Algebraische Strukturen, insbesondere Gruppen 1 Verknüpfungen

2.) Rechteck (s. Figur unter 3.3, Bsp. 4):
Die Spiegelung an mAB werde mit sAB und die an mBC als sBC bezeichnet; die Halbdrehung um
den Diagonalenschnittpunkt M heiße D180.
id sAB sBC D180
id id sAB sBC D180
sAB sAB id D180 sBC
sBC sBC D180 id sAB
D180 D180 sBC sAB id
3.) Gleichseitiges Dreieck (s. Figur unter 3.1.1, Bsp. 3):
Die drei Spiegelungen werden gemäß der Bezeichnungen in den vorangehenden Beispielen mit sAB,
sBC und sAC benannt, die beiden Drehungen mit D120 bzw. D240.
4 Aufgaben
id sAB sBC sAC D120 D240
id id sAB sBC sAC D120 D240
sAB sAB id D240 D120 sAC sBC
sBC sBC D120 id D240 sAB sAC
sAC sAC D240 D120 id sBC sAB
D120 D120 sBC sAC sAB D240 id
D240 D240 sAC sAB sBC id D120
1.) Untersuchen Sie, ob und ggf. wie ggT und kgV als Verknüpfungen auf N die Eigenschaften
Assoziativität, Existenz des neutralen bzw. inversen Elements, Kommutativität besitzen.
2.) Sei 2Z = {2z|z ∈ Z}. Zeigen Sie: (2Z, +) ist eine Untergruppe von (Z, +).
3.) Zeigen Sie: ({a + b √ 2|a, b ∈ Z}, +) ist eine Untergruppe von (R, +).
4.) Begründen Sie: Die Menge der Schubspiegelungen bildet keine Untergruppe von (K, ◦).
5.) Begründen Sie: Die Menge aller Drehungen mit gemeinsamem Drehzentrum bildet eine Untergruppe
von (K, ◦).
6.) Erstellen Sie eine Gruppentafel für die Deckabbildungen
(a) der Raute
(b) des Quadrats.
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