Formelsammlung 3 (Schwingungen und Wellen)

10.1 Der freie ungedämpfte Oszillator
Differentialgleichung : x& & + ω ² ⋅x
= 0
Lösungsansatz : x ( t)
= A ⋅cos(
ω 0 ⋅t
± ϕ)
0
⋅(
w ⋅t±
ϕ )
i 0
x(
t)
= A ⋅e
(komplexe Darstellung)
Geschwindigkeit : v( t)
= x&
( t)
= −A
⋅ω
⋅sin(
ω0
⋅t
± ϕ)
= A ⋅ω
Beschleunigung : a( t)
= v&
( t)
= x&
& ( t)
= −A⋅
ω ² ⋅cos(
ω0
⋅t
± ϕ)
Kreisfrequenz :
ω
0
= 2 ⋅π
⋅ν
0
2 ⋅π
=
T
1 2 1 2 1
Gesamtenergie : EGes = Ekin
+ Epot
= ⋅ m ⋅v
( t)
+ ⋅ k ⋅ x ( t)
= ⋅ m ⋅ω
² ⋅ A²
= const.
2 2 2
Lineares Federpendel :
Schwimmender Körper :
U-Rohr :
mathematisches Pendel :
Physikalisches Pendel :
Kreispendel :
Dreh-/ Torsionspendel :
x& &
ω
T
x& &
ω
T
x& &
ω
T
k
+ ⋅x
= 0
m
0
=
0
k
m
2⋅π
= = 2⋅π
⋅
ω
g ⋅ A ⋅ ρ
+ ⋅ x = 0
M
0
=
g ⋅ A ⋅ ρ
M
0
m
k
= 2⋅
π
x0
g
2⋅π
M
= = 2⋅π
⋅ = 2⋅π
ω g ⋅ A⋅
ρ
0
2 ⋅ g
+ ⋅x
= 0
L
0
=
2⋅
g
L
2⋅π
L
= = 2⋅π
⋅ = π⋅
ω 2⋅
g
0
T = 2⋅π
⋅
0
l
g
2⋅
L
g
h
g
v max
a
max
= A ⋅
ω
(L ist Länge der Fl.säule)
I D
T0
= 2⋅π
⋅
(s = Abstand zw. SP & DP)
m ⋅ g ⋅ s
T = 2⋅π
⋅
k
T
0
D
0
= 2⋅π
⋅
α(
t)
= α
max
h
g
4
M π⋅
G ⋅ R
= =
ε 2⋅
L
I
k
D
= 2⋅π
⋅
⋅sin(
ω ⋅t
± ϕ)
0
2⋅
I ⋅ L
π⋅
G ⋅ R
4
2

10.3 Überlagerung von Schwingungen
zwei Schwingungen gleicher Schwingungsrichtung und gleicher Frequenz
ursprüngliche Schwingungen: x 1(
t)
= A1
⋅sin(
ω ⋅t
+ ϕ1
)
x 2(
t)
= A2
⋅sin(
ω ⋅t
+ ϕ2
)
resultierende Schwingung : xr ( t)
= Ar
⋅sin(
ω ⋅t
+ ϕr
)
A r
ϕ
r
⋅ A1
⋅ 2 ⋅cos(
ϕ1 − 2 )
( ϕ1
) + A2
⋅sin
( ϕ2
)
( ϕ ) + A ⋅cos(
ϕ )
=
2
A1
2
+ A2
+ 2 A ϕ
A1
⋅sin
= arctan
A ⋅ cos
zwei Schwingungen gleicher Schwingungsrichtung und verschiedener Frequenz
gleiche Amplitude und Phasenverschiebung
��Schwebung
ursprüngliche Schwingungen: x 1(
t)
= A⋅
sin( ω 1 ⋅t
+ ϕ)
x t)
= A ⋅sin(
ω ⋅t
+ ϕ)
2(
2
resultierende Schwebung :
⎛ω1 −ω2
⎞ ⎛ ω1
+ ω2
⎞
xr ( t)
= 2⋅
A ⋅cos⎜
⎟⋅
t ⋅sin
⎜ ⎟⋅
t
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Schwebungsdauer :
2 ⋅π
T =
ω −ω
Schwebungsfrequenz : = f 1− f 2
f S
1
2
⎛ 1 + 2 ⎞
Dies ist eine Schwingung mit der Frequenz⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
ω ω
⎛ 1 − 2 ⎞
und der Amplitude 2 ⋅ A ⋅cos⎜
⎟ ⋅t
⎝ 2 ⎠
ω ω
Zweidimensionale Überlagerung �� Lissajou Figuren
ursprüngliche Schwingungen: x( t)
= A ⋅sin(
ω ⋅t)
y ( t)
= B ⋅sin(
ω ⋅t
+ ϕ)
2 2
x y 2 ⋅ x ⋅ y
2
resultierende Schwingung : + − ⋅cosϕ
= sin ϕ
2 2
a b a ⋅b
Überlagerung mehrerer Schwingungen �� Fourier Analyse
∑ ∞
s=
1
1
1
( a ⋅cos(
s ⋅ω
⋅t
) + b ⋅sin(
s ⋅ ⋅t
) ) y ( x)
= a + ( a ⋅cos(
s ⋅k
⋅ x)
+ b ⋅sin(
s ⋅ k ⋅ x)
)
y( t)
= a +
ω
a
a
b
0
s
s
0
T
1
= ⋅∫
f ( t)
⋅dt
T
2
= ⋅
T
2
= ⋅
T
0
T
∫
0
T
∫
0
s
s
a
0
2
0
∑ ∞
s=
1
λ
1
= ⋅∫
f ( x)
⋅dx
λ 0
λ
2
f ( t)
⋅cos(
s ⋅ω
⋅t)
⋅dt
= ⋅∫
f ( x)
⋅cos(
s ⋅ k ⋅ x)
⋅dx
a s
λ 0
λ
2
f ( t)
⋅sin(
s ⋅ω
⋅t)
⋅dt
= ⋅∫
f ( x)
⋅sin(
s ⋅ k ⋅ x)
⋅dx
Fourrier-Satz : Eine Funktion f(x) ,die eine räumliche Periode λ hat, kann durch eine Summe von
harmonischen Funktionen zusammengesetzt werden, deren Wellenlänge ganzzahlige
Teiler von λsind.
b s
λ 0
2
s
s

10.4 Der freie gedämpfte Oszillator
Bewegungsgleichung : m ⋅ x& & = −b
⋅ x&
− k ⋅ x
(b ist Dämpfungskoeffizient)
Differentialgleichung : x& & + 2⋅ γ ⋅x&
+ ω0
² ⋅x
= 0
Dämpfungskonstante :
Eigenkreisfrequenz :
b
γ =
2 ⋅m
ω 0
=
k
m
Gesamtenergie :
k
− γ ⋅t
2 m 2 2 − 2⋅γ
⋅t
EGes
= ⋅ ( A ⋅ e ) = ⋅ω
0 ⋅ A ⋅ e
2
2
?????
Entzogene Leistung :
dEGes
2 −2⋅γ
⋅t
P = = −γ
⋅ω0
⋅ A²
⋅e
dt
= −γ
⋅ EGes
?????
a) schwache Dämpfung, d.h.: 0 ω γ <
−γ
⋅t
Lösungsansatz : x(
t)
= A ⋅e
⋅ cos( ω⋅
t ± ϕ)
−γ⋅t
⎡ ω ⎤
Geschwindigkeit : v(
t)
= x&
( t)
= −A
⋅γ
⋅e
⋅ ⎢cos(
ω⋅
t)
+ ⋅sin(
ω⋅
t)
⎥
⎣ γ ⎦
Kreisfrequenz :
Periodendauer :
Amplitudenverhältnis :
ω = ω −γ
2
0
2
2⋅π
2⋅π
T = = = 2⋅
π⋅
ω ω²
−γ
²
x( t + T)
−γ⋅T
x(
t)
= e
4⋅
m²
4⋅
m ⋅ k − b²
−γ
⋅t
⎡ x( t)
⎤ ⎡ e ⎤ γ⋅T
Logarithmisches Dekrement : Λ = ln ⎢ =
= e = ⋅T
t T
x t T
⎥ ln ⎢ − ⋅ +
e
⎥ ln γ
γ ( )
⎣ ( + ) ⎦ ⎣ ⎦
Gütefaktor :
ω ω0
⋅ m E
Q = = = 2⋅π
⋅
2⋅
γ b ΔE
?????
0 ?????
Die Kreisfrequenz ω = ω²
−γ
² der gedämpften Schwingung bei gleicher Rückstellkraft ist kleiner,
als die der ungedämpften Schwingung. Die Frequenzverschiebung wächst mit steigender Dämpfung.
b) starke Dämpfung, d.h.: 0 ω γ >
Kreisfrequenz : α = γ²
−ω²
v0
−γ⋅t
Lösung : x(
t)
= ⋅e
⋅sinh(
α⋅
t)
x ( 0)
= 0 x&
( 0)
= v
α
Die Schwingung besteht aus einer einzigen Auslenkung, die für t → ∞ langsam gegen Null geht. Man
nennt diesen Fall Kriechfall, eil die Amplitude nach Erreichen ihres Maximums nur sehr langsam
gegen Null kriecht.
c) aperiodischer Grenzfall, d.h. 0 ω γ =
Lösung :
x
Anf.bed.: 0
−γ
⋅t
( t)
= v0
⋅t
⋅e
Anf.bed.: x ( 0)
0 x(
0)
= v0
−γ
⋅t
( t)
= A(
1+
γ ⋅t
) ⋅e
Anf.bed.: x( 0)
= A x&
( 0)
= 0
x
= &
Die Auslenkung geht am Schnellsten wieder auf Null zurück. Man spricht von optimaler Dämpfung.

10.5 Erzwungene Schwingungen
Differentialgleichung :
2 F0
x& & + 2⋅
γ ⋅x&
+ ω0
⋅x
= ⋅cos(
ω⋅
t)
m
Stationärer Fall : x ( t)
= A ⋅cos(
ω ⋅t
+ ϕ)
Phasenwinkel :
Amplitude :
ϕ
⎛ 2 ⋅γ
⋅ω
arctan
⎜ − 2
⎝ ω 0 − ω
⎞ ⎛
⎟ = arctan
⎜ −
⎠ ⎝ m
ω ⋅ b
= 2
2
0
A =
F0
Erregeramplitude : xErreger = 2
m ⋅ω
Gütefaktor :
ω0
Q =
2⋅
γ
⎞
( ) ⎟⎟
2
ω − ω
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ω −ω
) + 4 ⋅γ
⋅ω
m ⋅ ( ω −ω
) + b ⋅ω
Resonanz : ω R =
2 2
ω0
− 2⋅
γ =
2
2 b
ω0
− 2
2⋅
m
A R =
2 ⋅ m ⋅ γ
F 0
⋅ ω 2 − γ 2
Resonanzüberhöhung :
x
x
Re sonanz
Erreger
Halbwertsbreite : Δω = 3 ⋅γ
10.9 Mechanische Wellen
0
0
F
0
m
2
ω0
=
2⋅γ ⋅ γ
=
( )
0
2 2 ( ω − )
Eine Welle ist ein Vorgang, bei dem sich eine Schwingung vom Ort ihrer Erregung infolge von
Kopplung an benachbarte, schwingungsfähige Systeme, im Raum ausbreitet.
2 2 2
2
2
∂ ξ ∂ ξ ∂ ξ 1 ∂ ξ 1 ∂ ξ
Wellendifferentialgleichung : + + − ⋅ = Δξ
− ⋅ = 0
2 2 2 2 2
2 2
∂x
∂y
∂z
v ∂t
v ∂t
Laplace Operator :
2
∂
Δ = 2
∂x
2
∂
+ 2
∂y
2
∂
+ 2
∂z
Phasengeschwindigkeit :
ω λ
vPhase = = ν ⋅λ
=
k T
Gruppengeschwindigkeit :
∂v
Phase
v Gruppe = vPhase
− λ⋅ ∂λ
k-Vektor :
⋅π
=
λ
2
k
Wellenfunktion - ebene Welle : f ( x,
t)
= A ⋅sin(
ω ⋅t
− k ⋅ x)
(Ausbreitung in pos. x-Richtung)
f ( x,
t)
= A ⋅sin(
ω ⋅t
+ k ⋅ x)
(Ausbreitung in neg. x-Richtung)
f ( r, t)
= A ⋅sin(
ω ⋅t
+ k ⋅r)
(Ausbreitung in beliebige Richtung)
f ( x,
t)
= A ⋅e
i⋅(
ω⋅t±
k⋅
x)
Wellenfunktion – Kugelwelle :
A
A
ξ ( r,
t)
= ⋅sin(
ω⋅t
− k ⋅r
) = ⋅e
r
r
Übertragene Leistung :
1 2 2
P
= ⋅ μ⋅ω ⋅ A ⋅ν
2
0
0
F
(komplexe Darstellung)
i⋅(
ω ⋅t−k⋅
r)
0
⎠

Ausbreitungsgeschwindigkeit in verschiedenen Medien
Longitudinal – fester Körper :
Longitudinal – Flüssigkeiten :
Transversal – fester Körper :
Transversal – gespannte Saite :
Schallwellen in Gasen :
Energiedichte :
Intensität :
v Phase =
v Phase =
v Phase =
v Phase =
v Phase
=
W
ΔV
E
ρ
K
ρ
G
ρ
F
μ
K
=
ρ
1
2
γ ⋅ R ⋅T
M
2
σ = = ⋅ ρ ⋅ A ⋅
1
2
ω
2
I = σ⋅ vPhase
= ⋅v
Phase ⋅ ρ ⋅ A ⋅
Als Intensität oder Energieflussdichte einer Welle bezeichnet man die Energie, die pro Zeiteinheit
durch eine zur Ausbreitungsrichtung der Welle senkrechte Flächeneinheit transportiert wird.
Die Intensität I einer Welle ist proportional zum Quadrat der Amplitude A und der Frequenz ω der
Welle.
10.12 Stehende Wellen
ankommende Welle : ξ 1 = A ⋅cos(
ω⋅t
+ k ⋅ x)
reflektierte Welle : ξ 2 = A ⋅cos(
ω⋅t
− k ⋅ x + ϕ)
(ϕist mgl. Phasensprung)
stehende Welle :
⎛ ϕ⎞
⎛ ϕ
ξ = 2⋅
A ⋅cos
⋅
⎞
⎜k
⋅ x − ⎟ cos⎜ω⋅
t + ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Schwingungsknoten :
1
x = ⋅ [ ( 2 ⋅n
+ 1)
⋅π
+ ϕ]
4⋅
π
Schwingungsbäuche :
( 2⋅ n + ϕ)
⋅π
x =
2⋅
k
Transversalwellen :
• Festes Ende : Phasensprung von 180°
• Loses Ende : kein Phasensprung
Longitudinalwellen :
• Festes Ende : kein Phasensprung
• Loses Ende : Phasensprung von 180°
2
ω
2

Thermodynamik
a) Festkörper & Flüssigkeiten :
Längenänderung :
l
l
T1
T1
= l
− l
0K
T 2
⋅
( 1+
α⋅T
)
lT
1 ⋅α⋅
ΔT
=
1+
l ⋅α
T1
2
Näherung:
Δl
= l
0
⋅α⋅
ΔT
VT1
⋅γ
⋅ΔT
Volumenänderung : VT
1 −VT 2 =
Näherung:
ΔV
= V0
⋅3α
⋅ΔT
1+
V ⋅γ
Dichteänderung :
ρ
res
ρ0
=
1+
γ ⋅ΔT
Dulong-Petitsches Gesetz : = 3 ⋅ N ⋅k
⋅T
= 3⋅
R
b) Ideales Gas :
CV A B
Zustandsgleichung : ⋅ V = n ⋅ R ⋅T
= n⋅
N ⋅k
⋅T
= const.
T1
p A B
Volumenänderung : V = V ° ( 1+
γ ⋅T
)
bel.
Temperatur 0 C
x
Druckänderung : p = p ° ⋅ (1+
γ ⋅T
)
Wärmemenge : Q = c ⋅m
⋅ ΔT
1. Gay-Lussac-Gesetz :
2. Gay-Lussac-Gesetz :
Gasgemische :
bel.
Temperatur 0 C
x
V 1 T1
V
= oder = const.
V
2
T
2
p 1 T1
p
= oder = const.
p
ρ
2
m
T
2
m
=
V
ges
ges
=
T
1
T
ρ1V
1 + ρ2V2
+ ...
V + V + ...
1
Spezifische Molwärme : CP = CV
+ R
CV = ⋅ f ⋅ R
2
Adiabatenindex :
C
κ =
C
P
V
f + 2
=
f
Zustandsänderung isochor Isobar Isotherm isotrop
Bedingung ΔV = 0 Δp = 0 ΔT = 0 ΔQ = 0 = ΔS
1. Hauptsatz Q = ΔU Q + W = ΔU Q + W = 0 Q + W = ΔU
Beziehung
zw. p, T, V
T 1 p1
=
T2
p2
T 1 V1
=
T2
V2
p 1 V1
=
p2
V2
p1
p2
κ
⎛V2
⎞
= ⎜
⎟
⎝ V1
⎠
Wärmeenergie Q = cv
⋅m
⋅ ΔT
Q = c p ⋅ m ⋅ΔT
V2
Q = m ⋅ R ⋅T
⋅ln
V Q = 0
Konstanten : Umrechnung:
−23
J
k B = 1,
38⋅10
K
J
1 k cal = 4187
K
R
J
= 8
, 31
mol ⋅ K
2
1