χ2 -Test (Chi-Quadrat-Test)

Biometrie Seminar
χ 2 -Test (Chi-Quadrat-Test)
METHOD:
Tünde Kupi, András Kengyel
Institut für Biophysik
Method der statistischen Analysen
• Messdaten (gepaart oder unabhängig)
• Aufstellung der Nullhypothese (H 0 )
• Auswahl der Teststatistik
Alternative Hypothese (H 1 )
• Signifikanzniveu behaupten (p=0,01)
• Teststatistik auswerten
• Ergebnisse vergleichen (mit Literatur, Tabellebwert,
Normalverteilung...usw.)
• Ergebnis signifikant oder nicht?
• Nullhypothese erfüllt
– ja: Nullhypotese ist angenommen
– nein: alternative Hypothese ist richtig
Anwendungen:
χ2 -Test (Chi-Quadrat-Test)
1. Verteilungstest oder Anpassungstest: Hier
wird geprüft, ob die vorliegende Daten einer
bestimmten Verteilung entstammen.
2. Homogenitätstest: Hier wird geprüft, ob zwei
Stichproben aus derselben Grundgesamheit
stammen können.
3. Unabhängigkeitstest: Hier wird geprüft, ob
zwei Merkmale stochastisch unabhängig sind.
• Teststatistik (Prüfgröße)
• H 0: Nullhypothese
• H 1: Alternativ Hypothese
• Signifikanzniveau
• Einseitige- zweiseitige Fragestellung
• Fehler erster Art (α-Fehler)
• Fehler zweiter Art (β-Fehler)
• Freiheitsgrad ( degrees of freedom ):
parametrische
• Verbundene
t – Probe
(paarige) (Der
Grösse der
Veränderung
ist auch
gegeben.)
Anzahl der Parameter, womit wir das
System eindeutig behaupten können
df = f = n – p
Wichtige Begriffe
Daten: 5; 9; 12; 4; 8; 15 µ=8,83
Zusammgehörigen Stichproben
(selbstkontrolle oder paarige)
nichtparametrische
• Vorzeichentest
• Wilcoxon-Test
(anstatt der t-test,
beim nicht
Normalverteilung)
p (Wahrscheinlichkeit)
0,08
0,06
0,04
p=0,03
Testverfahren
0,02
H 0
F 2.
H 1
F 1.
0,00
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
Unabhängige Stichproben
(2 Population)
stetig kategorial kategorial
stetig
McNemar
test
Chi-test
χ2 -Test (Chi-Quadrat-Test)
parametrische
• u-Test (z-test)
• Unverbundene
t-Probe
(niedrige Stichprobenumfang)
X Parameter
nichtparametrische
• Mann-
Whitney-
Probe
• Wilcoxon 2-
Proben
Die Form der dargestellten Teststatistik folgt die Chi-Quadrat
Verteilung. Der Verlauf der Kurve hängt von dem
Freiheitsgrad ab.
Die Chi-Quadrat Verteilung:
1

Beispiel # 1
Verteilungstest
Vergleichung einer empirischen Verteilung mit einer Gleichverteilung:
• Mit einem Würfel werden 60 Würfe durchgeführt.
Ist der Würfel gefälscht oder gut?
Augenzahl (n)
Beobachtete Häufigkeit (B)
Erwartete Häufigkeit (E)
• H 0: der Würfel ist gut.
• H A: der Würfel ist gefälscht.
A (Opel Corsa)
B (Honda Accord)
C (Audi Q7)
Spaltensumme
(Anzahl der
Stichproben)
1
7
10
Teststatistik:
120.000 €
3
15
12
30
Zeilensum .
ErwH . = × Spaltensum .
Gesamtsum .
Unabhängigkeitstest
Männer oder Frauen sind haufiger Brillenträger?
Beobachtete H
Mann
Frau
Summe
• H 0: Brilleträgung ist unabhängig von dem Geschlecht.
• H A: Es gibt ein Zusammenhang zwischen dem Geschlecht
und dem Brilleträgung.
Teststatistik:
Brille
a=50
c=30
2
χ
=
keine Brille
∑
i =
b=50
d=70
n
1
Summe
( B − E )
E
2
2
Zeilensumme
(Häufigkeitsverteilung
von X)
45 (~30%)
70 (~60%)
15 (~10%)
130
Augenzahl (n)
Beobachtete Häufigkeit (B)
Erwartete Häufigkeit (E)
i = 1
• Freiheitsgrad: f = n-1 = 6-1 = 5
• Signifikanzniveau: p = 0,05
• Kritischer χ 2 –Wert (aus der Tabelle):
• 14,8 > 11,07
H 0 ablehnen !
Verteilungstest
1
7
10
2 2
n
2
2 ( B − E ) ( − 3) ( − 1)
χ = ∑
= + ... + = 1 4, 8
E 10 1 0
Beobachtete Häufigkeit
24
25
1
50
i=
1
χ 2 = 11,07
n
2
2 2
2 ( B − E)
(24 −17) (12 − 3)
χ = ∑ = + ... + = 18, 2
E 17 3
f = (n Sp-1)(n Ze-1) = (3-1)(3-1) = 4
2
χ n=
=
18
30
2
50
( 1) 13, 28
3
15
12
30
45
70
15
130
• Beobachtete Häufigkeiten (B):
Beobachtete H
Mann
Frau
Sum
Erwartete H
Mann
Frau
Sum
2
16
10
3
8
10
Unabhängigkeitstest
Brille
40
40
80
4
17
10
Erwartete Häufigkeit
17
27
6
50
Chi-Quadrat Tabelle
Brille
a=50
c=30
a+c=80
• Erwartete Häufigkeiten (E):
i=
1
Unabhängigkeitstest
keine Brille
b=50
d=70
b+d=120
keine Brille
60
60
120
17
27
6
50
Summe
a+b=100
c+d=100
n=200
Sum
100
100
n=200
5
3
10
6
9
10
Chi-Quadrat Tabelle
n
2
2 2
2 ( B − E)
(50 − 40) (70 − 60)
χ = ∑ = + ... + = 8,33
E 40 60
f = (n Sp-1)(n Ze-1) = (2-1)(2-1) = 1
11
16
3
30
45
70
15
130
Tabelle
Zeilensum .
ErwH . = ×
Spaltensum .
Gesamtsum .
2
χ ( n=
1) = 3,84 Tabelle
2

Beispiel # 3
Sind die Verletzungsarten unabhängig von der Fahrzeug?
Verkehrsverletzungen im Baranya, in 2008
Kopfverletzung
Brustverletzung
Virblsäureverletzung
Gesamt
• Was ist H 0 und H 1 ?
Fahrrad
40
15
25
• Was sind die erwartete Werten?
• Wieviel ist die Freiheitsgrad?
• Rechnen Sie X 2 -Wert aus!
Unabhängigkeitstest Unabhängigkeitstest
Motorrad
25
20
25
PKW
90
210
130
Gesamt
Beobachtete Häufigkeit:
Kopfsverletzung
Brustverletzung
Virblsäureverletzung
Gesamt
i=
1
Fahrrad
40
15
25
80
Motorrad
25
20
25
70
Zeilensum .
ErwH . = × Spaltensum .
Gesamtsum .
Erwartete Häufigkeit:
Kopfsverletzung
Brustverletzung
Virblsäureverletzung
Gesamt
Fahrrad
21
34
25
80
Motorrad
19
30
21
70
PKW
90
210
130
430
PKW
Gesamt
n
2
2 2
2 ( B − E)
(40 − 21) (130 −134)
χ = ∑ = + ... + = 43,99
E 21 134
115
181
134
430
155
245
180
580
Gesamt
155
245
180
580
f = 4
p = 0,01
Aus der Tabelle:
2
χ ( n=
1) = 13,277
H 0 wurde verworfen!
3