Ing. T. Preußler - Umwelt-Campus Birkenfeld

Umwelt-Campus Birkenfeld der Fachhochschule Trier 

Technische Mechanik II Prof. Dr.-Ing. T. Preußler 

15. Schub 

Schubspannungen werden nicht nur durch Torsion, sondern auch durch 

Querkräfte hervorgerufen. 

Tragpratze eines Druckbehälters als typisches Beispiel eines schubbeanspruchten 

Bauteils. 

aus: www.glatt-gmbh.de 

18. Querkraftschub � 

1 

Q



15.1 Schub durch Querkräfte 

Greifen Kräfte quer zur Längsachse eines Stabes mit dicht nebeneinander 

liegenden Wirkungslinien an, so treten im dazwischen liegenden Querschnitt 

Schubspannungen auf, die man auch als Scherspannungen bezeichnet. 

F 

F 

F/2 F/2 

F 

Scherspannungen treten beim Schneiden und Stanzen auf und spielen bei 

Schrauben-, Niet-, Schweiß- und Klebeverbindungen eine wichtige Rolle. 


2 

F 

F F 

F



Zusätzlich treten noch Biegespannungen auf, die jedoch bei gedrungenen 

Bauteilen mit kleinem Hebelarm und fester Einspannung (Presspassung) 

vernachlässigt werden können. 

Die Schubspannungen sind über dem 

Querschnitt ungleichmäßig verteilt. 

Vereinfacht rechnet man aber oftmals 

mit einer mittleren Abscherspannung 

Hierbei ist Q die Querkraft und A die 

Querschnittsfläche des Trägers 

Die Scherfestigkeit ist bei zähen Werkstoffen τ f = 0,5 R e , bei spröden Werkstoffen 

ist τ f = R m . Mit einer Sicherheit von S = 1,5...4 folgt damit 

τ 

Q 

m 

A 

= τ 

zul 

⎧R 

= min. ⎨ 

⎩ 3 

e 

R 

; 

4 

m 

⎫ 

⎬ 

⎭ 


3 

Q 

τ 

A



Beispiel: Berechnung einer Nietverbindung 

Gegeben: F = 10 kN, b = 30 mm, h = 4 mm, n = 6, τ zul = 90 N/mm 2 

Gesucht: Erf. Nietdurchmesser d, Flächenpressung p, Normalspannung im Blech 

Übung: Berechnung einer Schweißverbindung 

Gegeben: F = 10 kN, b = 30 mm, h = 4 mm 

Gesucht: Schubspannung in der Schweißnaht 


4 

F 

h 

F 

h 

b 

a 

b 

F 

F



15.2 Schub durch Biegemomente 

Bei Beanspruchung eines Balkens durch ein veränderliches Biegemoment M(x) 

treten infolge der Beziehung 

Q 

dM ( x) 

= 

dx 

immer Querkräfte auf (Querkraftbiegung), die im Balkenquerschnitt zusätzliche 

Schubspannungen bewirken. 

Die Querkraft ist im Schnitt senkrecht zur Längsachse mit den 

Schubspannungen im Gleichgewicht. 

∫ 

Q = τ 

dA 

A 

q 

Aus dem Satz der zugeordneten Schubspannungen folgt, dass in Ebenen parallel 

zur Längsachse betragsmäßig gleiche Schubspannungen τ xz = τ zx auftreten. 


5



Die Längsschubspannungen lassen sich auch aus dem Vergleich eines aus 

Einzelbrettern bestehenden und eines massiven Balkens veranschaulichen. 

Die Einzelbretter können sich frei axial verschieben und gleiten aneinander ab. 

Zwischen den Brettern treten keine Axialkräfte auf. 

Werden die Bretter miteinander zu einem massiven Balken verklebt, wird die 

Längsverformung behindert und es treten infolge der Reaktionskräfte Schubspannungen 

zwischen den Brettern auf. 

Das gleiche gilt für alle Fasern der Bretter, so dass auch in allen Ebenen parallel 

zur Längsachse Schubspannungen auftreten. 


6 

F 

τ zx 

F 

τ xz



15.2.1 Schubspannungsverteilung 

Der Schubspannungsverlauf über dem Querschnitt ist nicht konstant und lässt 

sich bei einem trapezförmigen Träger anhand eines parallel zur Seitenwand 

ausgerichteten Quaderelements verdeutlichen. 

η 

ζ 

Q 

x 

τ ηx = 0 

τ ζx ≠ 0 

τ ηζ = 0 

τ ζη = 0 

τ xζ ≠ 0 

τ xη = 0 

An freien, unbelasteten Oberflächen können aufgrund fehlender Querkräfte 

keine Schubspannungen auftreten. Werden von der Seitenwand keine Kräfte 

eingeleitet, gilt daher τηζ = 0 und τηx = 0 und somit auch τζη = 0 und τ xη = 0. 

Verschiebt man das Quaderelement in die linke obere Ecke, wird auch τζx = 0 

und somit τxζ =0. 


7



Am oberen und unteren Rand sind daher die Schubspannung Null, 

dazwischen erreichen sie ein Maximum. 

Bei Trägern mit gekrümmter Außenfläche laufen die Schubspannungen tangential 

zum Rand auf einen Pol zu, bei dünnwandigen Profilen ist die Richtung 

der Schubspannungen durch die Mittellinie des Querschnitts festgelegt. 

τ 

Q 

τ 

Q 

τ 

τ 

Die parallel zur Querkraft Q gerichteten Vertikalkomponenten der Schubspannungen 

τ q sind über der Querschnittsbreite konstant. Bei symmetrischen Profilen 

heben sich die Horizontalkomponenten τ h der Schubspannung τ gegenseitig auf. 


8 

Q 

τ 

τ 

Q 

P 

τ q 

τ h 

τ 

Q 

P 

τ



Zur Berechnung der Schubspannungen betrachtet man das Gleichgewicht an einem 

herausgeschnittenen Teilstücks eines auf Biegung beanspruchten Balkens. 

y 

S 

dx ∆A 

z 

x 

A 

M 

M+dM 

σ+dσ 

Das Kräftegleichgewicht in x-Richtung am Volumen ∆V liefert 

∑ Fx 

= 0 

Q 

∫ 

σ 

dx 

S 

τ(z) 

= ( σ + dσ 

) dA − σ dA −τ ( z ) ⋅b( 

z) 

dx 

∆A 

∫ 

∆A 

b(z) 

τ(z) 

mit der vom betrachteten Schnitt nach außen gerichteten Teilfläche ∆A 


9 

z 

x 

σ 

dA 

dx 

∆A 

σ+dσ



Aus dem Kräftegleichgewicht folgt 

1 dσ 

τ ( z) 

= dA 

b( 

z) 

∫ dx ∆A 

M b Wird die Biegespannung σ = ⋅ z nach der Balkenlängsachse abgeleitet 

I y 

dσ 

dM b z Q 

= ⋅ = 

⋅ z 

dx dx I I y 

y 

und eingesetzt, ergibt sich die Schubspannungsverteilung 

τ ( z) 

= 

S 

= 

y ∫ 

∆A 

I 

z 

y 

Q 

⋅b( 

z) 

dA 

∫ 

∆A 

z 

dA 

mit der Querkraft Q und dem statischen Moment 

bezüglich der Teilfläche ∆A 


10 

y 

z 

S 

A 

z 

∆A



Zur Berechnung der Schubspannung in einem Schnitt mit der Breite b infolge 

der Querkraft Q ist das Flächenträgheitsmoment I y bezüglich des Schwerpunktes 

S und das statische Moment S y der Teilfläche ∆A zu bestimmen. 

τ ( z) 

= 

S 

S 

y 

= 

∫ 

∆A 

1 

2 

z 

I 

b 

y = ∫ 

Q ⋅ S 

y 

dA 

2 

−b 

2 

y 

⋅b( 

z) 

Das statische Moment eines Rechteckquerschnittes ergibt sich aus 

= 

b 

2 

⎡⎛ 

h ⎞ 

⋅ ⎢⎜ 

⎟ 

⎢⎣ 

⎝ 2 ⎠ 

∫ ∫ 

−b 

2 

2 

h 

z 

− 

2 

z dz ⋅ dy 

z 

2 

Das statische Moment besitzt im Schwerpunkt S 

(z = 0) ein Maximum und wird am oberen und 

unteren Rand (z = ± h/2) Null. 

⎥ ⎥ 

⎤ 

⎦ 

dy 

= 

b 

∫ 

2 

−b 

2 

2 ⎡ z ⎤ 

⎢ ⎥ 

⎣ 2 ⎦ 

b 

⎡⎛ 

h ⎞ 

= ⋅ ⎢⎜ 

⎟ 

2 ⎢⎣ 

⎝ 2 ⎠ 


11 

2 

h 

z 

− 

2 

z 

dy 

2 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦ 

y 

h/2 

h/2 

A 

∆A 

z 

b 

S 

dA 

dy 

z 

dz



Wird das Flächenträgheitsmoment I y = b·h 3 /12 eingesetzt 

Q ⋅ S 

τ ( z) 

= 

b⋅ 

I 

y 

y 

ergibt sich ein parabelförmiger Schubspannungsverlauf. 

Bei z = 0 ist die maximale Schubspannung 

τ max 

3⋅ 

Q 

= 

2⋅ 

b ⋅ h 

2 

Q ⎡⎛ 

h ⎞ ⎤ 2 

= ⋅ ⎢⎜ 

⎟ − z ⎥ 

2⋅ 

I y ⎢⎣ 

⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ 

⎥ ⎥ 

2 

6⋅ 

Q 

⎡⎛ 

h ⎞ ⎤ 2 

= ⋅ ⎢⎜ 

⎟ − z 

3 

b⋅ 

h ⎢⎣ 

⎝ 2 ⎠ ⎦ 

Mit der mittleren Schubspannung τm = Q/A = Q / (b·h) folgt 

3 

τ max = ⋅τ 

m 

2 

Die maximale Schubspannung im Rechteckquerschnitt ist 1,5 mal so groß 

wie die mittlere Schubspannung, die sich aus dem Verhältnis von Querkraft 

und Querschnittsfläche ergibt. 


12 

y 

z 

τ(z) 

x 

τ max



15.2.2 Schwerpunktsatz 

Die Integration kann man umgehen, wenn die Schwerpunktskoordinate zs der 

von der betrachteten Faser z „abgeschnittenen“ Teilfläche ∆A bekannt ist. Es 

gilt dann mit dem Schwerpunktsatz Sy = ∆zs · ∆A 

Q 

τ ( z) = ⋅∆z 

s ⋅∆A 

b( 

z) 

⋅ I y 

b 

A 

Für das Beispiel eines Kreisquerschnitts folgt mit 

r S 

∆A = r 

2 

⋅( 

ϕ − sin ϕ) 

/ 2 

die Teilfläche mit dem Schwerpunktabstand 

∆ 

z s 

und daraus das statische Moment 

3 3 

4 ⋅ r 

⋅sin 

( ϕ / 2) 

⋅( 


= ∆z 

⋅ ∆A 

3 3 

= 

= 2 ⋅ r ⋅sin 

( ϕ / 2) 

2 ⋅( 


S y s 

3 

4⋅ 

r ⋅sin 

( ϕ / 2) 

= 

ϕ − sinϕ 


13 

y 

z 

z 

ϕ 

z s 

∆A



Mit b/2 = r·sin(ϕ/2) folgt S y = b 3 /12 und damit die Schubspannung 

Q ⋅ S 

τ ( z) 

= 

b ⋅ I 

y 

y 

Setzt man I y = π⋅r 4 /4 und berücksichtigt (b/2) 2 = r 2 – z 2 , ergibt sich die Schubspannungsverteilung 

2 2 

Q ⋅ 4 ⋅( 

r − z ) 

τ ( z) 

= 

4 

12 ⋅π 

⋅ r / 4 

Die Schubspannung ist auch beim Kreisquerschnitt parabelförmig verteilt Die 

maximale Schubspannung tritt ebenfalls in der Mitte bei z = 0 auf 

τ max 

4 ⋅Q 

= 

3⋅ 

A 

3 

Q ⋅b 

= 

12 ⋅b 

⋅ I 

4 

= ⋅τ 

m 

3 

y 

= 

4 ⋅Q 

⎡ ⎛ z 

⎢1 

− ⎜ 

3⋅ 

A ⎢⎣ 

⎝ r 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

mit der mittleren Schubspannung τ m = Q/A und der Querschnittsfläche A = π⋅r 2 . 

2 


14 

⎤ 

⎥ 

⎥⎦



Beispiel: Geschweißter T-Träger unter Querkraftbelastung 

Gegeben: Q = 5 kN, h = 40 mm, b = 60 mm, s =4 mm, a = 3 mm 

Gesucht: Schwerpunktskoordinate z s, Flächenträgheitsmoment I y, Schubspannung in den 

Schweißnähten τ s und max. Schubspannung τ max. 


15 

y 

z s 

b 

s 

S 

a 

s 

h



... Fortsetzung 

Schubspannung in der Schweißnaht 

Max. Schubspanung: 

y S 


16 

z 

S 1 

∆A 4 

S4 y S 

S 3 

z 

∆A 3 

∆z 1 

∆z4 ∆z3



Übung: I-Träger unter Querkraftbelastung 

Gegeben: Q = 20 kN, h = 80 mm, b = 70 mm, s =10 mm, t = 8 mm 

Gesucht: Flächenträgheitsmoment I y, stat. Momente S y, max. 

Schubspannung τ max, Schubspannungen τ bei z = 40 mm 


17 

y 

y 

∆A 2 

S 

∆A 1 

b 

S 

z 

z 

t 

S 1 

S 2 

h 

z 1 

s 

s 

z 2



15.2.3 Verhältnis aus Schub- und Biegespannung 

Oftmals werden bei biegebeanspruchten Trägern die Schubspannungen vernachlässigt. 

Betrachtet man einen einseitig eingespannten Balken mit Rechteckquerschnitt, 

gilt für die max. Biegespannung 

F 

σ max = 

M max 

Wb 

Die Schubspannung infolge der Querkraft ist 

τ max 

Q 

= 1, 

5⋅ 

A 

Das Verhältnis aus Schub- und Biegespannung ergibt sich 

τ 

σ 

max 

max 

3⋅ 

F 

= 

2⋅ 

b⋅ 

h 

6⋅ 

F ⋅ L 

= 2 

b ⋅h 

3⋅ 

F 

= 

2⋅ 

b ⋅h 

2 

b⋅ 

h 

⋅ 

6⋅ 

F ⋅ L 

1 

= 

4 

⋅ 

h 

L 

d. h. erst bei sehr kurzen Trägern h > L sind die Schubspannungen in der 

Größenordnung der Biegespannungen und müssen berücksichtigt werden. 


18 

L 

b 

h



18.3 Schubverformung 

Neben der Durchbiegung unterliegt ein Träger infolge der Querkraft einer 

zusätzlichen Verformung. Für konstante Schubspannungen ist der Scherwinkel 

γ = 

τ 

G 

Q 

= 

G ⋅ A 

mit der Querkraft Q, der Fläche A und dem Schubmodul G, wobei vorausgesetzt 

wird, dass die Querschnitte eben bleiben (Bernoulli-Hypothese). 

dx 

γ 

τ 

γ=0 

Da die Schubspannungen jedoch parabelförmig verteilt sind mit dem Maximum 

in der Mitte des Profils, werden die Querschnitte in der Realität verwölbt. 


19 

γ=0 

γ max



Um den Effekt der Querschnittverwölbung zu berücksichtigen, wird die von der 

Querschnittsform abhängige Schubverteilungszahl κ eingeführt. Es gilt dann für 

den mittleren Scherwinkel: 

⋅Q 

= 

G ⋅ A 

κ 

γ 

Q 

G ⋅ 

AS 

Die Fläche A wird mit der Schubverteilungszahl κ zu einem reduzierten 

Schubquerschnitt, der sog. Schubfläche A S = A / κ zusammengefasst. 

Für ν = 0,3 gilt näherungsweise: 

= 

κ = 1,1 κ = 1,2 κ = 2 κ = 2,3 κ = 1....2,4 


20



Der mittlere Scherwinkel ist gleich der Neigung des Profils infolge Schub 

dwq 

Q( 

x) 

γ = = 

dx G ⋅ A 

S 

Die Durchbiegung infolge der Querkraft ergibt sich durch Integration 

w 

q 

1 

= 

⋅ ∫Q( 

x) 

dx 

G A 

S 

Wird die Beziehung M(x) = ∫Q(x) dx eingesetzt, folgt 

w 

q 

M ( x) 

= + w 

G ⋅ A 

S 

0 

wobei die Integrationskonstante w o an die Randbedingungen anzupassen ist. 

Die Gesamtdurchbiegung ergibt sich aus der Summe der Biege- und 

Schubanteile 

w w w + = 

b 

q 


21



Für einen eingespannten Rechteckträger unter Querkraftbelastung ergibt sich 

w 

q 

F ⋅ x 

= − 

G ⋅ A 

S 

+ 

w0 

Aus der Randbedingung 

w 

q 

( ) 

0 0 = + 

F ⋅ L 

x = L = − w 

G ⋅ A 

folgt mit κ = 1,2 

w q 

1, 

2 

( x) 

= 

S 

⋅ F ⋅( 

L − x) 

G ⋅ A 

F ⋅ L 

⇒ w0 

= 

G ⋅ 

Das Verhältnis der Verformung aus Schub und Biegung ergibt sich für x = 0 

w 

w 

q 

b 

⋅ F ⋅ L 

= 

G ⋅ A 

2 , 1 

3⋅ 

E ⋅ I 

⋅ 3 

F ⋅ L 

mit M(x) = -F·x 

3, 

6⋅ 

L⋅ 

E ⋅b 

⋅h 

= 

12⋅ 

G ⋅b 

⋅h 

⋅ L 

Auch hier ist nur bei kurzen Trägern die Schubverformung zu berücksichtigen. 


22 

3 

3 

= 

AS 

E ⎛ h ⎞ 

0, 3 ⎜ ⎟ 

G ⎝ L ⎠ 

2 

L 

⎛ h 

⎞ 

≈ 0, 8⎜ 

⎟ 

⎝ L ⎠ 

2 

x 

F 

b 

h

Ing. T. Preußler - Umwelt-Campus Birkenfeld

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