¨Ubungen zur Kern- und Teilchenphysik I

Prof. Dr. L. Oberauer 09.01.2008
Prof. Dr. W. Hollik
1. Beschleuniger
Übungen zur Kern- und Teilchenphysik I
Wintersemester 2007/08 · Blatt 10
(a) Der Elektron-Positron-Speicherring LEP des CERN bei Genf (Krümmungsradius der Ab-
lenkmagnete 3 km) wurde im Jahr 2000 bei einer Schwerpunktsenergie von 208 GeV be-
trieben. Wie stark muss das Magnetfeld für die Strahlführung sein? Welchen Energie-
verlust pro Umlauf erleidet ein Strahlteilchen durch die Synchrotronstrahlung? Welche
Beschleunigungsspannung müsste installiert werden, um eine Schwerpunktsenergie von
800 GeV zu halten?
Lösung:
Allgemeines zur Synchrotronstrahlung vorweg:
• beschleunigte Ladungen strahlen elektromagnetische Wellen ab
• Vorhersage durch Lienard (1898)
• erste Beobachtung 1947 an 70 MeV Elektronen-Synchrotron von General Electrics (USA)
Formel für die Strahlungsleistung einer beschleunigten Ladung:
PS =
mit dt = γdτ.
e 2 c
6πɛ0(m0c 2 ) 2
�� �2 d�p
−
dτ
1
c2 � � �
2
dE
dτ
Spezialfälle, wenn Beschleunigung � zur Bewegungsrichtung bzw. ⊥ zur Bewegungsrichtung
erfolgt.
Kreisbahn im Magnetfeld:
Lorentzkraft = Zentrifugalkraft
evB = mv2
r
B = mv m0γv
=
er er
Berechne v und γ aus der Energie der Elektronen bzw. Positronen:
E = 104 GeV = γm0c 2
γ = E
v = c
E0
�
= 104 GeV
511 keV
1 − 1
� c
γ2 = 2.04 · 105
Einsetzen liefert die erforderliche Magnetfeldstärke:
B = m0γv
er
= 511 keV · 2.04 · 105
e · 3000 m · 3 · 10 8 m
s
= 1.16 · 10 −1 T

Energieverlust durch Synchrotronstrahlung im Speicherring, abgestrahlte Leistung:
PS =
e2c 6πε0(m0c2 ) 4
E4 R2 ergibt Energieverlust
=� pro Umlauf für ein Elektron/Positron (v = c):
2πR
∆E PSdt = PS
βc =
e2 3ɛ0(m0c2 ) 4
E4 R
∆E[keV] = 88.5 (E[GeV])4
R[m]
⇒ ∆E = 3.45 GeV
Diese Energie muss den Teilchen bei jedem Umlauf durch Nachbeschleunigung wieder zugeführt
werden.
Bei 800 GeV wären die Abstrahlungsverluste für Elektronen:
∆E = 1.2 · 10 13 eV
Das ist weitaus größer als die tatsächliche Energie der Teilchen, völlig unrealistisch. Die dafür
nötige Beschleunigungsspannung beträgt 1.2 · 10 13 V.
(b) Zur Zeit wird im LEP Tunnel der Proton-Proton-Collider LHC aufgebaut, der eine Schwer-
punktsenergie von 14 TeV erreichen soll. Wie groß sind hier die Synchrotronstrahlungs-
verluste pro Umlauf? Wie stark muss das Feld der Ablenkmagnete sein?
Lösung:
Die Verluste durch Synchrotronstrahlung skalieren mit 1/m 4 . Daher sind die Verluste für Pro-
tonen bei gleicher Energie einen Faktor (me/mp) 4 = 8.8 · 10 −14 kleiner als für Elektronen. Für
Protonen mit einer Energie von 7 TeV beträgt der Energieverlust pro Umlauf
∆E = 6.2 keV
Das Magnetfeld, um die Protonen bei diesen hohen Energien auf der Kreisbahn zu halten, muss
allerdings sehr stark sein:
E = 7 TeV, γ = E
=
E0
7 TeV
= 7.46 · 103
938 MeV
�
v = c 1 − 1
� c
γ2 B = m0γv
= 7.8 T
er
Solche Magnetfeldstärken lassen sich nur mit supraleitenden Magnetspulen erreichen.
(c) Am geplanten Elektron-Positron Linear Collider TESLA soll mit Hilfe von zwei gegen-
einander gerichteten Beschleunigungsstrecken von je 12 km Länge eine Schwerpunkts-
energie von 800 GeV erreicht werden. Wie groß muss der Energiegewinn pro Länge dE/dx
sein? Wieviel Teilchenergie geht dabei in Form von Synchrotronstrahlung verloren?
Lösung:
Energiegewinn pro Länge:
dE
dx
= 400 GeV
12 km
= 3.33 · 107 eV
m
= 33.3 MeV
m

Energieverlust durch Synchrotronstrahlung bei linearer Beschleunigung:
PS =
e 2 c
6πε0(m0c 2 ) 2
� dp
dt
Bei linearer Beschleunigung gilt für relativistische Teilchen
dp
dt
und somit
PS =
= dE
dx
e 2 c
6πε0(m0c 2 ) 2
� 2
� �2 dE
dx
Zahlenwerte für TESLA eingesetzt liefert:
PS = 2 · 10 −16 W
vernachlässigbar klein, unabhängig von der Energie der Teilchen.
Der gesamte
=� Energieverlust
=� ergibt sich (Annahme: v = c):
dx x
∆E PSdt PS = PS
c c = 8 · 10−21 J = 50 meV
2. Strahlfokussierung
In einem Speicherring für Elektronen werden werden zur
Strahlfokussierung Quadrupolmagnete eingesetzt.
Für den Feldverlauf eines solchen Quadrupols gilt
Bx = b0y, By = b0x, Bz = 0 (b0 = const.).
Die Flugrichtung der Teilchen sei in Richtung der z-Achse.
(a) Zeigen Sie, dass ein Quadrupolmagnet in einer Ebene fokussierend und in der anderen
Ebene defokussierend wirkt.
Lösung:
Annahme: die Bewegung der Teilchen erfolgt vor dem Eintritt ins Magnetfeld parallel zur z-
Achse �v = (0, 0, v), Eintrittspunkt in das Magnetfeld bei (x1, y1, 0). Im Magnetfeld wirkt auf die
Teilchen die Lorentzkraft � FL = q�v × � B,
in x-Richtung
Fx = −qvBy = −qvb0x
in y-Richtung
Fy = qvBx = qvb0y
Damit ergibt sich für Elektronen (q = −e) in x-Richtung eine defokussierende, in y-Richtung eine
fokussierende Wirkung; der Austrittspunkt aus dem Quadrupol liegt bei (x2, y2, l) mit |x2| > |x1|
und |y2| < |y1|. (umgekehrt für Positronen).

(b) Geben Sie die Brennweite f eines Quadrupolmagneten abhängig von seiner Länge l (in
Strahlrichtung) und dem Teilchenimpuls p an. Welcher Wert für f ergibt sich für b0 =
5 T/m und eine Länge von l = 30 cm für Elektronen mit E = 50 GeV?
Lösung:
Definition der Brennweite einer Linse: parallel einfallende Strahlen treffen sich im Brennpunkt.
Ablenkwinkel α, tan α = x
x
f , für kleine Winkel tan α = α = f .
Näherung für dünne Linsen: x, y bleiben innerhalb der Linse konstant, d.h. auch die ablenkende
Kraft ist konstant.
α = | ∆p
p | = |�F
l
dt F v eb0xl
| = | | =
p p p
f = x p 50 GeV/c
= = = 111 m
α eb0l e 5 T/m 0.3 m
(c) Wie kann man eine Fokussierung des Teilchenstrahls in beiden Ebenen erreichen?
Lösung:
Kombination von zwei Quadrupolmagneten, die um 90 ◦ gegeneinander verkippt sind.
Geometrische Optik: Kombination aus Sammel- und Zerstreuungslinse gleicher Brennweite:
f2 = −f1
Abstand L (L < f)
Gesamtbrennweite
1
fges
= 1
+
f1
1
−
f2
L
f1f2
= L
f 2 1
> 0
Insgesamt erreicht man in jedem Fall eine Fokussierung.
Fokussierung eines Linsensystems in beiden Ebenen
L
Horizontale Ebene
Vertikale Ebene