Musterlösung

Übungen zur Kern- und Teilchenphysik
Prof. Dr. L. Oberauer, Physik Department E15 2.-6. Juni 2008
Prof. Dr. W. Hollik, Max-Planck-Institut für Physik
1. e + e − Collider
Musterlösung Übungsblatt 5
Durch Kollision von Elektronen und Positronen bei genügend hohen Energien lassen sich alle elektromagnetisch
und schwach wechselwirkenden Teilchen erzeugen. In Speicherringen werden diese dann
in entgegengesetzter Richtung beschleunigt und mit der gleichen Energie zur Kollision gebracht.
(a) Welche Teilchen können erzeugt werden? Zeichnen Sie die Feynman-Diagramme der möglichen
Reaktionen.
Alle schwach- bzw. em.-wechselwirkenden Elementarteilchen können erzeugt werden,
sofern alle Erhaltungsgrößen (E,p,Parität,Gesamtdrehimpuls..) beachtet werden.
Die folgenden allgemeinen Reaktionen sind möglich (Zeitachse nach rechts):
i. Vernichtung (em. oder schwache ungeladene WW)
e +
e −
Z 0 ,γ
ii. Zerstrahlung in 2 γ-Quanten mit virtuellem Elektron als Austauschteilchen
e +
e −
iii. Streuung (em. oder schwache ungeladene WW)
e +
e −
Z 0 ,γ
¯f
f
γ
γ
e +
e −

Hierbei kann f für Leptonen oder Quarks stehen. Außerdem muss die Bedingung gelten,
dass mf < Ee. Neutrinos können, da sie keine el. Ladung besitzen, nur über Z 0 -
Austausch erzeugt werden.
(b) Am LEP am CERN (Umfang 27 km, Betrieb bis 2000) konnten Elektronen und Positronen
auf jeweils maximal 105 GeV beschleunigt werden. Schätzen sie unter Annahme einer idealen
Kreisbahn ab, wieviel Energie man den Teilchen pro Umlauf als Ersatz für Stahlungsverluste
durch Synchrotronstrahlung zuführen muss, um sie auf maximaler Energie zu halten.
Aus der Elektrodynamik folgt, dass eine beschleunigte Ladung elektromagnetische
Strahlung emittiert. Zur Berechnung der abgestrahlte Leistung P braucht man in diesem
relativistischen Fall die kovariante Form der Larmor-Formel:
P = − 1
4πε0
2
3 m2c3 e 2
� dpµ
dτ
dp µ �
dτ
Hierbei ist p = (E, �p) der 4-Impuls der Teilchen und τ die Eigenzeit.
Für eine Teilchentrajektorie entlang einer Kreisbahn ist
d|�p|
dτ
Somit erhält man für die P ( dE
dτ
d|�p|
= γ = γγmv2
dt R = mγ2β2 c2 R .
≪ d|�p|
dτ )
P = 1 2 e
4πε0 3
2γ4β4c R2 Die pro Umlauf abgestrahlte Energie ist damit
∆E = PT = P 2πR
βc
1 e
=
3ε0
2β3γ4 R
Setzt man die Größen des LEP ein, so sieht man, dass ein Elektron bei einem Umlauf
etwa 2.5 GeV verliert.
(c) Im Bereich der Z 0 -Resonanz ist der Teilchenerzeugungs-Wirkungsquerschnitt durch e + e − -
Annihilation etwa 50 pb. Welche Luminosität ist erforderlich, um ein Z 0 pro Stunde zu beobachten?
Berechnen Sie die vom LEP erreichte Luminosität. Es sind jeweils 4 Teilchenpakete
im Ring, der mittlere Strom pro Teilchensorte beträgt 2 mA und der Strahlquerschnitt ist 0,02
mm 2 .
Die Luminosität L ist neben der maximalen Strahlenergie ein wichtiges Charakteristikum
eines Beschleunigers. Sie ist ein Maß dafür, wieviele Teilchen pro Zeit und Fläche
an den Wechselwirkungspunkten zusammengeführt werden können. Sie verknüpft
Zählrate R und Wirkungsquerschnitt σ:
→ L = R
σ =
R = L · σ
1
3600s 50pb = 5.65 · 1030 s −1 cm −2
Es ist also eine Luminosität von 5.65 · 10 30 s −1 cm −2 nötig, um mindestens ein Z 0 pro
Stunde beobachten zu können.
Die Luminosität des LEP ergibt sich aus
L = Ne +Ne−f ,
F

wobei N für die Teilchenzahl pro Paket steht, f für die Kollisionsfrequenz und F für die
Querschnittfläche des Strahls im Wechselwirkungspunkt. Die Zahl der Teilchen Ntot im
Ring ergibt sich aus dem mittleren Strom I zu
Ntot = dN I 2πR
T =
dt e c = 1.13 · 1012 ,
und damit die Zahl der Teilchen pro Paket zu N e ± = Ntot/4 = 2.8 · 10 11 .
Des Weiteren ist die Kollisionsfrequenz
f = 4
T = 4.44 · 104 s −1 .
Somit ergibt sich für die Luminosität des LEP L = 1.76 · 10 31 s −1 cm −2 . Es sind also ∼3
Ereignisse pro Stunde zu erwarten.
2. Stochastisches Kühlen
Eine wichtige Vorraussetzung für die Entdeckung der Austauschbosonen der schwachen Wechselwirkung
W ± und Z 0 am CERN im Jahr 1983 war eine Entwicklung, die Simon van der Meer 1984
den Nobelpreis für Physik einbringen sollte: das stochastische Kühlen, eine Methode zur Reduktion
des Phasenraumvolumens von Teilchen in einem Speicherring.
(a) Die Antiprotonen werden durch Beschuß eines stationären Kupfer-Targets mit Protonen (E=26
MeV) erzeugt (p + p → p + p + ¯p + p). Welche Konsequenzen hat diese Produktionsweise für
die Impulsverteilung und den Emissionswinkel der Antiprotonen? Wie hoch ist der Fluss der
Antiprotonen im Vergleich zu den einlaufenden Protonen?
Die Produktionsreaktion p+p → p+p+ ¯p+p wurde im Wintersemester Blatt 1 besprochen.
Die benötigte Schwerpunktsenergie ist 2mp ≈ 1.88 GeV und die Energieschwelle
bei einem fixed target Experiment ist Ep ≥ 7mp ≈ 6.57 GeV. Die vom PS (Proton Synchrotron)
kommenden Protonen mit Ep = 26 GeV besitzen also ausreichend Energie.
Da 4 Reaktionsprodukte entstehen (und alle auch noch gleich schwer sind) ist eine breite
Impulsverteilung zu erwarten. Ebenso sind auch die Emissionswinkel/richtungen
im CMS gleichverteilt. Folglich muss der Antiproton Akkumulator eine hohe Akzeptanz
besitzen (Akzeptanz bezeichnet die Fehlertoleranz für die Injektion). Das SPS (Super
Proton Synchroton) hingegen besitzt nur eine kleine Akzeptanz, weswegen die
Strahldivergenz im AA verkleinert werden muss.
Des Weiteren besitzt die Reaktion an sich einen niedrigen Wirkungsquerschnitt, auf
10 11 Protonen kommen ∼ 10 7 Antiprotonen. Für die Produktion von W ± und Z 0 benötigt
man aber aufgrund der kleinen Wirkungsquerschnitte einen deutlich höheren Fluss.
Allerdings liefert das PS so viele Protonen, dass im Laufe eines Tages ∼ 10 11 Antiprotonen
im AA angesammelt werden können. Diese werden dann in das PS und dananch
ins SPS injiziert und mit Protonen (damals Ep = 270 GeV, später bis zu 400 GeV) zur
Kollision gebracht.
(b) Die Antiprotonen werden weiterhin in einem Speicherring (antiproton accumulator) gesammelt,
um eine hohe Strahlintensität zu erreichen. Wie verläuft ihre Trajektorie bezüglich der
idealen Kreisbahn?

Da aufgrund der Produktionsweise die Antiprotonen mit sehr verschiedenen Emissionswinkeln
produziert werden, ist eine exakte Injektion schwer realisierbar. Durch die
Ablenkmagnete und Quadrupolmagnete werden die ¯p auf eine Kreisbahn gezwungen,
jedoch laufen sie nicht auf der idealen Bahn, sondern oszillieren um diese. Die Amplitude
ist dabei abhängig vom Injektionswinkel. Das ganze bezeichnet man als Betatron-
Oszillationen.
(c) Mittels des Prinzips der stochastischen Kühlung werden die Antiprotonen nun gebündelt. Dazu
wird an einer Stelle des Speicherrings (’pick-up’) ein Signal proportional zur Abweichung
x des Antiprotons von der idealen Bahn an einen sogenannten ’kicker’ übertragen, der dann
wiederum das Antiproton um einen Winkel proportional zur Abweichung ablenkt (siehe Abb.
1). Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit eine Fokussierung aller Antiprotonen
jeglicher Phase auftritt? Auf was muss für den Abstand von pick-up zu kicker noch geachtet
werden?
Die stochastische Kühlung wird bei der Bündelung der Antiprotonen verwendet, da
die starke Fokussierung ( mit Quadrupolmagneten) nicht sinnvoll angewandt werden
kann. Nach dem Theorem von Liouville kann nämlich, unter Ansatz konservativer
Kräfte, der Phasenraum nicht verkleinert werden (nur verzerrt). Folglich muss auf andere
Methoden zurückgegriffen werden, um die aus dem Produktionsprozess resultierende
große Strahldivergenz zu verringern. Eine Möglichkeit bietet die stochastische
Kühlung. Alles in allem wird im hier Phasenraum um einen Faktor 10 9 verkleinert.
Das ganze Prinzip ist allerdings nur unter 2 Bedingungen anwendbar:
i. die Position der Teilchen im Phasenraum muss bekannt sein (wird am pick-up bestimmt)
ii. man kann auf einzelne Teilchen einwirken (am kicker).
Den differentiellen pick-up kann man sich als Platten vorstellen die sich links und
rechts des Strahls befinden. Unterschiedliche induzierte Ströme in den Platten sind ein
Maß für die Position des Teilchens. Das Signal wird entlang einer Sekante des Ringbeschleunigers
an den kicker geliefert. Denn während die Antiprotonen mit fast Lichtgeschwindigkeit
(β = pc
E ≈ 0.96) fliegen, verzögert sich das elektronische Signal aufgrund
der Kabel und des Verstärkers.
Entlang des Ringes beträgt der Abstand vom pick-up zum kicker nλ/2+λ/4 (n=0,1,2,..).
Die Fokussierung erfolgt dann, je nachdem wie die Phase der Betatron-Oszillationen
am pick-up ist, mehr oder weniger effizient. Damit die Fokussierung bei jedem Umlauf
besser wird, darf die Gesamtlänge des Speicherrings kein Vielfaches der halben
Oszillations-Wellenlänge λ/2 sein.
Insgesamt gibt es drei Typen der Fokussierung: horizontal, vertikal und longitudinal.
Für jedes der drei gibt es ein oder mehrere pick-up-kicker-Systeme.
(d) Betrachtet man nun realistischerweise statt eines einzelnen Teilchens nun ein Sample von Antiprotonen,
muss nun die Überlagerung der Signale aller Antiprotonen im entsprechenden Zeitfenster
berücksichtigt werden. Welche Bedeutung kommt den Signalen der anderen Antiprotonen
zu (in Bezug auf das Referenz-Teilchen)? Was passiert in erster/ zweiter Näherung?
Am pick-up wird von jedem passierenen Antiproton zwar ein scharfes δ-peak Signal
induziert, jedoch wird aufgrund der endlichen Bandbreite W des Verstärkers dieses
Signal verbreitert (Halbwertsbreite 1/2W). Somit wird am kicker nicht ein einzelnes
Signal ankommen, sondern vielmehr eine Überlagerung mehrerer Signale. Während
das vom Referenzteilchen beim pick-up ausgesandte kohärente Signal zur Kühlung

eiträgt, haben die anderen, überlagernden inkohährenten Signale jedoch den entgegengesetzten
Effekt. Das ist auch der Grund, warum das Prinzip der stochastischen
Kühlung nur bei kleinen Teilchenflüssen angewandt werden kann (z.B. nicht bei Protonen
vom PS).
Geht man aber in erster Näherung davon aus, dass die inkohärenten Signale gleichverteilt
sind, so wird sich deren Effekt zu Null mitteln.
In zweiter Näherung wird nun der inkohärente Teil berücksichtigt, wobei nun auf die
Statistik zurückgegriffen werden muss. Die inkohärenten Signale werden dabei als
zufällige Fluktuationen behandelt. Qualitativ lässt sich sagen, dass die Kühlleistung
reduziert wird, ein Effekt der z.B. auch durch den thermischen Noise verstärkt wird.
Der Verstärkungsfaktor g = ∆x bezeichnet den Anteil am beobachteten Fehler pro
〈x〉s
Umlauf. Er ist proportional zur Signalverstärkung zwischen pick-up und kicker und
ist für den Experimentator eine wichtige Größe zur Kontrolle der Fokussierung.
Es kann gezeigt werden, dass - während die Kühlrate linear mit g geht - die Heizrate
quadratisch zunimmt (Abb. 1) Folglich gibt es ein Optimum, bei dem am effektivsten
gekühlt wird. In erster Näherung ist g=1, bei Berücksichtigung Effekte 2. Ordnung ist
ein g < 1 optimal.
Abbildung 1: Kühl- bzw. Heizrate
(e) Die W ± -Bosonen zerfallen via W ± → e ±( ¯ν )
e und W ± → µ ±( ¯ν )
µ. Wie kann man diese
Zerfäll von Zerfällen von Hadronen in Leptonen unterscheiden?
Anhand der Transversalimpulse pT der Elektronen, Myonen und Neutrinos lassen sich
die Ereignisse unterscheiden. Während beim W ± pT ≤ MW/2 ≈ 40GeV , sind die
Transversalimpulse beim Zerfall von Hadronen klein.
3. Zerfall von Quarkonia
(a) Welches Verzweigungsverhältnis würde man erwarten, wenn man lediglich den für die Reaktionsprodukte
zur Verfügung stehenden Phasenraum betrachtet?
Der zur Verfügung stehende Phasenraum ist:

• beim Zerfall in 2 Kaonen: mφ − 2m K ± ≃ 40 MeV
• beim Zerfall in 3 Pionen: mφ − 3mπ ≃ 600 MeV
Da also der Phasenraum beim Zerfall in 3 Pionen um mehr als eine Ordnung größer ist
als der Zerfall in 2 Kaonen, sollte man annehmen, dass der Zerfall in 3 Pionen bevorzugt
auftritt.
(b) Zeichnen Sie die Feynman-Diagramme für den Zerfall des Φ Mesons in K + K − bzw. π + π 0 π − .
Beachten Sie dabei die Erhaltungsgrößen und zeigen Sie, dass Endzustände, die nur durch q¯q-
Annihilation zu erreichen sind, unterdrückt sind.
• Zerfall in 2 Kaonen
• Zerfall in 3 Pionen
Das φ-Meson ist farbneutral. Wegen der Erhaltung der Farbe muss deshalb auch jeder
Zwischenzustand und der Endzustand farbneutral sein. Ein einzelnes Gluon trägt aber
immer ein Farbe und Antifarbe. Um also Farbneutralität zu gewährleisten, müssen also
mindestens 2 Gluonen ausgetauscht werden. Eine weitere Erhaltungsgröße ist die Parität.
Da sowohl das Φ-Meson als auch die Gluonen eine negative Parität besitzen, muss
eine ungerade Anzahl von Gluonen ausgetauscht werden. Folglich ist die niedrigste
Anzahl an Gluonen, die ausgetauscht werden (und damit auch die wahrscheinlichste),
drei. Für jedem Vertex erhält man einen Unterdrückungsfaktor von √ αs (αs < 1), der
bei den durchgehenden Quarklinien nicht auftaucht. Folglich sind diese Prozesse bevorzugt.
Genau dies besagt auch die sog. ’Zweig-Regel’.
(c) Die totale Zerfallsbreite des Φ-Mesons beträgt 4,26 MeV. Die Zerfallsbreiten von J/Ψ (c¯c) und
Υ (b ¯ b) betragen 93,4 keV und 54,0 keV. Wie erklären Sie sich die längeren Lebensdauern der
schweren Quarkonia?
Analog zu (b) könnte man sagen, dass der Zerfall mit durchgehenden Quarklinien am
wahrscheinlichsten auftreten sollte. Dort zerfällt nämlich das Φ-Meson in die 2 leichte-

sten Mesonen mit s-quark, K + K − . Vergleicht man allerdings die Massen der leichtesten
Mesonen mit c-quarks, D ± , mit J/Ψ bzw. der leichtesten Mesonen mit b-quarks,
B ± , mit Υ, so sieht man, dass die Zerfälle J/Ψ → D + D − und Υ → B + B − energetisch
nicht möglich sind.Zerfälle mit durchgehenden Quarklinien sind also nicht möglich,
weshalb die Schärfe der Zerfallsbreiten deutlich kleiner und die Lebendsdauern deutlich
länger sind als beim s¯s-System.
Die Ruhemassen der Mesonen sind: mΦ=1020 MeV, m K ±=494 MeV, m K 0=498 MeV,m π ±=140 MeV,
m J/Ψ=3097 MeV, mΥ=9460 MeV, m D ±=1870 MeV (|D + 〉 = |c ¯ d〉) und m B ±=5297 MeV (|B + 〉 =
| ¯ bu〉).