Mathematik in der Hauptschule 1

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 1
Skript zur Vorlesung
Mathematik in der Hauptschule 1
(Sommersemester 2009)
Dieses Geheft enthält die wesentlichen Inhalte, wie sie in der Vorlesung ,,Mathematik
in der Hauptschule 1” vorgestellt werden. Es wird laufend modifiziert, erweitert oder
gekürzt. Das Skript ist zum Gebrauch neben der Vorlesung gedacht und erhebt nicht den
Anspruch, ,,in sich selbst verständlich” oder vollständig zu sein.
S. Hilger
Dieses Skript liegt in einer jeweils aktualisierten Form im Internet vor:
http://www.ku-eichstaett.de/Fakultaeten/MGF/Didaktiken/dphys/Lehre.de

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Inhaltsverzeichnis
1 Die natürlichen Zahlen 5
1.0.1 Überblick über Zahlenräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Die Zahlaspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Zum Kardinalzahlaspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Gleichmächtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Der Ordinalzahlaspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Der Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Zählzahlaspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.6 Maßzahlaspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Das Stellenwertsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Additionssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 b–adische Zahldarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Nicht–Dekadisches Bündeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Dekadisches Zahlsystem — Große Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Methodische Hinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Große Stufenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.4 Exkurs: Zehnerpotenzen, Stufenzahlen und Vorsatzzeichen . . . . . 22
1.3.5 Das Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.6 Überschlagsrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.7 Schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.8 Schaubilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Rechnen mit natürlichen Zahlen 26
2.1 Operationen und Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Verknüpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 Operationen — Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Veranschaulichungen des Operatoraspekts . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.4 Didaktische Aspekte des Operatormodells . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.5 Fachbegriffe für die Beschreibung der Grundrechenarten . . . . . . 28
2.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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2.3 Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.1 Kombinatorischer Aspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.1 Aufteilen und Verteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.2 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Die schriftlichen Rechenverfahren 34
3.1 Grundsätzliche Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Erarbeitungsstränge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Die schriftliche Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Die schriftliche Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.1 Ergänzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2 Das Abziehverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.3 Gegenüberstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Typische Fehler und Schwierigkeiten bei den schriftlichen Verfahren der
Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Die schriftliche Multiplikation 45
4.1 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Schrittweise Erarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.2 Einstellige zweite Faktoren: Die Einzeilen–Multiplikation . . . . . . 46
4.2.3 Mehrstellige zweite Faktoren: Die Endform der schriftlichen Multiplikation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.4 Weitere Überlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Die schriftliche Division 50
5.1 Division von Z bzw. H durch 10 bzw. 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 Division einer Zahl durch Z bzw. H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Division einer Zahl ZE oder HZE durch E mittels Zerlegung . . . . . . . . 50
5.4 Division bei mehrstelligen Divisoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4.1 Division einer Zahl ZE oder HZE durch Z bzw. H . . . . . . . . . . 55
5.4.2 Division einer Zahl HZE durch ZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 4
6 Teilbarkeitslehre 56
6.1 Grundbegriffe — Strukturregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Teilbarkeitstests innerhalb des dekadischen Stellenwertsystems . . . . . . . 59
6.2.1 Endstellenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2.2 Quersummenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2.3 Wechselsummenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.2.4 Regel für Teilbarkeit durch 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.2 Die wichtigsten Sätze über Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3.3 Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3.4 Exkurs: Das GIMPS Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4 Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache . . . 68
6.4.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.4.2 Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.3 Berechnung von ggT und kgV mittels PFZ . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4.4 Kontextfelder für ggT, kgV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7 Anhang 72
7.1 Fachwörter bei den Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.2 Relationen in einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3 Aufstellung von Rechengesetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.4 Fragenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 5
1 Die natürlichen Zahlen
1.0.1 Überblick über Zahlenräume
Schüler/innen der verschiedenen Schularten erleben im Laufe ihres mathematischen Werdegangs
immer wieder Erweiterungen der ihnen bereits vertrauten Zahlbereiche. Hier ein
Überblick:
Jgst. 1 2 3 4 5 6 7 9 11MTG
HS/RS/GYM(früher) 0..20 0..100 0..1 000 0..1 000 000 N0 B = Q + 0
Q R C
GYM(gegenwärtig) 0..20 0..100 0..1 000 0..1 000 000 N0 Z Q R C
Im Rahmen von Zahlbereichserweiterungen werden jeweils auch die vorhandenen ,,strukturellen
Eigenheiten” erweitert:
• Zahldarstellung
• Ordnungs–Strukturen
– Lineare Ordnung (Kleiner, Größer, Kleiner–gleich, Größer–gleich)
– Teilbarkeit (Teiler von, Vielfaches von)
• Rechen–Strukturen
– Addition, Subtraktion
– Multiplikation, Division
↩→ Bis hierher spricht man vom ,,Bürgerlichen Rechnen”.
– Potenzieren
– Betragsbildung
• Mengen–topologische Strukturen
– Intervallschachtelung, Näherungsverfahren
– Grenzwertbildung
– Differentiation, Integration
• Mischformen
– Wurzelziehen,
– Exponential, Logarithmusfunktionen,
– Trigonometrische Funktionen

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 6
Die Kontextfelder für das Arbeiten in den Zahlbereichen (hinsichtlich Motivation für den
Einstieg Einführung, Verständnis, Veranschaulichung, Übung) stammen aus den Gebieten:
• Algebra (intrinsisch): Das Arbeiten in den Zahlbereichen wird durch allgemein–
algebraische Stränge, die um die Begriffe ,,Term, Gleichung, Funktion” aufgebaut
werden, begleitet.
• Sachwelt: Mathematisierung von Situationen aus Natur, Alltag, Technik, Freizeit
oder anderen Schulfächern (Physik, Informatik, Geographie, Musik, Biologie, Chemie,
Werken, Sport,. . . ).
• Geometrie: Insbesondere die Zahlenstrahlvorstellung, Flächenberechnung, Pythagoras,.
. .
• Kombinatorik, elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung.
In der Schulpraxis treten diese Kontextfelder in Mischformen auf.
Zum Problem der Reihenfolge der Zahlbereichserweiterungen. Bezüglich des Übergangs
N → Q gibt es grundsätzlich zwei alternative Wege:
N → Z → Q oder N → Q + 0 → Q.
In Bezug auf die günstigere Reihenfolge kann man verschiedene Aspekte beleuchten:
• Der Zahlbegriff ist eng an die Vorstellung von Größen (Maßzahlaspekt) geknüpft.
Hier treten vor allem Bruchteile und nicht so sehr negative Zahlen in Erscheinung.
• Die geometrisch orientierte griechische Mathematik kannte — sehr fein ausgearbeitet
— den Bruchzahlbegriff. Negative Zahlen sind eine viel jüngere Erfindung.
• Bruchzahlen sind lebensnäher, anschaulicher (Pestalozzi), konkreter (Piaget) als negative
Zahlen. ((−1) · (−1) = +1).
• Im Alltagsleben treten (einfache) Bruchteile auf, nicht aber negative Zahlen.
• Diese Beobachtung korrespondiert auch mit der Mathematik der Grund– und Hauptschule.
Bereits in der Grundschule werden einfachste Bruchteile thematisiert, bis vor
kurzem kannte der HS–Lehrplan den Begriff der negativen Zahl nicht.
• Nicht zuletzt spricht eine gut akzeptierte Unterrichtstradition für den zweiten Weg.
• Innerhalb des bayerischen Gymnasiallehrplans für das G8 (∼ 2003) wird dem ersten
Weg der Vorzug gegeben.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 7
1.1 Die Zahlaspekte
Ein die gesamte Schulmathematik durchziehendes übergeordnetes Unterrichtsprinzip ist
das der ,,Variation der Zahlaspekte”: Die verschiedenen Aspekte der Verwendung von
natürlichen Zahlen in der Alltagswelt sollen ständig die Erarbeitung und Durchdringung
der Zahlbereiche begleiten.
Zahlaspekt Beschreibung Beispiele
Kardinalzahl Mächtigkeit, Anzahl der Elemente
einer Menge
Ordinalzahl Rangplatz in einer (linear)
geordneten Menge.
Zählzahl Durch Zuordnung eines Rangplatzes
wird die Anzahl bestimmt.
Rechenzahl statisch unterliegt Verknüpfungen und
ihre Regeln.
Rechenzahl operativ
(Operator)
zur Beschreibung einer regelgemäßen
Veränderung von
Zahlen.
Maßzahl zur Angabe von Größenwerten
Kodierungszahl Ziffern werden als Symbole
(ohne besonderen Bedeutungsgehalt)
benutzt.
Übung: Welche Zahlaspekte treten in den folgenden Sätzen auf?
• Schalte bitte in das 11. Programm um!
• Sie hat die Telefonnummer 73 29 54.
• Die Spannung im öffentlichen Stromnetz beträgt 230 V.
• Die Heizanlage befindet sich auf Ebene −2.
• Der Notendurchschnitt seines Examens ist 2, 37.
Beim Hochsprung gab es acht
Teilnehmer.
Der Athlet aus Bulgarien wurde
Dritter.
Eine Zählung ergab, dass aus
Kamerun nur 12 Teilnehmer
angereist waren.
Es traten 13 Teams beim
Staffellauf an, insgesamt also
52 Sportler.
Am dritten Wettkampftag
wehte der Wind dreimal so
stark wie am ersten.
Der Rekord im Dreisprung
liegt bei 18,53 m.
Der Sieger im Stabhochsprung
trägt die Startnummer
527.
Ein grundlegend wichtiges Prinzip der Schulmathematik besteht darin, dass bei der fortschreitenden
Erarbeitung der Zahlenräume alle diese Aspekte zum Tragen kommen. Dafür
sprechen vielerlei Gründe:
• Der Zahlbegriff wird gerade dadurch als abstrakt, d.h. losgelöst von konkreten Vorstellungen,
wahrgenommen, dass seine vielfältigen Aspekte beleuchtet werden.
• All diese Aspekte sind relevant im Alltagsleben.
• Die Einbeziehung aller Aspekte läßt sich lernpsychologisch durch

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 8
– das operative Prinzip (Aebli)
– das Prinzip der Variation (Dienes)
untermauern.
• Die Auswahl unter verschiedenen Zahlaspekten erweitert und erleichtert den Spielraum
bei methodischen Überlegungen.
Hinweis am Rande: Unterscheide die Begriffe ,,Zahl” und ,,Ziffer”. Zahlen sind mathematische
Objekte gemäß dieser Zahlaspekte. Ziffern sind die zehn Schreibsymbole
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, mit deren Hilfe Zahlen geschrieben (diktiert, informationstechnisch verarbeitet)
werden können.
Also sind die folgenden Beispiel–Sprechweisen korrekt:
• Einstellige Zahlen können als eine Ziffer geschrieben werden.
• Nenne mir eine Zahl zwischen eins und neun!
• Der Erwerb der Zahlen von 1 bis 10.
• Wie lautet die Ziffer nach dem Komma in 24, 984 ?
• Wie heißt die erste Ziffer in der Telefonnummer von Konrad?
• Die Lottozahlen!
• Diese geschriebene Zahl kann ich nicht entziffern!
1.1.1 Zum Kardinalzahlaspekt
Er ist historisch, entwicklungspsychologisch und bzgl. Alltagsauffassungen der vorherrschende
Aspekt von Zahlen.
Eine Kardinalzahl (beispielsweise 5) ist eine Abstraktion der gemeinsamen Eigenschaft
von Mengen, 5 Elemente zu besitzen:
,,Die Zahl 5 ist die Gesamtheit aller 5–elementigen denkbaren Mengen”.
Es gibt Völker (auch Sprachen), die für ein und dieselbe Zahl verschiedene Wörter verwenden,
wenn es sich um verschiedene Dinge (beispielsweise fünf Töpfe, fünf Hühner oder
fünf Kinder) handelt.
Eine bestimmte Zahl ist nicht identisch mit einer Kollektion von so viel Elementen,
wie diese Zahl beträgt. Die Zahl 3 ist nicht identisch mit dem Trio Brown, Jones
und Robinson. Die Zahl 3 ist etwas, das alle Trios gemeinsam haben und sie von
anderen Kollektionen unterscheidet.
Bertrand Russell (1872 – 1970), 1930.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 9
1.1.2 Gleichmächtigkeit
Definition: Zwei Mengen A und B heißen dann gleichmächtig (sie haben die gleiche Anzahl),
wenn
(♣) jedem Element von A (♠) genau ein Element von B
und — umgekehrt —
(♥) jedem Element von B (♦) genau ein Element von A
zugeordnet werden kann.
Man spricht dann auch von einer 1 : 1–Zuordnung oder einer ein–eindeutigen Zuordnung.
✉ . .
✉ .
. ✉
A B
(♣) ist verletzt
✉ . .
✉ .
. ✉ . .
✉
A
(♥) ist verletzt
B
✉
✉
✉
✉
✉
.
.
......
✉ . .
✉ .
. ✉ . .
✉
A
(♠) ist verletzt
B
✉
.
.
.
.
✉ .
✉ . .
✉
A
(♦) ist verletzt
B
In der Grundlagenmathematik wird eine (Kardinal–)Zahl definiert als eine Menge von
allen Mengen, die zu einer Menge gleichmächtig sind. Die immense Bedeutung des
Gleichmächtikgeitsbegriffs kommt eigentlich erst bei seiner Anwendung auf nicht–endliche
Mengen zum Ausdruck. So kann man beispielsweise folgendes beweisen:
• Die Menge aller natürlichen Zahlen ist gleichmächtig zu der der geraden natürlichen
Zahlen.
• Die Menge der reellen Zahlen ist mächtiger als die der rationalen Zahlen.
Zahlzuordnungen stiften gelegentlich Verwirrung:
• Den wievielten Namenstag feierst Du heute?
• Ein 23 m breites Grundstück soll entlang der Straße mit einem Zaun eingegrenzt
werden. Wieviel Pfähle werden benötigt, wenn sie in einem Abstand von 1 m stehen?
• Abzählen bei Brettspielen.
✉
✉
. .
✉
✉
.
.
.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 10
1.1.3 Der Ordinalzahlaspekt
Wird eine Zahl im Alltag als Ordinalzahl verwendet, so wird sie in diesem Zusammenhang
auch als Rang oder Nummer bezeichnet. Auch das Wort Platz deutet auf den Ordinalzahlaspekt.
Zusätzliche Begriffe aus dem Umfeld der Ordnungsstruktur:
• Nachbarzahlen: 4 und 6 sind die Nachbarzahlen von 5.
• Vorgänger: 4 ist der Vorgänger von 5.
• Nachfolger: 6 ist der Nachfolger von 5.
1.1.4 Der Zahlenstrahl
Innerhalb der Schulmathematik eng verknüpft mit dem Ordinalzahlaspekt ist die Idee,
Zahlen auf dem Zahlenstrahl darzustellen. Das ist eine graphische Darstellung einer Halbgerade
oder eines rechtsweisenden Pfeiles, an dem Markierungen und/oder Zahlnamen
angetragen sind.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
✲
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
0 1 2
• Die Zahlen werden äquidistant (= jeweils in gleichem Abstand) angeordnet.
• Die Länge zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen wird als Einheit bezeichnet.
In den Beispielen oben sind die Einheiten also 1 cm, 0, 5 cm, 5 cm. Beachte, dass
die Einheiten im Buch, Heft, Arbeitsblatt und an der Tafel, Projektion verschieden
sind.
• Der Maßstab ist
Einheit : 1
Beim obersten Beispiel ist also der Maßstab 1 cm : 1.
• Eine natürliche Zahl n ist kleiner als eine andere m, symbolisch
n < m,
wenn n auf dem Zahlenstrahl links von m (nicht so gut: ,,vor m”) angeordnet ist.
Umgekehrt sagt man, dass m größer als n ist. Dies entspricht unserer Schreibrichtungsgewohnheit.
✲
✲

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 11
• Auch Zahlenstrahlen mit vertikaler Richtung (von unten nach oben) können benutzt
werden (Propädeutik des Gitternetzes ( = Koordinatensystems).
• Darstellung im Buch (30 cm lang), an der Tafel (1 m lang), an der Seitenwand (10 m
lang).
• Variation durch Herausnehmen eins Abschnittes (B: 72 . . . 82 auf 10 cm),
• Variation durch kleinere Einheiten, (B: 0 . . . 1000 auf 10 cm),
• Variation durch Herauszoomen eines Abschnittes (72 000 . . . 82 000 auf 10 cm).
Didaktische Bedeutung des Zahlenstrahls:
• Veranschaulichung: Der Zahlenstrahl bildet eine ,,ikonische” Repräsentation der
Zahlen. (Vgl. Bruner’sche Repräsentationsebenen im intermodalen Transfer).
• Grundlage für die Einführung von größeren Zahlbereichen, insbesondere Z.
• Handeln am Zahlenstrahl: Repräsentation von Addition und Subtraktion durch Aneinanderlegen
von Pfeilen.
• Bezug zu Skalen–Größen im Alltag:
– Zollstock, Lineal
– Pegelstand,
– Thermometer–Skala.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 12
1.1.5 Zählzahlaspekt
Der Zählzahlaspekt nimmt eine Zwitter- oder Übergangsstellung zwischen dem Kardinalzahlaspekt
und dem Ordinalzahlaspekt ein.
Man zählt nach einer gewählten Reihenfolge (Ordinal) die Elemente einer Menge ab, um
ihre Anzahl (Kardinal) zu bestimmen.
Besondere Übungsformen zum Zählzahlaspekt:
Zählen, Rückwärtszählen, Abzählreime, Abzähllieder. (vgl. auch [?, S. 59/60]
1.1.6 Maßzahlaspekt
Dieser Aspekt wird im Zusammenhang mit den Größen näher erläutert werden. Er tritt
mittelbar in Erscheinung, da er letztlich der Veranschaulichung von Rechen- oder Ordnungsstrukturen
durch Skalenwerte, Rechenstäbe bzw. –streifen unterliegt.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 13
1.2 Das Stellenwertsystem
Einen naiven Zugang zur Zahldarstellung bildet die Idee, für unterschiedliche natürliche
Zahlen (endliche Kardinalzahlen) jeweils unterschiedliche Symbole einzuführen, beispielsweise
durch
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
G H I J K L M N O P Q R S T U V
W X Y Z a b c d e f g h i j k l
m n o p q r s t u v w x y z α β
γ δ ε ζ η ϑ ι κ λ µ ν ξ π ϱ σ τ
ϕ χ ψ ω ∆ ℵ √ ♣ ♠ ♥ ♦ § ⋆
∅ ∴ ⊠ $ Υ ♭ ♯ ♮ £ ∗ † ⊥
.
.
.
ASCII–Zeichen
Chinesische Schriftzeichen
Halten Sie diese Art von Zahldarstellung — auch angesichts der Notwendigkeit, mit Zahlen
zu operieren, sie zu vergleichen oder mit ihnen zu rechnen — für eine glückliche Lösung?
Wie könnte man das Ergebnis der Aufgabe δ · ♥ ermitteln?
Angesichts einer viel zu großen ,,Unhandlichkeit” und ,,Undenkbarkeit” einer solchen
Zahldarstellung haben Menschen im Verlauf der Mathematik–Kulturgeschichte andere
Systeme der Zahldarstellung ersonnen:
1.2.1 Additionssysteme
Kleine Zahlen werden mit Symbolen versehen, größere Zahlen werden daraus additiv (und
subtraktiv) aufgebaut:
• Strichliste,
• Griechische Zahldarstellung: Kleine Zahlen und reine Zahlen (= Vielfache von
Zehner–Stufenzahlen) werden durch die Buchstaben des Alphabets dargestellt.
• Römische Zahldarstellung, veränderlich im Laufe der Geschichte des römischen Reiches.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 14
a) Einzelzeichen:
I = 1 V = 5 X = 10
L = 50 C = 100
D = 500 M = 1000
b) Doppelzeichen (Idee der Subtraktivität, est später):
IV = 1 XL = 40 CD = 400
IX = 9 XC = 90 CM = 900
IL = 49 XD = 490
IC = 99 XM = 990
ID = 499 IM = 999
c) Regel: Es werden Zeichen und Doppelzeichen — der Größe nach — nebeneinander
geschrieben, bis der Zahlenwert erreicht ist.
d) Beispiele:
7 = V II 1001 = MI
29 = XXIX 4059 = MMMMLIX
43 = XLIII 2008 = MMV III
138 = CXXXV III 9000 = MMMMMMMMM
450 = CDL
1.2.2 b–adische Zahldarstellung
Grundlage: Erfindung der Ziffer ,,Null”.
Historisch: Indien Orient–Handel
−→ Arabien Renaissance
−→ Europa.
Satz 1 (b–adische Zahldarstellung)
Es sei b eine fest ausgewählte natürliche Zahl mit b ≥ 2.
Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es — umkehrbar eindeutig — eine (endliche) Zahlenfolge
as−1, as−2, . . . , ai, . . . , a2, a1, a0
mit den Eigenschaften
• 0 ≤ ai ≤ b − 1 für alle i = 0, 1, . . . , s − 1 und
• as−1 = 0,

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 15
so dass
n = as−1 · b s−1 + as−2 · b s−2 + . . . + ai · b i + . . . + a2 · b 2 + a1 · b 1 + a0 · b 0 . (1)
Der Ausdruck (1) ist lang und umständlich handzuhaben. Deshalb schreibt man kürzer
n = as−1as−2 . . . ai . . . a2a1a0 b
einfach nur die Ziffern ai in ihrer Reihenfolge auf und kennzeichnet diese Zahl noch durch
Angabe der Basis b als Subskript (Index).
Im Zusammenhang mit diesem Satz über die b–adische Zahldarstellung gibt es die folgenden
Fachbegriffe:
• Die Zahl b heißt Basis.
• Die Potenzen b 0 = 1, b 1 = b, b 2 , b 3 , . . . heißen Stufenzahlen
• Der Ausdruck auf der rechten Seite von (1) heißt Stufenzahldarstellung von n.
• Der Ausdruck auf der rechten Seite von (2) heißt (b–adische) Zifferndarstellung von
n. Es handelt sich um eine s–stellige Zahl.
• Für die b Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . , b − 1, die in den b–adischen Darstellungen (1) oder
(2) auftreten können, müssen unterschiedliche Symbole, die Ziffern des b–adischen
Systems, vorhanden sein.
• Man sagt, dass die Zahl n an der b i –Stelle (oder Position) die Ziffer ai aufweist.
Der Beweis erfolgt im Rahmen bzw. auf der Grundlage der sogenannten Peano–Axiome
über die natürlichen Zahlen.
1.2.3 Beispiele
Der Windows–Taschenrechner (Programme/Zubehör/Rechner, auf Ansicht ,,Wissenschaftlich”
umstellen) ermöglicht ein leichtes Umwandeln der Zahldarstellungen
zu den Basen 2,8,10,16.
b = 10 Die Basis 10 führt auf die indisch–arabisch–abendländisch–weltweite Dekadische
Zahldarstellung, man spricht auch vom Dezimalsystem. Der Ursprung für die Herausbildung
der Zahl ,,Zehn” als Basis ,,unserer” Zahldarstellung liegt vermutlich
darin begründet, dass wir an beiden Händen insgesamt zehn Finger haben. Genaueres
zum Dezimalsystem erfahren Sie in der gesamten Vorlesung MGS1 (und MGS2).
Beispiel: ♠ = 9110.
(2)

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 16
b = 2 Das System der 2–adischen Zahldarstellung heißt auch Dualsystem. Dieses System
liegt der elektronischen Informationsverarbeitung aller Art (TR, PC, Großrechner)
zugrunde, da sich die beiden Ziffern 0 und 1 als Strom aus/ein (genauer: Spannung
niedrig/hoch) physikalisch repräsentieren lassen.
Im Dualsystem hat die Zahl 167 die Darstellung
167 = 1 · 2 7 + 1 · 2 5 + 1 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1 = 10 100 1112.
Das bedeutet, dass die elektronische Repräsentation der Zahl 167 in der Abfolge
von Impulsen mit Spannung hoch/niedrig/hoch/niedrig/niedrig/hoch/hoch/hoch
besteht.
In einer achtstelligen Dualzahl kann gerade die Information über eine Zahl zwischen
0 = 02 und 255 = 111111112 gespeichert werden.
Der Informationsgehalt, der in der Kenntnis einer Ziffer an einer bestimmten Stelle
enthalten ist, wird als 1 Bit bezeichnet.
Die Kenntnis einer achtstelligen Dualzahl hat einen Informationsgehalt von 1 Byte:
1 Byte = 8 Bit.
b = 16 Für die Darstellung von Zahlen im Hexadezimalsystem benötigt man 16 Ziffern,
diese sind
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Der sogenannte erweiterte ASCII–Zeichensatz umfasst 256 Zeichen. Sie lassen sich
durch die Zahlen (dezimal) 0 bis 255 kodieren. In vielen Programmen und Programmiersprachen
werden diese 256 Zahlen 0, 1, . . . 255 zweistellig hexadezimal dargestellt,
beispielsweise
167 = 10 · 16 + 7 = A716.
Die Kenntnis eines ASCII–Zeichens bedeutet also den Informationsgehalt 1 Byte.
Eine auf dem Bildschirm darstellbare Farbe wird — für gewöhnlich — durch drei
zweistellige Hexadezimalzahlen (Informationsgehalt 3 Byte) kodiert, beispielsweise
wird die Farbe ,,hell–ocker” durch die Gewichtung der Farbpixel
Rot–Anteil 217 = 13 · 16 + 9 = D916
Grün–Anteil 205 = 12 · 16 + 13 = CD16
Blau–Anteil 60 = 3 · 16 + 12 = 3C16
erzeugt. Mit dem Befehl
bgcolor = "#D9CD3C"
innerhalb des –tags wird in der ,,homepage”–Programmier–Sprache HTML
der Farbhintergrund ,,hell–ocker” kodiert. Der Server–Rechner übermittelt lediglich
den obigen Befehl an den Client/Browser–Computer.
b = 3 Beispiel: ♠ = 31013.
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S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 17
1.2.4 Nicht–Dekadisches Bündeln
Es ist durchaus möglich, auch andere Basen als die Basis Zehn heranzuziehen, beispielsweise
sind die Basen b = 3, b = 4 oder b = 5 üblich. Dafür lassen sich folgende Gründe
anführen:
• Innerhalb der enaktiven bzw. ikonischen Ebene ist ein Bündeln bei deutlich kleineren
Basen praktisch viel leichter durchführbar und überschaubar.
• Es wird eine erste Vertrautheit für die Division mit Rest geschaffen.
• Weiter wird (in Grenzen) ein Bewusstsein um die Möglichkeit anderer Basen als der
Basis Zehn geschaffen. Dies fördert wiederum das Verständnis und die Einsicht in
das Dezimalsystem und bedeutet eine Denkschulung allgemein.
In der strukturorientierten Mathematik–Didaktik der 60er/70er Jahre wurden nicht–
dekadische Stellenwertsysteme — auf geeignet elementarisierte Weise — durchaus in den
Schulunterricht einbezogen, beispielsweise auf enaktiver oder ikonischer Ebene (vgl. [?],
alter GS–Lehrplan). Heute rückt der Gedanke, dass das Dezimalsystem das allein wichtige
Stellenwertsystem ist, wieder stark in den Vordergrund (vgl. [?], neuer Lehrplan).
1.3 Dekadisches Zahlsystem — Große Zahlen
1.3.1 Beispiele
Zunächst gilt es, Beispiele für das Auftreten großer Zahlen (im weiteren Schulkind–Alltag)
aufzufinden:
• Kardinalzahlaspekt:
– Menschen in einem Dorf, Schule, Kleinstadt, Stadion, Großstadt, Land, Welt.
– Reiskörner, Erbsen, Linsen, Konfetti, Puzzleteile.
– Etwa 100 000 Haare auf dem Kopf.
– Halme in einem Stück Wiese, Bäume in einem Waldstück, Lebewesen in einem
Gartenbeet,
– Buchstaben auf einer Seite, in einem Buch
– Kettenbriefe
– Ein Kind hat etwa 400 Wimpern, wieviele Wimpern gibt es im Klassenzimmer?
– Beispiele:
∗ Astronomie: Die Milchstrasse enthält in etwa 100 000 000 000 Sterne.
∗ Ein Kubikzentimeter Eisen besteht aus 10 21 (1 Trilliarde) Eisenatomen.
∗ Ein Glas Wasser (0, 3 kg) enthält in etwa 10 25 (10 Quadrillionen) Wassermoleküle
der Masse 18u ≈ 3, 0 · 10 −26 kg.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 18
– Klassische Geschichte von den Reiskörnern auf dem Schachbrett: Auf das erste
Feld eines Schachbretts wird ein Reiskorn gelegt, auf das zweite Feld zwei, auf
das dritte vier usw. Wieviele Reiskörner sind zum Schluß auf dem Schachbrett?
Es sind: 2 64 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615, also etwa 38 1
2
• Maßzahlaspekt, Längen:
– Entfernungen zweier Städte in Metern.
– Klassenzimmerlänge in Milimetern,
– Astronomische Entfernungen (in Kilometern)
– Beispiele:
Trillionen Stück.
∗ Das Licht legt in einem Jahr 9, 461 Billionen km zurück.
∗ Ein parsec ≈ 3, 1 · 10 13 km (31 Billionen km = 31 Billiarden m)
• Maßzahlaspekt, Geldwerte:
– Preise von größeren Geräten, eines Computers, eines Autos, eines Hauses.
– Gehalt einer Erzieherin, einer Lehrerin, eines Fußballstars,. . .
– ,,Zahlen” aus dem Haushalt einer Gemeinde, Staatshaushalt, Bankenbilanz.
– Gewinne bei Glücksspielen, Lotto.
• Maßzahlaspekt, Zeitspannen:
– Lebensalter in Tagen: Ein Kind der 5. JGS ist in etwa 4 000 Tage alt. Das Alter
der Lehrerin ist vielleicht 15 000 Tage.
– Dauer eines Tages in Sekunden: 1 d = 86 400 s.
– Wie viele Stunden hat ein Jahr? Wieviele Stunden im Jahr gehst Du zur Schule?
– Geschichte in Jahren: Karl der Große, Jesu Geburt, letzte Eiszeit, Auftreten
der ersten Menschen, Entstehung der Alpen, Aussterben der Dinosaurier, . . . .
• Maßzahlaspekt, Gewichte:
– Gewicht eines Autos in kg.
– Gewichte von Menschen in g.
– Gewicht eines Schiffes in Tonnen.
• Maßzahlaspekt, Flächen:
– Fläche des Klassenzimmers in cm–Quadraten.
– Fläche eines Parks, einer Stadt in m–Quadraten.
– Wieviele Kästchen befinden sich auf einem karierten DIN A4–Blatt? (≈ 2 436).
– Ein 10 cm×10 cm–Stück mm–Papier: Es enthält 10.000 1 mm×1 mm-Kästchen.
Übungen: Es werden Kästchen in einem gegebenen Flächenstück gezählt;
Fläche eines Papierblatts in mm–Quadraten.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 19
• Maßzahlaspekt, Volumina:
– Ein Kubikdezimeterwürfel (1 Liter) hat den gleichen Inhalt wie 1 000 000 Kubikmilimeter.
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1.3.2 Methodische Hinweise
Bei einer Erweiterung des Zahlenraums über die Tausendergrenze hinaus werden auch
ikonische Vorstellungen von den auftretenden Zahlen immer schwieriger.
Eine Hilfestellung bilden beispielsweise (wieder)
• der Zahlenstrahl: Teile werden ,,herausgezoomt”.
• Flächen: ein 10 cm × 10 cm–Stück mm-Papier: Es enthält 10.000 1 mm × 1 mm-
Kästchen. Übungen: Es werden Kästchen in einem gegebenen Flächenstück gezählt;
es wird zu einer gegebenen Zahl unter 10.000 ein Flächenstück eingefärbt oder umrandet.
Bei der Durchdringung auf symbolischer Ebene: Den Schlüsselbegriff zur Er- und Durcharbeitung
der größeren Zahlenräumen bildet aber — wie gehabt — das Stellenwertsystem.
Dabei treten neue Buchstaben–Bezeichnungen für Stufenzahlen auf

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 20
HT ZT T H Z E.
(Beachte, dass Kleinbuchstaben für die Nachkommastellen (Zehntel, Hundertstel,. . . ab
JGS. 6) vorgesehen sind. Verschiedene Typen von Übungen, die schon bei der ersten
Erarbeitung des Stellenwertsystems herangezogen wurden, werden hier ebenfalls eingesetzt.
• Stellenwertordner — Bündelhaus
• Hören und Sprechen: Wort, Ziffernfolge, Stellenwertangabe.
• Lesen und Schreiben: Das Lesen und das fehlerfreie Schreiben von großen Zahlen
wird wesentlich dadurch erleichtert, dass die Stellen in Dreier Gruppen abgesetzt
werden. Diese Absetzung kann durch
– Punkte (Verwechslung mit dem amerikanischen Dezimalpunkt),
– durch dezente senkrechte Striche oder
– durch kleine Lücken (sie können nicht nachträglich angebracht werden).
erfolgen.
Ordinalzahlaspekt: Größenvergleich, Nachbarschaftszahlen, Vorgänger und Nachfolger
(auch bzgl. höherer Stufenzahlen).
Ideen zu Medien:
• Tageszeitung oder Zeitschriften.
• Statistiken.
• Quartett–Spiele.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 21
1.3.3 Große Stufenzahlen
Für die immer größeren Stufenzahlen gibt es spezielle Namen:
1 = 10 0 Eins
10 = 10 1 Zehn
100 = 10 2 Hundert
1 000 = 10 3 Tausend
1 000 000 = 10 6 Million
1 000 000 000 = 10 9 Milliarde (engl: billion)
1 000 000 000 000 = 10 12 Billion
1 000 000 000 000 000 = 10 15 Billiarde
1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 Trillion
1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 Trilliarde
= 10 24 Quadrillion
= 10 27 Quadrilliarde
= 10 30 Quintillion
= 10 100 Gogol
= 10 600 Zentillion
Die Stufenzahlen oberhalb der Linie sind hauptschulrelevant
Beispiel:
5 0 5
8 7 5
3 0 2
4 8 6
0 1 0
9 2 2
7 7 4 1 3 5
Trilliarden Trillionnen Billiarden Billionnen Milliarden Millionnen Tausend (Einer)
Vergleiche Wikipedia ,,Zahlennamen”
1 Gogol = 10 100 = 10000 000 000 000 000 000 000 000 000 000000 000 000 000 000 000 000 000 000 000000 000 000 000 000 000 000 000 000 000000
b) Lesen großer Zahlen: Teile die Zahle von rechts in Dreiergruppen und lies sie dann von
links.
c) Schreiben großer Zahlen: Beginne von links, bei fehlenden Stufenzahlen müssen Nullen
gesetzt werden.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 22
1.3.4 Exkurs: Zehnerpotenzen, Stufenzahlen und Vorsatzzeichen
Potenz = Faktor
gelesen
als
Vorsatzzeichen
10 12 = 1.000.000.000.000 Billion T Tera
10 9 = 1.000.000.000 Milliarde G Giga
(engl: billion)
10 6 = 1.000.000 Million M Mega
10 3 = 1.000 Tausend k Kilo
gelesen
10 2 = 100 Hundert h Hekto
10 1 = 10 Zehn da Deka
10 0 = 1 (Ein)
10−1 = 1
10
10−2 = 1
100
10−3 = 1
1.000
10−6 1 = 1.000.000
1
10 −9 =
10 −12 =
= 0, 1 Zehntel d Dezi
= 0, 01 Hundertstel c Zenti
= 0, 001 Tausendstel m Mili
1.000.000.000
1
1.000.000.000.000
= 0, 000 001 Millionstel µ Mikro
= 0, 000 000 001 Milliardstel n Nano
= 0, 000 000 000 001 Billionstel p Piko
• Der Exponent in der Zehnerpotenz gibt die Position der 1 in der Dezimalbruchentwicklung
an, wenn man der Einerstelle die Position 1 zuweist.
• Die Einsicht, dass das Wort ,,Kilo” immer einen Vervielfachungsfaktor von Tausend
bedeutet, sollte gefördert werden.
Kilogramm, Kilometer, Kilobyte, Kilowatt, Kilovolt, Kilokalorie, Kilojoule.
• Auch das Kürzel Y 2K stellt eine (typisch amerikanische) Verwendung dieser Vorsilbe
dar: ,,Year 2 Kilo” = Jahr Zweitausend.
• Vorsilben wie ,,Giga” oder ,,Mega” treten zur Zeit in die Alltagssprache ein, da viele
Kenndaten von Computerkomponenten mit diesen Vorsilben beschrieben werden.
als

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 23
1.3.5 Das Runden
Die sogenannte 5/4–Rundungsregel:
Eine Zahl wird bzgl. der X–Stelle (X = Z,H,T,ZT,HT,. . . ) auf die nächst–
aufgerundet
X
benachbarte reine X–Zahl
, wenn an der –Stellenposition (d.h.
abgerundet 10
9,8,7,6,5
rechts von der X–Stellenposition) eine der Ziffern
0,1,2,3,4 auftritt.
Dabei ist zu beachten:
• Ein zweimaliges Runden bzgl. verschiedener Stufe führt zu einem anderen Ergebnis,
als wenn man gleich bzgl. der größeren dieser Stufenzahlen rundet. Beispiel:
24 758
24 758
(T )
25 000
(ZT )
30 000.
(ZT )
20 000.
• Der mathematische Gehalt eines Rundungsergebnisses besteht darin, dass es eine
bestimmte Schreibweise für ein Intervall darstellt. So steht beispielsweise die nach
einer T–Rundung auftretende Zahl 7 000 für das Zahlenintervall [6 500, 7 499[.
• Um die Tatsache, dass es sich bei einer Zahl (z.B. 7 000) um ein Rundungsergebnis
handelt, werden andere Arten der Darstellung benutzt:
– Ausschreiben der Stufenzahl: 7 Tausend
– Abkürzung der Stufenzahl: 7 T, 7 Tsd.
– Wissenschafltiche Zahldarstellung 7 · 10 3
– Bei Größen: 7 000 ∈ = 7 TEU, 7 000 g = 7 kg, 7 000 kg = 7 t.
• Das Rechnen mit Rundungsergebnissen unterliegt ganz eigenen Gesetzen. Wie die
Beispiele
6 382 + 2 453 =
(T )
8 835 9 000
6 382 + 2 453
(T )
6 000 + 2 000 = 8 000,
150 · 150 = 22 500 (H)
22 500,
150 · 150 (H)
200 · 200 = 40 000,
zeigen, sind Rundungs- und Rechenoperationen nicht einfach vertauschbar.
• Dem Runden kommt in der weiteren Schullaufbahn (bei der Benutzung von Dezimalbrüchen
und beim Rechnen in den Naturwissenschaften) eine zunehmend wichtige
Bedeutung zu.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 24
1.3.6 Überschlagsrechnen
• Angesichts der zunehmenden Bedeutung des Taschenrechners kommt dem begleitend–reflektierten
Überschlagsrechnen eine größere Bedeutung zu. Die Notwendigkeit
dazu ist für Schüler schwer einsichtig: Der Taschenrechner ist exakt, das Überschlagsrechnen
ist ,,grob bis fehlerhaft”.
• Das obige Beispiel der Rundung und Multiplikation zeigt, dass das Überschlagsrechnen
auch Tücken hat. Insbesondere beim überschlagsmäßigen Multiplizieren kann
man nicht erwarten, das (richtige) gerundete Ergebnis zu erhalten. Man erhält im
allgemeinen nur die richtige Größenordnung.
• Grundsätzlich sollten die Operanden bei einer Addition oder Multiplikation gegensinnig,
bei einer Subtraktion oder Division gleichsinnig gerundet werden. In dem
Beispiel oben also:
150 · 150 (H)
100 · 200 = 20 000.
• Das Überschlagsrechnen erfordert insbesondere ein Beherrschen des Rechnens mit
Stufenzahlen (100·100 = 10 000), das heißt ein Rechnen mit den Endnull–Anzahlen.
Hier treten typische Fehler auf:
6 · 7 = 42 =⇒ 60 · 70 = 420, 125 000 : 5 000 = 25 000.
• Das Überschlagsrechnen entspricht grundsätzlich nicht der sonst stark strapazierten
Attribuierung der Mathematik als exakt. Dies führt auch dazu, dass Schüler und
Schülerinnen das Runden eher zu vorsichtig handhaben oder als ,,unmathematisch”
ansehen.
• Das Überschlagsrechnen ist bei der Division durch mehrstellige Divisoren hilfreich.
1.3.7 Schätzen
Das Schätzen ist letztlich das ,,gerundete” Erfassen von Größen (Siehe später: Größenbereiche).

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 25
1.3.8 Schaubilder
Graphische Darstellungen aller Art:
• Ikonogramm = Bilddiagramm = Figurendiagramm: Bestimmte Mengeneinheiten
werden durch Bildsymbole ( = Icons, Piktogramme) dargestellt.
• Strichdiagramm
• Balkendiagramm: Horizontal liegende Rechtecke (oder perspektivisch: Quader, Zylinder).
Auf der Hochwertachse sind die Datensätze gekennzeichnet, auf der Rechtswertachse
wird der Zahlenwert angetragen.
• Säulendiagramm: Vertikal liegende Rechtecke (oder perspektivisch: Quader, Zylinder).
Auf der Rechtswertachse sind die Datensätze gekennzeichnet, auf der Hochwertachse
wird der Zahlenwert angetragen.
• Liniendiagramm: Graphiken mit Kurven
• Kreisdiagramm (= Tortendiagramm)

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 26
2 Rechnen mit natürlichen Zahlen
2.1 Operationen und Operatoren
2.1.1 Verknüpfung
Es sei M eine Menge (z.B. ein Zahlbereich).
Eine Abbildung (Zuordnungsvorschirft), die zwei gegebenen Zahlen eine neue dritte Zahl
zuordnet, heißt Verknüpfung auf M.
Mathematisch kann man dies ausdrücken als Funktion, die auf einem kartesischen Produkt
mit sich selbst definiert ist.
M × M → M
f :
(x, y) ↦→ z = x ∗ y
Beispiele: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung, ggT, kgV, min,
max, Mittelwert, Schnitt– oder Vereinigungsmenge, logische Verknüpfungen.
Für Verknüpfungen kann man verschiedene Rechengesetze formulieren: Kommutativgesetz,
Assoziativgesetz und andere.
2.1.2 Operationen — Operatoren
Es sei nun f eine Verknüpfung auf M und a ∈ M beliebig, aber fest, gewählt. Die
Abbildung
M → M
fa :
x ↦→ a ∗ x
heißt Operator (zur Zahl a bzgl. der Operation f). Die Elemente x ∈ M heißen in diesem
Zusammenhang dann Operanden. Sinnfällig kann der Operator auch als fa = a ∗
geschrieben werden.
• Unterscheide (fachlich und didaktisch) zwischen der Zahl a und dem Operator fa.
• In gewisser Weise kann die Zahl a als das statische, der zugehörige Operator fa als
der dynamische Aspekt des mathematischen Objekts a ∈ M aufgefasst werden.
• Je nach Kontext wird der Operator auch als die rechtsseitige Anwendung der Operation
definiert:
fa(x) = x ∗ a.
Man schreibt dann fa = ∗ a. Dies tritt im Zusammenhang mit der Pfeilschreibweise
für Operationen auf:
x ∗a
−→ x ∗ a.
• Umsetzung beim Schultaschenrechner: Der Operator 3 ∗ wird durch Betätigung
der Tasten 3 × × programmiert. Nach Eingabe eines Operanden wird er durch die
=–Taste abgerufen. (Es steckt also die rechtsseitige Auffassung dahinter.)

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 27
2.1.3 Veranschaulichungen des Operatoraspekts
• Mengen– (oder Venn–)diagramm.
• Tabelle
• Maschinenmodell (eher in der Grundschulmathematik)
• Ablaufdiagramm, im Beispiel
8 ·3
−→ 24
2.1.4 Didaktische Aspekte des Operatormodells
• Propädeutik des Abbildungsbegriffs.
• Betonung des prozesshaften, dynamischen Charakters von mathematischen Objekten
(→ Handlungsorientierung).
• Günstig im Hinblick auf
– Umkehroperation: (B) Einführung der Division von Bruchzahlen oder von negativen
Zahlen.
– Mehrfachoperationen: (B) Hintereinanderausführung, ,,Ersatzoperation” (vgl.
bspw. GS–Arbeitsheft ,,Nussknacker” 1, S. 79).
• Dienes’sches Prinzip der Variation der Veranschaulichung (Funktion: Festigung,
Wiederholung, Hilfestellung).
• Problem: Es existieren zwei Parallelkonzepte: Zahl und Operator. Das kann zu erheblicher
Verwirrung und Verwischung der Begriffsbildungen führen. Wie sonst auch
muss sich zumindest die Lehrerin / der Lehrer der Problematik bewusst sein und
die Sprechweisen beherrschen.
• Der Unterschied Zahl – Operator tritt auch in dem Problemkreis ,,Negative Zahlen”
auf: in dem Symbol −5 ist das Minuszeichen einerseits das zur Zahl gehörige
Vorzeichen (Zahlkonzept), andererseits ein Rechenzeichen (Operatorkonzept).

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 28
2.1.5 Fachbegriffe für die Beschreibung der Grundrechenarten
Es hat sich als zweckmäßig herausgestellt, bei der ,,denkerischen Behandlung” von Rechenoperationen
spezielle — von der konkreten Sachwelt–Realisierung unabhängige —
Fachbegriffe zu verwenden. Sie sind im Anhang zusammengestellt.
2.2 Addition
• Kardinalzahlaspekt: Vereinigung zweier disjunkter Mengen.
• Zählzahlaspekt: Ausgehend von einer Zahl n wird um m Schritte weiter gezählt.
• Operatoraspekt: Eine Zahl ist gegeben, es wird dann etwas ,,dazugezählt”.
• Maßzahlaspekt: Addition korrespondiert sinnvoll zu bestimmten Sachsituationen.
(Vgl. Pegelstand, Temperatur).
2.3 Subtraktion
• Kardinalzahlaspekt:
– Abziehen: Aus einer gegebenen Menge (Kardinalzahl) werden die Elemente
einer Teilmenge herausgenommen.
– Ergänzen: Die gegebene Teilmenge einer gegebenen Menge wird durch weitere
Elemente ergänzt.
• Zählzahlaspekt: Ausgehend von einer Zahl n wird um m Schritte rückwärts gezählt.
• Operatoraspekt: Eine Zahl ist gegeben, es wird dann etwas ,,weggenommen”. Dieser
Aspekt ist besonders im Hinblick auf die Zusammengehörigkeit von Addition und
Subtraktion als Umkehrungoerationen wichtig.
• Maßzahlaspekt:
– Subtraktion korrespondiert sinnvoll zu bestimmten Sachsituationen.
– Skalenwerte: Bestimmung von Unterschieden.
2.4 Multiplikation
• Kardinalzahlaspekt:
– Wiederholte Addition: Zeitlich–sukzessive Sachsituation
– Wiederholte Addition: Räumlich–simultane Sachsituation

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 29
• Operatoraspekt: Es wird der Aspekt des ,,Vervielfachens” betont: Eine gegebene
Zahl ( = Multiplikand) wird mit einem Faktor (Multiplikator) vervielfacht. Die
Zuordnung
1. Faktor
2. Faktor
ist dabei nicht eindeutig.
• Kombinatorischer Aspekt
−→
2.4.1 Kombinatorischer Aspekt
Multiplikator
Multiplikand
Dieser Aspekt ist fachmathematisch wichtig, weil er die Multiplikation auf der
Grundlage des Kardinalzahlaspekt von Zahlen beschreibt.
Problem: Stellen Sie sich zwei Mengen der Mächtigkeit a bzw. b vor. Wie erhält man
daraus eine Menge der Mächtigkeit a · b?
Antwort: Sind zwei Mengen A und B gegeben, so bezeichnet man die Menge der
geordneten Paare
A × B := (a, b) a ∈ A, b ∈ B
als kartesisches Produkt der Mengen A und B.
Der Name erinnert an den französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes
(1596 – 1650), der den Winter 1619/20 im benachbarten Neuburg/Donau verbrachte
und dort in der Abhandlung ,,Discours de la méthode” die das abendländische
Denken nachhaltig prägende Philosophie der Vernunft begründete.
Auch das aus der Geometrie bekannte kartesische Koordinatensystem beruht auf
der Idee des kartesischen Produkts (von zwei Zahlenstrahlen).
Ist a die Mächtigkeit der Menge A und b die der Menge B, so hat A × B die
Mächtigkeit a · b.
Beispiele:
– René hat Hosen in den Farben R, G, B und Pullis in den Farben r, g, b, w.
Wieviele Möglichkeiten (Kombinationen) gibt es für ihn, sich anzuziehen?
Antwort: Das kartesische Produkt der Menge der Hosenfarben H = {R; G; B}
und der der Pullifarben P = {r; g; b; w} ist
H × P = (R, r); (R, g); (R, b); (R, w); (G, r); (G, g); (G, b); (G, w);
(B, r); (B, g); (B, b); (B, w) .
Es enthält 3 · 4 = 12 Elemente.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 30
– Tanznachmittag: Wieviele verschiedene Tanzpaare können bei Anwesenheit von
14 Herren und 12 Damen gebildet werden?
– Ein Satz ,,Strukturiertes Material” enthält Plättchen mit den Eigenschaften
,,rot, grün, blau, gelb” bzw. ,,quadratisch, dreieckig, kreisrund”. Wieviele verschiedene
Plättchen sind möglich?
– Beim Schul–Sommerfest kann man zwischen 13 verschiedenen Kuchensorten
und 6 verschiedenen Getränken wählen. Wieviele verschiedene Bestellungen
sind möglich?
– Zahlenschlösser: Vgl. Lehrplan [?, S. 189].
Als Modell für die Unterrichtspraxis ist der kombinatorische Aspekt weniger
geeignet, da hier nicht die Alltagsauffassung von Multiplikation als wiederholte
Addition auftritt. Es ist außerdem zu abstrakt, da im allgemeinen nicht alle
Kombinationen gleichzeitig realisiert, sondern nur simultan gedacht werden
können. Die ikonische Repräsentation ist ebenfalls mit Schwierigkeiten behaftet.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 31
2.5 Division
– Operatoraspekt: Umkehrung zur Multiplikation.
– Kardinalzahlaspekt:
∗ Aufteilen, wiederholtes Wegnehmen.
∗ Verteilen
– Maßzahlaspekt:
∗ Messen
∗ Teilen
2.5.1 Aufteilen und Verteilen
AUFTEILEN VERTEILEN
Es liegt folgende allgemein formulierte Situation zugrunde (E):
Es werden
n Dinge in
m Dinge umfassende Portionen
aufgeteilt. Wie viele
x Portionen
entstehen dabei?
Es werden
n Dinge in
m Portionen
(gerecht) verteilt. Wie viele
x Dinge
umfasst eine Portion?
Beispiele für Dinge: Datteln, Dickmanns, EURO–Münzen,. . .
Beispiele für Portionen: Päckchen, Pakete, Packungen, Personen,. . .
Als konkrete Beispielaufgabe sei genannt:
Es werden 24 Mandarinen in Netze zu je
6 Mandarinen aufgeteilt. Wie viele Netze
erhält man?
Es werden 24 Mandarinen an 6 Kinder
verteilt? Wie viele Mandarinen erhält jedes
der Kinder?
Graphisch (I) lässt sich diese Situation beispielsweise so im Venn–Diagramm repräsentieren:

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 32
Kreise jeweils 6 Dinge ein!
Wie viele Kreise entstehen?
Verbinde 6 mal jeweils gleich viele Dinge!
Wie viele Dinge sind jeweils verbunden?
Mathematisch korrekt (S) lässt sich diese Sachsituation mit Hilfe eines
,,Bezeichnungs–Bruchrechnens” wie folgt fassen:
n Dinge : m Dinge
Portion
= x Portionen n Dinge : m Portionen = x Dinge
Portion
Beim Weglassen der Bezeichnung ,,Portion(en)” entsteht die stärker grundschulgemäße
Aussage
n Dinge : m Dinge = x n Dinge : m = x Dinge
Diese Verkürzung führt gelegentlich zu einer Verwirrung bzw. Begründungsnot angesichts
der Frage, warum bei der Verteilung von 24 Dingen an 6 Kinder bzw. beim
Aufteilen in 6er Portionen nicht
24 Dinge : 6 Kinder = 4 Dinge 24 Dinge : 6 Dinge = 4 Portionen
geschrieben werden darf. (Dieses Problem werden wir beim Sachrechnen, wo die
Dinge durch Einheiten ( ∈, m, kg) ersetzt sind, noch einmal diskutieren.)
Lässt man auch die Angabe über die Dinge weg, so entsteht die Gleichung
24 : 6 = 4 24 : 6 = 4,
aus der die Sachsituation nicht mehr ablesbar ist.
Das Dividieren von Größen (Siehe später!) weist eine Analogie zu der Aufteil–
Verteil–Paarung auf, die wir hier nur erwähnen: Man spricht von der
Messaufgabe
24 m : 6 m = 4
Größe : Größe = Zahl
Teilaufgabe
24 m : 6 = 4 m
Größe : Zahl = Größe.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 33
2.5.2 Rechengesetze
Das Rechnen in den verschiedenen Zahlbereichen N, Z, B, Q oder R unterliegt gewissen
Regeln, die unter dem didaktischen Schlagwort Rechengesetze zusammengestellt
sind.
Man unterscheidet:
– Rechengesetze als Axiome: Sie bilden das Fundament des Rechnens in dem
aktuellen Zahlbereich. Die Axiome sollten . . .
∗ einerseits das gesamte Rechnen im Zahlbereich vollständig beinhalten und
beschreiben,
∗ andererseits voneinander unabhängig sein.
Axiome können nicht innermathematisch bewiesen werden, in der Schule werden
sie durch geometrische oder Sachsituationen plausibel gemacht.
Die Axiome für das Rechnen in Q bzw. R sind im Anhang zusammengestellt.
– Rechengesetze als abgeleitete Regeln: Sie sind aus den Axiomen heraus ableitbar.
Das heißt, sie sind — bei vorausgesetzten Axiomen — mit Mitteln der
Logik und Mengenlehre beweisbar.
– Formeln sind Rechengesetze, die vergleichsweise speziellere oder komplexere
rechnerische Zusammenhänge erfassen. Der Begriff lässt sich fachmathematisch
gar nicht und fachdidaktisch kaum von dem allgemeineren des ,,Rechengesetzes”
abgrenzen.
In der Schulmathematik sind diese Gesichtspunkte nicht thematisierbar, da sie
logisch–abstrakt sind. Rechengesetze sollen im Rahmen eines vorteilhaften Rechnens
als praktisch erkannt werden. Man spricht dann auch von Rechenvorteilen.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 34
3 Die schriftlichen Rechenverfahren
3.1 Grundsätzliche Überlegungen
Beispiele:
Wegen der
41 − 19 205 + 428 247 + 653 325 + 574 752 − 378
• zunehmend großen Zahlenräume und des
• zunehmenden Schwierigkeitsgrads
reichen die kognitiven Leistungen wie Gedächtnis, Konzentration oder lebendiger Gebrauch
der elementaren Rechenfertigkeiten im allgemeinen nicht mehr aus, Grundrechenarten
allein ,,im Kopf” auszuführen.
Es müssen Hilfsmittel hinzugezogen werden, die
• das Gedächtnis entlasten (Speicher–Notiz–Funktion): Auf dem Papier oder an der
Tafel werden die Aufgabenstellung, Zwischenergebnisse, Merkzahlen notiert.
• eine Reduktion der Schwierigkeit erlauben (Vereinfachungs–Funktion): Eine tabellarische
Darstellung der Aufgabe ermöglicht den Rückgriff auf
– das Stellenwertsystem und
– Rechengesetze
und damit letztlich eine
– Rückführung auf das Kopfrechnen innerhalb des kleinen Eins–Plus–Eins bzw.
das kleine Ein–Mal–Eins.
• Zugleich soll das Rechnen als Algorithmus ausgelegt sein, so dass es
– schnell–ökonomisch,
– sicher und wenig fehleranfällig wird und
– alle Fälle erfasst.
Diesem Ziel dienen die sogenannten ,,schriftlichen Rechenverfahren”, sie heißen im didaktischen
Fachjargon auch Normalverfahren der Addition, Subtraktion, Multiplikation bzw.
Division.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 35
• Eine Zwischenstellung zwischen Kopfrechnen und schriftlichen Rechenverfahren
nimmt das sogenannte halbschriftliche Rechnen ein.
Hier werden Rechenschritte und Teilaufgaben, wie sie sich aufgrund der ,,Stellenwertsystem–Rückführung”
ergeben, sehr ausführlich und genau notiert.
Dem halbschriftlichen Rechnen kommt eine erhebliche didaktische Bedeutung insofern
zu, als es einer auf das Stellenwertsystem und die Rechengesetze gegründete
Einsicht in die Struktur der endgültigen schriftlichen Rechenverfahren den Weg bereitet.
• Ein grundlegendes Leitmotiv beim Übergang vom halbschriftlichen zum
(voll)schriftlichen Rechnen besteht darin, alle redundanten (d.h. wiederholten, überflüssigen)
Informationen beim Notieren wegzulassen und damit soweit wie möglich
– die Schreibarbeit zu mindern und
– die Übersichtlichkeit zu steigern.
• Angesichts der Präsenz von Rechenelektronik (TR, PC, Registrierkassen,. . . ) stellt
sich insgesamt die Frage nach der Legitimation der schriftlichen Rechenverfahren.
In jedem Fall tritt die Zielsetzung der Einschleifung (des Drills), wie sie früher
wichtig und nachvollziehbar war in den Hintergrund. Das Erlernen der schriftlichen
Rechenverfahren wird zunehmend als zusätzliche Möglichkeit gesehen, die Einsicht
in den Sinngehalt des Stellenwertsystems zu fördern.
• Die schriftlichen Rechenverfahren sollen nicht als Höhepunkt oder Abschluß der
Grundschularithmetik angesehen werden, Vielmehr ist eine grundsätzliche Haltung
,,Soweit wie möglich im Kopf — sobald nötig schriftlich!”
— natürlich auch differenziert bezüglich der Schülerleistungsfähigkeit — eingenommen
werden.
Die Tendenz, ein rechnerisches Problem zunächst daraufhin zu testen, ob es nicht
auch im Kopf bearbeitet werden kann, ist stark zu fördern.
Es sollte nicht das schriftliche Rechnen (beispielsweise im Rahmen der Bearbeitung
einer Sachaufgabe) erzwungen werden.
Sehen auch Sie das flexible Kopfrechnen als Bestandteil einer schulmathematischen Ausbildung
an! Elementare Aufgaben, die Sie m.E. im Kopf bearbeiten können sollten oder
deren Ergebnisse Sie auswendig wissen sollten, sind:
• Alle Grundrechenarten im Hunderterraum.
• Verdoppeln und Halbieren im Tausenderraum.
• Großes Ein–Mal–Eins: 1 · 1 bis 9 · 19.
• Multiplikation mit 5: Ersetze diese Operation durch die Multiplikation mit 10 und
anschließendes Halbieren.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 36
• Division durch 5: Verdoppeln und dann Zehnteln.
• Quadratzahlen bis 20 (besser noch: 32).
• Kubikzahlen bis 10.
• Hoch–Vier–Potenzen bis 5.
• Zweier–Potenzen bis 2 10 .
• Primzahlzerlegungen bis 100.
3.1.1 Erarbeitungsstränge
Die Erarbeitung geschieht jeweils kleinschrittig über mehrere Stadien. Der Sinn besteht
darin, dass die Schüler diese Verfahren nicht nur formalisiert eingeschliffen, sondern auch
begleitet durch eine gewisse Einsicht, erlernen sollen.
Die Erarbeitung ist gekennzeichnet durch das Ineinanderspielen von mehreren Strängen,
die im folgenden stichwortartig beschrieben werden:
• Bruner’sche Repräsentationsebenen — Intermodaler Transfer.
E Arbeiten mit Münzen und Geldscheinen oder Systemblöcken.
I Bündelhaus: Einträge mit Geld–Symbolen oder Punkt–Strich–Quadrat.
S Tabelle mit Ziffern.
• Dekadisch oder Nicht–dekadisch: Nicht auf symbolischer Eben.
• Komplexität der Aufgabe (vgl. [?, S. 78]):
– Zahlenraum: Hunderter → Tausender → Zehntausender → Million
– Zahl der Zehnerübergänge: Keiner → Einer → Mehrere.
– Zahl der echten (d.h. Nicht–Null–)Ziffern.
– Zahl der Summanden: Zwei → Mehrere.
• Ausführlichkeit der schriftlichen Darstellung:
Gar nicht → Halbschriftlich → Halbschriftlich reduziert →
Schriftlich.
• Begleitendes Sprechen: Am Anfang ausführlich mit Stellenwerten, Operationswörtern
und aufzuschreibenden Ziffern. Wegfallen des Sprechens von
Stellenwerten — Operationswörtern — Merkziffern –Ziffern aus Zwischenergebnissen.
Dabei wird auch vom Lautsprechen zum inneren Sprechen übergegangen.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 37
3.2 Die schriftliche Addition
Die grundlegende Idee besteht darin, dass letztlich eine Addition der Stellenwerte erfolgt.
An dem Beispiel 257 + 326 werden die grundlegenden Ideen aufgezeigt. Diese kann übersichtlich
und für den Schüler zugänglich wie folgt — halbschriftlich — aufgeschrieben
werden:
257 + 326 = 257 + 326 =
------------------ ------------------
200 + 300 = 7 + 6 =
50 + 20 = 50 + 20 =
7 + 6 = 200 + 300 =
------------------ ------------------
257 + 326 = 257 + 326 =
Ein natürliches Bestreben bei dieser Zerlegung ist es, die Reihenfolge H → Z → E zu
wählen, aufgrund des Endalgorithmus ist es aber evtl. hier schon sinnvoll, diese Reihenfolge
zu invertieren.
An diesem Beispiel ist bereits zu sehen, dass die Einzelsummanden eben nicht mehr
einstellige Vielfache der Zehnerpotenzen sind, es muss also umgebündelt werden.
Der mathematische Gehalt des Additionsverfahren ist der folgenden Gleichungskette zu
entnehmen:
257 + 326
EB = (200 + 50 + 7) + (300 + 20 + 6)
AG,KG
= (200 + 300) + (50 + 20) + (7 + 6)
DG
= (2 + 3) · 100 + (5 + 2) · 10 + (7 + 6)
ZR = 5 · 100 + 7 · 10 + 13
UB/GgV
= 5 · 100 + 8 · 10 + 3
B
= 583
Eine Darstellung auf ikonischer (I) Ebene mit Geldsymbolen (vorher entsprechend: enaktiv
E) geschieht etwa so:

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 38
Bereitstellen:
100 ∈ 10 ∈ 1 ∈
Zusammenlegen:
Umbündeln:
⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚
⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚
⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚
⊚ ⊚ ⊚
Auf symbolischer Ebene (S) in der Bündeltabelle schaut dies dann so aus:
Bereitstellen:
100 ∈ 10 ∈ 1 ∈
2 5 7
3 2 6
Stellenweise Addition:
5 7 13
Umbündeln:
5 8 3
Die Endform des schriftlichen Verfahrens wird nun so eingerichtet, dass dieses Vorgehen
durch ein Aufschreiben von Ziffern allein realisiert werden kann:
257
+ 326
1
-----
583
• Wegen des Umbündelns ist es notwendig, die Reihenfolge E → Z → H, d.h. von
rechts nach links, bei der Abarbeitung der Ziffernspalten einzuhalten.
• Größe und genaue Position der Übertragsziffer und die Frage, ob sie überhaupt
angeschrieben werden soll, unterliegen individuellen Vorlieben.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 39
• Zur Sprechweise: Die zu notierenden Ziffern werden — sowohl beim tatsächlichen
als auch beim inneren Sprechen — deutlich hervorgehoben.
• Für die Auswahl der vertikalen Richtung der Rechen- und Sprechweise gibt es keine
entscheidenden inhaltlichen oder didaktischen Gründe. Sinnvoll ist es, die gleiche
Richtung wie bei der Subtraktion zu wählen, also — wegen des bald gültigen Abziehverfahrens
— die von oben nach unten.
Es folgt eine Übungsphase, die sowohl
• das Einschleifen (,,Drill”) und damit das Bewußtsein um die Effizienz eines Algorithmus
als auch
• die zunehmende Einsicht in die Struktur und Funktionsweise des Verfahrens
zum Ziel hat. Dabei wird auch das Additionsverfahren für mehr als zwei Summanden
thematisiert und geübt. Übungsformen: Klecksaufgaben, Riesenzahlen.
Die Bedeutung des Kopfrechnens als Alternative bei entsprechend geeigneten Aufgaben
aber auch als Überschlags–Begleitrechnen zum Testen von Ergebnissen ist dabei stark zu
betonen.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 40
3.3 Die schriftliche Subtraktion
Für das schriftliche Subtrahieren gibt es verschiedene Alternativen, die im wesentlichen
durch die vier Felder in der folgenden Tabelle charakterisiert sind:
↓ ZÜ-Methode \ Grundauffassung → Abziehen Ergänzen
Gleichsinniges Verändern von Minuend
und Subtrahend (Erweitern)
Umbündeln innerhalb des Minuenden
(Borgen)
(Norddeutsches)
Abziehverfahren
(Süddeutsches)
Ergänzungsverfahren
Anhand des Beispiels 372 − 125 beschreiben wir die beiden in der Tabelle benannten und
im derzeitigen Grundschul–Lehrplan erwähnten Verfahren.
3.3.1 Ergänzungsverfahren
Das Ergänzungsverfahren war seit 25.3.1958 gemäß Beschluß der Kultusministerkonferenz
(KMK) in ganz Deutschland verbindlich vorgeschrieben.
Die dem ganzen Verfahren eigentlich zugrundeliegenden Rechengesetze sind der folgenden
Gleichungskette zu entnehmen:
372 − 125
EB = (300 + 70 + 2) − (100 + 20 + 5)
AG,KG
= (300 − 100) + (70 − 20) + (2 − 5)
DG
= (3 − 1) · 100 + (7 − 2) · 10 + (2 − 5)
UB/GlV
= (3 − 1) · 100 + (7 − 3) · 10 + (12 − 5)
ZR = 2 · 100 + 4 · 10 + 7
B
= 247
Die Repräsentation dieser Aufgabe auf ikonischer (I) bzw. enaktiver (E) Ebene mit Geld
geschieht in etwa so:

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 41
Bereitstellen von Minuend und Subtrahend:
100 ∈ 10 ∈ 1 ∈
Gleichsinniges Verändern von Minuend und Subtrahend:
Stellenweise Subtraktion:
Symbolisch (S) in der Bündeltabelle ist dies:
100 ∈ 10 ∈ 1 ∈
3 7 2
1 2 5
Gleichsinniges Verändern:
3 7 12
1 3 5
Stellenweise Subtraktion:
2 4 7
Die Endform des schriftlichen Verfahrens ist:
372
- 125
1
-----
247
⊚ ⊚
⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚
⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚
⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚
⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚ ⊚

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 42
3.3.2 Das Abziehverfahren
Es geschieht eine fortschreitende Entbündelung im Minuenden.
Das Verfahren und die zugrundeliegenden Rechengesetze werden wieder in der Gleichungskette
offenbar:
372 − 125
EB = (300 + 70 + 2) − (100 + 20 + 5)
AG,KG
= (300 − 100) + (70 − 20) + (2 − 5)
DG
= (3 − 1) · 100 + (7 − 2) · 10 + (2 − 5)
UB = (3 − 1) · 100 + (6 − 2) · 10 + (12 − 5)
ZR = 2 · 100 + 4 · 10 + 7
B
= 247
Für die Endform des schriftlichen Verfahrens gibt es mehrere Möglichkeiten:
6 1 .
372 372 372
- 125 - 125 - 125
----- ----- -----
247 247 247
Bei der ersten Version wird die um Eins verminderte neue Ziffer notiert.
Der Lehrplan sieht dies Version vor, zusätzlich wird die alte Ziffer (hier: 7) gestrichen.
Dies ist von Vorteil bei mehrfachem Entbündeln (siehe unten), ein Nachteil bildet die
Tatsache, dass das Durchstreichen auch bei der Fehlerkorrektur angewandt wird oder
dass die durchgestrichene Ziffer nicht mehr erkennbar ist, was bei einer Kontrolle der
Daten oder der Rechnung ungünstig ist.
Anstelle eines Ersetzens der Ziffern könnte man auch die abzuziehende 1 — eventuell auch
nur durch einen Punkt symbolisiert — angeben. Die Position der Eins bzw. des Punktes
unterhalb wäre sinnvoll, führt aber zu Notationsschwierigkeiten.
Ein gewichtiges Problem tritt auf, wenn
• die Ziffer Null im Minuenden auftritt oder
• bei mehreren Subtrahenden zu kleine Ziffern im Minuenden auftreten.
und deshalb fortschreitend umgebündelt werden muss. Dies wird an dem folgenden Beispiel,
bei dem auch gleich die zugehörige Verfahrensweise angegeben ist, deutlich:
69
705
- 417
------
288
(Die ,,Zahl” 70 ist dabei durchzustreichen).

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 43
Diese Sonderfälle werfen auch die Problematik der Entscheidung über das richtige Verfahren
wieder auf, da durch sie eine Einsicht in das Verfahren wieder in Frage gestellt ist.
Andererseits wird die Idee eines Algorithmus als eines schnellen universell einsetzbaren
,,automatisierten” Verfahrens in Frage gestellt.
3.3.3 Gegenüberstellung
Name Abziehverfahren Ergänzungsverfahren
(Erweiterungstechnik)
,,Heimatregion” norddeutsch süddeutsch (Österreich)
Auffassung von Subtraktion
als . . .
Behandlung des Zehnerüberschreitung
Einsicht in den Algorithmus:
Verminderung (Standardauffassung
bei der Subtraktion,
Repräsentation
mit konkretem Material
möglich)
Umbündelung im Minuenden
leichter schwerer
Problemfälle bei . . . Fortschreitender
Umbündelung † ,
Mehreren Subtrahenden,
Die Merkziffer tritt zu
Beginn, nicht am Ende der
gedanklichen Subtraktion
auf.
Schwierigkeiten später bei
der schriftlichen Division.
Handhabung des Algorithmus:
schwerer leichter
Aktueller Stand Im neuen BayLP/GS festgelegt.
Ergänzung (Präsent im
Alltag beim Zahlvorgang:
Rückgeld)
Gleichsinnige Veränderung
von Minuend und Subtrahend
Eine Verwechslung von Addition
und Subtraktion tritt
eher auf.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 44
3.4 Typische Fehler und Schwierigkeiten bei den schriftlichen
Verfahren der Addition und Subtraktion
Das Wesen eines Algorithmus besteht darin, dass er automatisiert ausgeführt wird. Deshalb
stehen auch nicht so sehr Schwierigkeiten im Zusammenhang mit dem Verständnis
oder und grundlegenden Rechenfertigkeiten im Vordergrund, sondern eher solche, die
einer mangelnden Sorgfalt, Flüchtigkeit oder Irrtum zugeordnet werden können. Selbstverständlich
verhindert eine mangelnde Einsicht auch diese sich
• Fehler beim Ziffernrechnen (Eins–Plus–Eins, Eins–Minus–Eins).
• Die Operationen Addition und Subtraktion werden verwechselt.
• Falsche Stellenzuordnung beim (tabellarischen) Notieren der Aufgabe.
• Fehler in Zusammenhang mit der Ziffer Null: Sie wird beim Ziffernrechnen versehentlich
als Eins gesehen. Sie wird beim Rechnen unterschlagen und so geschehen
falsche Stellenzuordnungen.
• Übertragsziffern werden falsch interpretiert, an falscher Stelle hingeschrieben oder
vergessen. Übertrags- und Ergebnisziffer werden verwechselt.
• Fehler in Zusammenhang mit führenden Leerstellen.
• Es wird entsprechend der Schreibrichtung von links nach rechts gerechnet.
• Der Algorithmus wird nicht abgeschlossen (letzter Übertrag ist einsam und wird im
Ergebnis nicht berücksichtigt).
• Probleme bei einer Wiederholung der Verfahrens: Bereits notierte Merkziffern werden
zum Bestandteil der Aufgabenstellung.
Unter Umständen kann ein Durchstreichen aufgrund des Umbündelns beim Abziehverfahren
von einem Durchstreichen aufgrund eines Fehlers nicht unterschieden
werden.
Genauere und mehr differenzierte Beschreibungen der Schwierigkeiten findet man in [?,
S. 126,138].

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 45
4 Die schriftliche Multiplikation
4.1 Rechengesetze
Den Normalverfahren zur Multiplikation und Division liegen entscheidend die folgenden
beiden Rechengesetze zugrunde:
• Das Assoziativgesetz der Multiplikation:
3 · 600 = 3 · (6 · 100) AG/M
= (3 · 6) · 100 = 18 · 100 = 1800.
• Das Distributivgesetz:
7 · 23 = 7 · (20 + 3) (∗)
= (7 · 20) + (7 · 3) = 140 + 21 = 161.
Bei Anwendung in der Richtung links → rechts spricht man auch von ,,Ausmultiplizieren”,
in der umgekehrten Richtung von ,,Ausklammern”. In dem Ausdruck rechts
von (∗) wurden hier bewusst die Klammern gesetzt; aufgrund der (internationalen)
Konvention (nicht Rechengesetz!) ,,Punkt vor Strich” könnten sie auch fortgelassen
werden.
• Das Kommutativgesetz der Multiplikation gehört nicht zum Begründungsrahmen
für das schriftliche Verfahren der Multiplikation. Es wird lediglich zur a priori–
Vereinfachung einer Aufgabe herangezogen.
205 · 7
schr.
= 7 · 205
gdkl.
= 1435.
Eine Multiplikation ist im allgemeinen im Kopf (gedanklich) leichter und geschmeidiger
auszuführen, wenn der erste Faktor kleiner ist als der zweite. Für die schriftliche
Multiplikation ist es dagegen, wie wir sehen werden, günstiger, wenn der zweite
Faktor eine geringere Stellenzahl aufweist als der erste.
Die ersten beiden Rechengesetze ermöglichen es in Verbindung mit dem Stellenwertsystem
wieder, das Multiplizieren mehrstelliger Zahlen auf das Multiplizieren einstelliger Zahlen,
eben auf das kleine Ein–Mal–Eins zurückzuführen.
4.2 Schrittweise Erarbeitung
Die Erarbeitung der Multiplikation erfolgt in einer Vielzahl von kleinen aufeinander aufbauenden
Schritten. Die ständige Einbettung dieser Erarbeitung in eine Abfolge von . . .
• zunehmender Komplexität (kein, ein oder mehrere Zehnerübergange),
• Repräsentationsebenen,

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 46
• wechselnden Sachbezug,
• Einschleifen und Einsicht,
• Ausnutzung von Rechenvorteilen,
• unterschiedlichen Spielformen,
• Zuhilfenahme von Überschlagsrechnungen
wird im folgenden nicht ständig (schon wieder) kommentiert.
4.2.1 Vorbereitung
Schritt A1 Vorübungen bestehen darin, Multiplikationen mit einem einstelligen Faktor
im Kopf auszuführen
3 · 81 5 · 27 43 · 6
Schritt A2 Multiplikation einer Zahl mit 10 bzw. 100:
12 · 10 = 120 45 · 100 = 4500.
Diese Operation muss mit Hilfe von Übungen zum Stellenwertsystem einsichtig gemacht
werden. Mit der Zeit kann man dazu übergehen, diese Multiplikationen als ein ,,Anhängen
entsprechend vieler Nullen” anzusehen. Diese verkürzte Sichtweise mag zwar ein schnelles
Ausführen dieser Rechenoperationen ermöglichen, verblaßt aber die Vorstellung von der
unterliegenden Struktur des Dezimal–Stellenwertsystems, so können mittel- oder langfristig
viele Schwierigkeiten oder Fehleranfälligkeiten hervorgerufen werden.
Schritt A3 Multiplikation einer Zahl mit Z bzw. H:
Es liegt das Assoziativgesetz der Multiplikation zugrunde.
9 · 70 = 9 · (7 · 10) (AG)
= (9 · 7) · 10 = 63 · 10 = 630.
Schritt 3 Multiplikation einer Zahl ZE oder HZE mit E:
Hier kommt das Distributivgesetz zur Geltung: Im Beispiel:
27 · 4 = (20 + 7) · 4 = 20 · 4 + 7 · 4 = 80 + 28 = 108.
4.2.2 Einstellige zweite Faktoren: Die Einzeilen–Multiplikation
Insbesondere bei der Multiplikation einer HZE–Zahl mit E dürfte die Bewältigung dieses
Verfahrens per Kopfrechnen (eventuell gestützt durch Sprechen) vielen Schülern schwerfallen.
Dies liegt vor allem an der notwendigen ,,Speicherung” von Zwischenergebnissen.
Deshalb muss zu einer schriftlichen Fixierung — zunächst im sogenannten halbschriftlichen
Verfahren — übergegangen werden.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 47
Schritt B1: Multiplikation einer Zahl HZE mit E: Dies wird zunächst ausführlich (zur
Einsicht!), dann unter schrittweiser Reduzierung auf das Notwendigste (d.h. unter Fortlassung
redundanter Daten), durchgeführt. An Beispiel der Aufgabe 235 * 7 erläutert,
schaut das so aus (Im folgenden steht anstelle des Malpunkts · aus schreibtechnischen
Gründen ein Stern *):
235 * 7 = 235 * 7 235 * 7
---------------- ------- -------
200 * 7 = 1400 1400 35
30 * 7 = 210 210 210
5 * 7 = 35 35 1400
---------------- ------- -------
235 * 7 = 1645 1645 1645
Die nach der Zerlegung nach dem Distributivgesetz auftretenden Einzelmultiplikationen
werden zunächst ausführlich notiert. Die Beachtung der Stellenwerte durch rechtsbündiges
Anschreiben erleichtert die anschließende Addition der Einzelprodukte.
Schritt B2 Die Produktterme werden nicht mehr notiert, da diese Informationen in der
Kopfzeile vorhanden sind.
Schritt B3 Die Reihenfolge bzgl. der Ziffern des ersten Faktors wird — im Hinblick auf
das später notwendige rechtsbündige (siehe weitere Bezugnahme durch ) Anschreiben
des Produktwerts — vertauscht, das heißt, die einzelnen Multiplikationen werden bzgl.
des ersten Faktors von rechts nach links ausgeführt.
Schritt B4 In jeder der Additionsspalten treten immer nur zwei Ziffern ungleich Null
auf. Dies wird noch besser deutlich bei einem komplexeren Beispiel:
542769 * 7
----------
63
420
4900
14000
280000
3500000
----------
3799383
Dies bedeutet aber, dass die abschließende Addition — im Wechsel mit den
KleinesEinMalEins–Aufgaben — im Kopf durchgeführt werden kann.
Man gelangt insgesamt zur Ein–Zeilen–Multiplikation:
Sie besteht aus dem fortlaufenden Multiplizieren des (einstelligen) zweiten Faktors mit
den Ziffern des ersten Faktors in der Reihenfolge von rechts nach links.
Genauer ist dabei für jede Ziffer des ersten Faktors diese Abfolge von Teilschritten auszuführen:

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 48
• Man multipliziert den zweiten Faktor mit der aktuellen Ziffer des ersten Faktors
und erhält als Ergebnis eine zweistellige Zahl.
• Dazu addiert man — gegebenenfalls — die Merkziffer aus der vorangegangenen
Multiplikation,
• notiert die Einerziffer des neuen Ergebnisses und
• merkt die Zehnerziffer.
235 * 7 542769 * 7
------- ----------
1645 3799383
Die Richtung von rechts nach links bzgl. des ersten Faktors ermöglicht ein Notieren
des Ein–Zeilen–Produkts rechtsbündig genau unter der Ziffer des zweiten Faktors. Dies
ist für den Ausbau des Verfahrens zum Multiplizieren von zwei mehrstelligen Faktoren
zwingend notwendig.
Sprechweise:
7 mal 5 gleich 35 / 5 an 3 gemerkt /
7 mal 3 gleich 21 / plus 3 gleich 24 / 4 an 2 gemerkt /
7 mal 2 gleich 14 / plus 2 gleich 16 / 16 an.
Es besteht die Möglichkeit, die Merkziffern — klein — zwischen den Hauptziffern zu
notieren (in den Beispielen: 162435 bzw. 372919534863). Damit entledigt man sich zwar
der Zwischenspeicherung der Merkziffern, die Darstellung wird aber — insbesondere bei
der nachfolgenden Multiplikation zweier mehrstelliger Faktoren — sehr unübersichtlich
und damit fehleranfällig.
Auf diesem Zwischenniveau (einstelliger zweiter Faktor) muss eine Einschleifung durch
längerfristige Übung erfolgen.
4.2.3 Mehrstellige zweite Faktoren: Die Endform der schriftlichen Multiplikation
Schritt C1 Multiplikation einer Zahl HZE mit Z bzw. H:
Hier kommt wieder das Assoziativgesetz zum Tragen:
253 · 600 = 253 · (6 · 100) = (253 · 6) · 100 = 1518 · 100 = 151 800.
Bei der schriftlichen Bearbeitung dieses Typs von Aufgaben kann bereits die Notwendigkeit
der genauen Beachtung der Stellenwerte (das exakte Untereinanderschreiben) herausgearbeitet
werden.
Schritt C2 Multiplikation einer Zahl HZE mit HZE:
Dies wird mit Hilfe einer stellenweise Zerlegung des 2. Faktors (Multiplikanden) auf die
bereits erlernten Techniken zurückgeführt. Anschließend erfolgt wieder eine geeignete Reduzierung
des Schreibumfangs.
Schritt C3

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 49
431 * 243 = 431 * (200 + 40 + 3)
431 * 200 431 * 40 431 * 3 86200
--------- -------- ------- + 17240
86200 17240 1293 + 1293
--------
104733
Schritt C4 Die Schreibarbeit wird erheblich verringert, wenn man die Summanden für
die abschließende Addition gleich untereinander angibt:
431 * 243 431 * 243 431 * 243
--------- --------- ---------
86200 862 862..
+ 17240 + 1724 + 1724.
+ 1293 + 1293 + 1293
--------- --------- ---------
104733 104733 104733
Hier ist — unausweichlich — auf eine genaue Stellenzuordnung der Summanden zu
achten. Die Ein–Zeilen–Produkte müssen genau rechtsbündig unter die zugehörigen Ziffern
des zweiten Faktors geschrieben werden.
Schritt C5 In der Endform (Mitte) wurden noch die Endnullen weggelassen (Vgl. Anhang
Lehrplan), was die Übersicht bei der Addition erhöht. Eine Alternative besteht noch darin,
die Stellenpositionen der Endnullen durch Punkte zu markieren.
4.2.4 Weitere Überlegungen
• A–priori–Vereinfachung: Kommutativgesetz.
• A–priori–Vereinfachung: End–Nullen.
• Überschlagsrechnen als Test oder Ersatz.
• Mögliche Fehler.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 50
5 Die schriftliche Division
5.1 Division von Z bzw. H durch 10 bzw. 100
120 : 10 = 12 4500 : 100 = 45.
Auch hier sollte diese Operation nicht als ein bloßes Weglassen von Nullen nahegebracht
werden.
5.2 Division einer Zahl durch Z bzw. H
Es liegt das Gesetz von der ,,Konstanz des Quotienten bei gleichsinniger Veränderung von
Dividend und Divisor” zugrunde.
560 : 80 = (56 · 10) : (8 · 10)
(GlV )
= 56 : 8 = 7.
Vorsicht: Ein Fehler, der bei Überbetonung des Operatoraspekts leicht auftreten kann, ist
— dargestellt an dem obigen Beispiel:
560 : 80 = 56 : 8 · 10 = 7 · 10 = 70.
Es wurde ein — vermeintlich gültiges — Assoziativgesetz angewandt.
5.3 Division einer Zahl ZE oder HZE durch E mittels Zerlegung
Hier kommt das Distributivgesetz (der Division) zur Geltung: Im Beispiel:
639 : 3 = (600 + 30 + 9) : 3 (DG)
= 600 : 3 + 30 : 3 + 9 : 3 = 200 + 10 + 3 = 213.
Anders als bei der Multiplikation kann es passieren, dass nach der Stellenzerlegung die
Division nicht mehr ausgeführt werden kann:
972 : 4 = (900 + 70 + 2) : 4 = 900 : 4 + 70 : 4 + 2 : 4 =??
Man könnte sich bestenfalls mit Bruchrechnung behelfen. Das ist aber im Hinblick auf
die spätere Umsetzung in ein schriftliches Normalverfahren — nicht nur wegen der dann
eintretenden Überforderung von Grundschülern — nicht geeignet.
Es ist also eine veränderte Zerlegung in ,,teilbare” Summanden notwendig, beispielsweise:
972 : 4 = (900 + 60 + 12) : 4 = 900 : 4 + 60 : 4 + 12 : 4 = 225 + 15 + 3 = 243.
Es tritt aber immer noch das Problem auf, dass nach der Division der Summanden Quotienten
auftreten können, die keine reinen Zehner- oder Hunderterzahlen sind.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 51
Dies ist jedoch im Hinblick auf das spätere schriftliche Verfahren unerwünscht. Die abschließende
Addition der Teilergebnisse sollte so angelegt sein, dass in jedem Stellenwert
genau ein Beitrag ungleich 0 auftritt.
Bei Anwendung einer anderen Zerlegung wird dieses Problem behoben:
972 : 4 = (800 + 160 + 12) : 4 = 800 : 4 + 160 : 4 + 12 : 4 = 200 + 40 + 3 = 243.
Hier ist die abschließende Addition ein Kinderspiel, sie kann ,,ziffernweise” erfolgen.
Die Zerlegungssummanden (hier: 800, 160, 12) müssen bei der Division durch 4 reine
Hunderter–, Zehner–, (Einer–)Zahlen als Ergebnis hervorbringen. Das bedeutet umgekehrt,
dass sie selbst Vielfache von 400, 40 bzw. 4 sein müssen.
Gemäß dieser Vorschrift könnte man auch die Zerlegung
972 : 4 = (800 + 120 + 52) : 4 = 800 : 4 + 120 : 4 + 52 : 4 = 200 + 30 + 13 = 243
anwenden. Hier ist aber die abschließende Addition ,,zehnerübergreifend”.
Dieses Vorgehen wird vermieden, wenn man nacheinander die größtmöglichen Vielfachen
von 400, 40 bzw. 4 aus der Zahl 972 (subtraktiv) herauszieht.
Dies geschieht aber gerade mit Hilfe der ,,Division mit Rest”:
972 : 400 = 2 R 172;
172 : 40 = 4 R 12;
12 : 4 = 3 R 0;
!
Man sieht, dass in der Spalte ! auch gleich die Ziffern des endgültigen Ergebnisses (in der
Reihenfolge links → rechts) auftreten.
Die Berechnung des Rests in einer Divisionsaufgabe geschieht im wesentlichen durch eine
Subtraktion des größten enthaltenen Vielfachen. Man rechnet also eigentlich wie folgt:
972 // 400 = 2; 2 * 400 = 800; 972 - 800 = 172
172 // 40 = 4; 4 * 40 = 160; 172 - 160 = 12
12 // 4 = 3; 3 * 4 = 12; 12 - 12 = 0
(Das Rechenzeichen // bedeutet ,,Ganzzahldivision ohne Angabe des Rests”).
In jeder Zeile treten Stellenwerte auf, die für die eigentliche Berechnung des Ganzteils
und des Rests gar keine Rolle spielen. Man kann sie weglassen, sie werden nur hier zur
Verdeutlichung noch weiter als Punkte markiert.
9.. // 4.. = 2; 2 * 4.. = 8..; 9.. - 8.. = 1..
17. // 4. = 4; 4 * 4. = 16.; 17. - 16. = 1.
12 // 4 3; 3 * 4 = 12; 12 - 12 = 0

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 52
Die in der zweiten bzw. dritten Zeile neu hinzutretenden Ziffern 7 bzw. 2 sind in dem
Ausgangsdividenden 972 gespeichert.
Jetzt kann man noch erheblich an Schreibarbeit sparen dadurch, dass man die jeweils
zweite Rechnung in jeder Zeile im Kopf durchführt und die Subtraktion rechts in die
Spalte ganz links verlagert:
9.. // 4.. = 2
- 8..
---
17. // 4. = 4
- 16.
----
12 // 4 = 3
- 12
----
0
Eine weitere Verringerung des Schreibaufwands ergibt sich durch Weglassen der // 4–
Operationen, die Ergebnisse dieser Operationen werden in der Kopfzeile nacheinander
notiert. Das // 4 in der Kopfzeile wird wieder durch das : 4 ersetzt, da dies die eigentliche
Aufgabenstellung ist.
Weiter werden die Punkte weggelassen und zugleich die Zahl 972 in der Kopfzeile ausgeschrieben.
Da die beiden Ziffern als Informationen für die dritte, fünfte usw. Zeile gebraucht
werden (Herunterholen). Diese Zahl ist aber sowieso Bestandteil der Aufgabenstellung.
972 : 4 = 243
- 8
---
17
- 16
----
12
- 12
----
0
Dieses Verfahren muss abermals durch langandauernde Übung bis zur Einschleifung beherrscht
werden.
In dem Beispiel 1972 : 4 tritt ein Sonderfall auf, nämlich der, dass man bei strenger
Durchführung des obigen Algorithmus als erstes die Rest–Division 1 : 4 = 0 R 1
durchführen müsste:
1972 : 4 = 0493 1972 : 4 = 493
- 0 - 16

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 53
--- ----
19 37
- 16 - 36
---- ----
37 12
- 36 - 12
---- ----
12 0
- 12
----
0
Auf der rechten Seite wurde die erste Division mit dem Ganzteil–Ergebnis 0 gar nicht
dargestellt, da dies völlig überflüssig ist. Es wird sogleich die Division 19 : 4 durchgeführt.
Um zu vermeiden, dass bei der nächsten Division die zweite Ziffer 9 versehentlich nach
unten geholt wird, kann man die beiden Ziffern 1 und 9 durch einen kleinen Bogen gekennzeichnet.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 54
Beachte aber, dass ein Auftreten der Null als Quotient im weiteren Verlauf des Divisionsalgorithmus
nicht einfach ,,unterschlagen” werden darf.
4832 : 4 = 1208
- 4 ^
--- |
08
- 8
----
03
- 0
----
32
- 32
----
0

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 55
5.4 Division bei mehrstelligen Divisoren
5.4.1 Division einer Zahl ZE oder HZE durch Z bzw. H
Hier kommt wieder das Gesetz der Konstanz des Quotienten bei gleichsinniger Veränderung
von Dividend und Divisor zum Tragen:
680 : 40 = (68 · 10) : (4 · 10) GV = (68 : 4) = 17.
5.4.2 Division einer Zahl HZE durch ZE
Anders als an der entsprechenden Stelle bei der Multiplikation, kann hier keine Zerlegung
des Divisors in Summanden erfolgen. Dies liegt daran, dass im allgemeinen bezüglich des
Divisors das Distributivgesetz nicht gilt, wie durch das Gegen–Beispiel
36 : 6 = 36 : (4 + 2) = 36 : 4 + 36 : 2 = 9 + 18 = 27
aufgezeigt wird.
Deshalb bleibt nichts anderes übrig, als das obige Verfahren entsprechend anzuwenden.
Man bemerkt, dass es hier nicht mehr möglich ist, die Berechnungen allein mit dem kleinen
Einmaleins auszuführen.
So ist beispielsweise bei der Division durch 13 die — irgendwie geartete Präsenz (Auswendig,
schnell aufgeschrieben, überschlagsgerechnet) 13er–Einmaleins notwendig.
69511 : 13 = 5347
- 65
--
45
- 39
--
61
- 52
--
91
91
--

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 56
6 Teilbarkeitslehre
Hier begegnen die Schüler zum ersten Mal einem mathematischen Konzept, das im Alltag
nicht ständig präsent ist. Ein Teil der Schüler empfindet die Algorithmen und Gesetze
als überraschend, sie spüren in diesem Teilgebiet ein wenig von der ,,Schönheit der
Mathematik”. Deshalb geht davon eine vergleichsweise hohe intrinsische Motivation aus.
Voraussetzungen: Die unendliche Menge N0 der natürlichen Zahlen mit der totalen Ordnung
≤ und den Verknüpfungen + und ·.
6.1 Grundbegriffe — Strukturregeln
Eine Zahl m ∈ N0 heißt Teiler der Zahl n ∈ N0, wenn es ein k ∈ N0 gibt mit
k · m = n.
n heißt dann auch Vielfaches von m und k Komplementärteiler.
• Man schreibt und spricht
m | n oder m ⊑ n m teilt n oder m ist Teiler von n
• Wir haben in der Definition für alle drei beteiligten Zahlen in Kauf genommen, dass
sie Null sein können. Bei der Formulierung von Sätzen zur Teilbarkeit muss man hinsichtlich
dieses Sonderfalls Vorsicht walten lassen. Beispielsweise ist die Implikation
m | n =⇒ m ≤ n für den Fall n = 0 nicht richtig.
• Eine Definition der Teilbarkeit über ,,ohne Rest teilbar” o.ä. ist nicht so vorteilhaft.
Sowohl bei bestimmten Sonderfällen (bei Auftreten der von 0) als auch beim
mathematischen Argumentieren gerät man leicht in Schwierigkeiten.
• Die Teilbarkeitsrelation ist die durch
R
|
= R⊑ = (m, n) ∈ N0 × N0m
| n
gegebene Teilmenge von N0 × N0. Die gespiegelte Relation
R⊒ = (n, m) ∈ N0 × N0m
| n
heißt Vielfachenrelation.
• Die höhermathematische Notation mit den eckigen Relationszeichen läßt bereits eine
gewisse Dualität zwischen den Begriffen Teilbarkeit und Vielfachheit vermuten.
Diese Dualität wird in der mathematischen Verbandstheorie (vgl. unten) aufgearbeitet.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 57
Für eine feste Zahl n werden definiert die Teiler- und Vielfachenmengen
Tn :=
m ∈ N0m
| n
und Vn :=
m ∈ N0n
| m
Ein erster Unterschied hinsichtlich der oben angesprochenen Dualität ergibt sich in der
Feststellung, dass
|Tn| < ∞ und |Vn| = ∞ für alle n ∈ N = N0\{0}.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 58
Satz 2 (Eigenschaften der Teilbarkeit)
1. Die Teilbarkeitsrelation ist eine Halbordnung, d.h. sie ist
• reflexiv: n | n für alle n ∈ N0,
• antisymmetrisch: Aus m | n und n | m folgt m = n für alle m, n ∈ N0,
• transitiv: Aus ℓ | m und m | n folgt ℓ | n für alle ℓ, m, n ∈ N0.
2. Für alle n ∈ N0 gilt:
n | 0, 0 | n =⇒ n = 0.
3. Für alle n ∈ N0 gilt:
1 | n, n | 1 =⇒ n = 1.
4. (Verträglichkeit mit algebraischen Strukturen)
Für alle m, m1, m2, n1, n2, k1, k2 ∈ N0 gilt
und
m | n1 und m | n2 =⇒ m | n1 + n2
m1 | n1 und m2 | n2 =⇒ m1 · m2 | n1 · n2.
5. Für alle m, n ∈ N0\{0} gilt:
m | n =⇒ m ≤ n.
Ganz allgemein können Halbordnungen auf endlichen Mengen in sogenannten Hasse–
Diagrammen dargestellt werden: Besteht die Relation m | n, so wird im Diagramm m
unterhalb von n angeordnet und, falls nicht noch ein ℓ mit m | ℓ | n existiert, ein Strich
von m nach n gezogen.
24
8
❅
12
❅
4
❅
6
❅
2
❅
3
❅
1
100
20
❅
50
4
❅
10
❅
25
❅
2
❅
5
❅
1
Fragen: Wie schaut das Hasse–Diagramm aus einer . . .
• Primzahl,
• Potenz einer Primzahl,
• Quadratzahl?
.
210
2 3 5 7
.
.
.
1
.
.
.
.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 59
6.2 Teilbarkeitstests innerhalb des dekadischen Stellenwertsystems
6.2.1 Endstellenregeln
a) Teilbarkeit durch 2, 4, 8, 16, . . . , 2 k (k ∈ N):
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 k teilbar, wenn die aus den letzten k Ziffern
dieser Zahl gebildete Zahl durch 2 k teilbar ist.
b) Insbesondere ist eine natürliche Zahl durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0, 2, 4, 6
oder 8 ist.
b) Teilbarkeit durch 5, 25, 125, . . . , 5 k (k ∈ N):
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 5 k teilbar, wenn die aus den letzten k Ziffern
dieser Zahl gebildete Zahl durch 5 k teilbar ist.
c) Aus diesen ersten beiden Teilbarkeitsregeln lassen sich weitere Regeln für die Teilbarkeit
durch 10, 20, 40, 50, (Allgemein: Zahlen mit Primfaktoren 2 und 5) herleiten.
d) Insbesondere Teilbarkeit durch 10, 100, 1000, . . . , 10 k (k ∈ N):
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 10 k teilbar, wenn die letzten k Ziffern Nullen
sind.
6.2.2 Quersummenregeln
Unter der Quersumme einer Zahl (in dekadischer Zahldarstellung) versteht man die Summe
ihrer Ziffern.
a) Teilbarkeit durch 3:
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar
ist.
b) Teilbarkeit durch 9:
Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar
ist.
Begründung: Hat die gegebene Zahl z die Zifferndarstellung
z = aℓaℓ−1 . . . a1a0
(ℓ Ziffern) ,

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 60
so ist ihre Quersumme q = aℓ + aℓ−1 + . . . + a1 + a0. Wir bilden die Differenz von Zahl
und Quersumme und rechnen ein bißchen herum:
z − q = aℓaℓ−1 . . . a1a0 − (aℓ + aℓ−1 + . . . + a1 + a0)
= aℓ · 10 ℓ + aℓ−1 · 10 ℓ−1 + . . . + a1 · 10 1 + a0 − (aℓ + aℓ−1 + . . . + a1 + a0)
= aℓ · (10 ℓ − 1) + aℓ−1 · (10 ℓ−1 − 1) + . . . + a1 · (10 1 − 1)
= aℓ · 99 . . . 99
ℓ Stellen
+ aℓ−1 · 99 . . . 99
(ℓ − 1) Stellen
+ . . . + a1 · 9
Insgesamt ist also die Differenz der Zahl und ihrer Quersumme eine durch 9 teilbare Zahl.
Deshalb haben Zahl und Quersumme die gleichen Reste bei einer Division durch 3 bzw.
9. Insbesondere sind beide Zahlen oder keine der beiden Zahlen durch 3 bzw. 9 teilbar.
6.2.3 Wechselsummenregel
6.2.4 Regel für Teilbarkeit durch 7
Leider ist die Regel etwas komplizierter als die Regeln für die Teilbarkeit einer Zahl durch
10,100,1000, . . . ,2,4,8,. . . ,5,25,125,. . . , 3,9 oder 11.
Günstig ist es, wenn man einen kleinen Notizzettel zu Hilfe nimmt.
Schreibe die Anfangs–Zahl auf!
Bilde eine neue Zahl mit weniger Stellen nach der folgenden Regel:
1. Streiche die Einerziffer einfach weg!
2. Ziehe dann diese Einerziffer ab!
3. Ziehe diese Einerziffer noch einmal ab!
Führe diesen Dreierschritt mehrmals so lange aus, bis eine zweistellige Zahl entstanden
ist. Wir nennen diese Zahl dann die End–Zahl.
Wenn die End–Zahl durch 7 teilbar ist, dann ist auch die Anfangs–Zahl durch 7 teilbar.
Wenn die End–Zahl nicht durch 7 teilbar ist, dann ist auch die Anfangs–Zahl nicht durch
7 teilbar.
Dafür sollte man die zweistelligen 7er–Zahlen kennen:
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98.
Beispiel: Ist die Zahl 259 durch 7 teilbar?
259
1
−→ 25
2
−→ 16
3
−→ 7

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 61
Die Zahl 259 ist also durch 7 teilbar.
Beispiele: Ist die Zahl 25606 durch 7 teilbar?
25606
2548
238
1
−→ 2560
1
−→ 254
1
−→ 23
2
−→ 2554
2
−→ 246
2
−→ 15
3
−→ 2548
3
−→ 238
3
−→ 7
Die End–Zahl ist eine 7, also ist die Anfangs–Zahl durch 7 teilbar.
Beispiel: Ist die Zahl 36935 durch 7 teilbar?
36935
3683
362
1
−→ 3693
1
−→ 368
1
−→ 36
2
−→ 3688
2
−→ 365
2
−→ 34
3
−→ 3683
3
−→ 362
3
−→ 32
Da 32 nicht durch 7 teilbar ist, ist 36935 auch nicht durch 7 teilbar.
Ist 4 048 247 durch 7 teilbar?
4048247
404810
40481
4046
392
1
−→ 404824
1
−→ 40481
1
−→ 4048
1
−→ 404
1
−→ 39
2
−→ 404817
2
−→ 40481
2
−→ 4047
2
−→ 398
2
−→ 37
3
−→ 404810
3
−→ 40481
3
−→ 4046
3
−→ 392
3
−→ 35
Die End–Zahl ist durch 7 teilbar, also ist auch die Anfangszahl 4 048 247 durch 7 teilbar.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 62
6.3 Primzahlen
Beachte: In der Hauptschule unbekannt. Bei Addition und Subtraktion wird der Hauptnenner
durch sukzessives Erweitern gewonnen.
6.3.1 Begriffe
Eine Zahl n ∈ N0 heißt Primzahl, wenn sie genau zwei (verschiedene) Teiler hat.
• Die Menge aller Primzahlen wird mit P bezeichnet.
• In der obigen Definition ist die Null als ,,keine Primzahl” erfasst, was aber nicht so
klar einsichtig ist.
• In den Definitionen ist die Grundmenge N0, obwohl im Nachhinein klar wird, dass 0
keine Primzahl ist. Dies geschieht also aus ,,Gleichmäßigkeitsgründen”: Man sollte
nicht jedes Mal überlegen müssen, ob die Grundmenge N oder N0 ist.
• Die Primzahldefinition mutet etwas umständlich an. Anschaulicher ist die ,,klassische
Definition”:
Eine Zahl in N0 heißt Primzahl, wenn sie nur 1 und sich selbst als Teiler
hat.
Die Zahl 1 muß als Primzahl explizit ausgeschlossen werden, da sie dieser Definition
genügt, aber aus Zweckmäßigkeitsgründen nicht als solche gelten soll.
6.3.2 Die wichtigsten Sätze über Primzahlen
Satz 3 Jede natürliche Zahl n > 2 ist auf genau eine Weise (abgesehen von der Reihenfolge
der Faktoren) als ein Produkt von Primzahlen darstellbar.
n = p m1
1 · p m2
2 · . . . · p mℓ
ℓ mit p1, p2, . . . , pℓ ∈ P, m1, m2, . . . , mℓ ∈ N.
Beweis Das bekannte Argument
Primzahl p teilt Produkt a · b =⇒ p teilt einen der Faktoren a oder b
darf hier nicht verwendet werden; es beruht gerade auf diesem Satz.
Wir führen den Beweis durch Induktion über n.
Induktionsanfang n = 2: Diese Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung (PFZ):
2 = 2
Induktionsschluß n → n + 1: Hier dürfen wir als Induktionsvoraussetzung (IndV) die
Tatsache benutzen, daß jede natürliche Zahl ≤ n eine eindeutige PFZ besitzt.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 63
1. Fall: n + 1 ist eine Primzahl, in diesem Fall ist die PFZ gerade n + 1 = n + 1; da n + 1
keine Teiler besitzt, ist die PFZ eindeutig.
2. Fall: n + 1 ist keine Primzahl. Dann gibt es zwei Zahlen k, l ∈ N mit 2 ≤ k, l ≤ n, so
daß n + 1 = k · l. Nach IndV besitzen k und l PFZen, also besitzt auch n + 1 eine.
Es bleibt noch zu beweisen, daß die PFZ auch eindeutig ist: Dazu nehmen wir an, es gäbe
zwei verschiedene PFZen für n + 1, d.h. wir können schreiben:
p1 · p2 · . . . · ps = n + 1 = q1 · q2 · . . . · qt
mit Primzahlen pi, qj; wobei irgendeiner der Faktoren pi — sagen wir pk, k ∈ {1, . . . , s}
fest — nicht unter den Faktoren qj vorkommt.
Entscheidend ist jetzt die Gleichung
n + 1
pk · ( − q2 · . . . · qt) = (q1 − pk) · q2 · . . . · qt,
pk
deren Richtigkeit durch Ausmultiplizieren festgestellt werden kann. Der Betrag des Produkts
auf der rechten Seite der Gleichung ist kleiner als n + 1, besitzt somit gemäß IndV
eine eindeutige PFZ. Es gilt also
n + 1
pk · ( − q2 · . . . · qt) = r1 · . . . · rn ·q2 · . . . · qt,
pk
q1−pk
wobei r1, . . . , rn Primzahlen sind.
pk und q1 sind verschiedene Primzahlen, woraus folgt, dass pk | (q1 − pk). Das bedeutet,
dass die Primzahl pk nicht als Faktor unter den r1, . . . , rn sein kann, sie muß also in dem
Produkt q2 · . . . · qt auftreten. Das steht aber im Widerspruch zu der Annahme (∗).
Beachte, dass der obige Satz entscheidend in die Argumentation beim (Standard–)Beweis
der Irrationalität von √ 2 eingeht.
Satz 4 (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis Wir nehmen an, es gäbe nur r verschiedene Primzahlen
p1, p2, . . . . . . , pr.
Wir bilden die Zahl
n = p1 · p2 · . . . · pr
Dann kann die Zahl n + 1 keine Primzahl sein, sie besitzt also eine PFZ, in der eine der
Primzahlen pi — sagen wir pk — vorkommen muß. Somit kommt pk in den PFZen von
n und von n + 1 vor. Das ist ein Widerspruch und wir müssen unsere eingangs gemachte
Annahme verwerfen.
< Episode Wagenschein >
(∗)

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 64
Satz 5 (Einfacher Primzahltest) Eine Zahl n ∈ N ist genau dann Primzahl, wenn sie
keinen Primteiler ( = Teiler, der eine Primzahl ist) p mit p 2 ≤ n besitzt.
Das heißt, um eine natürliche Zahl auf ihre Primeigenschaft hin zu überprüfen, muß man
sie nicht durch alle kleineren Zahlen teilen. Es genügt die Division durch alle Primzahlen
p ≤ √ n.
Beweis (1. Richtung) n sei Primzahl; dann besitzt n keine echten Primteiler p, schon
gar keine mit p 2 ≤ n.
(2. Richtung) n sei keine Primzahl =⇒ n besitzt dann eine PFZ mit zwei oder mehr
Faktoren. Das Quadrat eines dieser Faktoren muß ≤ n sein.
Beispiel: Ist 797 eine Primzahl?
2 | 797
3 | 797
5 | 797
7 | 797
11 | 797
13 | 797
17 | 797
19 | 797
23 | 797
29 2 = 841 > 797
=⇒ 797 ist Primzahl
In der Schule lässt sich der Beweis anhand von mehreren Beispielen sehr plausibel machen:
35 = 5 · 7
143 = 11 · 13
6 = 2 · 3
49 = 7 · 7
24 = 2 · 2 · 2 · 3
Quadriert man den kleinsten Primteiler, so muss das Produkt kleiner oder gleich der
gegebenen Zahl sein (Es schwebt — unausgesprochen oder oft ausgesprochen — der Begriff
der Wurzel im Raum).

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 65
Primzahltest:
Satz 6 (Einfacher Primzahltest) Eine Zahl n ∈ N ist genau dann Primzahl, wenn sie
keinen Primteiler p mit p 2 ≤ n besitzt.
Das heißt, um eine natürliche Zahl auf ihre Primeigenschaft hin zu überprüfen, muß man
sie nicht durch alle kleineren Zahlen teilen. Es genügt die Division durch alle Primzahlen
p ≤ √ n.
Schulformulierung:
Eine Zahl N ist eine Primzahl, wenn unter allen Primzahlen, deren Quadrat kleiner als
die Zahl N ist, kein Teiler ist.
Deshalb:
Q Welches ist die nächstgrößere Quadratzahl und deren Wurzel.
P Welche Primzahlen sind kleiner als die Wurzel?
T Sind diese Primzahlen Teiler?
E Ergebnis:
Beispiele:
Wir wollen testen, ob 79 eine Primzahl ist.
Q 81 ist die nächstgrößere Quadratzahl, 9 ist die Wurzel.
P 2, 3, 5, 7 sind die kleineren Primzahlen.
T Alle diese Primzahlen sind keine Teiler.
E 79 ist eine Primzahl.
Ist 319 eine Primzahl?
Q 324 ist die nächstgrößere Quadratzahl, 18 ist die Wurzel.
P 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sind die kleineren Primzahlen.
T 11 ist ein Teiler: 319 = 11 · 29.
E 319 ist keine Primzahl.
Weitere Beispiele:
141 = 3 · 47, 143 = 11 · 13 147 = 3 7 · 7, 149 = 149
323 = 17 · 19, 319 = 11 · 29, 317 = 317
797 = 797
Buch S. 20/21

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 66
6.3.3 Das Sieb des Eratosthenes
Die Zahlen von 1 . . . . . . n (Hier: n = 504) werden nacheinander aufgeschrieben.
1. Die 1 wird weggestrichen.
2. Dann sucht man nacheinander die Primzahlen p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . heraus und
• markiert jeweils diese Primzahl p und
• streicht dann die Echt–Vielfachen k · p, k ≥ 2, dieser Primzahl p weg.
3. Dieses Verfahren wird beendet, sobald das Quadrat p 2 der aktuellen Primzahl die
Maximalzahl n überschritten hat (Dies ist gleichbedeutend mit p > √ n).
Es bleiben dann nur Primzahlen übrig. (Beachte, dass sie nicht alle bei der Markierung
aus Schritt 2 erfasst werden.)
Günstig ist eine Rechteck–Anordnung (beispielsweise Breite 12), da dann die zu streichenden
Zahlen auf Geraden angeordnet sind.
Das Verfahren hat gegenüber dem ,,Einfachen Primzahltest” den Vorteil, dass alle Primzahlen
in einer gegebenen Menge herausgefunden werden. Für das Testen einer einzigen
gegebenen Zahl n ist es zu aufwändig.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 67
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144
145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156
157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168
169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192
193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204
205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216
217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228
229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252
253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264
265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276
277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288
289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312
313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324
325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336
337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348
349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360
361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372
373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384
385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396
397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408
409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420
421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432
433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444
445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456
457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468
469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480
481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492
493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 68
6.3.4 Exkurs: Das GIMPS Projekt
Am GIMPS–Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search) beteiligen sich rund 130 000
Freiwillige in aller Welt, die ihren Computer während der ungenutzten Zeit mit der Suche
nach Mersenne’schen Primzahlen beschäftigen. Mersenne’sche Primzahlen haben die
Form
2 p − 1, mit p ∈ P.
Zusammengenommen ist die Rechenleistung des Netzes ungefähr so hoch, wie die der derzeit
besten Supercomputer. Dabei versorgt ein zentraler Server, Primenet, alle Beteiligten
mit potenziellen Primzahl–Kandidaten, die es zu überprüfen gilt.
Es konnten bisher die folgenden Erfolge verbucht werden:
Nr Nachweis p = Ziffernzahl
39 14.11.2001 13.466.917 ca. 4 Mio.
40 2003/04 20.996.011 ca. 6 Mio.
41 07.06.2004 24.036.583 ca. 7,2 Mio.
42 18.02.2005 25.964.951 ca. 7,8 Mio.
43 15.12.2005 30.402.457 9.152.052
44 04.09.2006 32.582.657 9.808.358
Aktuelle Informationen finden Sie auf http://www.mersenne.org/
6.4 Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame
Vielfache
Die Kenntnisse und Fertigkeiten im Zusammenhang mit diesen Begriffen spielen eine große
Rolle in der Bruchrechnung der 6. Jahrgangsstufe.
6.4.1 Begriffe
Für endlich viele natürliche Zahlen n1, n2, . . . , nℓ (ungleich Null!) heißt die
• größte Zahl in der Menge T = Tn1 ∩ Tn2 ∩ . . . ∩ Tnℓ der größte gemeinsame Teiler
von n1, n2, . . . , nℓ.
Bezeichnung: ggT(n1, n2, . . . , nℓ).
Die Zahlen n1, n2, . . . , nℓ heißen teilerfremd, wenn ggT(n1, n2, . . . , nℓ) = 1.
• kleinste Zahl in der Menge V = Vn1∩Vn2∩. . .∩Vnℓ das kleinste gemeinsame Vielfache
von n1, n2, . . . , nℓ.
Bezeichnung: kgV(n1, n2, . . . , nℓ).

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 69
6.4.2 Der Euklidische Algorithmus
Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus kann der ggT zweier Zahlen ohne Primfaktorzerlegung
berechnet werden. Man führt, wie im folgenden Beispiel fortlaufend Divisionen mit
Rest durch bis der Rest Null auftritt.
Es soll der ggT von 2226 und 588 berechnet werden.
2226 : 588 = 3 R 462 bzw. 2226 = 3 · 588 + 462
588 : 462 = 1 R 126
462 : 126 = 3 R 84
126 : 84 = 1 R 42
84 : 42 = 2 R 0
Tritt der Rest Null ein, so ist der Algorithmus abzubrechen. Der Rest bei der Division
unmittelbar vorher ist der gesuchte ggT (im Beispiel: 42).
6.4.3 Berechnung von ggT und kgV mittels PFZ
Theorem 7 (PFZ) Es seien m, n ∈ N und {p1, p2, . . . , pℓ} die Menge aller Primfaktoren
aus den Zerlegungen von m oder n. Es sei
m = p r1
1 · p r2
2 · . . . · p rℓ
ℓ ,
n = p s1
1 · p s2
2 · . . . · p sℓ
ℓ .
(Es gilt ri = 0 bzw. si = 0, falls pi nicht in der PFZ von m bzw. n vorkommt.)
Dann gilt:
ggT(m, n) = p min{r1,s1}
1
kgV(m, n) = p max{r1,s1}
1
· p min{r2,s2}
2
· p max{r2,s2}
2
· . . . · p min{rℓ,sℓ}
ℓ ,
· . . . · p max{rℓ,sℓ}
ℓ .
Der Satz kann problemlos für die Berechnung von ggT und kgV für mehr als zwei Argumente
verallgemeinert werden.
Eine interessante, weil gar nicht so selbstverständliche, Folgerung ergibt sich hier: Für
zwei Zahlen m, n ∈ N gilt:
ggT(m, n) · kgV(m, n) = m · n.
Es gilt nämlich für die Exponenten der Primfaktoren pi auf beiden Seiten min(ri, si) +
max(ri, si) = ri + si.
Für die schulpraktische Umsetzung des sich aus dem Satz ergebenden Algorithmus kann
man — beispielsweise — wie folgt vorgehen:

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 70
1. Primfaktorzerlegung einer Zahl.
72 | 36 | 18 | 9 | 3 | 1
2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
Der zugehörige Algorithmus lautet
S1 Schreibe die vorgegebene Zahl in der ersten Zeile links an!
S2 Suche einen (wahlweise: den kleinsten) Primteiler und schreibe ihn unterhalb
in der zweiten Zeile an!
S3 Dividiere und schreibe den Quotienten in der ersten Zeile in die nächste Spalte!
S4 Wenn der Quotient nicht 1 ist, fahre mit Schritt 2 fort!
Wenn der Quotient 1 ist, steht die PFZ in der zweiten Zeile!
Wegen der (sonst eigentlich nicht so üblichen) horizontalen Anordnung wirkt die
Bruchidee in den einzelnen Spalten.
2. Berechnung von ggT und kgV. Schreibe die PFZen untereinander. Dabei ist es sehr
günstig, wenn gleiche Primfaktoren genau untereinander stehen. Im Beispiel:
72 = 2 3 · 3 2 · · ·
420 = 2 2 · 3 · 5 · 7 ·
156 = 2 2 · 3 · · · 13
ggT = 2 2 · 3 1 · 5 0 · 7 0 · 13 0 = 12
kgV = 2 3 · 3 2 · 5 1 · 7 1 · 13 1 = 32760
Berechnung des ggT: Für jede vorkommende Primzahlpotenz wird der minimale
Exponent (die kleinste Hochzahl) ausgewählt. Wenn ein Primfaktor dabei ist, der
in einer der PFZen nicht vorkommt, so bedeutet das, dass er auch im ggT nicht
vorkommt. (Er kann dann gleich weggelassen werden; Die Hochzahl Null stellt sich
in der fünften Klasse als noch sehr abstrakt dar.)
Berechnung des kgV: Für jede vorkommende Primzahlpotenz wird der maximale
Exponent (die größte Hochzahl) ausgewählt. Wenn ein Primfaktor dabei ist, der in
einer der PFZen nicht vorkommt, so spielt das keine Rolle, es wird dann einfach die
größte Hochzahl aus den anderen Zeilen ermittelt.
Die Kenntnis des Algorithmus bedeutet nicht, dass andere kognitive Leistungen (Kopfrechnen,
Intuition, Gedächtnis, Beherrschung der Einmaleins–Sätze) ausgeklammert werden
sollen, ganz im Gegenteil: Bei der Bruchrechnung sollte man sich nicht ständig mit
der Ausführung dieses Algorithmus aufhalten müssen. Die Beispiele sind dann aber auch
meist mit kleineren Zahlen (im Nenner) konstruiert.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 71
6.4.4 Kontextfelder für ggT, kgV
Größter gemeinsamer Teiler:
• Auslegung eines Rechtecks durch quadratische Platten.
• Eine Sorte Briefmarken für zwei verschiedene Frankierungen.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches:
• Koinzidenzsituationen
– Gegenüberstehen von Rädern oder Zahnrädern,
– Aufeinanderschichtung von unterschiedlich hohen Steinen
– Runden beim Autorennen.
• Bildung von Hauptnennern zum Größenvergleich, Addieren, Subtrahieren von
Brüchen.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 72
7 Anhang
7.1 Fachwörter bei den Grundrechenarten
• Addition — Addieren zu (Zusammenzählen)
1. Summand 2. Summand
12
+ 4
=
Summe
Summenwert
16
• Subtraktion — Subtrahieren (Abziehen, Wegnehmen) von
Minuend Subtrahend
12 −
4
=
Differenz
Differenzwert
8
• Multiplikation — Multiplizieren (Malnehmen) mit
1. Faktor 2. Faktor
12 · 4 =
Produkt
Produktwert
48
• Division — Dividieren (Teilen) durch
Dividend Divisor
12 : 4 =
Quotient
Quotientenwert
3
• Potenz — Potenzieren (,,Hochnehmen”) mit
Basis/Grundzahl Exponent/Hochzahl Potenzwert
12 ↑ 4 = 20736
Potenz

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 73
7.2 Relationen in einer Menge
Es sei wieder M eine Menge. Im folgenden sind mögliche Eigenschaften einer solchen
Relation aufgelistet. Eine Relation R in einer Menge M heißt . . .
• reflexiv, wenn für alle x ∈ M gilt: (x, x) ∈ R.
• symmetrisch, wenn für alle x ∈ M, y ∈ M die folgende Implikation gilt:
(x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R.
(∗ Das heißt: Nur wenn (x, y) ∈ R ist, muß auch (y, x) ∈ R sein. ∗)
• transitiv, wenn für alle
x ∈ M, y ∈ M, z ∈ M die folgende Implikation gilt:
(x, y) ∈ R und
=⇒ (x, z) ∈ R
(y, z) ∈ R
• irreflexiv, wenn für alle x ∈ M gilt: (x, x) /∈ R.
• antisymmetrisch, wenn für alle x ∈ M, y ∈ M mit x = y höchstens eine der beiden
folgenden Aussagen wahr ist:
(x, y) ∈ R (y, x) ∈ R
• total, wenn für alle x, y ∈ M mindestens eine der beiden folgenden Aussagen wahr
ist:
(x, y) ∈ R (y, x) ∈ R
• Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
• Halbordnung, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
• lineare (oder totale) Ordnung, wenn sie eine Halbordnung und zusätzlich total
ist.
• strenge Halbordnung, wenn sie irreflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
• strenge lineare Ordnung, wenn sie eine strenge Halbordnung und total ist.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 74
7.3 Aufstellung von Rechengesetzen
Es sei M eine Menge, deren Elemente in diesem Zusammenhang Zahlen heißen.
Auf M sind zwei Operationen (= Verknüpfungen) definiert:
Die Addition ⊕ : M × M → M ⊕ heißt: plus
Die Multiplikation ⊙ : M × M → M ⊙ heißt: mal
Im folgenden sind mögliche Eigenschaften dieser Operationen aufgelistet:
Eigenschaften der Addition
• Assoziativgesetz der Addition (AG/A)
Für alle a, b, c ∈ M gilt: (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
(∗ Damit wird die Schreibweise a ⊕ b ⊕ c := (a ⊕ b) ⊕ c sinnvoll. ∗)
• Kommutativgesetz der Addition (KG/A)
Für alle a, b ∈ M gilt: a ⊕ b = b ⊕ a.
• Neutrales Element der Addition (NE/A)
Es gibt ein Element 0 ∈ M, so dass für alle a ∈ M gilt: a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a.
• Eindeutigkeit ,,der Lösung” (EiL/A)
Zu beliebigen a, b ∈ M gibt es höchstens ein Element c ∈ M, so dass gilt: a ⊕ c = b.
• Existenz ,,der Lösung” (ExL/A)
Zu beliebigen a, b ∈ M gibt es mindestens ein Element c ∈ M, so dass gilt: a ⊕ c = b.
Eigenschaften der Multiplikation
• Assoziativgesetz der Multiplikation (AG/M)
Für alle a, b, c ∈ M gilt: (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c).
(∗ Damit wird die Schreibweise a ⊙ b ⊙ c := (a ⊙ b) ⊙ c sinnvoll. ∗)
• Kommutativgesetz der Multiplikation (KG/M)
Für alle a, b ∈ M gilt: a ⊙ b = b ⊙ a.
• Neutrales Element der Multiplikation (NE/M)
Es gibt ein Element 1 ∈ M, so dass für alle a ∈ M gilt: a ⊙ 1 = 1 ⊙ a = a.
• Eindeutigkeit ,,der Lösung” (EiL/M)
Zu beliebigen a ∈ M \ {0}, b ∈ M gibt es höchstens ein Element c ∈ M, so dass gilt:
a ⊙ c = b.
• Existenz ,,der Lösung” (ExL/M)
Zu beliebigen a ∈ M \ {0}, b ∈ M gibt es mindestens ein Element c ∈ M, so dass gilt:
a ⊙ c = b.

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 75
Eine Eigenschaft, die eine Beziehung zwischen Addition und Multiplikation
herstellt
• Distributivgesetz (DG)
Für alle a, b, c ∈ M gilt: a ⊙ (b ⊕ c) = (a ⊙ b) ⊕ (a ⊙ c) = a ⊙ b ⊕ a ⊙ c.
(∗ Die Unterlassung der Klammersetzung im letzten Term wird durch die Punkt–vor–
Strich–Konvention gerechtfertigt: Punktrechnung bindet stärker als Strichrechnung. ∗)

S. Hilger, Mathematik in der Hauptschule 1 76
7.4 Fragenbeispiele
1. Beschreiben Sie einige Aspekte, die dem Alltagsgebrauch natürlicher Zahlen zugrunde
liegen! Geben Sie dazu auch Beispiele an!
2. Erläutern Sie, was man unter dem Operatoraspekt versteht! Welche didaktischen
Bedeutungen kommen ihm zu?
3. Beschreiben Sie allgemein das E-I-S–Prinzip. Konkretisieren Sie diese Beschreibung
an einem selbst gewählten Beispiel.
4. Beschreiben Sie drei Grundauffassungen über die Multiplikation!
5. b–adische Zahldarstellung!
(a) Erläutern Sie die grundlegende Idee der b–adischen Zahldarstellung!
(b) Wandeln Sie die Zahl 12310 ins 4–adische Zahlsystem um!
6. Division.
(a) Stellen Sie die beiden an den Kardinalzahlaspekt gebundenen Grundauffassungen
der Division einander gegenüber.
(b) Für das operative Durchdringen der Division ist ein weiterer Aspekt relevant.
Inwiefern?
7. Erläutern Sie anhand von Zahlaspekten zwei Auffassungen über die Subtraktion.
8. Runden.
(a) Wie lautet die Regel für das Runden?
(b) Zeigen Sie an einem Beispiel auf, dass zweimaliges Runden irreführend ist!
9. Beschreiben Sie die schriftliche Einzeilen–Multiplikation!