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Brückenkurs Mathematik
WS 2005/06
FH Düsseldorf
Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik
Mathematik für Ingenieure
Prof. Dr. W. Scheideler
Ausarbeitung: Sevda Mercan
1

Inhaltsverzeichnis
1. Brüche, Potenzen und Wurzel 4
1.1. Brüche 4
1.1.1 Definition von Brüchen 4
1.1.2. Rechenregeln für Brüche 4
1.2. Potenzen 7
1.2.1. Definition von Potenzen 7
1.2.2. Rechenregeln für Potenzen 7
1.3. Wurzeln 10
1.3.1. Definition von Wurzeln 10
1.3.2. Rechenregeln für Wurzeln 10
2. Gleichungen 12
2.1. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen 12
2.2. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit rationalen Zahlen 17
(Bruchgleichungen)
2.2.1. Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine 17
Variablen enthalten
2.2.2 Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten 20
Bruchgleichungen mit einer Lösungsvariablen 20
2.3 Quadratische Gleichungen 24
2.4. Wurzelgleichungen 30
2.5. Lineare Gleichungssysteme 36
2

3. Trigonometrische Funktionen 41
3.1. Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck 41
3.2. Winkelmaße (Grad- und Bogenmaß) 42
3.3. Drehsinn eines Winkels 43
3.4. Darstellung des Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis 44
3.5. Wichtige Beziehungen zwischen den 46
trigonometrischen Funktionen
3.5.1. Trigonometrischer Pythagoras 46
3.5.2. Additionstheoreme für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion 46
3.5.3. Sinussatz 47
3.5.4. Kosinussatz 47
4. Exponential- und Logarithmusgleichungen 53
4.1. Rechenregeln für Logarithmus 54
4.2. Spezielle Logarithmen 55
4.3. Basiswechsel 56
5. Lösungen von Beispielaufgaben 61
3

1. Brüche, Potenzen und Wurzel
1.1. Brüche
1.1.1. Definition von Brüchen
a ÷ b ; der Quotient a ÷ b ist die Bruchzahl
a
b
( a, b ∈ Z; b ≠ 0 und b ≠ ∞
)
Die Bruchzahl b
a ist eine ganze Zahl, wenn a ein Vielfaches von b ist.
a bezeichnet man auch als Bruch; a Zähler, b der Nenner, der Nenner gibt an, in wie viel gleiche
b
Teile eine Einheit zerlegt wurde. Der Zähler gibt die Anzahl der Teile an.
1.1.2. Rechenregeln für Brüche:
1. Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert wird:
a
b
=
a
b
⋅
⋅
k
k
( k
≠
0 )
z.B.:
2
5
=
2
5
⋅
⋅
3
3
=
6
15
2. Die gleichnamige Brüche werden addiert oder subtrahiert:
z.B.:
1
7
+
9
7
−
2
7
=
1
+
9
7
− 2
=
8
7
Falls die Brüche nicht gleichnamig sind, sie müssen vor dem Addieren oder Subtrahieren
gleichnamig gemacht werden, indem man sie durch Erweitern auf den kleinsten gemeinsamen
Nenner bringt:
z.B.:
13
6
+
5
3
−
7
18
=
3⋅(13 )
+
6 ⋅( 5 )
18
−1⋅(7 )
⇒
4

39
+ 30
18
−7
=
62
18
3. Brüche werden multipliziert, indem jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert werden:
a
b
c a ⋅ c
⋅ = ( b ⋅ d ≠ 0 und
d b ⋅ d
b ⋅ d
≠
∞ )
z.B.:
10
23
⋅
2
7
=
10 ⋅ 2
23 ⋅7
=
20
161
4. Brüche werden dividiert, indem der Bruch in Nenner eliminiert wird. Dies geschieht durch
Erweitern von Zähler und Nenner mit einem geeigneten Wert:
z.B.:
3
7
5
8
=
3
7
5
8
⋅8
⋅8
⇒
3 ⋅ 8
7
5
=
24
7
5 ⋅
1
⋅
5
1
5
=
24 ⋅ 1
7 ⋅ 5
=
24
35
Musterlösung 1:
3
4
2
3
+
-
5
9
5
8
=
?
⇒
9 ⋅ 3
9 ⋅ 4
8 ⋅ 2
8 ⋅ 3
+
-
4 ⋅ 5
4 ⋅ 9
3 ⋅ 5
3 ⋅ 8
=
27 + 20
36
16 − 15
24
=
47
36
1
24
⇒
(Erweitern von Zähler und Nenner mit geeignetem Wert 36 und 24.)
5

47
⋅ 24
36
1
⋅ 24
24
=
47
36
⋅ 24
=
47 ⋅ 2
3
=
94
3
(Erweitern von Zähler und Nenner mit geeignetem Wert 24 und Kürzen mit dem Wert 12)
Musterlösung 2:
1
a
1
+
1
b
=
?
⇒
1
b + a
a ⋅ b
=
1⋅
ab
b + a
ab
⋅ab
=
ab
b + a
Beispielaufgaben 1.1. (Brüche):
a
2
b
2
+
b a
a) = ?
1 1
+
a b
1 1
-
s
2
- 1 s
2
b) = ?
1 1
2 + -
s - 1 s + 1
u
c) 1 -
= ?
u
1 -
u + 1
11a - 3 7 a - 4 5 a - 6
d) -
+
= ?
3 x + 3 2 x + 2 6 x + 6
6

1.2. Potenzen
1.2.1. Definition von Potenzen
In der Potenz
4
3 heißt 3 Grundzahl oder Basis, 4 Hochzahl oder Exponent. Der Exponent gibt
an, wievielmal die Basis als Faktor gesetzt werden soll. Das ausgerechnete Produkt heißt
Potenzwert. Eine Summe von gleichen Summanden ergibt ein Produkt. Ein Produkt von gleichen
Faktoren ergibt eine Potenz.
a
n
=
a ⋅ a ⋅ a ⋅......
⋅ a
( n
Faktoren )
Ist die n-te Potenz von a,
a nennt man Basis und n Exponent.
1.2.2. Rechenregeln für Potenzen:
Im Folgenden sei m,
n ∈
N
1.
m n m + n
a ⋅ a = a ( Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis )
a
m
m - n
2. = a
(Division von Potenzen mit gleicher Basis)
a
n
-n 1 ⎛ 1 ⎞
negativer Exponent a = =
n
⎜ ⎟ ( a ≠ 0 und a ≠ ∞ )
a
n ⎝ a ⎠
3.
m n n m m ⋅ n
⎜
⎛ a ⎟
⎞ = ⎜
⎛a
⎟
⎞ = a
( Potenzieren von Potenzen )
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n
n
n
4. a ⋅ b = ( a ⋅ b) (Multiplikation von Potenzen bei gleichen Exponenten)
7

5.
a
n
b
n
=
⎛ a ⎞ n
⎜ ⎟
⎝ b ⎠
( b ≠ 0
(Division
und
von
b ≠ ∞ )
Potenzen bei
gleichen
Exponenten)
6. a
0
= 1
Musterlösung 1:
Vereinfachung eines algebraischen Ausdrucks:
⎛
⎜
⎝
1
-3
⎞ -3
⎟
⎠
=
?
⇒
⎛
⎜
⎝
1
-3
⎞ -3
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎝
1
1
-3
⎞
⎟
⎠
3
=
1
3
() 1
(-3)
3
=
1
1
- 27
⇒
1⋅27
1
− ⋅27
27
=
− 27
Musterlösung 2:
Vereinfachung eines algebraischen Ausdrucks:
1
12 y
x
2
8 z
2
3
1 1
4 z 6
y
2
z
3
⋅ ÷
= ?
1 1
3 2 z
x
5
y
4
⇒
8

12 y
3
⋅ x
2
x
2
8 z
2
⋅ x
2
⋅
4 z
⋅
y
2
3
x
5
x
5
3
x
5
⋅
3
÷
6
z
3
2 z
y
4
⋅
y
4
⋅
2 ⋅ z
y
4
2 ⋅ z
⇒
12 y
3
8 z
2
x
2
4 z x
5
⋅
3 y
2
÷
6 y
4
2 z
4
⇒
12 y
3
8 z
2
x
2
4 z x
5
⋅
3 y
2
⋅
2 z
4
6 y
4
⇒
2
3
⎛
⎜
⎝
z x
y
⎞ 3
⎟
⎠
Beispielaufgaben 1.2. (Potenzen):
Vereinfachen Sie die algebraischen Ausdrücke:
-4
9b
3
20b
a) ⋅
= ?
-4
16 a
2
25 a
2 - m 3m m + n 3 - m
4 x ⋅ y 5 z ⋅ x
b) ÷
= ?
m - n
1 - 2 m
7 z
14 y
3 z 5 a
c) ÷ = ?
x
2
- y
2 x + y
9

1.3. Wurzeln
1.3.1. Definition von Wurzeln
Unter der Quadratwurzel aus x verstehen wir diejenige Zahl, deren Quadrat x ergibt.
Ist
x n = a = a für a ≥ 0,
dann heißt x die n-te Wurzel aus a.
Schreibweisen:
x =
n a (Wurzelschreibweise) oder x =
1
a n (exponentielle Schreibweise). a heißt
Radikant, n Wurzelexponent.
1.3.2. Rechenregeln für Wurzeln:
1.
n
a
m
=
a
m
n
=
⎛n
⎜
⎝
a
⎞ m
⎟ ⎠
2.
1
1 ⎛ 1 ⎞ 1
m n m
⎜ ⎟
m
n n m n
a = a = ⎜a
⎟
⋅
= a =
m ⋅ n
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 1
n a n
a ⋅ b
3. ⋅ b = a n ⋅ b n = ( a ⋅ b) n =
n
a
n a
4. n a
=
für b > 0; alle m, n ∈ N
n b b
Binomische Formeln:
1.
(a
±
b)
2
=
a
2
±
2 ab
+
b
2
2.
(a +
b)(a
-
b)
=
a
2
-
b
2
10

Achtung!!!:
( 2u − 3v)
2
≠ ( 2u)
2
− ( 3v)
2
≠ 4u
2
−
9
2
v
!!!
sondern ( 2u − 3v)
2
= ( 2u)
2
− 2⋅2u⋅3v
+ ( 3v)
2
= 4u
2
− 12u v + 9 v
2
!!!
4 t
2
− 9 z
2
≠ 4 t
2
− 9 z
2
≠ 2t −
3 z
!!!
sondern 4 t
2
− 9 z
2
!!!
Dieser Ausdruck kann nicht vereinfach werden!!!
Musterlösung 1:
Vereinfachung der Gleichung:
8
8
-
+
2
2
=
?
⇒
2
3
2
3
-
+
2
2
=
2
2
2
2
-
+
2
2
=
3
2
2
=
1
3
Musterlösung 2:
Vereinfachung der Gleichung:
2
3
5
2
( 8 ) ⋅ ( 4 ) = ? ⇒
11

⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
3
2
⎞
⎟
⎛
⎜
⎞
⎟
( 2 ) ⎟ ⋅ ⎜( 2) ⎟ = ( 2) ⋅ ( 2) ⇒
⎟
⎠
2
3
⎜
⎝
2
2
⎟
⎠
5
2
3
2
⋅
2
3
2
2
⋅
5
2
5
5 2 + 5 7
1 +
2 ⋅ 2 2 = 2 2 = 2 2 = 2 2 =
2
7
Beispielaufgaben 1.3. (Wurzeln):
Vereinfachen Sie die algebraischen Ausdrücke:
2
⎛ a b ⎞
a) ⎜ + ⎟
= ?
b a
⎝
⎠
1
b)
4
⎜
⎛ 8 ⎟
⎞ 3
⎝ ⎠
= ?
7
3 10
-
+
c) 16 4
10 3
= ?
d) 5 ⋅
= ?
3 2
-
2 3
2. Gleichungen
2.1. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen
Werden zwei Terme
T und
1
wir diese Verbindung eine Gleichung.
T durch das Gleichheitszeichen „ = “ verbunden werden, so nennen
2
T
1
=
T
2
z.B.: T = 3 x + 4
1
12

T
2
=
12
-
x
T = T ergibt dann 3 x + 4 = 12 - x
1 2
Werden zwei Terme
T und
1
so nennt man diese Verbindung eine Ungleichung.
T durch das Zeichen „ < “, „ > “, „ ≤ “ oder „ ≥ “ verbunden,
2
T <
1
T
2
T ≤
1
T
2
T >
1
T
2
T ≥
1
T
2
z.B.:
3 x + 4 ≤
12
-
x
3 x + 4 >
12
-
x
Musterlösung 1 für lineare Gleichung:
Lösung folgender Gleichungen:
a) 11 - 2 x = 6 = ? ⇒
11 - 2 x = 6 ⇒ −
( 11 )
− 2 x = 6 − 11
⇒
− 2 x = −5
⇒
: −
( 2 )
x
=
5
2
13

Merke: Zur Umformung einer Gleichung in eine einfachere äquivalente Gleichung darf
auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert oder subtrahiert, mit der gleichen Zahl
(z) multipliziert oder dividiert werden, aber z ≠ 0 und z ≠ ∞ .
b) 8 x - ( 2 x - 4) = 3 ⇒
8 x
-
2 x
+
4
=
3
⇒
6 x
+
4
=
3
⇒
6 x + 4 = 3 ⇒
-
( 4 )
6 x
=
3
-
4
⇒
6 x = -1 ⇒
:
( 6 )
x
=
-
1
6
Merke:
a
a
− ( −b
+ c ) = a + b − c a + ( b − c ) = a + b − c
+ ( −b
− c ) = a − b − c a + ( b + c ) = a + b + c
a − ( b − c ) = a − b + c a + ( −b
+ c ) = a − b + c
a − ( −b
− c ) = a + b + c a − ( b + c ) = a − b − c
14

Musterlösung 2 für lineare Ungleichung:
Lösungsmenge folgender Gleichungen:
Merke:
Zusammenstellung der wichtigsten Intervalle
Bei der Beschreibung der Definitions- und Wertebereiche von Funktionen benötigen wie
spezielle, als Intervalle bezeichnete Teilmengen von R
1. Endliche Intervalle ( a < b)
[ a,
b ] = { x a ≤ x ≤ b } abgeschlossenes Intervall
[ a, b ) = { x a ≤ x < b }
( a, b ] = { x a < x ≤ b }
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
halboffenes
Intervalle
( a , b ) = { x a < x < b } offenes Intervalle
2. Unendliche Intervalle
[ a, ∞ ) = { x a ≤ x < ∞ }
( a, ∞ ) = { x a < x < ∞ }
( − ∞, b ] = { x −∞ < x ≤ b }
( − ∞, b ) = { x − ∞ < x < b }
( −∞,
0 ) = R
−
15

( 0 , ∞ ) = R
+
( − ∞, ∞ ) = R
Offene Intervalle können mit „ ( )“ oder nach außen gerichteten „ ][“ gekennzeichnet
sein!!!
a) 5 - x > 2 ⇒
5 - x > 2 ⇒
−
( 5 )
− x > 2 − 5
⇒
− x
>
− 3
⇒
⋅
( −1
)
x <
3
Merke:
Durch die Multiplikation oder Division mit der negativen Zahl ändern alle Zahlen
ihre Vorzeichen. Dabei behalten sie zwar ihren Wert aber die Richtung ändert sich:
z.B.: 2 x + 3 y < 6 ⇒ ⋅ ( − 1 )
− 2 x − 3 y > −6
Beispielaufgaben 2.1 (Lineare Gleichungen):
Lösen Sie die Gleichungen:
a) 3 x - 18 = - x + 6
b) x - 3 = 8
c) 24 - 7 x = 3
d) 19 - 2 x = 5 x - 16
16

e) 5 x - ( 3 + 2 x) = 9
f) ( a - b)( x - c) - ( a + b)( x + c) + 2 a ( b + c) = 0
2.2. Lineare Gleichungen und Ungleichungen mit rationalen Zahlen (Bruchgleichungen)
2.2.1 Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten
Die Regel für Äquivalenzumformungen von Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen
gelten auch für Gleichungen mit rationalen Zahlen:
Zur Umformung einer Gleichung und Ungleichung darf auf beiden Seiten die gleiche Zahl addiert
oder subtrahiert, mit der gleichen Zahl multipliziert oder dividiert werden. Die Division durch
null ist nicht möglicht.
Musterlösung 1 für Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten:
Lösung folgender Gleichungen:
7 x + 6
5 x - 2
a) - x = 4 -
⇒
9
6
7 x +
9
6
-
x
=
4
-
5 x -
6
2
⇒
⋅
( 18)
(Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner 18 multiplizieren)
( 7 x + 6 ) - 18 x = 18⋅( 4 ) - 3⋅( 5 x - ) ⇒
2 ⋅ 2
14 x
+
12
-
18 x
=
72
-
15 x
+
6
⇒
− 4 x + 12 = 78 - 15 x ⇒
+
( 15 x )
17

− 11 x + 12 = 78 ⇒
+ −
( 12 )
−11
x = 78 − 12
⇒
− 11 x = 66 ⇒
: −
( 11)
x
=
6
5 x
2 x
b) + 2 = 5 - ⇒
6
3
5 x
6
+
2
=
5
-
2 x
3
⇒
+
⎛
⎜
⎝
2 x
3
⎞
⎟
⎠
5 x
6
+
2 x
3
+
2
=
5
⇒
-
( 2)
5 x
+ 2 ⋅ 2 x
6
=
5
-
2
⇒
9 x
6
=
3
⇒
⋅
( 6 )
9 x
=
6 ⋅ 3
⇒
9 x = 18 ⇒
:
( 9)
x =
2
18

Beispielaufgaben 2.2.1.a (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten):
Lösen Sie die Gleichungen:
x
x
9 x + 1 3 x + 4
a) - 3 = − 5
b) -
= 0
3
5
4
5
5 x
3 x
c) + 2 = + 3
8
4
Musterlösung 1 für Ungleichung mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten:
Lösung folgender Gleichung:
3 x
4
-
7
8
<
x
-
2
3
⇒
3 x
4
-
7
8
<
x
-
2
3
⇒
⋅
( 24 )
(Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner 24 multiplizieren)
18 x
-
21
< 24 x - 16
⇒
18 x - 21 < 24 x - 16 ⇒
−
( 24 x )
− 6 x - 21 < -16 ⇒
+
( 21 )
−6
x < -16 + 21
⇒
( 6 )
− 6 x < 5 ⇒
: −
x
>
−
5
6
19

Bespielaufgaben 2.2.1.b (Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten):
Lösen Sie folgende Ungleichungen:
a)
3
( x - 2) 4 ( x + 1) 5( x - 3)
4
-
3
≤
6
-
x
1
b) 3 x + 2 < x
4
x - 1 x - 3
c) + > 0
2 4
x - 1 x - 3
d) +
> 0
7
8
2.2.2. Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten
Bruchgleichungen mit einer Lösungsvariablen
Bei Bruchgleichungen kommen die Variablen auch im Nenner vor,
2 x - 3
z.B.: = 4,
x + 3
x
x
-
-
2
a
=
1
a
Stehen Variablen im Nenner eines Bruchterms, so kann es vorkommen, dass beim Einsetzen von
Zahlen für die Variablen der Nenner den Wert 0 annimmt. Der Term geht in diesem Fall nicht in
eine Zahl über, weil die Division durch null nicht definiert ist. Die Zahlen, die beim Einsetzen für
die Variablen den Term nicht in eine Zahl überführen, gehören nicht zum Definitionsbereich des
Terms.
In der Gleichung
2
x + 1
=
1
x - 2
nimmt beim Einsetzen von - 1 (x + 1 = 0 ) dem
Nenner des linken Bruchterms T den Wert 0 an, beim Einsetzen von 2 (x - 2 = 0 ) wird
1
der Nenner des rechten Bruchterms
T gleich null. Beide Zahlen gehören deshalb nicht zum
2
20

Definitionsbereich D der Gleichung!!!. Die Lösung einer Gleichung mit Brüchen, deren Nenner
Variablen enthalten, beginnt mit der Festlegung des Definitionsbereiches D der Gleichung.
Musterlösung 1 :
Lösungsmenge folgender Gleichung?
x
1
+
( x + 3) x ( x - 3)
1
=
2
x
2
-
9
⇒
Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D = R \ { − 3, 0, 3 }
In der Gleichung (oben) wird durch Einsetzen von { 3, 0, 3 }
− der Nenner des Bruchterms
gleich null. Aber ein Nenner darf nicht null sein ( Nenner ≠ 0 und Nenner ≠ ∞ ). Daher
dürfen { 3, 0, 3 }
− nicht zur Lösungsmenge der Gleichung gehören.
x
1
+
1
( x + 3) x ( x - 3) ( x + 3)( x - 3)
=
2
⇒
⋅ x( x
−
3 )( x
+
3 )
(Mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner x ( x 3)( x + 3)
− multiplizieren)
( x - 3) + ( x + 3) = 2 x ⇒
x
-
3
+
x
+
3
=
2 x
⇒
2 x = 2 x
14243
⇒
L
=
R
\
{ − 3, 0, 3 }
21

Musterlösung 2:
Lösung folgender Gleichung:
3
x
-
1
=
5
2 x
⇒
Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D = R \ { 0 }
3
x
-
1
=
5
2 x
⇒
⋅
( 2 x )
( 2) - 1 ⋅ ( 2 x) = ⇒
3 ⋅ 5
6 - 2 x = 5 ⇒
-
( 6 )
- 2 x
=
5
-
6
⇒
- 2 x = - 1 ⇒
:
( - 2 )
x
=
1
2
Musterlösung 3:
Lösung folgender Gleichung:
x
x
-
-
5
2
=
1
-
x
x
+ 1
- 2
⇒
Definitionsbereich der Gleichung festlegen: D = R \ { 2 }
22

x
x
-
-
5
2
+
x
x
+ 1
- 2
=
1
⇒
⋅
( x - 2 )
( x - 5) + ( x + 1) = x - 2 ⇒
2 x
-
4
=
x
-
2
⇒
2 x - 4 = x - 2 ⇒
-
( x )
2 x - x -
4
=
- 2
⇒
x
-
4
=
- 2
⇒
+
( 4 )
x = 2
dieses Element gehört nicht zur Definitionsmenge
daher: L = { }
Bespielaufgaben 2.2.2. (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten):
Lösen Sie folgende Gleichungen:
9 x - 7 4 x - 5
a) -
= 1
3 x - 2 2 x - 3
x
b) - b = 0
a
x + a x + b
c) +
= 2
x - b x - a
23

2.3 Quadratische Gleichungen
Die Allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
a x
2
+ b x + c = 0 ≠
( a 0 )
Erstens Lösungsverfahren (sog p, q – Formel):
Sie läßt sich stets in die Normalform
x
2
+
p x
+
q
=
0
⎛
⎜
⎝
p
=
b
a
,
q
=
c
a
⎞
⎟
⎠
überführen. Die (formalen) Lösungen dieser Gleichung lauten (sog p, q – Formel):
Lösungen einer in der Normalform x
2
+ p x + q = 0 gegebenen quadratischen Gleichung
(sog p, q – Formel)
x
1, 2
=
p
-
2
±
⎛
⎜
⎝
p
2
⎞ 2
⎟ ⎠
-
q
Das bedeutet 1. Lösung von x
x
1
=
p
-
2
+
⎛
⎜
⎝
p
2
⎞ 2
⎟ ⎠
-
q
p ⎛ p ⎞
2. Lösung von x x = - -
2
⎜ ⎟ - q
2 2 ⎝ 2 ⎠
Eine Fallunterscheidung wird dabei anhand der Diskriminante
D
=
⎛
⎜
⎝
p
2
⎞ 2
⎟ ⎠
-
q
wie folgt vorgenommen:
24

D > 0 : Zwei verschiedene reelle Lösungen
D = 0 : Eine reelle Lösung
D < 0 : Keine reellen Lösungen. (Die Lösungen dann sog. (konjugiert)
komplexe Zahlen.)
Musterlösung 1:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
- 2 x
2
-
4 x
+
6
=
0
⇒
- 2 x
2
- 4 x + 6 = 0 ⇒
:
(- 2 )
x
2
+ 2 x - 3 = 0 ⇒
( p = 2, q = -3 )
D
=
⎛
⎜
⎝
p
2
⎞
⎟
⎠
2
-
q
⇒
D
=
⎛
⎜
⎝
2
2
⎞
⎟
⎠
2
-
(-3
) ⇒
D = 4 > 0 ⇒ Zwei verschiedene reelle Lösungen
x
1,
2
=
-
p
2
±
⎛
⎜
⎝
p
2
⎞
⎟
⎠
2
-
q
⇒
( p = 2, q = -3 )
x
1,
2
=
-
2
2
±
⎛
⎜
⎝
2
2
⎞
⎟
⎠
2
-
(-3
) ⇒
x
1,
2
=
-1
±
4
⇒
25

x
1,
2
=
-1
±
2
x
1
=
-1
+ 2
⇒
x
1
=
1
oder
x
2
=
-1
− 2
⇒
x
2
=
-3
Lösungen: x = 1
1
x
2
=
-3
Musterlösung 2:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
3 z
2
+
9 z
+
6, 75
=
0
⇒
3 z
2
+ 9 z + 6, 75 = 0 ⇒
:
( 3 )
z
2
+
3 z
+
2,25
=
0
⇒
⎛ 3 ⎞
D =
2
⎜ ⎟ -
=
⎝ 2 ⎠
( 2,25) ⇒
( p = 3, q 2,25 )
D
= 0
⇒
Eine
reele
Lösung
26

z
1
=
-
3
2
±
⎛
⎜
⎝
-
3
2
⎞
⎟
⎠
2
-
( 2,25 )
⇒
Lösung: z = 1, 5
1
Musterlösung 3:
Lösungsmenge folgender Gleichung ?
y
2
- 4 y + 13 = 0 ⇒
=
( p = − 4, q 13 )
D
=
⎛
⎜
⎝
-4
2
⎞
⎟
⎠
2
-
( 13 ) = -9 < 0 ⇒
D
<
0
keine
reellen
Lösungen
Zweitens Lösüngsverfahren mit der binomischen Formel:
a
2
-
b
2
=
( a - b )( a + b )
Musterlösung 1:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
t
2
-
9
=
0
⇒
( t - 3 )( t + 3 ) = 0 ⇒
( t - 3 ) = 0 ⇒
1
t - 3 = 0 ⇒
1
+
( 3 )
27

t
1
=
3
oder
t
2
+
3
=
0
⇒
t + 3 = 0 ⇒
2
-
( 3 )
t
2
=
-3
Lösungen: t = 3
1
t
2
=
-3
Drittens Lösüngsverfahren mit quadratische Ergänzung:
Wie kann man eine quadratische Gleichung in eine Binomische Form bringen?
Musterlösung 1:
Lösungsmenge folgender Gleichung ?
x
2
+
6 x
+
5
=
0
⇒
x
2
+
6 x
+
⎛
⎜
⎝
6
2
⎞
⎟
2
⎠
-
⎛
⎜
⎝
6
2
⎞
⎟
2
⎠
+
5
=
0
⇒
x
2
+
6 x
+
2
2
( 3 ) - ( 3 ) + 5 = 0 ⇒
2
( x + 3 ) - 9 + 5 = 0 ⇒
2
( x + 3 ) - 4 = 0 ⇒
28

2
( x + 3 ) - 2 = 0 ⇒
2
( x + 3 - 2 )( x + 3 + 2 ) = 0 ⇒
( x + 3 - 2 ) = 0 ⇒
x + 1 = 0 ⇒
1
-
( 1 )
x
1
=
−1
oder ( x + 3 + 2 ) = 0 ⇒
x
2
+
5
=
0
⇒
−
( 5 )
x
2
=
−5
Lösungen: x = −1
1
x
2
=
−5
Bespielaufgaben 2.3. (quadratische Gleichungen):
Lösen Sie folgende Gleichungen:
a) - 2 x
2
- 4 x + 6 = 0
2
b) ( 5 x + 3 ) - ( 4 x + 2 ) = ( 2 x + 1 ) - 21
2
2
c) 3 x
2
- 27 x + 54 = 0
29

1 2 3
d) + - = 0
x x
2
x
3
1
2 3
e) +
- = 0
x - 4 x - 3 x - 1
f) x
2
- 27 = 8
g)
4 x
x - 3
=
3 x + 5
x + 2
+
12
x - 3
1 1 1
h) x
2
+ x - = 0
3 4 12
2.4 Wurzelgleichungen
In Wurzelgleichungen tritt die Unbekannte in rationaler Form innerhalb von Wurzelausdrücken
auf
Die Quadratwurzel aus einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl b, die man mit sich selbst
multiplizieren muss, um a zu erhalten.
a = b , wenn b
2
= a ( a, b ∈ R )
z.B.:
b
2
= 9
⇒
b
= 3⋅3
oder b = ( −3
)( ⋅ −3
)
b =
3
Nach der Definition (so.) ist die Quadratwurzel stets positiv. Es ist deshalb
a
2
= a , weil
das Quadrieren Vorzeichnen von a eliminieren. Berücksichtigen wir bei einer ganzen Zahl nur die
Länge ihres Pfeils, also nicht seine Richtung, so spricht man vom Betrag der Zahl. Wir bezeichnen
30

den Betrag der Zahl a mit a und lesen „ Betrag von a “. a ist daher niemals negativ. Es ist
demnach:
-3
-2 -1 0 1 2 3
-3
+3
a = a bei a > 0 z.B. : + 5 = 5
a -a
< z.B. : - -
= bei a 0
( 5 ) = 5
a = 0 bei a = 0 z.B. : 0 = 0
Musterlösung 1:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
2 ⋅ x = 5
⇒
2 ⋅ x =
2
quadrieren
14243
T T
1 2
{
5 ⇒
() ( )
4 x = 25 ⇒
:
( 4 )
x
=
25
4
Probe bei Wurzelgleichungen unbedingt durchführen!!!
auch wenn kein Rechenfehler vorliegt!!!
31

25
Probe: x = ist gefundene Lösung. Ist sie aber Lösung der vorgegebenen
4
Wurzelgleichung? Diese Frage kann nur durch eine Probe, d.h. durch Einsetzen von den
gefundenen Werten in die Wurzelgleichung entschieden werden:
⋅ 25
2
=
{
5 ⇒
144
243
4 4 T
T
2
1
⎛ 5 ⎞
2 ⋅
2
⎜ ⎟ = 5
⎝ 2 ⎠
⇒
5
2 ⋅ = 5
2
⇒
5 = 5 ⇒ T =
1
T
2
25
x = ist also eine Lösung der Wurzelgleichung.
4
L
=
⎧
⎨
⎩
25
4
⎫
⎬
⎭
Musterlösung 2:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
2 ⋅ t = -5
⇒
2⋅
t = ⇒
14243
T T
1 2
{
-5
() 2
32

4 t = 25 ⇒
:
( 4 )
t
=
25
4
Probe:
25
2 ⋅
4
1 44243 4
T
1
=
-5
213
T
2
⇒
⎛ 5 ⎞
2 ⋅
2
⎜ ⎟ = -5
⎝ 2 ⎠
⇒
5
2 ⋅ = -5
2
⇒
5 ≠ -5 ⇒ T ≠
1
T
2
25
t = ist daher keine Lösung der Wurzelgleichung!!!
4
L
=
{}
Musterlösung 3:
Lösungsmenge folgender Gleichung:
2 ⋅
t
+
3
=
t
⇒
2 ⋅ t + 3 =
{
t
144
243
4
⇒
T
T
1
2
33

2⋅
t = t - 3 ⇒
() 2
Achtung!!!:
( 5 − 2 )
2
≠ 5
2
− 2
2
≠ 25 − 4 ≠
21
sondern
( 5
−
2 )
2
=
5
2
−
2⋅5⋅2
+
2
2
⇒
( 5 − 2 )
2
= 25 − 20 + 4 =
9
4t
= t
2
- 6 t + 9 ⇒
-
( 4t )
t
2
- 10t + 9 = 0 ⇒ (quadratische Ergänzung)
t
2
-
10t
+
⎛
⎜
⎝
10
2
⎞
⎟
⎠
2
-
⎛
⎜
⎝
10
2
⎞
⎟
⎠
2
+
9
=
0
⇒
t
2
-
10t
+
2
2
( 5 ) - ( 5 ) + 9 = 0 ⇒
t
2
-
10t
+
25
-
25
+
9
=
0
⇒
2
( t - 5 ) - 16 = 0 ⇒ + ( 16 )
t
-
5
=
± 16
⇒
t
-
5
=
± 4
⇒
34

t − 5 = 4
+
1
t
1
=
9
( 5 )
oder t - 5 = - 4 ⇒
+ ( 5 )
2
t
2
=
1
Probe 1: für t = 9
1
2 ⋅ 9 +
= {
9
144
2443
⇒
T
T
1
2
9 = 9 ⇒ T =
1
T
2
t = 9 ist also eine Lösung der Wurzelgleichung.
1
Probe 2: für t = 1
1
2 ⋅ 1 +
= {
1
144
2443
⇒
T
T
1
2
5 ≠ 1 ⇒ T ≠
1
T
2
t = 1 ist daher keine Lösung der Wurzelgleichung
2
L =
{ 9 }
35

Bespielaufgaben 2.4 (Wurzelgleichungen):
Lösen Sie folgende Gleichungen:
a) 7 + x = 12
b) 56 - x = x
c) 2 x + 5 - 4 x - 4 + 1 = 0
d) 9 x - 2 = 25 x - 1 - 4 x + 1
2.5 Lineare Gleichungssysteme
In diesem Abschnitt behandeln wir unter der Bezeichnung Gaußscher Algorithmus bekannte
Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems.
Der Gaußsche Algorithmus:
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus m linearen Gleichungen mit n unbekannte
Größen x , x ,..., .
1 2 xn
Innerhalb einer jeden Gleichung treten dabei die Unbekannten in linearer Form, d.h. in der 1.
Potenz auf, versehen noch mit einem konstanten Koeffizienten.
Definition:
Das aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten
bestehende System vom Typ
x ,
1
x ,...,x
2 n
a x + a x + ... + a x =
11 1 12
1n n
c
1
a x
21 1
+ a x
22 2
+ ... + a x
2n n
=
M
M
a x
m1 1
+ a x
m2 2
+ ... + a x
mn n
=
c
2
c
m
36

heißt ein lineares Gleichungssystem. Die reellen Zahlen a ik sind die
Koeffizienten des Systems, die Zahlen c i werden als Absolutglieder
bezeichnet (i = 1, 2,…, m; k = 1, 2,.., n)
Musterlösung 1:
Lösung für x und y zu bestimmen:
(I) 2 x - 5 y = 2
(II) x + y = 1
ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei unbekannten Größen x und y.
Das von Gauß stammende Verfahren zur Lösung eines solchen Gleichungssystems ist ein
Eliminationsverfahren, das schrittweise eine Unbekannte nach der anderen eliminiert, bis nur noch
eine Gleichung mit einer einzigen Unbekannten übrig bleibt. In unserem Bespiel eliminieren wir
zunächst die unbekannte Größe x wie folgt:
Wir addieren zur I. Gleichung das -2-fache der II. Gleichung. Bei der Addition fällt dann jeweils
die Unbekannte Größe x heraus:
( I ) 2 x - 5 y =
2
( II
)
x
+
y
=
1
( I ) 2 x - 5 y =
2
( 2⋅
I )
- 2 x
-
2 y
=
- 2
(I + 2⋅I)
- 7 y = 0 ⇒ y =
0
Durch Ersetzen dieses Wert ( y = 0 ) in eine darüber stehende Gleichung erhält man den Wert
für x. Ersetzen wir y = 0 in II. Gleichung:
37

für y = 0
x
+ y = 1
⇒
x
+ 0 = 1
⇒
x =
1
Ergebnisse :
x
=
1
y
=
0
Musterlösung 2:
Lösung für x, y und z zu bestimmen:
Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei unbekannten Größen x, y und z.
( I
)
- x
+
y
+
z
=
0
( II
)
x
-
3 y
-
2 z
=
5
( III
)
5 x
+
y
+
4 z
=
3
Eliminationsverfahren:
Wir addieren zur II. Gleichung die I. Gleichung und zur III.
Gleichung das 5-fache der I. Gleichung. Bei der Addition fällt dann
jeweils die Unbekannte Größe x heraus:
( II
)
x
-
3 y
-
2 z
=
5
(I) - x + y + z =
0
(I + II) - 2 y - z =
5
38

(III)
5 x
+
y
+
4 z
=
3
( 5⋅
I) -5 x + 5 y + 5 z =
0
(III + 5⋅I)
6 y + 9 z =
3
Damit haben wir das lineare Gleichungssystem auf zwei Gleichungen mit den beiden
Unbekannten y und z reduziert:
(I + II)
- 2 y - z =
5
(III + 5⋅I)
6 y + 9 z =
3
Nun wird das Verfahren wiederholt. Um die zweite Unbekannte y zu eliminieren, addieren wir zur
Gleichung (III + 5⋅I)
das 3 fache der Gleichung (I + II)
(III + 5⋅I)
6 y + 9 z =
3
3 ⋅ (I + II)
-6 y - 3 z =
15
( III + 5⋅I
) + ( 3⋅(
I + II ))
6 z =
18
Die beiden eliminierten Gleichungen (I) und
(I + II) bilden zusammen mit der übrig
gebliebenen Gleichung (III + 5⋅I)
ein sog. Gestaffeltes Gleichungssystem, aus dem der Reihe
nach von unten nach oben die drei Unbekannten x, y und z berechnet werden können:
(I)
- x
+
y
+
z
=
0
(I
+
II)
- 2 y
-
z
=
5
(III
+
5⋅I)
6 z
=
18
Aus der letzten Gleichung folgt z = 3. Durch einsetzen dieses Wertes in die darüber stehende
Gleichung erhält man für y den Wert – 4. Aus der I. Gleichung schließlich ergibt sich:
39

Ergebnisse :
x
=
−1
y
z
=
=
−4
3
Bespielaufgaben 2.5 (lineare Gleichungssysteme):
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems:
a) 24 x + 7 y = 27
8 x
-
33 y
=
115
b) 2 s - t = 1
- s
+
2t
=
2
x + 3 y
c) = 8
x - y
7 x - 13
3 y - 5
=
4
d) - x + x = -4
1 2
- x
1
+
x
2
+
2 x
3
=
3
2 x
1
+
x
2
+
3 x
3
=
7
e) 2 x - x = 1
1 2
- 7 x
1
+
3,5 x
2
=
7
40

3. Trigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen (auch Winkelfunktionen genannt) sind periodische Funktionen und
daher zur Beschreibung und Darstellung periodischer Bewegungsabläufe besonders geeignet. z.B.
Mechanische und elektromagnetische Schwingungen (z.B. Federpendel, elektromagnetischer
Schwingkreis), Biegeschwingungen, Torsionsschwingungen, Gekoppelte Schwingungen,
Ausbreitung von Wellen.
3.1. Definition der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck
Die vier trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangen sind zunächst nur
für Winkel 0° und 90° als gewisse Seitenverhältnisse in einem rechtwinkligen Dreieck definiert.
c
a
a: Gegenkathete
b: Ankathete
c: Hypotenuse
ß
b
Trigonometrische Funktion:
Umkehrfunktion im Bereich
0° ≤ β ≤ 90°
:
sin β =
Gegenkathede a
⎛ a ⎞
=
arcsin ⎜ ⎟
Hypotenuse c
⎝ c ⎠
= β
cos β =
Ankathede b
⎛ b ⎞
=
arccos ⎜ ⎟
Hypotenuse c
⎝ c ⎠
= β
Gegenkathede a a / c
tan β =
= = =
Ankathede b b / c
sin β
cos β
⎛
arctan ⎜
⎝
a
b
⎞
⎟
⎠
=
β
Ankathede b b / c cos β
cot β = = = =
⎛ b ⎞
arc cot ⎜ ⎟ = β
Gegenkathede a a / c sin β
⎝ a ⎠
41

3.2. Winkelmaße (Grad- und Bogenmaß)
Winkel werden im Grad- oder Bogenmaß gemessen. Als Gradmaß verwenden wir das sog.
Altgrad, d.h. eine Unterteilung des Kreises in 360 Grade. Das Bogenmaß definieren wir wie folgt:
Definition:
Unter dem Bogenmaß x eines Winkel β (im Gradmaß) verstehen wir die Länge
desjenigen Bogens, der dem Winkel β im Einheitskreis (Radius r = 1)
gegenüberliegt (Bild 3.2.1).
v
1
ß
Bogenmaß x
u
Bild 3.2.1.
Anmerkung:
Das Bogenmaß x lässt sich auch etwas allgemeiner definieren. Ist b die Länge des Bogens, der in
einem Kreis vom Radius r dem Winkel β gegenüber liegt, so gilt (Bild 3.2.1.):
Bogenlänge
x =
=
Radius
b
r
Das Bogenmaß ist demnach eine dimensionslose Größe, die „Einheit“ Radiant (rad) wird meist
weggelassen.
42

Zwischen Bogenmaß x und Gradmaß β besteht die lineare Beziehung :
x
β
=
2π
360°
=
π
180°
Sie ermöglicht eine Umrechnung zwischen den beiden Winkelmaßen.
Musterlösung 1:
Umrechnung vom Gradmaß (α) ins Bogenmaß (x):
x
=
π
180°
⋅α
α 30° 45° 90° 180° 225° 360°
x
π
6
π
4
π
2
π
5
π
4
2 π
Musterlösung 2:
Umrechnung vom Bogenmaß (x) ins Gradmaß (α):
α
=
180°
π
⋅ x
x 0,43 0,98 1,61 2,08 4,12 π
α 24,64° 56,15° 92,25° 119,18° 236,06° 180°
3.3. Drehsinn eines Winkels
Drehsinn eines Winkels: Im Gegenuhrzeigersinn überstrichene Winkel werden positiv (positiver
Drehsinn), im Uhrzeigersinn überstrichene Winkel negativ gezählt (negativer Drehsinn) (Bild
3.3.1.).
43

v
1
ß
-ß
P
P'
x
u
- x
Bild 3.3.1. Zur Festlegung de Drehsinns eines Winkels
3.4. Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis
Unter dem Sinus eines beliebigen Winkels β versteht man den Ordinatenwert des zu β gehörenden
Punktes P auf dem Einheitskreis (Bild 3.4.1). .Bei einem vollen Umlauf auf dem Einheitskreis (im
positiven Drehsinn) durchläuft der Winkel β alle Werte zwischen 0° und 360° und die
Sinusfunktion sin β dabei alle Werte im Intervall [ − 1, 1]
, d.h. sin β ≤ 1.
Unter dem Kosinus eines beliebigen Winkels β versteht man den Abszissenwert des Punktes P auf
dem Einheitskreis wieder (Bild 3.4.1.). Analoge Überlegungen wie beim Sinus führen schließlich
zu der für beliebige Winkel β definierten Kosinusfunktion cos β , cos β ≤ 1 .
v
1
ß
cos ß
P
sin ß
u
Bild 3.4.1 Darstellung von Sinus und Kosinus im Einheitskreis
44

Es gilt also:
sin (180°
− β ) = sin β
Bespielaufgaben 3.4 (Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis):
Begründen Sie folgende Ausdrücke am (am Einheitskreis):
sin (180° − β ) = sin β cos(180° − β ) = −cos
β tan(180°
− β ) = −tan
β
sin(180° + β ) = − sin β cos(180° + β ) = −cos
β tan (180°
+ β ) = tan β
sin( 360° − β ) = − sin β cos ( 360° − β ) = cos β tan( 360°
− β ) = −tan
β
sin ( 360° + β ) = sin β cos ( 360° + β ) = cos β tan ( 360°
+ β ) = tan β
sin(
− β ) = − sin β
cos ( − β ) = cos β
tan(
− β ) = −tan
β
sin( β )
π
π
= cos( β − ) cos( β ) = sin( β + )
2
2
Tabelle 3.4.1: Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion (k Є Z)
y = sin x
y = cos x
Definitionsbereich
−∞
< x < ∞ −∞
< x < ∞
Wertebereich − 1 ≤ y ≤ 1
− 1 ≤ y ≤ 1
Periode (primitive) 2 π 2 π
Symmetrie ungerade gerade
Nullstellen
Relative Maxima
Relative Minima
π
x k
= k π
x k
= + k π
2
π
x k
= + k 2π
x k
= k 2π
2
3
x k
= π + k 2π
x k
= π + k 2π
2
45

3.5. Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
3.5.1. „Trigonometrischer Pythagoras“ (Bild 3.5)
2
2
( sin α ) + ( cosα
) = sin α + cos α = 1
2
2
v
1
ß
cos ß
P
sin ß
u
Bild 3.5.1. zur Herleitung des „trigonometrischen Pythagoras“
3.5.2. Additionstheoreme für die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion
sin
( ± ) = sin ( ) cos ( ) ± cos ( ) sin( )
x 1
x 2
x 1
( ± ) = cos ( ) cos ( ) sin ( ) sin ( )
x 2
cos x 1 x 2 x 1 x 2 m
x 1
x 1
x 2
x 2
tan
( ± )
x 1
x 2
=
1
tan
m
( x 1 ) ± tan ( x 2 )
tan ( ) tan ( )
x 1
x 2
Aus ihnen lassen sich weitere wichtige Beziehungen herleiten. Setzt man in den
Additionstheoremen von Sinus und Kosinus jeweils x1 = x2 = x und nimmt das obere Vorzeichen,
so erhält man folgende Formeln:
sin
( 2 x ) = 2 sin( x ) cos ( x )
cos
2
( 2 x ) = cos ( x ) - sin ( x )
2
46

Aus diesen wiederum ergeben sich zusammen mit dem „trigonometrischen Pythagoras“ die
Beziehungen:
2
sin
1
2
( x ) = [ 1 - cos ( 2 x )]
cos
2
=
1
2
( x ) [ 1 + cos ( 2 x )]
3.5.3. Sinussatz
Für ein beliebiges Dreieck gilt:
a
sin
=
b
sin
c
sin
( A ) ( B ) ( C )
=
B
c
a
b
C
A
3.5.4. Kosinussatz
Für ein beliebiges Dreieck (gemäß Skizze) gelten die folgenden drei Beziehungen:
a
2
=
b
2
+
c
2
-
2⋅b⋅c⋅cos
( A )
b
2
=
a
2
+
c
2
-
2 a⋅
c⋅cos
( B )
c
2
=
a
2
+
b
2
-
2⋅
a⋅b⋅cos
( C )
47

Musterlösung 1:
Gegeben: sin ( α )
=
3
2
Gesucht: cos ( α )
sin
2. Quadranten
2 /3
√3/2
2
1. Quadranten
/3
-1/2 1/2
1
cos
3. Quadranten 4. Quadranten
„Trigonometrischer Pythagoras“
2
( sinα
) + ( cosα
) = 1 ⇒
2
⎛
⎜
⎝
3
2
⎞
⎟ 2
⎠
+
cos
2
α
=
1
⇒
cos
2
α
3
+ = 1
4
⇒
2
cos α
+
3
4
=
1
⇒
-
⎛
⎜
⎝
3
4
⎞
⎟
⎠
cos
2
α = 1 -
3
4
⇒
48

2
cos α
=
4⋅
( 1 ) − 4⋅( 3 )
4⋅( 1 )
⇒
cos
2
α
=
4
-
4
3
⇒
2
cos α
=
1
4
⇒
( )
cos α
1
2
( ) = ± ⇒
1
( α ) = ⇒ α =
π + 2 k
cos
1
π
1 2
3
1
2π
( α ) = ⇒ α = + 2π
k
( k Z )
cos
2
∈
2 2
3
Musterlösung 2:
Gegeben: a = 138 m, α = 64° und β = 53°
Gesucht:
c
b
h
a
p
c
q
ß
49

α + β + θ = 180°
⇒ (Winkel Summe eines Dreiecks)
θ
= 180°
− ( α + β )
⇒
θ
= 63°
⇒
sinθ
sin β
=
a
c
⇒
c
sinθ
= ⋅a
sinα
⇒
sin63°
c = ⋅138
⇒ c =
sin64°
136,8
m
Musterlösung 2:
Gegeben:
4
3
sin α = , sin ß = und a = 130 m
5
5
Gesucht:
c
b
a
b
h
a
c
ß
p
c
q
ß
50

2
( sin α ) + ( cosα
) = 1 ⇒
2
⎛
⎜
⎝
4
5
⎞
⎟
⎠
2
+
cos
2
α
=
1
⇒
16
25
+ cos
2
α = 1
⇒
16
25
+
cos
2
α
=
1
⇒
− (
16
25
)
cos
2
α
=
1
−
16
25
⇒
cos
2
α
=
25 −
25
16
⇒
9
cos
2
α = ⇒ cos α =
25
3
5
gemäß Skizze
cos α =
3
5
( sin β )
2
+ ( cos β)
2
= 1
⇒
⎛
⎜
⎝
3
5
⎞
⎟
⎠
2
+
cos
2
β
=
1
⇒
9
25
+ cos
2
β = 1
⇒
9
25
+
cos
2
β
=
1
⇒
−
⎛
⎜
⎝
9
25
⎞
⎟
⎠
51

2
cos β
=
1
−
9
25
⇒
cos
2
β
=
25 −
25
9
16
cos
2
β = ⇒ cos β = ±
25
4
5
4
3
sin α = , sin ß = und a = 130 m
5
5
gemäß Skizze
cos β =
4
5
b ⋅ cosα
+ a ⋅ cos β =
c
( 1)
b ⋅sinα
=
a⋅sin
β
⇒
( 2)
4 3
b ⋅ = 130⋅
⇒ b = 97,5 m
(Einsetzen in (1))
5 5
3 4
97 ,5 ⋅ + 130⋅
= c ⇒ c =
5 5
162,5 m
Bespielaufgaben 3. (Trigonometrische Funktionen):
1) Wie hoch ist ein Turm, der unter dem Winkel von 2° in der Ferne erscheint und nach der
Kante 5 km entfernt ist?
2) Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen
a) sin
2
x + sin x = 0
52

) 3 sin
2
x + 7 cos
2
x = 4
3) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme:
a) sin ( 2α
) = 2 sin ( α ) cos ( α )
2
b) sin ( α ) = ( 1 - cos( 2α ))
1
2
c) sin ( 3α
) = 3 sin( α ) - 4sin
( α )
3
d) cos ( 2α
) = cos ( α ) - sin
( α )
2
2
2
e) cos ( α ) = ( 1 + cos( 2α ))
1
2
4. Exponential- und Logarithmusgleichungen
Eine Exponentialgleichung liegt vor, wenn die Unbekannte Größe nur im Exponenten von
Potentialdrücken auftritt. Ein allgemeines Lösungsverfahren für Gleichungen dieser Art lässt sich
leider nicht angeben. In vielen Fällen gelingt es jedoch, die Exponentialgleichung nach
elementaren Umformungen und anschließendem Logarithmieren zu lösen.
+
Für alle a ∈ R gilt; a
b
= x ⇒ b = log x ; ( b > 0; a > 0 und a ≠ 1)
a
für den Exponenten x führt man die Bezeichnung „Logarithmus von x zur Basis a “ ein
53

Beispiele:
3
(1) 10 ⇒
log ( )
10
log 10
3
=
10
3
(2) log 32 = log 2
5
= 5
2 2
(3) 0,01
⇒
log ()
10
log 10
10
- 2
=
- 2
4.1. Rechenregeln für Logarithmen
Für alle
+
a ∈ R gilt
1) log ( x⋅
y ) = log x + log y
a
a
a
x
2) log = log x - log y
a y a a
3) log x
n
= n⋅log
x
a
a
4) log a
n
n⋅log
a = n
a
a
= ( log = 1 )
a a
5) log 1 = 0
a
54

Beispiele (Rechenregeln für Logarithmen):
1) log ( 8⋅4 ) = log 8 + log 4 ⇒
2
2 2
log 2
3
+ log 2
2
= 3 + 2 =
2 2
5
⎛ 81 ⎞
2) log3⎜
⎟ = log 3 81 - log 3 27 ⇒
⎝ 27 ⎠
log 3
4
- log 3
3
= 4 − 3 =
3 3
1
4
5 125
3) log = 4⋅( 125 ) ⇒
log 5
4 ⋅ (log 5
3
) = 4⋅3
=
5
12
4.2. Spezielle Logarithmen
log r =
e
ln r
(natürliche
Logarithmus)
log r =
10
lg r
(Zehnerlogarithmus)
log r =
2
lb r
(Zweierlogarithmus
55

4.3. Basiswechsel a b
log
b
r
=
log r
a
log b
a
=
1
( ) ⋅log
r
log b a
14243 a
K
=
K ⋅log
r
a
So gilt beispielsweise für die Umrechnung zwischen dem Zehnerlogarithmus und dem natürlichen
Logarithmus:
ln r
=
lg r
lg e
=
lg r
0,4343
=
2,3026 ⋅lg r
lg r
=
ln r
ln10
=
ln r
2,3026
=
0,4343⋅ln r
Musterlösungen 1:
a) log 8 = 2 = log 2
3
= 3
2
2
b) log 625 = log 5
4
= 4
5
5
4
c) log 0,004 = log ⇒
5
5 100
log
5
1
25
=
log
5
- 2
5
=
- 2
56

Musterlösung 2:
5⋅
2
x
- 3 = 7 ⇒ ( Auflösung nach
x
2
)
5⋅
2
x
- 3 = 7 ⇒
+
( 3 )
5 ⋅2
x
= 3 + 7
⇒
5 ⋅ 2
x
= 10 ⇒ :
( 5 )
2
x
= 2 ⇒
log () (Logarithmieren)
2
log 2
x
= log 2 ⇒ x =
2 2
1
Musterlösung 3:
4⋅
2
x
- 1 = 15 ⇒ ( Auflösung nach
x
2
)
4⋅
2
x
- 1 = 15 ⇒
+
( 1 )
4 ⋅2
x
= 1 + 15
⇒
4 ⋅ 2
x
= 16 ⇒ :
( 4 )
2
x
= 4 ⇒
ln () (logarithmieren)
ln 2
x
=
ln 4
⇒
57

x ⋅ln 2 = ln4
⇒
ln 4
x = =
ln 2
2
Musterlösung 4:
3
x
-
4
=
2
⇒
3
x
3
4
=
2
⇒
⋅ ⎜
⎛
⎝
3
4
⎟
⎞
⎠
3
x
=
2⋅3
4
⇒
3
x
= 162 ⇒ ln () (logarithmieren)
x⋅
ln 3
=
ln162
⇒
x
=
ln162
ln 3
Musterlösung 5:
2 x
e
= 1
⇒
2 x
e
= 1 ⇒ ln( ) (logarithmieren)
2 x
⋅ lne = ln1
⇒
2 x
⋅ log e = log 1
e e
⇒
2 x = 0 ⇒ x =
0
58

Musterlösung 6:
2
x
+
- x
4⋅2
+ 2 = 0
⇒
4
2
x
+ + 2 = 0 ⇒
(Substitution
2
x
z = 2
x
)
z
+
4
z
+
2
=
0
⇒
⋅
( z )
( z ≠ 0 und z ≠ ∞)
z
2
+
4
+
2 z
=
0
⇒
2
( z + 2 ) = 0 ⇒
z + 2 = 0 ⇒
-
( 2 )
z = -2
z
= 2
x
⇒
log () (logarithmieren)
2
x = log ( -2 ) ist nicht definiert!!!
2
daher: x = {}
Weil a
b
= x ⇒ b = log x ( b > 0, a > 0 und a ≠ 1)
a
59

Bespielaufgaben 4. (Exponential- und Logarithmusgleichungen):
1) Berechnen Sie mit Hilfe von lg( 3 ) = 0, 477 ohne Rechner:
a) lg ( 9 ) b) lg ( 10 )
c) lg ( 0,9 )
⎛ 1 ⎞
lg e) lg ⎜ ⎟ f)
⎝ 3 ⎠
d) ( 3 )
10
3
2) Lösen Sie folgende Gleichungen:
x - 1
⎛ 1 ⎞
a) 3 = 27
b)
x
⎜ ⎟⎠ = 20
⎝ 2
c)
2 x - 4
256 ⋅ 0,5 = 2
x
d)
4 x
3
-
4
=
3
x
3
+
1
e)
⎛ 20 x
⎜ b
⎝
-
7
9
⎞
⎟
⎠
-
3 x
=
⎛ 15 x
⎜ b
⎝
-
3
⎞ 7
⎟ ⎠
-
4 x
1
f)
⎛ x + 1 x - 1
=
⎞
⎜ 8 - 8 ⎟
2 ⎝
⎠
15 g) log ( 2 x + 3 )
10
=
3
4
60

5. Lösungen von Beispielaufgaben:
Beispielaufgaben 1.1. (Brüche):
a)
a
2
- ba +
2
b
b)
1
2 s
4
c) 1 - u
2
- u
d)
x
a
+
1
Beispielaufgaben 1.2. (Potenzen):
a)
9 b
2
20 b
b)
m + 1
8 y
2m
5 x z
c)
5a
3 z
( x - y )
Beispielaufgaben 1.3. (Wurzeln):
a)
( a + b )
b a
2
b) 16
61

c)
1
28
d) 13
Beispielaufgaben 2.1 (Lineare Gleichungen):
a) 6
b) 11
c) 3
d) 5
e) 4
f) a
Beispielaufgaben 2.2.1.a (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten):
a) - 15
b)
7
-
11
c) - 8
62

Bespielaufgaben 2.2.1.b (Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen
enthalten):
⎡ 4
a) ⎢-
⎣ 5
,
⎞
∞ ⎟
⎠
⎛ 8 ⎞
b) ⎜-
∞, - ⎟
⎝ 11 ⎠
⎛ 5 ⎞
c) ⎜ , ∞ ⎟
⎝ 3 ⎠
⎛ 29 ⎞
d) ⎜ , ∞ ⎟
⎝ 15 ⎠
Bespielaufgaben 2.2.2. (Gleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten):
a) 1
b) b a
1
2
c) ( a + b )
Bespielaufgaben 2.3. (quadratische Gleichungen):
a) Zwei verschiedene reelle Lösungen
x
1
=
-3
x =
2
1
63

) Keine reellen Lösungen. (Die Lösungen dann sog. (konjugiert) komplexe Zahlen.)
x = -1 +
1
2i
x
2
=
-1
-
2i
c) Zwei verschiedene reelle Lösungen
x
1
=
6
x
2
=
3
d) Zwei verschiedene reelle Lösungen
x
1
=
1
x
2
=
-3
e) Eine reelle Lösung
x
1
=
25
7
f) Zwei verschiedene reelle Lösungen
x
1
=
35
x = -
2
35
64

g) Eine reelle Lösung
x
1
=
-3
h) Zwei verschiedene reelle Lösungen
x
1
=
1
4
x = - 1
2
Bespielaufgaben 2.4 (Wurzelgleichungen):
a) x = 25
b) x = 49
c) x = 10
d) x = 2
Bespielaufgaben 2.5 (lineare Gleichungssysteme):
a) x = 2
y
=
-3
b)
s
=
4
3
t
=
5
3
65

c) x = 11
y
=
7
d)
x
1
=
1
6
x
2
=
-
23
6
x
3
=
7
2
e) keine Lösung
Bespielaufgaben 3.4 (Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion im Einheitskreis):
sin (180° − β ) = sin β cos(180° − β ) = − cos β tan(180°
− β ) = −tan
β
sin(180° + β ) = − sin β cos(180° + β ) = −cos
β tan (180°
+ β ) = tan β
sin( 360° − β ) = − sin β cos ( 360° − β ) = cos β tan( 360°
− β ) = −tan
β
sin ( 360° + β ) = sin β cos ( 360° + β ) = cos β tan ( 360°
+ β ) = tan β
sin(
− β ) = − sin β
cos ( − β ) = cos β
tan(
− β ) = −tan
β
sin( β )
π
π
= cos( β − ) cos( β ) = sin( β + )
2
2
Bespielaufgaben 3. (Trigonometrische Funktionen):
1) 174 , 6
2) a)
lsg . :
=
0,
-
π
2
66

)
π π 2π
lsg.
: , - , , -
3 3 3
2π
3
3) a) sin ( 2α
) = 2 sin ( α ) cos ( α )
2
b) sin ( α ) = ( 1 - cos( 2α ))
1
2
c) sin ( 3α
) = 3 sin( α ) - 4sin
( α )
3
d) cos ( 2α
) = cos ( α ) - sin
( α )
2
2
2
e) cos ( α ) = ( 1 + cos( 2α ))
1
2
Bespielaufgaben 4. (Exponential- und Logarithmusgleichungen):
1) a) 0 , 954
b) 1
c) - 0, 046
d) 0 , 24
e) - 0, 48
f) 4 , 8
2) a) 4
b)
-
ln( 20 )
ln( 2 )
67

c) 4
d) 2
e)
1
2
f)
40
ln( )
11
3ln( 2 )
68