formfunktion eines Balkenelementes 

In der vorliegenden Arbeit geht es um die Bestimmung der Dehnung entlang des Biegestabes. 

Aus diesem Grunde wird hier das Model des Balkenelements verwendet. Für die Herleitung des 

ebenen Balkenelementes mit der Biegesteifigkeit EI b wird ein Koordinatensystem zugrunde ge- 

legt, das dem Element folgt (x-Achse entlang des Balkens, y-Achse quer zum Balken). In Abbildung 

4-1 werden je Knoten die Verschiebungs-Freiheitsgrade u y (quer zum Balken) und die 

Verdrehungs-Freiheitsgrade φ z (um die normal auf der x-y-Ebene stehende z-Achse) dargestellt. 


(4.2)



Abbildung 4-1: Freiheitsgrade eines ebenen Balkenelementes mit der Biegesteifigkeit EI b 

Der Ansatz für jedes Teilgebiet (Element) mit den Enden (Knoten) i und i+1 (s. Abbildung 4-2) ist: 

( x) 

= u yi ⋅ b1 

( x) 

+ u yi+ 

1 ⋅ b2 

( x) 

+ φ zi ⋅b3 

( x) 

+ φ + 1 ⋅ b4 

( x) 

(4.3) 

W zi 

Es gelten die folgenden Beziehungen: 

o Unbekannte Knotenverschiebungsgrößen (hier pro Knoten 2 Unbekannte): 

uyi, φzi, uyi+1, φzi+1 

Die Deformationen an den Knoten werden allgemein die Freiheitsgrade genannt. 

o Formfunktionen 

die für ein Element gelten, sind einfache Polynome (1, x 2 3 

, x , x ). 

b i 

⎡b1 

⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

b2 

= ⎥ 

⎢b 

⎥ 3 

⎢ ⎥ 

⎣b4 

⎦ 

o Der Elementdeformationsvektor { u } 

hat mit diesen Bezeichnungen die folgende Form: 




u 

i 

⎡ u yi ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

φ zi 

= ⎥ ; {} u sind die Knotenverschiebungsgrößen 

⎢u 

⎥ yi+ 

1 

⎢ ⎥ 

⎣φ 

zi+ 

1 ⎦ 

o Dann erhält man die folgen Form: 

W ( x) 

= u ⋅ 

i bi 

Die Formfunktionen für die Verformungen im Element sind einfache Polynomfunktionen nach 

Müller (Müller, G.; 2000 [34]). Die Koeffizienten sind Verschiebungsgrößen an den Knoten des 

jeweiligen Elementes. Es gibt 2 Unbekannte an jedem der beiden Endknoten eines Elementes, 

die Verschiebung u y quer zum Balken und die Verdrehungφ z . 

Abbildung 4-2: Deformationen an den Knoten eines ebenen Balkenelementes 

Diese Formfunktionen sind für das mittlere Element im Einzelnen in ihrem Verlauf in Abbildung 4- 

2 aufgezeichnet. Die Formfunktion 1( ) x b wird mit der Verschiebung u yi (am linken Endknoten) 

und die Formfunktion 2 ( ) x b mit der Verschiebung u yi+ 

1 (am rechten Endknoten) verwendet. Die 

Formfunktion b ( ) wird mit der Verdrehung φ zi und die Formfunktion b ( ) mit der Verdrehung 

φ verwendet. 

zi+ 

1 

3 x 


4 x 

(4.4)



Für die anderen Teilgebiete (Elemente) werden ebenfalls diese Funktionen verwendet. Dabei 

treffen jedoch jeweils die anderen Verschiebungen und Verdrehungen zu, die an den jeweiligen 

Endknoten des Elementes vorliegen. 

Die Koeffizienten u yi bzw. φ zi sind bei dieser Vorgehensweise physikalisch und technisch deut- 

bare Größen. Denn es sind Verschiebungen oder Verdrehungen des Modells an der Position 

dieses Knotens. Eine erste Auswertung des Berechnungsergebnisses anhand dieser Verschiebungen 

und Verdrehungen ist sehr gut möglich. Mit diesen Größen sind im Element die Verschiebungen 

über u yi und dadurch auch die Dehnungen bestimmbar. 

4.4 Eigenschaften der FEM 

Im Vergleich zu den klassischen Nährungsverfahren zeigen sich folgende charakteristische Eigenschaften 

der FEM (nach Müller, G.; 2000 [34]): 

• Die Ansatzfunktionen der klassischen Methode erstrecken sich über das Gesamtgebiet des 

zu untersuchenden Bauteils. Bei der FEM spannen sich die Ansatzfunktionen jeweils nur über 

die Teilgebiete, die Elemente. 

• Die zu berechnenden Unbekannten sind in der klassischen Methode physikalisch nicht deutbare 

Koeffizienten. Bei der FEM sind es die Freiheitsgrade des Modells an den Knoten, die 

als mechanische Verschiebungen und Verdrehungen vorgegeben werden. 

• Eine Genauigkeitssteigerung erfordert bei der klassischen Methode höhere Ansätze, mehr 

Koeffizienten oder andere Ansatzfunktionen. Bei der FEM ist eine Genauigkeitssteigerung 

durch eine feinere Aufteilung des Modells, also mehr Teilgebiete bzw. mehr Elemente insbesondere 

im Bereich hoher Gradienten erreichbar. 

• Die FEM ist besonders gut geeignet für diskontinuierliche Strukturen, da diskontinuierliche 

Bereiche (z.B. unterschiedliche Materialbereiche) mit den Elementen abgegrenzt werden 

können. 




5 Versuchsaufbau 

5.1 Allgemeine Erläuterung zum Versuchsaufbau 

Die folgenden Bilder zeigen den Versuchsaufbau. Am Steuerungsstand (s. Abbildung 5-1) kann 

der gesamte Ablauf eines Versuchs überwacht und auch die Messergebnisse erfasst werden. 

Dies geschieht mit Hilfe der Software DasyLab. 

Abbildung 5-1: Onlineüberwachung und Steuerung 

Abbildung 5-2 zeigt den eigentlichen Versuchsstand. Die verschiedenen Bestandteile sind entsprechend 

beschriftet und werden im Folgenden näher erläutert. 

Abbildung 5-2: Aufbau des Versuchsstands 




Der zu untersuchende Stab wird links in die Einspannvorrichtung eingespannt. In der Mitte sieht 

man den Halogen-Linienstrahler, der für die Erhitzung des Stabes verantwortlich ist. Gegenüber 

dem Halogen-Linienstrahler ist ein Parabolspiegel angebracht. Dieser Parabolspiegel bewirkt, 

dass die Rückseite des Stabes möglichst die gleiche Temperatur wie die durch den Halogen- 

Linienstrahler bestrahlte Vorderseite erreicht. 

In der Mitte vor dem Halogen-Linienstrahler sind die Kühlschläuche zu erkennen. Die Kühlklemme, 

die in der Nähe des Einspannungspunkts des Stabes befestigt ist, wird über einen Wasserschlauch 

gekühlt. Der Halogen-Linienstrahler und der Parabolspiegel werden mit Hilfe von Wasserschläuchen 

und Druckluftschläuchen gekühlt. 

Am Ende des Stabes auf der rechten Seite ist das Laservibrometer zu sehen. Es nimmt die Auslenkung 

am Ende des Stabes auf. Auf der rechten unteren Seite ist der Schwingungserreger zu 

erkennen. Dieser ist mit einem Metallstift mit dem Ende des Stabes verbunden, und versetzt diesen 

in Schwingung. 

Um eine hohe Reproduzierbarkeit der Versuchsdurchführung zu erreichen, bleibt der Versuchsaufbau 

bei jedem Versuch unverändert. Abbildung 5-3 zeigt eine Detailskizze des Versuchsaufbaus. 

Abbildung 5-4 zeigt eine Vergrößerung im Bereich der Kühlklemme und am Ende 

des Stabes. Der Halogen-Linienstrahler hat eine Entfernung von 10 mm vom Stab, und die linke 

Seite des Halogen-Linienstrahlers hat eine Entfernung von 7 mm von der Kühlklemme. Der Rand 

des Parabolspiegels schließt bündig mit dem Außerrand des Stabes ab (10 mm Abstand vom 

Halogen-Linienstrahler). 

Einspannvorrichtung 

Ref-DMS 

Kühlklemme 

Halogen-Linienstrahler 

HT-DMS 

Abbildung 5-3: Detaillsicht des Versuchsaufbaus 

Parabolspiegel 

Probestab 




Abbildung 5-4: Vergrößerte Ansicht im Bereich der Kühlklemme und am Ende des Stabes 

5.2 Funktionsweise des Versuchsaufbaus 

Der Stab wird durch einen Schwingungserreger in Schwingung versetzt. Der Probestab wird auf 

der einen Seite in die Einspannvorrichtung verspannt und auf der anderen Seite durch Schrauben 

an den Schwingungserreger gekoppelt. Angetrieben wird der Schwingungserreger durch 

einen entsprechenden Verstärker, der mit Hilfe eines Frequenzgenerators angesteuert wird. 

Durch den Schwingungserreger kann eine gleichbleibende Frequenz und Auslenkung übertragen 

werden. In dem Versuch wird eine Frequenz von 15 Hz gewählt. 

Eine Wegmessung, welche die Reproduzierbarkeit des Versuchs gewährleistet, wird durch einen 

Messlaser realisiert. Mit dem Laservibrometer wird die Schwinggeschwindigkeit des Probestabes 

berührungslos während des Versuchs aufgenommen und dient außerdem der Kontrolle des Prozesses. 

Der Stab wird mit zwei verschiedenen Dehnungsmessstreifen und einem Thermoelement bestückt. 

Ein handelsüblicher Folien-Dehnungsmessstreifen wird direkt am Einspannpunkt oben auf 

dem Stab angebracht. Er dient als Referenz-Dehnungsmessstreifen um die Richtigkeit der Messung 

nachzuweisen. Dieser DMS hält aber nur Temperaturen bis ca. 230 °C aus. Aus diesem 

Grund sollte die Wärme im Bereich, an dem der Referenz-DMS appliziert wird, vom Stab entkoppelt 

werden. Durch eine Kühlklemme, die zwischen der heißen Zone und dem Folien-DMS montiert 

wird, kann dies erreicht werden. Der zweite DMS ist der Hochtemperatur- 

Dehnungsmessstreifen, welcher 180 mm von der Einspannung ebenfalls oben auf dem Stab angebracht 

wird. Seitlich auf gleicher Höhe des Hochtemperatur-Dehnungsmessstreifen wird ein 

Thermoelement an dem Stab angebracht. 




5.3 Bestandteile des Versuchsaufbaus 

Die verschiedenen Bestandteile des Versuchsaufbaus sind im Folgenden weiter spezifiziert: 

• Halogen-Linienstrahler und Thyristor-Schaltung 

o Der Strahler besteht aus einem parabolisch geformten Aluminiumprofil, das innenseitig 

spiegelartig poliert ist. 

o eigens für die Regelung der Lampe wird eine Thyristor-Schaltung genutzt, die über den 

Computer durch das Programm Dasylab angesteuert wird. 

• Kühlklemme 

Abbildung 5-5: Halogen-Linienstrahler 

o Sie dient zur Wärmeentkopplung, um die Messung mit einem Referenz- 

Dehnungsmessstreifen am Einspannpunkt des Stabes zu ermöglichen. 

Abbildung 5-6: Kühlklemme 




• Schwingungserreger 550 (Shaker) 

o Ein elektrodynamischer Messwandler mit breitem Frequenzband, der eine Sinusvektorkraft 

von 665 N erzeugen kann. 

o Der Schwingungsgenerator arbeitet innerhalb des Frequenzbereichs von 5 bis 6300 Hz. 

Die Anregung erfolgt mit Sinus-Signalen. 

o Eine gleich bleibende Frequenz und Auslenkung wird durch den Schwingungserreger erreicht. 

• Laservibrometer 

Abbildung 5-7: Verstärker für Schwingungserzeuger und Steuerungsmonitor 

o Es arbeitet nach dem interferonmetrischen Verfahren, um die Schwingungsgeschwindigkeit 

des Stabes zu bestimmen. 

Abbildung 5-8: Laservibrometer und Steuerungsmonitor 




• DMS-Verstärker 

o Die ist ein Siemens Eigenbau-Verstärker mit Konstantstromspeisung für DMS- 

Viertelbrücken. 

o Der Eigenbau-Verstärker für die dynamischen Messsignale arbeitet mit einer konstanten 

Verstärkung von 60 dB (Faktor 1000) in einem Frequenzbereich von 3 Hz bis 12 kHz. 

Abbildung 5-9: Siemens Eigenbau-Verstärker 




6 Lösungsansätze 

6.1 Analytische Lösungsansätze 

6.1.1 Einführung 

Berechnungsverfahren 

Zur Ermittlung der vorhandenen Beanspruchung und Verformung von Bauteilen wurden verschiedene 

Berechnungsverfahren entwickelt: 

1. Analytische Nährungslösung (hier Ansatz I) 

Das Bauteil wird in viele kleine Elemente unterteilt, von denen jedes analytisch lösbar ist. 

2. Exakt-analytische Verfahren (hier Ansätze II und III) 

Für eine exakt-analytische Lösung müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: 

• einfache Bauteilform (Stab), 

• linearelastisches Werkstoffverhalten (die Spannung ist proportional zur Dehnung), 

• kleine Verformungen (die Statik wird durch die Verformung nicht verändert), 

• selbstverständlich müssen immer die Gleichgewichtsbedingungen für die Statik und Kinematik 

erfüllt sein. 

Vorgehensweise 

In allen Berechnungsverfahren wird zunächst eine Betrachtung der Temperaturverteilung (bis 

850 Grad Celsius) entlang des Stabes und der daraus resultierenden E-Modul-Änderung vorgenommen. 

Darauf basierend wird ein rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Dehnungsverteilung 

entlang des Stabes in Abhängigkeit der Temperatur entwickelt. Dabei muss berücksichtigt 

werden, dass das E-Modul (s. Kapitel 2.6) entlang des Stabes aufgrund der Temperaturverteilung 

nicht konstant, sondern vom Ort abhängig ist. 

Die folgende Graphik (Abbildung 6-1) zeigt den Biegestab mit dem HT-DMS. Die dann folgende 

Graphik (Abbildung 6-2) zeigt die entsprechenden Abmessungen des Biegestabes. Die Bestimmung 

der Dehnung ist bei jeder beliebigen Entfernung x von der Einspannung möglich. 




Abbildung 6-1: Biegestab mit Dehnungsmessstreifen 

Abbildung 6-2: Biegestab 

Im Folgenden werden drei alternative Vorgehensweisen präsentiert. Ansatz I basiert auf der bereits 

dargestellten FEM Methode (s. Kapitel 4), und führt zu einer analytischen Nährungslösung. 

Die Ansätze II und III sind exakte, aus der Literatur vorgeschlagene Lösungswege, für die jedoch 

bestimmte Rahmenbedingungen erfüllt werden müssen. Diese Berechnungen dienen der exakten 

Bestimmung der Biegelinie, mit dessen Hilfe man dann die Dehnung ermitteln kann. 

Für alle drei Lösungsansätze gelten folgende Bezeichnungen: 

ε ( x, 

T ) : Dehnung in Abhängigkeit von dem Ort und der Temperatur 

σ b : Biegespannung 

y ( x, 

t) 

: Auslenkung in Abhängigkeit von dem Ort und Zeit 

Yˆ : maximale Auslenkung des Stabes ( x = l ) 

F (T ) : temperaturabhängige Kraft 

E (T ) : temperaturabhängiges E-Modul 




6.1.2 Ansatz I: Eingespanntes Balkenelement mit Einzellast F(T)- FEM 

1) Bestimmung der Formfunktionen: 

Die Definition den Formfunktionen b1 bis b4 wurde bereits in Kapitel 4.3 erläutert. Im vorliegenden 

Kapitel werden die Formfunktionen b1 bis b4 nach Klein (Klein, B.; 2003 [42]) bei einem Balkenelement 

bestimmt. 

Wie in Kapitel 4.3 beschrieben wurde, hat die Elementdeformation { u } die folgende Form. 

u 

i 

⎡ u yi ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

φ zi 

= ⎥ 

⎢u 

⎥ yi+ 

1 

⎢ ⎥ 

⎣φ 

zi+ 

1 ⎦ 

Als Verschiebungsansatz wird ein viergliedriger Ansatz gewählt. 

W ( x) 

+ x 

2 3 

= b1 

+ b2 

x + b3x 

b4 

(6.1) 

Anstelle der Konstanten b1, b2, b3 und b4 werden die Knotenverschiebungen u yi , zi 

zi+ 

1 

φ , u yi+ 

1 und 

φ als Unbekannte eingeführt. Die Knotenverschiebungen werden auch als Freiheitsgrade be- 

zeichnet. Die Verschiebungsfunktion wird dann durch ein Produkt aus Knotenverschiebungen 

und Formfunktion beschrieben. Dies erfolgt mit: 

2 

′ ( x) 

= b2 

+ 2b3 

x 3b4 

x 

(6.2) 

W + 

Aufgrund der Randbedingungen für x = 0 gilt: 

W ( x = 0) 

= u yi = b 

(6.3) 

1 

′ ( x = 0) 

= φ b 

(6.4) 

W zi = 

Aufgrund der Randbedingungen für x = L gilt: 

2 

2 3 

W ( x = L) 

= u yi + 1 = u yi + φ zi L + b3L 

+ b4L 

(6.5) 

′ 

2 

W ( x = L) 

= φ yi + 1 = φzi 

+ 2b3L 

+ 3b4 

L 

(6.6) 

Aus den Gleichungen (6.5) und (6.6) folgen die Konstanten b3 und b4: 

3 2 3 1 

b3 = − u 2 yi − φ zi + u 2 yi+ 

1 − φzi+ 

1 

(6.7) 

L L L L 

2 1 2 1 

b4 = − u 3 yi + φ − 2 zi u 3 yi+ 

1 + φ 2 zi+ 

1 

(6.8) 

L L L L 




Damit nimmt der Verschiebungsansatz die folgende Form an. 

⎛ x x ⎞ ⎛ x x ⎞ ⎛ x x ⎞ ⎛ x x ⎞ 

W ( x) 

⎜ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ ⎟ ⎜ φ + 

⎝ L L ⎠ ⎝ L L ⎠ ⎝ L L ⎠ ⎝ L L ⎠ 

(6.9) 

Die Formfunktionen sind wie im Folgenden definiert: 

2 3 

2 3 

2 3 

2 3 

1 3 2 2 

2 

3 

3 

2 

2 2 3 + 1 

2 ⎟ 1 ⎟ 

= ⎜ − + ⎟u 

⎜ yi + x − + ⎟φ 

+ ⎜ zi − ⎟u 

+ ⎜ yi − + zi 

2 

x x 

b 1 = 1− 

3 + 2 2 

L L 

2 

x x 

b 2 = x − 2 + 

L L 

2 

x x 

b3 = 3 − 2 2 

L L 

3 

3 

3 

2 

3 

3 

2 3 

x x 

b 4 = − + 2 

L L 

(6.10) 

Die Verschiebungsfunktion wird somit definiert als: 

W i ⋅ i 

( x) 

= u b ( x) 

(6.11) 

2) Differentialgleichung: 

Nach Müller gilt: 

4 

d W ( x) 

4 

dx 

g( 

x) 

= oder E( x) 

I W ′ b ( x) 

= −M 

b ( x) 

(6.12) 

E( 

x) 

I 

b 

3) Ermittlung der Nährungslösung auf Basis der Differentialgleichung: 

Abbildung 6-3: Bestandteile der Belastung auf einem Element 

(Müller, G.; 2000 [34]) 

Für die anschließenden Erklärungen gelten die folgenden Bezeichnungen (vgl. Abbildung 6-3): 




W (x) 

: Verschiebungsfunktion in Abhängigkeit vom Ort (Biegelinien) 

F (x) 

: Kraft 

g (x) 

: Streckenlast 

b (x) 

: Formfunktion 

u : Knotenverschiebungen 

M b : Biegemoment 

F L : Kraft am linken Knoten 

F R : Kraft am rechten Knoten 

M L : Biegemoment am linken Knoten 

M R : Biegemoment am rechten Knoten 

E(x) 

: E – Modul in Abhängigkeit vom Ort 

I b : Flächenträgheitsmoment 

E( T) 

⋅ I 

b 

: Biegesteifigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur 

Zur Ermittlung der Nährungslösung wird das Galerkin-Verfahren angewendet: 

L 

IV 

∫ ( E x) 

⋅ I b ⋅W 

( x) 

− g( 

x) 

) 

0 

L 

∫ 

0 

b 

( ⋅W 

( x) 

dx = 0 

(6.13) 

I E( 

x) 

⋅W 

Partielle Integration ergibt: 

⇒ 

IV 

( x) 

⋅W 

( x) 

⋅ dx = 

I E( 

x) 

⋅W 

′ 

( x) 

⋅W 

( x) 

b 

I E( 

x) 

⋅W 

′ 

( x) 

⋅W 

( x) 

b 

L 

0 

L 

0 

− I 

L 

∫ 

0 

g( 

x) 

⋅W 

( x) 

⋅ dx 

E( 

x) 

⋅W 

′ 

( x) 

⋅W 

′ ( x) 

⋅ dx = 

− I E( 

x) 

⋅W 

′ 

( x) 

⋅W 

′ ( x) 

b 

L 

∫ 

b 

0 

(Scheideler, U.; 2005, [41] ) 

2 

E( 

x) 

⋅W 

′ 

( x) 

⋅ dx = 

g( 

x) 

⋅W 

( x) 

⋅ dx 


L 

0 

+ ⋅I 

L 

∫ 

0 

L 

∫ 

b 

0 

g( 

x) 

⋅W 

( x) 

⋅ dx 

′′′ 

L 

L 

2 

Ib∫ E( 

x) 

⋅W ′′ ( x) 

⋅dx 

= ∫ g( 

x) 

⋅W( 

x) 

⋅dx 

− IbE( 

x) 

⋅W 

( x) 

⋅W( 

x) 

L 

− IbE( 

x) 

⋅W 

′′ ( x) 

⋅W′ 

( x) 

0 

L 

0 

(6.14) 

0 

0 

L 

∫ 

0



Abbildung 6-4: Bestandteile der Belastung und Verschiebungsgröße auf einem Element 

Die Ableitung der Gleichung (6.12) 

ergibt: 

( x) 

⋅ I ⋅W 

′ 

( x) 

= −M 

( x) 

E b 

b 

M b 

′ 

( x) 

= F( 

x) 

(6.15) 

Aus Gleichung (6.12) und (6.15) folgt die Formel: 

E( x) 

⋅ I b ⋅W 

′′ ′ ( x) 

= −F 

( x) 

(6.16) 

Nach Multiplikation von W (x) 

mit Gleichung (6.16) erhält man (vgl. Abbildung 6-4): 

L 

E( x) 

⋅ I b ⋅W 

′′ ′ ( x) 

⋅W 

( x) 

= F ( ) ( ( ) ) 

0 R x ⋅u 

R − −FL 

x ⋅ u L 

L 

⇒ E( x) 

⋅ I b ⋅W 

′′ ′ ( x) 

⋅W 

( x) 

= FR 

( x) 

⋅u 

R + FL 

( x) 

⋅ u 

0 

L 

Nach Multiplikation von W ′ (x) 

mit Gleichung (6.12) erhält man: 

L 

( b 

0 R R 

L L 

E x) 

⋅ I W ′ 

( x) 

⋅W 

′ ( x) 

= M ( x) 

⋅φ 

− ( −M 

( x) 

⋅φ 

) 

L 

⇒ E( x) 

⋅ I bW 

′′ ( x) 

⋅W 

′ ( x) 

= M R ( x) 

⋅φ 

R + M L ( x) 

⋅φ 

0 

L 

Setzt man Gleichung (6.17) und (6.18) in (6.14) ein, so erhält man: 

L 

b 

0 

L 

(6.17) 

(6.18) 

2 

I ∫ E( 

x) 

⋅W ′ 

( x) 

dx = ∫ g( 

x) 

⋅W 

( x) 

⋅ dx + ki 

⋅ ui 

(6.19) 

Es gibt nur Einzellasten, d.h. g ( x) 

= 0 : 

0 


u 

R



L 

b∫ 

0 

2 

I E( 

x) 

⋅W 

′ 

( x) 

dx = k ⋅u 

(6.20) 

Es gilt die folgende Formel: 

( x) 

= u b ( x) 

; 

W i ⋅ i 

2 

W i i 

j j 

⇒ ( ( x) 

) = u ⋅ b ( x) 

⋅ u ⋅b 

( x) 

i 

i 

′′ ( x) 

= u ⋅ b ( x) 

″ 

W i i 

′ ″ ″ 

(6.21) 

Setzt man Gleichung (6.21) in (6.20) ein, so erhält man schließlich: 

L 

b∫ 

0 

″ ″ 

I E( 

x) 

⋅ u ⋅b 

( x) 

⋅ u ⋅b 

( x) 

= k ⋅u 

i 

i 

L 

″ ″ 

⇒ I b ⋅ ui 

⋅⋅u 

j ∫ E x) 

⋅bi 

( x) 

⋅b 

j ( x) 

= ki 

⋅ ui 

0 

⎛ 

⎜ 

I 

⎝ 

⇒ ij j i 

Dabei: 

b 

j 

j 

i 

i 

( (6.22) 

L 

″ ″ ⎞ 

⋅u ( ) ( ) ( ) ⎟ 

j ∫ E x ⋅ bi 

x ⋅ b j x − ki 

⎟ 

⋅u 

i = 0 

0 

⎠ 

L 

S u = k 

″ ″ 

mit Sij 

= I b ⋅∫ 

E( 

x) 

⋅ bi 

( x) 

⋅ b j ( x) 

(6.23) 

u 

i 

⎡u 

yL ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

φzL 

= ⎥ ; 

⎢u 

⎥ yR 

⎢ ⎥ 

⎣φ 

zR ⎦ 

k 

i 

0 

⎡ FL 

⎤ 

⎢ ⎥ 

⎢ 

M L 

= ⎥ 

⎢ F ⎥ R 

⎢ ⎥ 

⎣M 

R ⎦ 

Die Gleichung (6.23) gilt für jedes Element des Stabes. Dabei ist jedoch die Funktion E(x) bei 

jedem Element verschieden. Nun muss die Funktion des E-Moduls zwischen jeweils zwei benachbarten 

Knoten bestimmt werden. 

4) Bestimmung der Funktion des E-Moduls für jedes Element: 

Hier werden zunächst 20 Knoten definiert. Der Biegestab besteht aus 19 Elementen. Das E- 

Modul wird, wie in Kapitel 7 beschrieben, an jedem Knoten ermittelt. Das E-Modul eines jeden 

Elements des Stabes, d.h. das gesamte Gebiet zwischen zwei benachbarten Knoten, hat eine 

bestimmte lineare Funktion in Abhängigkeit des jeweiligen Ortes des Stabes (vgl. Abbildung 6-5). 

Die Linearfunktionen sind wie folgt definiert: 




E(Re 

cht, 

T ) − E( 

link, 

T ) 

E( x) 

= E( 

link, 

T ) + 

⋅ x 

∆l 

Abbildung 6-5: Linearfunktion des E-Moduls eines Elements 

5) Erstellung von Gleichungen, um die Einzelkraft F(T) am Ende des Stabes zu bestimmen: 

Wie in Abbildung 6-6 dargestellt, besteht der Stab aus 19 Elementen. An jedem Knoten gibt es 

zwei Verschiebungsgrößen. Durch die Randbedingungen enthält der Stab 39 Unbekannte. 

Abbildung 6-6: Elemente mit Verschiebungsgrößen 

Um die 39 Unbekannten zu bestimmen, müssen 39 Gleichungen aufgestellt werden: 

Summe der Kräfte an den Knoten 

Gleichung 1 (am Knoten 2): k [ ] + k [ 1] 

= 0 

1 3 2 


= 0 

2 3 3 

Anmerkung: 

Die maximale Auslenkung am Ende des Stabes 

wird durch das Laservibrometer bestimmt. 

Es gilt: uy19 = 2 

Anmerkung: 

k1[3]: Kraft am rechten Knoten beim ersten Element 

k2[1]: Kraft am linken Knoten beim zweiten Element 

Gleichgewichtsbedingung für die Kraft bei zweitem 

Knoten: 

FR + FL = 0 





= 0 

17 3 18 


= 0 

Summe der Momente an den Knoten 

18 3 19 


= 0 

1 4 2 


= 0 

2 4 3 


= 0 

18 4 19 

Gleichung 39 (am Knoten 20): k [ 4] 

= 0 

19 

Nach der Lösung der 39 Gleichungen erhält man die Werte von { k i } und { i } 

Damit kann man die Einzelkraft F(T) am Ende des Stabes bestimmen: 

⇒ F T ) = k [] 3 

( 19 

u an jedem Knoten. 

6) Bestimmung der Dehnung entlang des Stabes in Abhängigkeit von dem Ort und der Tempera- 

turverteilung: 

Die Schnittgrößen an einer beliebigen Stelle x des Balkens sind: 

M b 

( x, 

t) 

= −F 

( t) 

⋅ ( l − x) 

Dies eingesetzt in die Gleichung der Biegelinie ergibt: 

( x) 

I y ′′ ( x, 

t) 

= −M 

( x, 

t) 

= −F 

( t) 

⋅ ( l − x) 

(nach Berger, J.; 1998 [4]) (6.24) 

E b 

b 

Hier wird nur der maximale Wert betrachtet, d.h. wenn der Stab mit maximaler Auslenkung biegt. 

T 

Mit t = k ⋅ , k = 1, 

2, 

3... 

4 

ist die Größe der Einzelkraft nur abhängig von der Temperatur des Stabes, d.h. F = F(T 

) . 

Es gilt somit die Formel: 

M b 

Anmerkung: 

k1[4]: Moment am rechten Knoten beim ersten Element 

k2[2]: Moment am linken Knoten beim zweiten Element 

Gleichgewichtsbedingung für den Moment bei zweitem 

Knoten: 

MR + ML = 0 

( x, 

T ) = F( 

T ) ⋅ ( l − x) 

(6.25) 

Gleichung (6.23) gilt für das Modell des eingespannten Trägers mit Einzellast. Dabei wird der 

Träger durch eine Einzelkraft F(T) am Ende des Stabes belastet. Es wird der Zustand des Stabes 




als Gleichgewicht der Belastung durch den Schwingungserreger betrachtet, wenn der Stab maximal 

biegt. 

Bei der Schwingung eines Stabes, der einseitig eingespannt ist, ist die Verschiebung W(x, t) vom 

Ort x und von der Zeit t abhängig. Das Hookesche Gesetz gibt den Zusammenhang zwischen 

Spannung und Verformung wie folgt an: 

σ ( x, t) 

= E( 

x, 

T ) ⋅ε 

( x, 

t) 

(6.26) 

Entlang des Stabes wirken die Temperaturverteilungen und das daraus resultierende E-Modul in 

Abhängigkeit vom Ort des Stabes. Aus diesem Grund kann man mit dieser Gleichung und der 

lokalen Elastizität die Dehnung entlang des Stabes bestimmen. 

Zur Vereinfachung werden von der sinusförmigen Schwingung nur die Scheitelwerte betrachtet, 

T 

d.h. t = k ⋅ , k = 1, 

2, 

3... 

4 

Für die Kreisfrequenz gilt: 

ω = 2 ⋅π 

⋅ f 

An der Oberfläche und Unterfläche des Biegestabes gilt: 

M b σ ( x) 

= ± ⋅ z mit 

I 

b 

3 

bh 

I b = (6.27) 

12 

Diese mit z linear veränderliche Spannung ist im folgenden Bild dargestellt. Sie bewirkt, dass sich 

die einzelnen Schichten (Fasern) des Querschnittes im Bereich z > 0 dehnen und für z < 0 stauchen. 

Für den Vergleich mit der zulässigen Spannung wird meist die dem Betrage nach größte Span- 

h 

nung benötigt. Sie ergibt sich für z = zmax 

= (s. auch folgende Skizze). 

2 

Setzt man Gleichung (6.25) in (6.27) ein, so erhält man: 

σ 

min 

σ max 




⇒ 

F( 

T ) ⋅ ( l − x) 

6 ⋅ F( 

T ) ⋅ ( l − x) 

σ max, min ( T, 

x) 

= ± 

= 2 

2 

b ⋅ h 

b ⋅ h 

6 

(6.28) 

( x) 

( x, 

t) 

= = 

E( 

T, 

x) 

6 ⋅ F( 

T) 

⋅ ( l − x) 

2 

b ⋅ h 

E( 

T, 

x) 

6 ⋅ F( 

T) 

⋅ ( l − x) 

= 2 

b ⋅ h ⋅ E( 

T, 

x) 

σ 

ε (6.29) 

Aus Gleichung (6.29) kann man sehen, dass die Dehnungen vom Ort, der temperaturabhängigen 

mechanischen Belastung am Ende des Stabes F (T ) , und dem lokalen E-Modul E ( T, 

x) 

abhän- 

gig ist. 

6.1.3 Ansatz II: Biegeschwingung eines Balkens 

(Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung bei harmonischer Erregung – eingeschwungener 

Zustand nach Berger, J. [5]) 

Zur Vereinfachung vernachlässigen wir die Kühlklemmemasse gegenüber der Balkenmasse und 

setzen die Exzentrizität e der Kraftachse zu 0. Biegeschwingungen des Balkens werden dann nur 

durch die Vertikalkraft Fˆ sin Ωt 

angeregt, so dass im Weiteren das mechanische Modell aus dem 

obigen Bild (Abbildung 6-1) betrachtet wird. 

Hierfür lauten die Randbedingungen: 

W ( 0, 

t) 

= 0 

M ( l, 

t) 

= 0 

und 

Kontinuum-Schwingungen 

W ′ ( 0, 

t) 

= 0 

) 

F( 

l, 

t) 

= F sin Ωt 

Bei schwingenden Stäben und Balken (Längs-, Biege- und Torsionsschwingungen) handelt es 

sich um eindimensionale Kontinuumschwinger. Ihre Bewegung wird durch eine lineare partielle 

Gleichung (eindimensionale Wellengleichung) charakterisiert, deren allgemeine Form lautet: 

2 

2 

∂ W ( x, 

t) 

1 ∂ W ( x, 

t) 

= 2 

2 2 

∂x 

c ∂t 

(6.30) 

Dabei ist W(x, t) die Auslenkung an der Stelle x zur Zeit t und c ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit 

der Welle. 




Biegeschwingung eines Balkens 

Für den mit der Streckenlast g(x) belasteten Balken lautet die Gleichung der statischen Biegelinie: 

y 

IV 

4 

d W ( x, 

t) 

g( 

x) 

= = 

(6.31) 

4 

dx E( 

x, 

T ) I 

b 

Die statische Belastung g( x) 

⋅ dx eines Balkenelements wird durch die dynamische Trägheitskraft 

dm ⋅ a ersetzt. Die Beschleunigung a = W& 

& ( x, 

t) 

als zweite zeitliche Ableitung der Durchbie- 

gung hat die gleiche Richtung wie W(x, t): 

2 

2 

∂ W ( x, 

t) 

∂ W ( x, 

t) 

g( 

x) 

⋅ dx = −dm 

⋅ a = −µ 

⋅ dx ⋅ ⇒ g( 

x) 

= −µ 

2 

2 

∂t 

∂t 

Die Schrägstellung des Balkenelements und die dadurch bedingte Drehträgheit soll vernachlässigt 

werden. Die Gleichung für die Transversal-Schwingungen eines Balkens lautet somit: 

4 

∂ W ( x, 

t) 

µ 

= − 

4 

∂x 

E( 

x, 

T ) I 

b 

2 

∂ W ( x, 

t) 

⋅ 2 

∂t 

4 

2 

∂ W ( x, 

t) 

IV 

∂ W ( x, 

t) 

Die Ableitungen sind: = X ( x) 

⋅T 

( t) 

und = X ( x) 

⋅T& 

& ( t) 

4 

2 

∂x 

∂x 

(6.32) 

2 

T& & ( t) 

+ ω ⋅T 

( t) 

= 0 

(6.33) 

X 

IV 

µ 2 

( x) 

− ω ⋅ X ( x) 

= 0 

E( 

x, 

T ) I 

Die Lösung der ersten Gleichung ergibt: 

T ( t) 

A⋅ 

cosωt 

+ B ⋅sinωt 

b 

(6.34) 

= (6.35) 

−1 

Zur Lösung der zweiten Gleichung verwenden wir die Abkürzung κ [ m ] aus der Beziehung 

2 

4 µϖ 

κ = ⇒ 

EI 

und man erhält die Gleichung: 

2 EI 

ω = κ 

(6.36) 

µ 




X IV 

Weiterhin gilt: 

4 

( x) 

−κ ⋅ X ( x) 

= 0 

X ( x) 

= C ⋅e 

λx 

; 

X 

IV 

4 

( x) 

= Cλ 

⋅e 

Dies ergibt eingesetzt in Gleichung (6.36): 

4 λx 

4 λx 

Cλ 

e −κ 

Ce = 0 ⇒ 

λx 

4 4 

λ = κ ⇒ 

λ = κ; 

λ = −κ; 

λ = jκ; 

λ = − jκ; 

1 

2 

3 

2 

λ = ± 

Die allgemeine Lösung ist gleich der Summe der Teillösungen: 

X x) 

= C cosκx 

+ C sinκx 

+ C coshκx 

+ C sinhκx 

(6.37) 

( 1 

2 

3 

4 

Mit den Randbedingungen entsprechend der Lagerung des Balkens erhält man so genannte Eigenwertgleichungen, 

aus denen unendlich viele Eigenwerte κ k und mit Gleichung (6.36) auch 

unendlich viele Eigenkreisfrequenzen ω k hervorgehen. 

Da die Ausgangsgleichung (6.31) linear ist, lassen sich alle Eigenschwingungen X k ( x) 

⋅ Tk 

( x) 

zu 

einer Gesamtlösung überlagern: 

W ( x, 

t) 

= ∑ 

k 1 

k k k k k 

∞ 

= 


4 

( A cosω 

t + B sinω 

t) 

⋅ X ( x) 

(6.38) 

Die Koeffizienten Ak und Bk müssen aus den Anfangsbedingungen, also von der Schwingungsan- 

regung bestimmt werden. 

2 

κ



6.1.4 Ansatz III: Biegeschwingung vom Stab 

(nach W.Beitz und K.-H. Küttner [1]) 

Die Differentialgleichung für freie Schwingungen bei konstantem Querschnitt lautet: 

2 

∂ W ( x, 

t) 

= −c 

2 

∂t 

2 

4 

∂ W ( x, 

t) 

, 4 

∂x 

Der Produktansatz von Bernoulli ist 

W ( x, 

t) 

= X ( x) 

⋅T 

( t) 

und liefert eingesetzt in Gleichung (6.37): 

Mit 

XT& 

& 2 IV 

= −c 

X T bzw. 

c 

2 

E( 

T ) ⋅ I 

= 

ρA 

T& 

& 

= −c 

T 

2 

X 

X 


IV 

b 

2 

= −ω 

2 

2 

d.h. T& & + ω T = 0 und X − X = 0 

2 

c 

IV ω 

. 

2 

2 

c ⋅ 

4 ω 

λ = 

lautet die Lösung: 

W 

l 

4 

⎡ λx 

λx 

λx 

λx 

⎤ 

x, 

t) 

= A sin( ω t + β ) 

⎢ 

C1 

cos( ) + C 2 sin( ) + C 3 cosh( ) + C sinh( ) 

⎣ l 

l 

l 

l ⎥ 

⎦ 

(6.40) 

( 4 

Für den Stab lauten die Randbedingungen X(0) = 0, X ′ ( 0) 

= 0 , X ′ ( l) 

= 0 , X ′′ ′ ( l) 

= 0 . 

(6.39) 

Damit folgt aus Gleichung (6.40) die Eigenwertgleichung cosh λ cosλ 

= −1 

mit den Eigenwerten 

λ 1, 

875 ; 694 , 4 λ ; 855 , 7 λ usw. . 

1 = 

1 = 

1 = 

Für Stäbe mit zusätzlichen Einzelmassen ist die Lösung der Gleichung (6.40) für jeden Abschnitt 

separat anzusetzen. Nach Erfüllung aller Übergangsbedingungen erhält man dann die Frequenzgleichung.



6.1.5 Bewertung der Lösungsansätze 

Die Ansätze II und III sind typische analytische Lösungsansätze für eine harmonische Schwingung. 

Sie liefern die exakte Lösung für die Schwingung des Stabes. Man muss die Anfangsbedingungen 

und die Schwingung für jeden Zeitschritt betrachten, um die Koeffizienten der Gleichung 

(6.40) zu ermitteln. Zunächst ist die Kenntnis über die Beschleunigung entlang des Stabes 

notwendig. Bei unserem Versuch ist das jedoch problematisch und aufwendig. Die Temperatur 

der Oberfläche des Stabes wird durch den Halogenstrahler auf über 800°C erhitzt. Bei dieser 

Temperatur fängt der Stab an zu glühen. Es ist dann unmöglich, die vertikale Beschleunigung 

aller Längsabschnitte des Stabes zu messen. Aus diesem Grund kann man hier die Bewegungsgleichungen 

nicht verwenden, um die Biegelinie entlang des Stabes in Abhängigkeit von der Zeit 

zu bestimmen. Außerdem ist das E-Modul entlang des Stabes nicht konstant. Aus diesen Gründen 

sind Ansatz II und III für die vorliegende Arbeit nicht verwendbar. 

Bei Ansatz I wird für jedes Element das E-Modul mit einer linearen Funktion in Abhängigkeit vom 

Ort verwendet. Lineare Funktionen sind bei Verwendung eines selbst programmierten Nährungsansatzes 

von Vorteil. Somit ist eine Lösung mit Ansatz I möglich. Für die Berechnungen der 

Dehnung entlang des Stabes wird in den folgenden Kapiteln aus diesen Gründen stets die oben 

vorgestellte Vorgehensweise I verwendet. 

6.2 Numerischer Lösungsansatz 

6.2.1 Theoretische Überlegungen 

Es werden FEM-Berechnungen (mittels Ansys 9.0) auf Basis von Modellrechnungen zur Bestimmung 

der Dehnungsverteilung entlang des Stabes durchgeführt. Es sollte mit ausführlichen 

Randbedingungen gearbeitet werden, um ein gutes Modell festlegen zu können. Basierend auf 

den Messdaten des E-Moduls (s. Kapitel 7) kann man bis zu hoher Temperatur (bis 850 °C) die 

Dehnung entlang des Stabes bestimmen. 

6.2.2 Lösungsweg 

Der Anwender von FEM-Programmen hat sich nicht im Einzelnen um die Auswahl der Ansatzfunktionen 

und die Lösung des Gleichungssystems zu kümmern. Es sind lediglich die Eingabedaten 

bereitzustellen, die zum Aufbau des Gleichungssystems benötigt werden (siehe Abbildung 

6-7). Nachdem zunächst das reale Berechnungsproblem idealisiert worden ist, indem z. B. ein 

lineares Materialverhalten und die Belastung festgestellt werden und die Struktur als eindimensi- 




onal betrachtet wird, muss das passende Element und die Anzahl der Elemente ausgewählt werden. 

Die Aufteilung in Elemente muss sich auch an den Diskontinuitäten, z. B. Materialwechsel 

(E-Modul) und an der Belastung (Einprägung von Einzelkräften) orientieren. Diesen Schritt nennt 

man Diskretisierung. An das Programm müssen dann Informationen über die gewählten Elementtypen, 

das Material, die Querschnittsgrößen, wie z. B. Trägheitsmomente, und Lagerbedingungen 

und Auslenkungen weitergegeben werden. Die weitaus umfangreichste Eingabe erfordert 

die Definition der Geometrie und die Aufteilung in die Elemente mit Anfangs- und Endknoten 

und deren Koordinaten. Mit diesen ist die Ansatzfunktion innerhalb der Elemente bestimmt. Aus 

Ableitungen können Spannungen, Dehnungen, Belastung und andere gewünschte Größen für 

jedes Element bestimmt werden. 

Abbildung 6-7: Eingabedaten für Ansys 

Damit sind die erforderlichen Eingaben und die Vorbereitung der Berechnung (preprocessing) 

erfolgt. Die Daten zu Elementtypen, Material und Querschnittsabmessungen gehen in die Matrix 

[ K ] ein. Mit den Randbedingungen und Lasten wird der Vektor { F } erstellt. Anschließend wird 

vom FEM-Programm das Gleichungssystem gelöst: 

⇒ [ K ] ⋅ 

{ u} 

= { F } 




Berücksichtigung der Randbedingungen, Auflösung Gleichungssystem: 

−1 

⇒ { u} = [ K ] ⋅{ 

F } 

(6.19) 

Aus den Verschiebungen und Verdrehungen werden Spannungen und weitere abgeleitete Ergebnisdaten 

berechnet. Alle Daten stehen dann zur Auswertung („postprocessing“) zur Verfügung. 

Anhand der Ergebnis-Zahlenwerte kann der Anwender die technische Fragestellung beantworten, 

die der Berechnung zugrunde lag. 




7 Ermittlung des E-Moduls 

7.1 Einführung 

Es wird eine Messung durchgeführt, welche die Temperaturverteilung entlang des Stabes bis 850 

Grad Celsius in Abhängigkeit von der Zeit bei Abkühlung ermittelt. Ein Vorversuch hat gezeigt, 

dass durch Rückwirkungen und Störungen der Thyristorsteuerung des Halogenstrahlers eine 

fehlerfreie Messung beim Aufheizen des Stabes nicht möglich ist. Aus diesem Grund wurde entschieden, 

die Abkühlkurve für die Messdatenauswertung zu verwenden, damit man einen 

gleichmäßigeren Temperaturgang des Stabes bekommen kann. Aus den gewonnenen Temperaturdaten 

wird die E-Modul-Verteilung entlang des Stabes bestimmt, um so die Basis für den analytischen 

und den numerischen Ansatz zu erstellen. Für die Ermittlung der Temperaturverteilung 

wird der Stab an sechzehn Stellen mit Thermoelementen bestückt, die sich im gesamten Bereich 

des Stabes befinden (vgl. Abbildung 7-1). 1 

Einspannung 

Kühlklemme 

T16 

T15 

T14 

T13 

T12 

T11 

T10 

T9 

T8 

T7 

T6 

T5 

T4 

T3 

T2 66 

T1 27 

522 

472 

432 

407 

393 

379 

365 

330 

280 

230 

180 

130 

95 

81 

880 

Halogenstrahler 


560 

Abbildung 7-1: Stab mit Thermoelementen 

1 Die Datenbasis zur Erstellung der Diagramme ist in Anhang 11.5 zu finden.



7.2 Schaltbild 

Im Folgenden wird das DasyLab Hauptschaltbild für die Ermittlung des E-Moduls dargestellt: 

Signale der sechzehn Thermoelemente: 

Jedes Thermoelement 

generiert eine Spannung in Abhängigkeit 

von der Temperatur 

Lineare Skalierung mit 

Geradengleichung 

f(x) = ax + b, mit: 

a: 200,000 

b: 26,000 

Abbildung 7-2: Hauptschaltbild für die Ermittlung des E-Moduls 

Speicherung der 

Daten als ASCII-File 

Temperatur Anzeige 

Temperaturregelung des 

Halogen-Strahlers 

Nachfolgend wird die DasyLab Black Box 1 für die Anzeige der Temperatur bei der Ermittlung 

des E-Moduls dargestellt: 

Linienschreiber: Graphische 

Anzeige über 

große Zeiträume 

Import: 

Eingang 0: T6 (Temperatur des sechsten Kanals) 

Eingang 1: Regel Soll (die regelnde Temperatur 

des sechsten Kanals) 

Linienschreiber: Temperaturwerte 

der sechzehn Thermoelemente mit 

graphischen Anzeigen über große 

Zeiträume 

Statische Werte mit Operation: 

Mittelwert 

blockweise, Daten sammeln 

von je 1 Block 

Farbbalken, dessen 

Höhe der Signalgröße 

entspricht 

Export: 

Ausgang 0: T6 

Ausgang 1: Regel Soll 

Abbildung 7-3: Black Box 1 für die Anzeige der Temperatur bei der Ermittlung des E-Moduls 

Das nachstehende Bild zeigt die DasyLab Black Box 2 für die Regelung der Temperatur des Halogen-Linienstrahlers: 




Import: 

Eingang: Temperatur 

der HT-DMS 

(der sechste Kanal des 

Hauptschaltbildes) 

d.h. T6 

Fünf Steuerungen: 

Prozess Start 

Prozess Stop 

Prozess Reset 

Prozess Pause 

Prozess Weiter 

Globale Einstellungen Sollwertgenerator: 

Skalierung: 

mit Eingabe von zwei Punkten: 

x1: 0,0000 y1: 0,0000 

x2: 10,0000 y2: 1000,0000 

Aktion 1: Globale 

Variable geändert, 

asynchron 

Aktion 2: Start der 

Messung mit 

Variable setzen, 

asynchron 

Aktion 3: Start der 

Messung mit der 

Aktion Layout 

aktivieren 

Zeittakt: Ausgabe Zeitangaben in Minuten 

Aktion Stop nach 

Low-Pegel 

Steuerung: 

fünf Eingänge sowie die Reaktion des Sollwertgenerators auf 

die Eingänge bzw. Ereignisse 

Programm: 

Definition des Kurvenverlaufes 

PID-Regelkreis mit jeweils einem 

Eingang für Sollwert und Istwert 

und je einen Ausgang durchführen. 

Eingang S: der Sollwert 

Eingang O: der Istwert (T6) 

Ausgang: Regel OUTPUT 

Parameter zur Formulierung des 

Reglers: P, I, D 

P-Anteil: 0,075; I-Anteil: 0,1000; 

D-Anteil: 0,1000 

Regelbregrenzung: 

min. Stellgröße: 0,0000 

max.Stellgröße: 10,0000 

Synchronisierung der Datenströme 

bzgl. Geschwindigkeit 

und Länge durch Interpolation 

zwecks Ausgabe in Liste. 

Eingang 0: der Sollwert 

Eingang 1: Temperatur der 

HT-DMS 

Statische Werte mit Operation: 

Mittelwert 

blockweise, Daten sammeln 

von je 1 Block 

Export: Sollwert (die 

regelnde Temperatur 

des sechsten Kanals) 

Ausgang: 

Regel OUTPUT 

Digitalanzeige: 

Eingang 0: Regel OUTPUT 

Eingang 1: Sollwert 

Eingang 2: Istwert 

Abbildung 7-4: Black Box 2 für die Regelung der Temperatur des Halogen-Linienstrahlers 




7.3 Versuchsergebnisse 

Im Rahmen der Durchführung des Versuchs wurden zunächst die folgenden Temperaturverläufe der sechzehn Thermoelemente ermittelt: 

Temperatur[°C] 

900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

0:00:00 

0:01:31 

0:03:02 

0:04:33 

0:06:04 

0:07:35 

0:09:06 

0:10:37 

Stab-Temperaturen [f(t)] Test-date: 12.05.2005 

0:12:08 

0:13:39 

0:15:10 

0:16:41 

0:18:12 

0:19:43 

0:21:14 

0:22:45 

0:24:16 

0:25:47 

0:27:18 

0:28:49 

0:30:20 

0:31:51 


Zeit 

T1 [°C] T2 [°C] T3 [°C] T4 [°C] T5 [°C] T6 [°C] T7 [°C] T8 [°C] 

T9 [°C] T10 [°C] T11 [°C] T12 [°C] T13 [°C] T14 [°C] T15 [°C] T16 [°C] 

0:33:22 

0:34:53 

0:36:24 

0:37:55 

0:39:26 

0:40:57 

Abbildung 7-5: Abkühlkurven mit 16 Thermoelementen 

0:42:28 

0:43:59 

0:45:30 

0:47:01 

0:48:32 

0:50:03 

0:51:34 

0:53:05 

0:54:36 

0:56:07



Die folgende Tabelle zeigt den Temperaturverlauf des HT-DMS (gemessen bei Thermoelement 

T8). Der Zeitpunkt, an dem ein Temperaturwert von 858 Grad Celsius erreicht wird, wird als Anfangszeitpunkt 

t0 definiert. Dieser Zeitpunkt stellt den Beginn aller Messungen dar. Der Versuch 

ist beendet, wenn die Raumtemperatur von 24 Grad Celsius im Zeitpunkt t19 erreicht wird. 

Zeit 

Referenz-Temperatur 

(x = 180 mm) 

(°C) 

t0 0:00:00 858 

t1 0:00:10 841 

t2 0:00:30 794 

t3 0:01:00 740 

t4 0:01:40 690 

t5 0:02:30 626 

t6 0:03:30 555 

t7 0:04:40 484 

t8 0:06:00 416 

t9 0:07:30 353 

t10 0:09:10 297 

t11 0:11:00 247 

t12 0:13:00 204 

t13 0:15:10 167 

t14 0:17:30 135 

t15 0:20:00 108 

t16 0:22:40 87 

t17 0:25:30 71 

t18 0:28:30 48 

t19 0:31:40 24 

Tabelle 1: Temperatur von HT-DMS, an der Stelle x = 180 mm 




Abbildung 7-6 zeigt die Temperaturverteilungen entlang des Stabes an den sechzehn Thermoelementen zu den 20 Zeitpunkten. 


900 

800 

700 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

Stab-Temperaturen [f(x)] Test-date: 12.05.2005 

0 

0 100 200 

HT-DMS (x = 180 mm) 

300 400 500 600 

Ort [mm] 

0:00:00 0:00:10 0:00:30 0:01:00 0:01:40 0:02:30 0:03:30 0:04:40 0:06:00 0:07:30 

0:09:10 0:11:00 0:13:00 0:15:10 0:17:30 0:20:00 0:22:40 0:25:30 0:28:30 0:31:40 

Abbildung 7-6: Temperaturverteilung entlang des Stabes an 16 Orten 




Mit Hilfe der Formel (2.7) aus Kapitel 2.6 wurden nun die E-Modulwerte auf Basis der gemessenen Temperaturwerte errechnet. Abbildung 7-7 zeigt die 

entsprechenden E-Modulverteilungen entlang des Stabes an den sechzehn Thermoelementen zu den 20 Zeitpunkten. 

E [GPa] 

240 

220 

200 

180 

160 

140 

120 

100 

E-Modul [f(x)] 

80 

0 100 200 

HT-DMS (x = 180 mm) 

300 400 500 600 

Ort [mm] 

0:00:00 0:00:10 0:00:30 0:01:00 0:01:40 0:02:30 0:03:30 0:04:40 0:06:00 0:07:30 

0:09:10 0:11:00 0:13:00 0:15:10 0:17:30 0:20:00 0:22:40 0:25:30 0:28:30 0:31:40 

Abbildung 7-7: E-Modulverteilung entlang des Stabes an 16 Orten 




8 Validierung der Lösungsansätze 

8.1 Ziel 

Das Ziel ist, die Dehnungen entlang des Stabes, die durch die gemessene Temperaturverteilung 

des Stabes mit Hilfe des analytischen Nährungsansatzes berechnet werden, mit den Ergebnissen 

der numerischen Rechnung zu vergleichen. Damit kann man überprüfen, ob der analytische 

Nährungsansatz mit der numerischen Rechnung (mit der Software Ansys 9.0) übereinstimmt, 

d.h. ob der analytische Ansatz bis 850 °C korrekt funktioniert. 

8.2 Analytische Lösung 

Durch die von den Thermoelementen gelieferten Temperaturen des Stabes wurde in Kapitel 7 

bereits die E-Modul-Verteilung entlang des Stabes bestimmt. Damit werden nun die Dehnungen 

entlang des Stabes in Abhängig von der Temperatur ermittelt (es gelten die Zeitpunkte t0 bis t19 

wie bereits in Tabelle 1 in Kapitel 7.3 definiert). Die Ergebnisse der Berechnung mit der FEM- 

Methode (siehe Kapitel 6) werden im folgenden Diagramm gezeigt. Zur Ermittlung der Lösung 

wurde die FEM-Berechnung mit Hilfe der Software Maple V 9.0 programmiert. Die folgenden Abschnitte 

zeigen die Ergebnisse der entsprechenden Berechnungen. 




8.2.1 Spannung des Biegestabes 

Spannung[N/mm^2] 

25,00 

20,00 

15,00 

10,00 

5,00 

Spannung entlang des Stabes 

0,00 

0 100 200 300 400 500 600 

Ort[mm] 

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 

t10 t11 t12 t13 t14 t15 t16 t17 t18 t19 

Abbildung 8-1: Spannung entlang des Stabes in Abhängigkeit von der Temperatur 

Das vorliegende Diagramm (Abbildung 8-1) zeigt, dass die Spannungen entlang des Stabes linear 

verlaufen. Am Einspannpunkt tritt dabei der größte Spannungswert auf und fällt dann linear bis 

zum Ende des Stabes ab. Des Weiteren ist zu sehen, dass die Spannung entlang des Stabes 

geringer wird, wenn der Stab durch den Halogen-Linienstrahler aufgeheizt wird. Ursache dafür 

ist, dass der Stab mit ansteigender Temperatur weicher wird und dadurch weniger mechanische 

Beanspruchung am Ende des Stabes benötigt wird, um eine bestimmte Auslenkung zu erreichen. 




8.2.2 Dehnungsverteilung 

Dehnung[µm/m] 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

Dehnung über den Ort 

0 

0 100 200 300 

Ort[mm] 

400 500 

t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 

t10 t11 t12 t13 t14 t15 t16 t17 t18 t19 

Abbildung 8-2: Dehnung über den Ort 1 

Abbildung 8-2 zeigt die Dehnungsverteilung entlang des Stabes in Abhängigkeit vom Ort des 

Stabes. Hier werden gleichzeitig die diskreten Ergebnisse in Abhängigkeit von der Zeit (Abkühlkurve) 

dargestellt. Mann kann deutlich erkennen, dass der HT-DMS, der eine Entfernung von 180 

mm vom Einspannungspunkt hat, bei t0 die höchste Dehnung erreicht, wenn der Biegestab bis 

858°C erhitzt wird. Gleichzeitig hat der Referenz-DMS, der eine Entfernung von 6 mm vom Einspannungspunkt 

hat, die niedrigste Dehnung bei t0. Bei Raumtemperatur (23°C) zum Zeitpunkt 

t19 zeigt der Referenz-DMS die höchste Dehnung, während der HT-DMS dann die niedrigste 

Dehnung erreicht. 

1 Die Datenbasis zur Erstellung des Diagramms ist in Anhang 11.5 zu finden. 





120 

100 

80 

60 

40 

20 

0 

Dehnungen über Temperatur 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Dehnung(x=6mm) Dehnung(x=27mm) Dehnung(x=66mm) Dehnung(x=81mm) Dehnung(x=95mm) 



Dehnung(x=472mm) Dehnung(x=522mm) 

Abbildung 8-3: Dehnungen über Temperatur 

Abbildung 8-3 zeigt, wie die Dehnungen an 20 Orten des Stabes in Abhängigkeit von der Temperatur 

verlaufen. Man kann sehr deutlich erkennen, dass die Dehnung des HT-DMS (180 mm vom 

Einspannungspunkt) im Verlauf der Zeit steigt, während die Dehnung des Referenz-DMS (6 mm 

vom Einspannungspunkt) sinkt. 




8.3 Simulation mit Ansys 9.0 

8.3.1 Biegung des Stabes 

Abbildung 8-4: Biegung bei Raumtemperatur (24°C) 

Abbildung 8-5: Biegung bei 858° 

Anmerkung zur Legende: 

Wert im Bereich von 1,778 bis 2 

Einheit: mm 


Wert in den Bereich von 1,778 bis 2 

Einheit: mm 

Die Simulation mit der Software Ansys 9.0 zeigt, dass sich die Verschiebung entlang des Stabes 

(Biegelinien) nicht mit steigender Temperatur ändert, sondern nahe zu konstant bleibt (vgl. 

Abbildung 8-4 und Abbildung 8-5). 




8.3.2 Spannung des Biegestabes 


Wert in den Bereich von 18,234 bis 20,462 

Einheit: 10 -2 N/(mm^2) 

Abbildung 8-6: Spannung entlang des Stabes bei 24 °C 



Einheit: 10 -2 N/(mm^2) 

Abbildung 8-7: Spannung entlang des Stabes bei 858 °C 

Die vorliegenden Bilder (Abbildung 8-6 und Abbildung 8-7) zeigen, dass am Einspannpunkt der 

größte Spannungswert des Stabes auftritt. Zum Ende des Stabes hin fällt die Spannung linear ab 

(vergleiche Abbildung 8-1)Außerdem sind die Spannungswerte bei 858 Grad Celsius geringer als 

bei 24 Grad Celsius. 




8.3.3 Dehnungsverteilung entlang des Stabes über die Zeit 

In den folgenden Abbildungen werden die Dehnungen auf der Oberfläche des Biegestabes bei 

maximaler Auslenkung betrachtet. Abbildung 8-8 stellt die Dehnungsverteilung bei 858 Grad Celsius 

zur Verdeutlichung vergrößert dar. 1 

Hinweis: 

Abbildung 8-8: Dehnungsverteilung entlang des Stabes bei 858°C 

Die Skalen bei den einzelnen Bildern sind unterschiedlich und gleiche Farbe bedeutet nicht gleiche 

Dehnung! 

bei 858°C bei 841°C bei 794°C 

1 Die Datenbasis zur Erstellung der Diagramme ist in Anhang 11.5 zu finden. 



Einheit: µm/m 













Abbildung 8-9: Dehnungsverteilungen entlang des Stabes bei verschiedenen Temperaturen des 

HT-DMS 




8.4 Vergleich zwischen analytischer und numerischer Lösung 


160 

140 

120 

100 

80 

60 

40 

20 

Vergleich zwischen Ansys und Berechnung 

0 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Ansys_Ref-DMS Berechnung_Ref-DMS Ansys_HT-DMS Berechnung_HT-DMS 

Abbildung 8-10: Vergleich zwischen Ansys (numerische Rechnung) und analytischer Berechnung 

Abbildung 8-10 zeigt die absoluten Dehnungswerte in Abhängigkeit von der Temperatur des HT- 

DMS für den Referenz-DMS und den HT-DMS. Dabei ist jeweils das Ergebnis der analytischen 

Berechnung (vgl. 8.2) und das FEM-Ergebnis mittels Ansys 9.0 (numerische Rechnung, vgl. 8.3) 

dargestellt. Es gibt eine gute Übereinstimmung zwischen analytischer und numerischer Rechnung. 




Normierte Dehnung 

1,50 

1,40 

1,30 

1,20 

1,10 

1,00 

0,90 

0,80 

0,70 

Vergleich zwischen Ansys und Berechnung 

0,60 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Ansys_Ref-DMS Ansys_HT-DMS Berechnung_Ref-DMS Berechnung_HT-DMS 

Abbildung 8-11: Vergleich zwischen Ansys und Berechnung nach Normierung 

Für einen detaillierteren Vergleich werden die absoluten Dehnungswerte auf Raumtemperatur 

normiert (24 °C entspricht 100%). 

Es gelten die folgenden Funktionen: 

ε 

ε 

norm. 

Re f −DMS 

norm. 

HT −DMS 

ε 

= 

ε 

ε 

= 

ε 

Re f −DMS 

Re f −DMS 

HT −DMS 

HT −DMS 

( T ) 

( 24° 

C) 

( T ) 

( 24° 

C) 

Abbildung 8-11 zeigt die normierten Dehnungswerte in Abhängigkeit von der Temperatur des HT- 

DMS für den Referenz-DMS und den HT-DMS. Dabei sind jeweils das Ergebnis der analytischen 

Berechnung (vgl. 8.2) und das FEM-Ergebnis mittels Ansys 9.0 (vgl. 8.3) dargestellt. Es gibt eine 

gute Übereinstimmung zwischen numerischer Berechnung und Simulation. 

Aufgrund der guten Übereinstimmung der beiden Verfahren kann der numerische Nährungsansatz 

als validiert angesehen werden. Somit kann im folgenden Kapitel bei der Untersuchung der 

verschiedenen HT-DMS der numerische Nährungsansatz verwendet werden. 




9 Messung der Empfindlichkeitsänderung verschiedener HT-DMS 

9.1 Einführung 

Das Ziel ist, die thermisch bedingte Empfindlichkeitsänderung einiger HT-DMS Typen von verschiedenen 

Herstellern zu ermitteln, sowie die Empfindlichkeitsdrift durch Alterung der HT-DMS 

zu untersuchen. Dazu werden die zuvor durch Berechnung gewonnen Ergebnisse mit denen der 

experimentellen Messdaten verglichen. Aus der Abweichung der gemessenen und der berechneten 

Werte ergibt sich die gesuchte k-Faktor-Änderung. Wie bereits in Kapitel 7 ausgeführt, ist die 

Verwendung der Abkühlkurve zur Messung der Dehnungswerte von Vorteil. 

Mit Hilfe eines in der Literatur vorgeschlagenen Ansatzes für einen einseitig eingespannten Stab 

wurde ein Eigenfrequenzbereich des Biegestabes von ca. 30 Hz bis 23 Hz berechnet, wenn der 

Stab von Raumtemperatur (24°C) bis ca. 850 °C erhitzt wird (Bohl, W.; 1991 [14]). Die Erregerfrequenz 

sollte möglichst weit vom Eigenfrequenzbereich des Stabes entfernt liegen, um Resonanz 

zu vermeiden. Des Weiteren zeigt der Siemens Eigenbau-Verstärker einen Frequenzgang, 

bei dem unterhalb von ca. 15 Hz die Amplitude des Messsignals abfällt (s. Abbildung 9-1). Bei 15 

Hz beträgt die Dämpfung des Signals ca. 3%. Es ist schließlich zu beachten, dass bei einer Frequenz 

oberhalb 30 Hz durch die Erregungseinrichtung keine ausreichenden Schwingungsamplituden 

mehr erreichbar sind. Dies wurde im Rahmen der Versuche festgestellt. Aus diesen Gründen 

scheint eine Zwangserregung von 15 Hz als optimal. 

Versärkung 

1000 

990 

980 

970 

960 

950 

940 

930 

920 

910 

900 

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 

Frequenz [Hz] 

Abbildung 9-1: Frequenzgang des Siemens Eigenbauverstärkers 




9.2 Schaltbild 

Im Folgenden wird das DasyLab Schaltbild für die Untersuchung der k-Faktor-Änderung dargestellt: 

Abbildung 9-2: Schaltbild DasyLab für die Untersuchung der k-Faktor-Änderung 




9.3 DMS-Typen 

Es wurden die folgenden DMS Typen zur Messung herangezogen: 

[Daten entfernt] 

Tabelle 2: Verwendete DMS Typen 

Details zu den einzelnen DMS-Typen können im Anhang 11.6 gefunden werden. 




9.4 Auswertung (k-Faktor-Änderung) 

In den folgenden Abschnitten werden die experimentellen Ergebnisse mit denen der analytischen 

Nährungslösung in jeweils einem Diagramm dargestellt. Darüber hinaus wird eine Ausgleichskurve 

für alle normierten Dehnungsmessmesswerte der jeweiligen DMS-Typen gezeigt. Die Differenzen 

zwischen der Ausgleichskurve und der Kurve aus der Berechnung bildet die gesuchte k- 

Faktor-Änderung. Die k-Faktor-Änderung wird dann jeweils in Prozentangaben dargestellt. 1 

9.4.1 k-Faktor-Änderung (Typ A) 

Beim Typ A wurden insgesamt drei verschiedene Messstreifen untersucht. Es wurden dabei 

mehrere Messungen pro DMS vorgenommen, die zu jeweils deckungsgleichen Ergebnissen geführt 

haben. Aus diesem Grund wurde ein beliebiges Messergebnis pro Messstreifen zur Darstellung 

in folgendem Diagramm verwendet. 


1,60 

1,40 

1,20 

1,00 

0,80 

0,60 

0,40 

0,20 

0,00 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 

Temperatur [°C] 

Abbildung 9-3: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ A) 

1 Die Datenbasis zur Erstellung der Diagramme ist in Anhang 11.7 zu finden. 




Prozent 

120% 

110% 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

50% 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Abbildung 9-4: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ A) 




9.4.2 k-Faktor-Änderung (Typ B) 


1,60 

1,40 

1,20 

1,00 

0,80 

0,60 

0,40 

0,20 

0,00 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 

Prozent 

120% 

110% 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 


Messung 1 Messung 2 Messung 3 Berechnung Messung_Ausgleich 

Abbildung 9-5: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ B) 

50% 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Abbildung 9-6: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ B) 




9.4.3 k-Faktor-Änderung (Typ C) 


1,60 

1,40 

1,20 

1,00 

0,80 

0,60 

0,40 

0,20 

0,00 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 

120% 

110% 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 



Abbildung 9-7: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ C) 

50% 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Abbildung 9-8: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ C) 




9.4.4 k-Faktor-Änderung (Typ D) 

Prozent 


1,60 

1,40 

1,20 

1,00 

0,80 

0,60 

0,40 

0,20 

0,00 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


120% 

110% 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

Messung 1 Messung 2 Messung 3 Messung 4 

Messung 5 Berechnung Messung_Ausgleich 

Abbildung 9-9: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ D) 

50% 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Abbildung 9-10: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ D) 




9.4.5 k-Faktor-Änderung (Typ E) 

normierte Dehnung 

Prozent 

1,60 

1,40 

1,20 

1,00 

0,80 

0,60 

0,40 

0,20 

0,00 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


120% 

110% 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 


Abbildung 9-11: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ E) 

50% 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Abbildung 9-12: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ E) 




9.4.6 k-Faktor-Änderung (Typ F) 

Prozent 


120% 

110% 

100% 

1,60 

1,40 

1,20 

1,00 

0,80 

0,60 

0,40 

0,20 

0,00 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 

90% 

80% 

70% 

60% 



Abbildung 9-13: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ F) 

50% 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Abbildung 9-14: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ F) 




9.4.7 k-Faktor-Änderung (Typ G) 


Prozent 

2,00 

1,80 

1,60 

1,40 

1,20 

1,00 

0,80 

0,60 

0,40 

0,20 

0,00 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


140% 

130% 

120% 

110% 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

Messung 1 Messung 2 Berechnung Messung_Ausgleich 

Abbildung 9-15: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ G) 

50% 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Abbildung 9-16: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ G) 




Schlussfolgerung: 

Prozent 

150% 

140% 

130% 

120% 

110% 

100% 

90% 

80% 

70% 

60% 

k-Faktor-Änderungen für verschiedene DMS-Typen 

50% 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Typ A Typ B Typ C Typ D Typ E Typ F Typ G 

Abbildung 9-17: k-Faktor-Änderungen für verschiedene DMS-Typen 

Aus Abbildung 9-17 ergibt sich, dass die k-Faktor-Änderungen für verschiedene DMS Typen 

stark voneinander abweichen. Es ist zu sehen, dass der k-Faktor mit steigender Temperatur für 

einige DMS-Typen ansteigt, während er für andere Typen absinkt. Außerdem bleibt der k-Faktor- 

Verlauf des Typ A DMS bis zu einer Temperatur von ca. 550°C konstant und sinkt dann erst ab. 

Der Typ B DMS besitzt dasselbe Messgitter wie Typ C, jedoch ist die Art der Applikation verschieden. 

Der Typ C wird direkt durch das Flammspritzverfahren auf dem Stab befestigt. Der Typ 

B wird jedoch zuerst durch Flammspritzen auf einem Blech angebracht und dann durch Punktschweißen 

auf dem Stab befestigt. Die k-Faktor-Änderung des Typs C hat im Bezug auf den Typ 

C einen nahezu deckungsgleichen Verlauf bis etwa 550°C. Ab ca. 550°C steigt der Kurvenverlauf 

beim Typ B, während beim Typ B der Verlauf absinkt. 




Des Weiteren ist zu sehen, dass der Typ B bei einem höheren Temperaturbereich einen ähnlichen 

Verlauf wie der Typ A DMS hat. Dabei ist zu beachten, dass beide DMS durch Punktschweißen 

auf dem Stab befestigt werden. 

Eine sehr gute Übereinstimmung der k-Faktor-Änderung zeigt sich für den Typ D und den Typ F. 

Beide DMS werden mit dem gleichen Verfahren und von derselben Firma auf dem Stab appliziert. 

Der Gitterwerkstoff ist identisch, lediglich die Geometrie des Messgitters ist verschieden. 

Bei den beiden untersuchten Typ G DMS ist der Kurvenverlauf stark von einander abweichend. 

Da jedoch bei dem von der Firma XX applizierten DMS nach kurzer Zeit Defekte auftraten (vgl. 

Anhang Seite 132), ist davon auszugehen, dass die Installation fehlerhaft ist und die Messergebnisse 

unbrauchbar sind. 

Die möglichen Ursachen für die unterschiedlichen Kurvenverläufe der verschiedenen DMS- 

Typen sind eine Vielzahl an Faktoren, die die k-Faktor-Änderung bestimmen, wie z.B. der Werkstoff 

des Messgitters und somit dessen Widerstand und der Isolationswiderstand. Die zuvor beschriebenen 

Beobachtungen lassen den Schluss zu, dass die Art der Applikation des DMS ein 

entscheidender Faktor für die k-Faktor-Änderung ist. Alle genannten Faktoren können schließlich 

auch noch in Wechselwirkung treten. 

Die Versuchsergebnisse sind nicht deckungsgleich mit den Herstellerangaben. Es ist allerdings 

nicht bekannt, mit Hilfe welcher Verfahren die Hersteller die k-Faktor-Änderungen ermittelt haben, 

so dass eine Aussage zu deren Richtigkeit nicht getroffen werden kann. 




9.5 Auswertung (Alterung) 

Um eine mögliche Veränderung der Empfindlichkeit aufgrund von Alterungserscheinungen beurteilen 

zu können, wurden Langzeitversuche über mehrere Tage durchgeführt. In den folgenden 

Abschnitten werden die Veränderungen der absoluten Dehnungssignale zweier DMS-Typen in 

Abhängigkeit der Schwingungszyklen dargestellt. 

Zum Verständnis des zeitlichen Verlaufs der Langzeitmessung sind in der nachstehenden Tabelle 

die Zyklenanzahl und die entsprechende Messzeit aufgeführt: 

Übersicht Zyklen-Zahl / Messzeit für 15Hz-Schwingung 

Zyklen Stunden Tage Zyklen Stunden Tage 

100.000 1,9 0,1 1.700.000 31,5 1,3 

200.000 3,7 0,2 1.800.000 33,3 1,4 

300.000 5,6 0,2 1.900.000 35,2 1,5 

400.000 7,4 0,3 2.000.000 37,0 1,5 

500.000 9,3 0,4 2.100.000 38,9 1,6 

600.000 11,1 0,5 2.200.000 40,7 1,7 

700.000 13,0 0,5 2.300.000 42,6 1,8 

800.000 14,8 0,6 2.400.000 44,4 1,9 

900.000 16,7 0,7 2.500.000 46,3 1,9 

1.000.000 18,5 0,8 2.600.000 48,1 2,0 

1.100.000 20,4 0,8 2.700.000 50,0 2,1 

1.200.000 22,2 0,9 2.800.000 51,9 2,2 

1.300.000 24,1 1,0 2.900.000 53,7 2,2 

1.400.000 25,9 1,1 3.000.000 55,6 2,3 

1.500.000 27,8 1,2 3.100.000 57,4 2,4 

1.600.000 29,6 1,2 3.200.000 59,3 2,5 

Tabelle 3: Übersicht Zyklen-Zahl / Messzeit für 15 Hz-Schwingung 

Während der gesamten Messzeit war der Test-Stab ununterbrochen in Schwingung versetzt. Die 

Aufheizfahrten (9 Fahrten je 24 Stunden) fanden während der Tagesstunden statt. 




9.5.1 Alterung (Typ A) 

Dehnung [µm/m] 

120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Zyklen=50000 Zyklen=100000 Zyklen=150000 Zyklen=200000 


Abbildung 9-18: Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ A), Tag 1 bis Tag 3 

Während der ersten vier Heizfahrten sind deutliche Veränderungen der Messkurve zu erkennen. 

Zum einen verringert sich das Dehnungssignal im oberen Temperaturbereich, zum anderen ist 

ein signifikanter „Sprung“ im unteren Temperaturbereich zu erkennen. 

Ab der fünften Heizfahrt stellt sich in den folgenden 24 Stunden ein relativ gleich bleibender Kurvenverlauf 

ein. Ab dem dritten Messtag ist wiederum ein Trend zu schwächeren Dehnungssignalen 

zu erkennen. 




Die zwei folgenden Abbildungen zeigen die Messergebnisse nach Tag 2 bzw Tag 3. 



120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ A), Tag 2 

40 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 

Zyklen=1540000 









120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

Abbildung 9-19: Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ A), Tag 2 

Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ A), Tag 3 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 




Abbildung 9-20: Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ A), Tag 3 




Schlussfolgerung: 

Der Typ A zeigt bei den ersten thermischen Belastungen deutliche „Setzerscheinungen“, um danach 

weitgehend konstant zu arbeiten. Die zuvor beschriebenen Drifterscheinungen nach längerer 

Messzeit können nicht eindeutig dem DMS zugeschrieben werden, da der Probestab ebenfalls 

thermischen Alterungseffekten unterliegt. Der Werkstoff X22CrMoV12-1 wird zudem über die 

spezifizierte Einsatztemperatur von etwa 650°C hinaus belastet. 

9.5.2 Alterung (Typ D) 

Für die Bestimmung der Empfindlichkeitsänderung des Typs D aufgrund der Alterung wurde ein 

Experiment über zwei Tage angesetzt. Dabei wurden drei Messungen nach einer bestimmten 

Anzahl von Zyklen über die drei Tage durchgeführt. Es ist kein signifikanter Alterungseffekt zu 

erkennen. 

Tag 1 bis Tag 2 


120 

110 

100 

90 

80 

70 

60 

50 

40 

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 


Zyklen=50000 Zyklen=360000 Zyklen=2000000 

Abbildung 9-21: Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ D), 

Tag 1 bis Tag 2 




10 Zusammenfassung 

Dehnungsmessstreifen (DMS) spielen eine entscheidende Rolle bei der Messung des Dehnungsverhaltens 

verschiedenster Bauteile. Das Dehnungsverhalten gibt Aufschluss über Beanspruchung 

und Verschleiß dieser Bauteile. Das Ziel der vorliegenden Arbeit war es, die temperaturabhängige 

Empfindlichkeitsänderung von DMS, also die so genannte k-Faktor-Änderung, zu 

untersuchen. 

Zum tieferen Verständnis des Problems wurde zunächst der theoretische Hintergrund erläutert. 

Dabei wurden die üblichen Arten von DMS und deren Funktionsweise vorgestellt. Sowohl der k- 

Faktor als auch das E-Modul sind von zentraler Bedeutung und wurden daher eingehend erläutert. 

Schließlich wurden die wichtigsten Messprinzipien kurz dargestellt. 

Die Entwicklung eines Vorgehensmodells war unabdingbar für die Entwicklung einer systematischen 

Lösungsfindung. Dabei wurde insbesondere auf das Vorhandensein alternativer Lösungsansätze 

hingewiesen. 

Zur Anwendung der Lösungsansätze war die so genannte Finite Elemente Methode (FEM) von 

wichtiger Bedeutung. Aus diesem Grund wurde diese Methode detailliert erklärt. 

Für die Durchführung der Versuche war ein spezieller Versuchsaufbau notwendig. Das Design 

des Versuchsaufbaus wurde erläutert. Darüber hinaus wurden auch die relevanten Bestandteile 

des Versuchsaufbaus als auch dessen Funktionsweise präsentiert. 

Es wurden verschiedene Lösungsansätze identifiziert. Zu den analytischen Ansätzen zählen ein 

Nährungsansatz, der auf FEM basiert (Ansatz I), sowie zwei exakt analytische Ansätze (Ansätze 

II und III). Die Ansätze II und III schieden aufgrund ihrer Nebenbedingungen, die in vorliegender 

Situation nicht befriedigt werden konnten, aus. Lösungsansatz I stellte sich als geeigneter Lösungsansatz 

heraus, wohingegen sich der numerische Lösungsansatz, der auf einer Simulation 

mit Hilfe des Softwareprogramms Ansys 9.0 beruhte, als geeigneter Validierungsansatz erwies. 

Die Ermittlung des E-Moduls führte zur Erstellung der Datenbasis der Lösungsansätze. Aus diesem 

Grund wurde die Ermittlung des E-Moduls durchgeführt. 

Der analytische Nährungsansatz und die numerische Rechnung wurden nun zur Anwendung 

gebracht. Daraufhin konnte der analytische Nährungsansatz mit Hilfe der numerischen Rechnung 

validiert werden. Die Validierung erwies sich als erfolgreich, und der analytische Nährungsansatz 

war nun bereit um zur Berechnung der k-Faktor-Änderungen eingesetzt zu werden. 




Zahlreiche Versuche wurden nun mit DMS verschiedener Hersteller erfolgreich durchgeführt, um 

so die k-Faktor-Änderungen zu erhalten. Die k-Faktor-Änderungen erhielt man als Differenz der 

normierten Dehnungen, die aus den Messungen berechnet wurden, und der normierten Dehnungen, 

die mit Hilfe des analytischen Nährungsansatzes ermittelt wurden. Die Versuche ergaben, 

dass die k-Faktor-Änderungen für verschiedene DMS Typen stark voneinander abwichen. Es 

wurde beobachtet, dass der k-Faktor mit steigender Temperatur für einige DMS-Typen anstieg, 

während er für andere Typen absank. So betrug die k-Faktor-Änderung des Typ D ca. -40% bei 

850°C. Die k-Faktor-Änderung des Typs A und Typs B hatten dagegen einen Wert von ca. -20% 

bei 850°C. 

Als die möglichen Ursachen für die unterschiedlichen Kurvenverläufe der verschiedenen DMS- 

Typen wurde auf die Vielzahl an Faktoren hingewiesen, die die k-Faktor-Änderung bestimmen, 

wie z.B. der Werkstoff des Messgitters. Die Art der Applikation des DMS wurde ebenfalls als ein 

entscheidender Faktor für die k-Faktor-Änderung erkannt. Alle genannten Faktoren konnten 

schließlich auch noch in Wechselwirkung treten. 

Die Versuchsergebnisse waren nicht deckungsgleich mit den Herstellerangaben. Es war allerdings 

nicht bekannt, mit Hilfe welcher Verfahren die Hersteller die k-Faktor-Änderungen ermittelt 

hatten, so dass eine Aussage zu deren Richtigkeit nicht getroffen werden konnte. 

Schließlich wurde auch die durch Alterung bedingte k-Faktor-Änderung von DMS untersucht. Es 

wurde dabei festgestellt, dass eine Änderung des Dehnungsverhaltens nicht eindeutig auf die 

Alterung der DMS zurückzuführen war. 

Es kann zusammenfassend festgehalten werden, dass die an die Arbeit gestellten Ziele erreicht 

wurden: 

(1) Ermittlung der E-Modulverteilung durch geeignete Messmethodik 

(2) Herleitung eines rechnerischen Verfahrens zur Ermittlung der Dehnungsverteilung des 

Biegestabes 

(3) Simulation mit Ansys zur Validierung des rechnerischen Verfahrens 

(4) Durchführung umfangreicher Versuche mit verschiedenen DMS Typen 

(5) Ermittlung eines Korrekturfaktors durch Vergleich der rechnerischen und der experimentellen 

Lösung 




11 Anhang 

11.1 Abbildungsverzeichnis 

Abbildung 2-1: Elektrische Größen und Schwankungsgrößen .......................................................7 

Abbildung 2-2: Dynamische Belastung einer mechanischen Struktur ............................................7 

Abbildung 2-3: Verformung eines elektrischen Leiters ...................................................................8 

Abbildung 2-4: Foliendehnungsmessstreifen..................................................................................9 

Abbildung 2-5: Folien DMS Aufbau.................................................................................................9 

Abbildung 2-6: Aufbau von Röhrchen-DMS für Hochtemperatur-Anwendungen..........................10 

Abbildung 2-7: Aufbau von Freigitter-DMS ...................................................................................11 

Abbildung 2-8: Spannungs-Dehnungs-Diagramm ........................................................................13 

Abbildung 2-9: Beispiele für Anstiege der Hookeschen Geraden verschiedener metallischer 

Werkstoffe mit unterschiedlichen Elastizitätsmodulen...........................................................14 

Abbildung 2-10: Dynamisches E-Modul X22CrMoV12-1 ..............................................................15 

Abbildung 2-11: Wheastonesche Brückenschaltung in unterschiedlicher Darstellungsweise ......16 

Abbildung 2-12: Viertelbrücke in Dreileiterschaltung ....................................................................17 

Abbildung 2-13: Widerstandsänderung bei Stauchung einer Viertelbrücke..................................18 

Abbildung 2-14: Widerstandsänderung bei Dehnung einer Viertelbrücke ....................................18 

Abbildung 2-15: Elektrische Schaltung des Versuchs ..................................................................19 

Abbildung 3-1: Schema des Vorgehensmodells ...........................................................................22 

Abbildung 4-1: Freiheitsgrade eines ebenen Balkenelementes mit der Biegesteifigkeit EI b ........25 

Abbildung 4-2: Deformationen an den Knoten eines ebenen Balkenelementes...........................26 

Abbildung 5-1: Onlineüberwachung und Steuerung .....................................................................28 

Abbildung 5-2: Aufbau des Versuchsstands .................................................................................28 

Abbildung 5-3: Detaillsicht des Versuchsaufbaus.........................................................................29 

Abbildung 5-4: Vergrößerte Ansicht im Bereich der Kühlklemme und am Ende des Stabes........30 

Abbildung 5-5: Halogen-Linienstrahler..........................................................................................31 

Abbildung 5-6: Kühlklemme ..........................................................................................................31 

Abbildung 5-7: Verstärker für Schwingungserzeuger und Steuerungsmonitor .............................32 

Abbildung 5-8: Laservibrometer und Steuerungsmonitor .............................................................32 

Abbildung 5-9: Siemens Eigenbau-Verstärker..............................................................................33 

Abbildung 6-1: Biegestab mit Dehnungsmessstreifen ..................................................................35 

Abbildung 6-2: Biegestab..............................................................................................................35 

Abbildung 6-3: Bestandteile der Belastung auf einem Element....................................................37 

Abbildung 6-4: Bestandteile der Belastung und Verschiebungsgröße auf einem Element...........39 




Abbildung 6-5: Linearfunktion des E-Moduls eines Elements.......................................................41 

Abbildung 6-6: Elemente mit Verschiebungsgrößen.....................................................................41 

Abbildung 6-7: Eingabedaten für Ansys........................................................................................49 

Abbildung 7-1: Stab mit Thermoelementen ..................................................................................51 

Abbildung 7-2: Hauptschaltbild für die Ermittlung des E-Moduls ..................................................52 

Abbildung 7-3: Black Box 1 für die Anzeige der Temperatur bei der Ermittlung des E-Moduls ....52 

Abbildung 7-4: Black Box 2 für die Regelung der Temperatur des Halogen-Linienstrahlers ........53 

Abbildung 7-5: Abkühlkurven mit 16 Thermoelementen ...............................................................54 

Abbildung 7-6: Temperaturverteilung entlang des Stabes an 16 Orten........................................56 

Abbildung 7-7: E-Modulverteilung entlang des Stabes an 16 Orten .............................................57 

Abbildung 8-1: Spannung entlang des Stabes in Abhängigkeit von der Temperatur ...................59 

Abbildung 8-2: Dehnung über den Ort ..........................................................................................60 

Abbildung 8-3: Dehnungen über Temperatur ...............................................................................61 

Abbildung 8-4: Biegung bei Raumtemperatur (24°C) ...................................................................62 

Abbildung 8-5: Biegung bei 858° ..................................................................................................62 

Abbildung 8-6: Spannung entlang des Stabes bei 24 °C..............................................................63 

Abbildung 8-7: Spannung entlang des Stabes bei 858 °C............................................................63 

Abbildung 8-8: Dehnungsverteilung entlang des Stabes bei 858°C .............................................64 

Abbildung 8-9: Dehnungsverteilungen entlang des Stabes bei verschiedenen Temperaturen des 

HT-DMS.................................................................................................................................66 

Abbildung 8-10: Vergleich zwischen Ansys (numerische Rechnung) und analytischer Berechnung 

...............................................................................................................................................67 

Abbildung 8-11: Vergleich zwischen Ansys und Berechnung nach Normierung ..........................68 

Abbildung 9-1: Frequenzgang des Siemens Eigenbauverstärkers...............................................69 

Abbildung 9-2: Schaltbild DasyLab für die Untersuchung der k-Faktor-Änderung........................70 

Abbildung 9-3: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ A)......................................................72 

Abbildung 9-4: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ A) .......................................................73 

Abbildung 9-5: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ B)......................................................74 

Abbildung 9-6: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ B) .......................................................74 

Abbildung 9-7: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ C)......................................................75 

Abbildung 9-8: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ C) .......................................................75 

Abbildung 9-9: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ D)......................................................76 

Abbildung 9-10: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ D) .....................................................76 

Abbildung 9-11: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ E)....................................................77 

Abbildung 9-12: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ E) .....................................................77 




Abbildung 9-13: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ F) ....................................................78 

Abbildung 9-14: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ F)......................................................78 

Abbildung 9-15: Normierte Dehnung über Temperatur (Typ G) ...................................................79 

Abbildung 9-16: k-Faktor-Änderung über Temperatur (Typ G).....................................................79 

Abbildung 9-17: k-Faktor-Änderungen für verschiedene DMS-Typen ..........................................80 

Abbildung 9-18: Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ A), Tag 1 bis Tag 3......................83 

Abbildung 9-19: Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ A), Tag 2 .....................................84 

Abbildung 9-20: Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ A), Tag 3 .....................................84 

Abbildung 9-21: Dehnung über Temperatur bei Alterung (Typ D), Tag 1 bis Tag 2 ....................85 




11.2 Tabellenverzeichnis 

Tabelle 1: Temperatur von HT-DMS, an der Stelle x = 180 mm...................................................55 

Tabelle 2: Verwendete DMS Typen ..............................................................................................71 

Tabelle 3: Übersicht Zyklen-Zahl / Messzeit für 15 Hz-Schwingung.............................................82 




11.3 Abkürzungsverzeichnis 

Abkürzung Bedeutung 

DMS Dehnungsmessstreifen 

HT-DMS Hochtemperatur-Dehnungsmessstreifen 

Ref-DMS Referenz-Dehnungsmessstreifen 

Flame-Spray-DMS Freigitter-DMS mit dem Flammspritzverfahren 

appliziert 

E-Modul Elastizität: Proportionalitätsfaktor zwischen 

Spannung und Dehnung 

k-Faktor Empfindlichkeit 

Shaker Schwingungserreger 550 

FEM Finite-Element-Methode 

Ref-Temperatur Referenz-Temperatur vom HT-DMS 




11.4 Literaturverzeichnis 

Grundlagen und Allgemeines 

[1] W.Beitz und K.-H.Küttner, Dubbel (Taschenbuch für den Maschinenbau), Springer-Verlag, 

2001 

[2] Friesenkothen, H. K-Faktorbestimmung von dynamischen Hochtemperaturdehnungsmessstreifen, 

Diplomarbeit, Berufsakademie Mannheim, 2004 

[3] Joachim Berger; Technische Mechanik für Ingenieure Band 1: Statik, Braunschweig/Wiesbaden 

, 1998 

[4] Joachim Berger; Technische Mechanik für Ingenieure Band 2: Festigkeitslehre, Braunschweig/Wiesbaden, 

1998 

[5] Joachim Berger; Technische Mechanik für Ingenieure Band 3: Dynamik, Braunschweig/Wiesbaden 

, 1998 

[6] Dipl.-Ing. Michael Merz, Experimentelle Untersuchung der Temperatur- und Dehnungsfelder 

beim thermischen Fügen von elastisch-plastisch ausgelegten Pressverbänden , VDI 

Verlag GmbH, Düsseldorf, 1994 

[7] Stefan Keil, Beanspruchungsermittlung mit Dehnungsmessstreifen, Zwingenberg a.d. 

Bergstraße, 1995 

[8] Professur für Mess- und Sensortechnik 

Praktikum Elektrische Messtechnik Dehnungsmessstreifen (DMS1) 

Technische Universität Chemnitz 

http://www.tu-chemnitz.de/etit/messtech/praktikum/dms1.pdf # 02.04.2004 

[9] Karl Hoffmann, Eine Einführung in die Technik des Messens mit Dehnungsmessstreifen, 

Hottinger Baldwin Messtechnik GmbH, Darmstadt, 1987 

[10] VDI/VDE-Richtlinie 2635, Blatt 1: Dehnungsmessstreifen mit metallischem Messgitter 

Kenngrößen und Prüfbedingungen, Beuth-Vertrieb GmbH, Berlin und Köln, August 1974 

[11] DIN 1319: Grundbegriffe der Meßtechnik, Teil 2, Januar 1980 

[12] Kameier, F., Computerunterstützte Messdatenerfassung und –verarbeitung Unterlagen 

zur Lehrveranstaltung, FH Düsseldorf IFS, 2002 




[13] Gasch, R. Strukturdynamik, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Springer, 

1987 

[14] Bohl, W., Strömungsmaschinen 2, Berechnung und Konstruktion, 4. Auflage, Vogel Buchverlag, 

1991 

[15] Traupel, W., Thermische Turbomaschinen, Zweiter Band: Regelverhalten, Festigkeit und 

dynamische Probleme, 2. Auflage, Springer Verlag, 1986 

[16] Internetlexikon, http://www.lexikon-definition.de/Herzlich-Willkommen-im-Net-Lexikon.html 

[17] Knaebel, M., Technische Schwingungslehre, 5., überarb. und erw. Aufl., Teubner Verlag, 

1992 

[18] Wittenburg, J., Schwingungslehre : lineare Schwingungen, Theorie und Anwendungen, 

Springer-Verlag, 1996 

[19] Messmer, S., Technische Dynamik, 1998 

[20] Gasch, R.; Knothe, K., Strukturdynamik, Band 1: Diskrete Systeme, Springer-Verlag, 1987 

[21] Gasch, R.; Knothe, K., Strukturdynamik, Band 2: Diskrete Systeme, Springer-Verlag, 1987 

[22] Internetenzyklopädie, www.wikipedia.de 

[23] Henning, G.; Jahr, A.; Mrowka, U., Technische Mechanik mit Mathcad, Matlab, und 

Maple, Vieweg, 2004 

[24] Bremer, H., Dynamik und Regelung mechanischer Systeme, Teubner Stuttgart, 1988 

[25] Gasch, R.; Nordmann, R.; Pfützner, H., Rotordynamik, Springer, 2001 

[26] Meier, G.; Manuskript-Eing.; Esslingen; 1987 

[27] Materialprüfung; Band 29(1987); Nr. 11/12; Dezember 

[28] Esser. H., S. Eckardt: Arch. Eisenhüttenwes. I4(1941) Nr. 8 S.397/401 

[29] Förster, F.; Z. Metallkunde 29 (1937) S. 109 

[30] Förster Betreibsanleitung 

[31] Gross; Schnell; Ehlers; Wriggers, Formeln und Aufgaben zur Technischen Mechnaik, 3 

Kinetik, Hydrodynamik; Springer-Verlag, 1999 




FEM und ANSYS 

[32] ANSYS – Einführungsseminar, Rechenzentrum Universität Karlsruhe 

[33] Freund, H., FEM – PROGRAMM ANSYS V 5.x, Bedienungsanleitung, FH Darmstadt 

[34] Müller, G.; FEM für Praktiker. Expert-Verlag, 2000 

[35] Steinbuch, R., Finite Elemente - ein Einstieg, Springer-Verlag, 1998 

[36] Rieg, F., Finite-Elemente-Analyse für Ingenieure, Aufl. Hanser-Verlag, 2003 

[37] Betten, J., Finite Elemente für Ingenieure, Springer-Verlag, 1997 

[38] Klein, B., FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode, Vieweg, 2003 

[39] University of Alberta - ANSYS Tutorials, http://www.mece.ualberta.ca/tutorials/ansys/ 

[40] Zienkiewicz, Olgierd C., The Finite Element Method, München, 1984 

[41] Scheideler, U., FEM Vorlesungsskript, Düsseldorf FH, 2005 

[42] Adam, J., Festigkeitslehre und FEM-Anwendungen, Hüthig, 1991 

[43] Fritischer, T., FEM-Praxis mit Ansys, Vieweg, 1993 

[44] Mannesmann Forschungsbericht 930/1983 




11.5 Datenbasis zur E-Modul Ermittlung bzw. Dehnungsverteilung 

(1) Temperaturverteilung über die Zeit 

[°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] [°C] 

x [mm] 27 66 81 95 130 180 230 280 330 365 379 393 407 432 472 522 

Messzeit Uhrzeit T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T15 T16 

0:00:00 14:24:03 19 125 276 432 695 858 886 850 714 507 415 336 272 189 109 62 

0:00:10 14:24:13 19 124 275 430 686 841 866 834 707 505 416 338 275 192 111 63 

0:00:30 14:24:33 19 121 268 415 656 794 814 787 679 493 413 340 279 196 114 64 

0:01:00 14:25:03 18 114 253 388 610 739 754 734 636 474 404 339 281 201 118 66 

0:01:40 14:25:43 18 106 232 354 555 688 701 683 585 449 389 333 281 206 122 68 

0:02:30 14:26:33 18 95 208 315 494 624 640 618 530 417 368 320 277 209 127 71 

0:03:30 14:27:33 18 84 182 275 430 554 572 548 472 382 343 303 267 208 131 74 

0:04:40 14:28:43 18 72 157 235 367 482 503 478 417 346 315 282 253 203 133 76 

0:06:00 14:30:03 18 61 133 198 308 413 436 411 364 308 284 259 236 195 133 79 

0:07:30 14:31:33 18 52 110 165 256 350 378 352 316 273 254 234 217 183 131 81 

0:09:10 14:33:13 18 44 91 136 212 295 324 301 273 240 225 210 197 171 126 81 

0:11:00 14:35:03 18 38 76 112 174 245 271 255 235 210 198 185 176 157 120 81 

0:13:00 14:37:03 18 33 63 91 141 202 225 214 202 182 173 163 157 142 112 80 

0:15:10 14:39:13 18 29 52 74 114 164 185 178 172 158 150 142 138 127 104 78 

0:17:30 14:41:33 18 25 43 60 90 132 151 147 146 135 130 123 120 113 95 74 

0:20:00 14:44:03 18 22 37 49 72 105 122 121 123 115 111 105 104 99 87 70 

0:22:40 14:46:43 18 20 31 41 56 84 97 97 103 98 95 90 90 88 78 66 

0:25:30 14:49:33 18 19 27 34 45 66 78 79 87 84 81 77 78 77 70 61 

0:28:30 14:52:33 18 17 24 29 36 52 62 63 73 71 69 66 67 67 63 56 

0:31:40 14:55:43 18 16 22 25 29 42 49 51 61 61 59 56 58 58 56 52 




Polynom: E-Modul X22CrMoV12-1 

b0 = 219,31101 

b1 = -0,058486 

(2) E-Modulverteilung über die Zeit 

b2 = -6,55E-05 Edyn=f(T)=b4*T ^4 +b3*T ^3 +b2*T ^2 +b1*T+b0 

b3 = 1,48E-07 

b4 = -1,96E-10 

[GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] [GPa] 

x [mm] 27 66 81 95 130 180 230 280 330 365 379 393 407 432 472 522,0 

Messzeit E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 

0:00:00 218 211 200 187 151 108 98 111 147 179 189 195 200 207 212 215 

0:00:10 218 211 200 187 153 114 105 116 148 179 188 195 200 206 212 215 

0:00:30 218 211 201 189 158 128 122 130 154 181 189 195 200 206 212 215 

0:01:00 218 212 202 191 166 141 138 143 162 183 190 195 200 206 212 215 

0:01:40 218 213 203 194 173 152 150 153 169 185 191 196 200 205 211 215 

0:02:30 218 213 205 197 181 163 161 164 176 188 193 197 200 205 211 215 

0:03:30 218 214 207 200 187 173 171 174 183 191 195 198 201 205 211 215 

0:04:40 218 215 209 203 193 182 180 182 188 195 197 200 202 206 211 215 

0:06:00 218 216 211 206 198 189 187 189 193 198 200 201 203 206 211 214 

0:07:30 218 216 212 208 202 194 192 194 197 200 202 203 205 207 211 214 

0:09:10 218 217 214 210 205 199 196 198 200 203 204 205 206 208 211 214 

0:11:00 218 217 215 212 208 203 201 202 203 205 206 207 208 209 212 214 

0:13:00 218 217 215 214 210 206 204 205 206 207 208 209 209 210 212 214 

0:15:10 218 218 216 215 212 208 207 207 208 209 209 210 210 211 213 214 

0:17:30 218 218 217 216 214 211 209 210 210 211 211 211 212 212 213 215 

0:20:00 218 218 217 216 215 213 211 211 211 212 212 213 213 213 214 215 

0:22:40 218 218 217 217 216 214 213 213 213 213 213 214 214 214 214 215 

0:25:30 218 218 218 217 217 215 214 214 214 214 214 214 214 214 215 216 

0:28:30 218 218 218 218 217 216 215 215 215 215 215 215 215 215 215 216 

0:31:40 218 218 218 218 218 217 216 216 216 216 216 216 216 216 216 216 




(3) Dehnungsverteilung über die Temperatur (mit der analytischen Nährungslösung) 

[°C] [N] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m][µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] 

Temp. F(T) Dehnung 

6 27 66 81 95 130 180 230 280 330 365 379 393 407 432 472 522 

858 8,89 67 65 62 63 66 75 93 88 66 41 28 25 22 20 16 10 4 

841 9,12 69 66 63 65 67 76 90 84 65 41 29 26 23 20 16 11 4 

794 9,69 73 70 67 69 71 78 85 77 62 42 31 27 24 22 17 11 4 

740 10,21 77 74 71 72 74 79 81 72 59 43 32 28 25 23 18 12 5 

690 10,61 80 77 73 74 76 78 78 69 57 42 33 29 26 24 19 12 5 

626 10,99 83 80 76 76 77 78 76 67 55 42 33 30 27 24 20 13 5 

555 11,33 86 82 78 78 78 77 73 65 54 42 34 31 28 25 20 13 5 

484 11,60 88 84 79 79 79 77 72 63 52 42 34 31 28 26 21 14 5 

416 11,82 89 86 80 80 79 76 70 62 52 41 34 31 29 26 21 14 5 

353 12,00 91 87 81 80 79 76 70 61 51 41 34 31 29 26 21 14 6 

297 12,15 92 88 82 81 80 76 69 60 51 41 34 31 29 26 22 14 6 

247 12,27 93 89 83 81 80 75 68 60 50 41 34 31 29 26 22 14 6 

204 12,37 93 90 84 82 80 75 68 59 50 41 34 31 29 26 22 15 6 

167 12,45 94 90 84 82 80 75 67 59 50 40 34 31 29 26 22 15 6 

135 12,53 95 91 84 82 80 75 67 58 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

108 12,58 95 91 85 82 80 75 67 58 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

87 12,63 95 92 85 83 80 75 66 58 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

71 12,66 96 92 85 83 80 75 66 58 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

48 12,69 96 92 85 83 80 75 66 57 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

34 12,72 96 92 85 83 81 75 66 57 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

23 12,75 96 93 86 83 81 75 66 57 48 39 33 31 28 26 22 15 6 

(4) Dehnungsverteilung über die Temperatur (mit der Software Ansys 9.0) 

[°C] [N] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m][µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] [µm/m] 

Temp. F(T) Dehnung 

6 27 66 81 95 130 180 230 280 330 365 379 393 407 432 472 522 

858 8,89 67 65 62 63 66 75 93 88 66 41 28 25 22 20 16 10 4 

841 9,12 69 66 63 65 67 76 90 84 65 41 29 26 23 20 16 11 4 

794 9,69 73 70 67 69 71 78 85 77 62 42 31 27 24 22 17 11 4 

740 10,21 77 74 71 72 74 79 81 72 59 43 32 28 25 23 18 12 5 

690 10,61 80 77 73 74 76 78 78 69 57 42 33 29 26 24 19 12 5 

626 10,99 83 80 76 76 77 78 76 67 55 42 33 30 27 24 20 13 5 

555 11,33 86 82 78 78 78 77 73 65 54 42 34 31 28 25 20 13 5 

484 11,60 88 84 79 79 79 77 72 63 52 42 34 31 28 26 21 14 5 

416 11,82 89 86 80 80 79 76 70 62 52 41 34 31 29 26 21 14 5 

353 12,00 91 87 81 80 79 76 70 61 51 41 34 31 29 26 21 14 6 

297 12,15 92 88 82 81 80 76 69 60 51 41 34 31 29 26 22 14 6 

247 12,27 93 89 83 81 80 75 68 60 50 41 34 31 29 26 22 14 6 

204 12,37 93 90 84 82 80 75 68 59 50 41 34 31 29 26 22 15 6 

167 12,45 94 90 84 82 80 75 67 59 50 40 34 31 29 26 22 15 6 

135 12,53 95 91 84 82 80 75 67 58 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

108 12,58 95 91 85 82 80 75 67 58 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

87 12,63 95 92 85 83 80 75 66 58 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

71 12,66 96 92 85 83 80 75 66 58 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

48 12,69 96 92 85 83 80 75 66 57 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

34 12,72 96 92 85 83 81 75 66 57 49 40 34 31 29 26 22 15 6 

23 12,75 96 93 86 83 81 75 66 57 48 39 33 31 28 26 22 15 6 




11.6 Spezifikationen von DMS Typen 

HITEC FREE FILAMENT STRAIN GAGES 

HF-Series, high temperature free filament strain gages, are the result of 30 years of elevated tempera- 

ture strain gage installation experience. Our gages have survived thousands of testing hours in the 

most hostile of environments, gas turbine engines. Engineers are available to assist in gage selection 

and installation. 

Features: 

• Temperature range up to 980°C 

• Vibratory measurements up to 1300°C 

• Dynamic and static strain measurement 

• Grid length 0,7 to 6,35 mm 

• Resistance 100, 120, 200 and 350 Ohm 

• Custom configurations 

• Flame spray or ceramic cement applica- 

tion 

• Dynamic and static stress measurement 

• Can be used on carbon composites 

• Integral Thermocouple Type K, option- 

ally available 

Picture 1: Free Filament Gage 




Designation Code 

Standard Product Range 

GAGE TYPE GRID 

(Moleculoy® is a registered Trademark of Molecu-Wire Co. Township N.J. USA) 

LENGTH 

mm 

GRID 

WIDTH 

mm 

RESISTANCE 

OHMS 

GRID- 

MATERIAL 

GAGE 

FACTOR 

NOMINAL 

MAX. TEMP. 

RANGE °C 

Static/Dynamic 

HFK-12-125-SCW-6 3.18 2.00 120 ± 2.5 Karma 2.2 -268 to +315/+870 

HFK-12-125-SCW-6- 

TC 

3.18 2.00 120 ± 2.5 Karma 2.2 -268 to +315/+870 

HFK-12-250-LCW-6 6.35 2.36 120 ± 2.5 Karma 2.2 -268 to +315/+870 

HFK-12-250-LCW-6- 

TC 

6.35 2.36 120 ± 2.5 Karma 2.2 -268 to +315/+870 

HFK-35-250-LCW-6 6.35 8.33 350 ± 5 Karma 2.2 -268 to +315/+870 

HFK-35-250-LCW-6- 

TC 

6.35 8.33 350 ± 5 Karma 2.2 -268 to +315/+870 

HFN-06-030-SCW 0.76 1.04 60 ± 2 Nichrome 1.7 -268 to +260/+980 

HFN-12-063-SCW 1.60 2.29 120 ± 2 Nichrome 2.0 -268 to +260/+980 

HFN-12-125-SCW 3.18 1.57 120 ± 2.5 Nichrome 2.2 -268 to +260/+980 




HFN-35-125-SCW 3.18 5.08 350 ± 5.0 Nichrome 2.2 -268 to +260/+980 

HFN-12-250-LCW 6.35 2.36 120 ± 2.5 Nichrome 2.2 -268 to +260/+980 

HFN-12-250-LCW-TC 6.35 2.36 120 ± 2.5 Nichrome 2.2 -268 to +260/+980 

HFN-35-250-LCW 6.35 5.54 350 ± 5 Nichrome 2.2 -268 to +260/+980 

HFN-35-250-LCW-TC 6.35 5.54 350 ± 5 Nichrome 2.2 -268 to +260/+980 

HFP-12-063-SPW 1.68 1.52 120 ± 2 Plat-Tung 4.0 -268 to +650/+815 

HFP-12-125-SPW 3.18 1.57 120 ± 2.5 Plat-Tung 4.0 -268 to +650/+815 

HFP-12-250-SPW 6.35 2.36 120 ± 2.5 Plat-Tung 4.0 -268 to +650/+815 

HFP-12-250-SPW-TC 6.35 2.36 120 ± 2.5 Plat-Tung 4.0 -268 to +650/+815 



HFP-35-250-SPW-TC 6.35 4.75 350 ± 5 Plat-Tung 4.0 -268 to +650/+815 

HFM-10-063-SCW 2.00 2.00 100 ± 10 Moleculoy 2.4 -268 to +260/+980 

HFM-20-125-SCW 3.18 4.57 200 ± 20 Moleculoy 2.4 -268 to +260/+980 

HFM-10-063-SCW 

(Flat Grid) 

HFM-20-125-SCW 

(Flat Grid) 

2.00 2.00 100 ± 10 Moleculoy 2.4 -268 to +260/+980 

3.18 4.57 200 ± 6 Moleculoy 2.4 -268 to +260/+980 

HFE-12-125-SPW 3.18 2.00 120 ± 3.5 Evanohm 2.4 -268 to +260/+980 

(HFM gages with flat grid are "No shelf life", for all other types the carrier adhesive has a 6 month shelf life.) 




11.7 Datenbasis zur Bestimmung der k-Faktor-Änderungen 

(1) k-Faktor-Änderung (Typ A) (2) k-Faktor-Änderung (Typ B) 

[°C] Normierte Dehnung 

Temperatur Messung Berechnung Prozent 

829 1,18 1,37 80% 

827 1,17 1,37 81% 

825 1,17 1,36 81% 

823 1,17 1,36 81% 

820 1,16 1,36 81% 

790 1,13 1,31 82% 

753 1,1 1,26 84% 

720 1,08 1,22 86% 

674 1,06 1,18 88% 

619 1,05 1,15 90% 

571 1,05 1,12 94% 

548 1,07 1,11 96% 

528 1,09 1,11 98% 

505 1,1 1,10 100% 

490 1,09 1,09 100% 

476 1,09 1,09 100% 

401 1,07 1,07 100% 

303 1,06 1,05 100% 

250 1,04 1,04 100% 

200 1,03 1,03 100% 

150 1,02 1,02 100% 

100 1,01 1,01 100% 

50 1,00 1,00 100% 

20 1,00 1,00 100% 



840 1,190 1,39 80% 

820 1,160 1,36 80% 

794 1,130 1,32 81% 

744 1,110 1,25 86% 

694 1,100 1,20 90% 

644 1,090 1,16 93% 

594 1,080 1,13 95% 

544 1,070 1,11 96% 

494 1,060 1,10 96% 

444 1,050 1,08 97% 

394 1,042 1,07 97% 

344 1,040 1,06 98% 

294 1,034 1,05 99% 

244 1,032 1,04 99% 

194 1,025 1,03 100% 

144 1,015 1,02 100% 

94 1,008 1,01 100% 

44 1,000 1,00 100% 

20 1,005 1,00 100% 

(3) k-Faktor-Änderung (Typ C) (4) k-Faktor-Änderung (Typ D) 



850 1,53 1,41 112% 

800 1,39 1,32 106% 

750 1,28 1,26 102% 

700 1,20 1,21 99% 

650 1,14 1,17 97% 

600 1,10 1,14 97% 

550 1,08 1,11 97% 

500 1,07 1,10 97% 

450 1,06 1,08 98% 

400 1,06 1,07 98% 

350 1,05 1,06 99% 

300 1,05 1,05 100% 

250 1,04 1,04 100% 

200 1,03 1,03 100% 

150 1,02 1,02 100% 

100 1,01 1,01 100% 

50 1,00 1,00 100% 

20 1,00 1,00 100% 



850 1,03 1,41 62% 

800 0,98 1,32 66% 

750 0,95 1,26 69% 

700 0,93 1,21 72% 

650 0,91 1,17 75% 

600 0,90 1,14 77% 

550 0,90 1,11 79% 

500 0,90 1,10 80% 

450 0,90 1,08 82% 

400 0,91 1,07 84% 

350 0,92 1,06 86% 

300 0,93 1,05 88% 

250 0,94 1,04 90% 

200 0,95 1,03 92% 

150 0,96 1,02 95% 

100 0,98 1,01 97% 

50 0,99 1,00 99% 

20 1,00 1,00 100% 




(5) k-Faktor-Änderung (Typ E) (6) k-Faktor-Änderung (Typ F) 



850 1,47 1,41 106% 

800 1,40 1,32 108% 

750 1,35 1,26 109% 

700 1,30 1,21 110% 

650 1,26 1,17 109% 

600 1,23 1,14 109% 

550 1,20 1,11 108% 

500 1,17 1,10 108% 

450 1,15 1,08 107% 

400 1,13 1,07 106% 

350 1,12 1,06 106% 

300 1,10 1,05 105% 

250 1,09 1,04 105% 

200 1,08 1,03 105% 

150 1,06 1,02 104% 

100 1,04 1,01 103% 

50 1,03 1,00 102% 

20 1,01 1,00 102% 

(7) k-Faktor-Änderung (Typ G) 



850 1,79 1,41 138% 

800 1,68 1,32 136% 

750 1,58 1,26 133% 

700 1,50 1,21 129% 

650 1,42 1,17 126% 

600 1,36 1,14 122% 

550 1,30 1,11 119% 

500 1,26 1,10 116% 

450 1,22 1,08 114% 

400 1,19 1,07 112% 

350 1,16 1,06 110% 

300 1,14 1,05 109% 

250 1,12 1,04 108% 

200 1,10 1,03 107% 

150 1,08 1,02 106% 

100 1,05 1,01 104% 

50 1,02 1,00 102% 

20 1,00 1,00 100% 



850 0,97 1,41 56% 

800 0,94 1,32 62% 

750 0,92 1,26 67% 

700 0,91 1,21 70% 

650 0,90 1,17 73% 

600 0,89 1,14 75% 

550 0,89 1,11 77% 

500 0,88 1,10 79% 

450 0,89 1,08 80% 

400 0,89 1,07 82% 

350 0,90 1,06 84% 

300 0,91 1,05 86% 

250 0,92 1,04 88% 

200 0,93 1,03 90% 

150 0,95 1,02 93% 

100 0,97 1,01 96% 

50 0,99 1,00 99% 

20 1,00 1,00 100% 




Power Generation 

Name Martin Vennemann 

Abteilung S32M8 

Telefon (0208) 456-4674 

Fax (0208) 456-2977 

E-mail martin.vennemann@siemens.com 

Datum 16.03.2005 

Angebot einer Masterarbeit in der Versuchstechnik der Siemens Power Generation 

Thema: Experimentelle Untersuchung der temperaturabhängigen Empfindlichkeitsänderung 

von dynamischen Hochtemperatur-Dehnungsmessstreifen 

Kurzbeschreibung: Die mechanische Beanspruchung und Belastung von Bauteilen wird häufig 

mittels Dehnungsmessstreifen (DMS) experimentell geprüft. Dabei wird in seiner einfachsten 

Form ein Messstreifen, bestehend aus einem gewendelten Widerstandsdraht auf einer Trägerfolie, 

auf das Messobjekt geklebt. Wird das Messobjekt - und damit auch der DMS - gedehnt oder 

gestaucht, ändert sich der elektrische Widerstand des DMS. Die Widerstandsänderung ist somit 

ein Maß für die Dehnung des Messobjektes. Unter Temperatureinwirkung ändert sich jedoch die 

Empfindlichkeit des DMS, also das Verhältnis von Dehnungsänderung zu Widerstandsänderung. 

Dieser Effekt ist besonders bei den hier zu untersuchenden Hochtemperatur-DMS im Einsatz bei 

800 – 1000 °C von Bedeutung. An einem vorhandenen Prüfstand (Biegestab mit Erregungseinrichtung 

und Temperaturstrahler) sollen für den reinen dynamischen Messeinsatz umfangreiche 

Tests und Messungen für unterschiedliche DMS-Typen unter Anleitung durchgeführt und dokumentiert 

werden. 

Ziele: 

Bei der Durchführung von dynamischen Hochtemperaturdehnungsmessungen treten Effekte 

auf, die zur Sicherstellung einer reproduzierbaren und hinreichend genauen Messung bekannt 

sein müssen. Zu diesen Effekten zählen: 

. • Thermisch bedingte Empfindlichkeitsänderung des DMS 

. • Empfindlichkeitsdrift durch „Alterung“ des DMS 

Ziel der Arbeit soll sein, durch geeignete Methodik der Messung und durch rechnerische Korrektur 

die Messunsicherheiten zu minimieren. Die Korrekturverfahren leiten sich aus den 

experimentell gewonnenen Erkenntnissen ab. Eine zentrale Bedeutung zur Interpretation der 

Messergebnisse kommt der möglichst genauen Kenntnis der Biegelinie bzw. der Dehnungsverteilung 

des Biegestabes zu. Hierzu muss eine theoretische Betrachtung der Temperaturverteilung 

entlang des Stabes und der daraus resultierenden E-Modul-Änderung vorgenommen 

werden. 

Für die Durchführung der Arbeit im Werk Mülheim steht inklusive Einarbeitung und abschließender 

Dokumentation ein zeitlicher Rahmen vom 01.04. bis 30.09.2005 zur Verfügung. 

Siemens AG – Power Generation, Versuchstechnik, Mellinghofer Str. 55, 45473 Mülheim a. d. Ruhr 




Name: Cheng 

Vorname: Weiqing 

Mat.-Nr.: 431072 

Erklärung 

Ich erkläre hiermit an Eides statt, dass ich die vorgelegte Abschlussarbeit selbstständig angefertigt 

und keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel und ausschließlich die im Literaturverzeichnis 

angegebenen Schriften benutzt habe. 

................................................... .................................................... 

Datum Unterschrift

K - FB 4 Allgemein - Fachhochschule Düsseldorf

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