Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

Stefan Lange und Karlhorst Meyer
Kegelschnitte I
Die gymnasiale Geometrie der Ebene befasst sich vor allem mit Geraden und Kreisen. Im Folgenden werden
auch Kurven betrachtet, die ebenfalls einfache Eigenschaften aufweisen. Solche Kurven treten z. B. als ebene
Schnitte von Drehkegeln auf (vgl. Kapitel 3), finden aber auch auf viele andere Arten Anwendung im
Maschinenbau oder etwa bei der Gestaltung von Bauwerken (vgl. das Kapitel 5). Man stößt auf viele einfache
oder weniger einfache Fragestellungen wie etwa: Wie müssen zwei gleich dicke Rohre zugeschnitten werden,
damit man sie zu einem Rohrknie zusammenfügen kann, um z. B. den Durchfluss um 90° umzulenken?
Aufgabe 0.1:
Beschreibe vollständig und kurz: Wie muss man einen Drehzylinder anschneiden und verkleben, damit
ein Rohrknie von 90 o entsteht?
Lösung:
Schneide eine Papprolle mit einem scharfen Messer oder einer Säge unter 45 o gegenüber der Rotationsachse
durch, drehe das abgeschnittene Stück um 180 o um seine Rotationsachse und füge die beiden
Teile dann wieder zusammen. Es entsteht das gewünschte Rohrknie.
Es wird sich zeigen, dass die Eigenschaften der ebenen Kegelschnitte trotz ihrer sehr unterschiedlichen Gestalten
sehr eng miteinander verwandt sind (vgl. Kapitel 3.5) und viele einfache und aufschlussreiche Konstruktionen
und Überlegungen zulassen, die im Folgenden untersucht werden sollen.
1. Vorerörterungen zur Darstellung der Bilder
Im folgenden Text werden viele Bilder benutzt, die sogenannte Risse sind, d. h. durch Orthogonalprojektion
eines Körpers in eine Bildebene Π entstehen. Aus diesem Grund werden hier erst einmal die
Eigenschaften von Parallelprojektionen aufgezählt:
Bei Parallelprojektion (in guter Näherung Sonnenlicht; die Bilder heißen auch Schrägbilder) geht durch jeden
Punkt P ein Projektionsstrahl. Alle Projektionsstrahlen sind parallel und schneiden die Bildebene Π. Der
Schnittpunkt eines Projektionsstrahls ist das Bild von P.
• Das Bild eines Punktes ist ein Punkt.
• Das Bild einer Geraden ist ein Punkt oder eine Gerade. Ersteres falls die Gerade in Richtung der
Projektionsstrahlen liegt, man sagt dann: Die Gerade ist projizierend.
• Das Bild einer Ebene ist eine Gerade (falls die Projektionsrichtung in der Ebene liegt, man sagt dann: Die
Ebene ist projizierend) oder ganz Π.
• Das Bild paralleler Geraden sind entweder zwei Punkte, eine Gerade oder zwei parallele Geraden.
• Alle Strecken, die parallel sind, werden in einem festen Verhältnis verkürzt bzw. verlängert (sogenannter
räumlicher Strahlensatz); insbesondere gehen Mittelpunkte in Mittelpunkte über. Geraden, die parallel zur
Bildebene sind, werden 1:1 abgebildet.
Stehen die Projektionsstrahlen senkrecht auf der Bildebene, so spricht man von Orthogonalprojektion und
nennt das Bild Riss. Der letzte Absatz der Eigenschaften von Parallelprojektionen ändert sich:
• Alle Strecken, die parallel sind, werden in einem festen Verhältnis verkürzt; Mittelpunkte gehen in
Mittelpunkte über. Geraden, die parallel zur Bildebene sind, werden 1:1 dargestellt.
Häufig werden Körper in mehreren Rissen dargestellt (Hinweis: Das Wort Darstellung wird hier nicht im Sinne
der Mathematik so benutzt, dass ein bijektives Bild eines Gegenstands gemeint ist). In der sog. Darstellenden
Geometrie wurden eigene Bezeichnungsweisen für die einzelnen Risse verwendet, die hier zu aufwendig
erscheinen. So gilt hier die

Vereinbarung: Alle Risse des Punktes P heißen P, alle Risse der Geraden g heißen g usw.
4
Wie in der Darstellenden Geometrie setzen wir verschiedene Risse eines Körpers so nebeneinander oder auch
untereinander, dass entsprechende Punkte auf parallelen Geraden zu fnden sind.
Es folgen
wichtige Definitionen und Sätze im Raum:
• Zwei Geraden heißen parallel, wenn sie identisch sind oder in einer Ebene liegen und keinen Punkt
gemeinsam haben.
• Eine Gerade heißt parallel zu einer Ebene, wenn sie in der Ebene liegt oder keinen Punkt mit der Ebene
gemeinsam hat.
• Zwei Ebenen heißen parallel, wenn sie identisch sind oder keinen Punkt gemeinsam haben.
• Zwei nicht parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden.
• Sind zwei Geraden einer dritten parallel, so sind sie untereinander parallel (Man beachte: In diesem Satz
können die drei genannten Geraden Kanten eines dreiseitigen Prismas sein!).
• a und b seien windschiefe Geraden. Als Winkel zwischen a und b wird definiert der Winkel zwischen a’ und
b, wobei sich a’ mit b schneidet und a’ parallel zu a ist.
• Der Winkel zwischen einer Geraden a und einer Ebene E ist definiert als 90 o minus dem Winkel zwischen
der Geraden und dem Lot auf der Ebene.
• Der Winkel zwischen zwei Ebenen wird definiert als der Winkel zwischen den Loten der Ebenen.
• Eine Gerade g heißt Lot auf einer Ebene E, wenn g auf zwei nicht parallelen Geraden der Ebene senkrecht
steht. Der Schnittpunkt des Lots mit der Ebene heißt Fußpunkt.
• Ist g Lot auf E, so steht g auf allen Geraden der Ebene senkrecht.
• Ein Kreis ist achsensymmetrisch zu jedem seiner Durchmesser.
• Bilden die Schenkel eines Zirkels einen rechten Winkel und lässt man den einen Schenkel um den anderen
rotieren, so läuft der bewegte Schenkel in einer Ebene, deren Lote parallel zum Schenkel sind, der als
Rotationsachse dient. Der bewegte Schenkel wird 1:1 bei Orthogonalprojektion genau dann abgebildet, wenn
er zur Bildebene parallel ist. Bei Orthogonalprojektion ist dann und nur in diesem Fall der Winkel zwischen
den Schenkelbildern wiederum ein rechter Winkel. In allen anderen Fällen der Rotation ist der Winkel
zwischen den Schenkelbildern größer oder kleiner als ein rechter (sog. Hilfssatz über die
Orthogonalprojektion rechter Winkel).
Man verdeutliche sich diese Definitionen und Sätze an Modellen bzw. Raumskizzen.
2. Zylinderschnitte
2.1 Definition und erste Eigenschaften
Definition 2.1.1: Ein Kreis k im Raum ist festgelegt durch
Mittelpunkt M, Radius r und Rotationsachse a.
Ein Kreis k vom Radius r und seine Drehachse a, z. B. Lenkrad und
Lenksäule eines Autos, wird nun von oben (der entstehende Riss
heißt Grundriss) gezeichnet. Die Projektionsstrahlen stehen auf der
Grundrissebene senkrecht und gehen durch die Punkte des Kreises k;
sie bilden dabei die Mantellinien eines schiefen Kreiszylinders Z
(vgl. rechte Abbildung). Der Grundriss von k ist dann ein Schnitt
senkrecht zu den Mantellinien von Z.
Aufgabe 2.1.1: Schneide aus Pappe einen Kreis aus und
stecke durch seinen Mittelpunkt eine „Achse“, z. B. einen
Bleistift. Vergleiche die folgende Zeichnung mit
diesem Modell.
r
P
s
a
k
k
a
M
s
F
k
M
Q
r
M
e
M
Pe
Q
e
E
Z
Π 1

Der Kreis k liegt in einer Ebene, die man so von der Seite
betrachten kann, dass man sie projizierend, den Kreis also
als Strecke sieht. Ein Kreisradius ist dann projizierend.
Man kann deshalb annehmen, dass die Kreisdrehachse a in
der Zeichenebene liegt; deshalb sind der Kreis und sein
Bild in der projizierenden Grundrissebene Π 1 symmetrisch
zur Zeichenebene, weil der Kreis zu jedem seiner
Durchmesser symmetrisch ist.
Definition 2.1.2: Das orthogonale Bild eines Kreises heißt
Ellipse.
5
Die Zylinderachse im Bild kann als projizierende Ebene F gedeutet werden. Zu dem Kreispunkt P und seinem
Bild Pe bei Orthogonalprojektion gibt es einen Kreispunkt Q samt Bild Qe, die von F denselben Abstand s wie P
haben.
Pe und Qe liegen also symmetrisch zu F. Da die Zeichenebene, die Grundrissebene Π1 und die Ebene F paarweise
aufeinander senkrechte Ebenen sind, gilt:
Satz 2.1.1: Die Ellipse hat zwei zueinander senkrechte Symmetrieachsen.
Standardbezeichnungen:
In nebenstehender Zeichnung heißen:
die Symmetrieachse AC Hauptachse
die Symmetrieachse BD Nebenachse
die Punkte A und C Hauptscheitel
die Punkte B und D Nebenscheitel
der Kreis um M durch A Hauptkreis
der Kreis um M durch B Nebenkreis
die Strecken a und b große bzw. kleine Halbachse und
der Punkt M Mittelpunkt.
Man führt in der Ebene des Kreises k die kartesischen
Koordinaten u ein (beachte, in der Darstellung
projizierend) und v (in der Zeichenebene) und analog in
der Ebene der Bildellipse e die Koordinaten x
(projizierend) und y (in der Zeichenebene). Dem Punkt P(u
| v) des Kreises wird also der Punkt Pe(x⏐y) der Ellipse
zugeordnet. Weil parallele Strecken im gleichen Maßstab
abgebildet werden, gilt:
u = x und y
v
b
= = cos α (1)
a
Nach dem Satz des Phythagoras gilt für die Punkte P(u | v)
des Kreises um den Ursprung M und den Radius a:
2 2 2
u + v = a Mit (1) folgt:
x
x
a
2
2
2
+ ⎛
⎜
⎝
ay
b
2
2
y
+ = 1 2
b
⎞ 2
⎟ = a Hieraus folgt nach Division durch a
⎠
2 :
C
B
b
k u
Satz 2.1.2: Mittelpunktsgleichung der Ellipse: Die Punkte P(x | y) einer Ellipse mit den Halbachsen a und b
und dem Mittelpunkt (0 | 0) erfüllen: x
a
2
2
2
y
+ =
1
2
b
α
b
M
D
x
e
P(u;v)
a
a
P e (x;y)
A
v
y

Aufgabe 2.1.2:
Gegeben ist ein Kreis mit Radius 5,0 cm,
dessen Ebene gegenüber der Bildebene um 30 o
geneigt ist. Berechne die Halbachsen der
Bildellipse.
Zeichnet man die x-y-Ebene und die u-v-Ebene in
eine Zeichnung ein und dreht das so erhaltene Bild
um 90 o , so erhält man das nebenstehende Bild.
Dies liefert eine Punktkonstruktion der Ellipse:
Verfahren Wimpelkonstruktion der Ellipse:
1. Von einer Ellipse sind gegeben der Mittelpunkt
M, die Scheitel A, B, C, D und damit Haupt-
und Nebenkreis. Lege durch M eine beliebige
Halbgerade g (Schnittpunkt P 1 mit Hauptkreis,
Schnittpunkt P 2 mit Nebenkreis).
2. Zeichne durch P 1 die Parallele zu BD.
3. Zeichne durch P 2 die Parallele zu AC.
4. Der Schnittpunkt P der gezeichneten Parallelen
ist ein Punkt der Ellipse.
Begründung:
Aus Formelzeile (1) auf der vorhergehenden Seite
folgt mit den Bezeichnungen der nebenstehenden
Zeichnung:
a
b
P1M P1Q = = =
P M PQ
2
v
y
6
k
e
y, v
M
P(u;v)
Pe
(x;y)
Nach der Umkehrung des Strahlensatzes (Zentrum P 1) folgt: P 2P || MQ. Damit ist die Konstruktion begründet.
Der Beweis folgt auch unmittelbar mit (1) aus der Ellipsengleichung.
x = u
Aufgabe 2.1.3: Konstruiere nach der Wimpelkonstruktion je 24 Punkte der Ellipsen mit der großen Halbachse
a = 5,0 cm und der kleinen Halbachse b = 1,0 cm bzw. b = 2,5 cm bzw. b = 4,0 cm. Nütze die
Symmetrie aus und zeichne in einem Bild die Ellipsen möglichst genau.
Die Wimpelkonstruktion kann man als eine Abbildung auffassen, die jedem Hauptkreispunkt P 1 einen
Ellipsenpunkt P zuordnet; deshalb definiert man:
Definition 2.1.3: Eine Achsenstreckung S mit der Achse s ist eine Abbildung der Punkte P 1 einer Ebene auf
Bildpunkte P dieser Ebene:
1. Ist P 1 auf s, dann sei S(P 1) = P1.
2. Ist P 1 nicht auf s, dann fälle von P 1 das Lot auf s mit Fußpunkt Q. Das Bild S(P 1) = P erhält man dann so,
dass P auf P1Q liegt und PQ
c
P1Q Seite von s oder auf verschiedenen Seiten liegen.
C
= mit derselben Konstanten c für alle P 1 ist, wobei jedes P und P1 auf einer
y
B
M
D
g
P1 P2 1
3
2
P
Q
A
x

Satz 2.1.3: Achsenstreckungen haben folgende
Abbildungseigenschaften:
1. Sie sind umkehrbare eindeutige Punktabbildungen .
2. Geraden werden auf Geraden, Schnittpunkte auf Schnittpunkte
abgebildet.
3. Parallele Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet.
4. Teilverhältnisse auf Geraden bleiben erhalten.
5. Parallele Strecken werden im gleichen Verhältnis verzerrt.
6. Alle Lote zur Achse sind Fixgeraden.
7. Eine nicht zu a parallele Gerade g1 schneidet ihr Bild g auf der Achse.
8. Die Berühreigenschaften von Tangenten bleiben erhalten.
7
Aufgabe 2.1.4: Beweise den Satz 2.4.
Hinweise
zu 2. bis 5.: Suche bzw. ergänze geeignete Strahlensatzfiguren.
zu 1. 6. und 7.: Verwende die Definition.
zu 8.: Beachte die Vorbemerkung zur Tangentenkonstruktion und: Liegen zwei Punkte auf derselben Seite
einer Geraden, so gilt dies auch für die Bilder.
Aufgabe 2.1.5: Zeige: Bei der Wimpelkonstruktion entsteht der Ellipsenpunkt P auch durch Achsenstre-
ckung (Achse BD) aus P 2 auf dem Nebenkreis.
Aufgabe 2.1.6: In einem Koordinatensystem ist eine Achsenstreckung durch die x-Achse als ihre Achse
und den Punkt P(0⏐3) und seinen Bildpunkt P’(0⏐-2) gegeben. Konstruiere (Einheit 1 cm) und berechne
das Bild
a) des Dreiecks PQR mit Q(6⏐0) und R(2⏐6),
b) des Fünfecks ABCDE mit A(4⏐3), B(7⏐-1,5), C(11⏐-1,5), D(11⏐1,5), E(8⏐6). Fertige hierzu eine neue
Zeichnung.
Scheitel als Koordinatenursprung:
Man stellt sich vor, dass die gewünschte Scheitelgleichung durch die
folgende Verschiebung
y = y und x = x − a aus obiger Mittelpunktsgleichung durch
Einsetzen entsteht:
( x − a)
2
2
2
a
+
y
2
b
= 1
Hieraus folgt durch Ausquadrieren:
x
a
2
2
2x
y
− + = 0 2 a b
2
2
( x − x ) ( y − y )
0
2
0
Aufgabe 2.1.7: Es sei + = 1.
2
2
a b
a) Welche Kurve beschreibt diese Gleichung? Welche Bedeutung haben die Parameter der Gleichung?
b) Zeichne die Kurve für (x0⏐y0) = (3⏐-1), a = b, b = 2 (Zeicheneinheit 1 cm).
c) Löse die Gleichung nach y auf.
d) Wie lautet die Gleichung der Ellipse mit dem Mittelpunkt M(-2⏐3), a = 4, b = 2?
e) Wie lautet die Gleichung einer Ellipse mit den Scheiteln A(2⏐2), B(-1⏐4), C(-4⏐2)? Welche
Koordinaten hat der vierte Scheitel D und der Mittelpunkt M?
2.2 Konstruktionen
Tangentenkonstruktion:
a
y
P
1
P
Q
y
a x P
y = y x=x
x M

Da die Achsenstreckung verschiedene Schnittpunkte auf
verschiedene Schnittpunkte abbildet, sich also die Anzahl von
Schnittpunkten nicht ändert, muss das Bild einer Kreistangente eine
Ellipsentangente sein.
Konstruktion einer Tangente an eine Ellipse:
1. Konstruiere P zu P1 (z. B. mit der Wimpelkonstruktion).
2. Zeichne die Kreistangente t1 zu P1. Der Schnittpunkt T mit der
Achse a ist Fixpunkt bei der Abbildung.
3. Zeichne die Ellipsentangente PT.
8
Aufgabe 2.2.1: Beschreibe den Ablauf der entsprechenden Tangentenkonstruktion, wenn man nicht wie
oben eine Achsenstreckung der Ellipse aus dem Hauptkreis, sondern aus dem Nebenkreis verwendet.
Aufgabe 2.2.2: Begründe, warum diese Tangentenkonstruktionen versagen, wenn der Ellipsenpunkt zu
nahe an einem Scheitel liegt. Fertige hierzu Zeichnungen und gib dann einen Grund an.
Aufgabe 2.2.3: Konstruiere einige Ellipsenpunkte samt ihren Tangenten (a = 5,0 cm, b = 3,0 cm).
Beachte: Durch wenige Punkte mit ihren Tangenten lässt sich eine Ellipse mindestens ebenso genau
zeichnen wie durch die doppelte Punktanzahl ohne Tangenten.
Aufgabe 2.2.4: Welche Gleichungen beschreiben die Tangenten t1 in P1(x1⏐y1) an den Hauptkreis, t2 in
P2(x2⏐y2) an den Nebenkreis und t in P(xp⏐yp) an die Ellipse.
Hinweis: Für die Steigungskoeffizienten mi zweier aufeinander senkrechter Geraden gilt m1m2 = -1.
Aufgabe 2.2.5: Gegeben ist eine Ellipse durch ihren Mittelpunkt M(0⏐0), Hauptscheitel A(5⏐0) und
Nebenscheitel B(0⏐2). Konstruiere ohne die Ellipse zu zeichnen (Einheit 1 cm)
a) die Ellipsentangenten parallel zur Geraden BQ mit Q(2,5⏐0) samt Berührpunkten;
b) die Ellipsentangenten von R(7⏐1) aus samt Berührpunkten;
c) die Schnittpunkte der Ellipse mit der Geraden durch Q(2,5⏐0) und S(-3⏐2).
Löse die Aufgabe auf zwei Wegen: Einmal werde der Hauptkreis, dann der Nebenkreis der Ellipse als
Urbild der Achsenstreckung gewählt.
Papierstreifenkonstruktionen:
1. Trage auf einem Papierstreifen die Halbachsen a und b der gewünschten Ellipse ab wie in den folgenden
Zeichnungen.
2. Passe jeweils für verschiedene Winkel φ den Papierstreifen zwischen den Symmetrieachsen der zu
zeichnenden Ellipse ein.
y
a - b
φ
b
P
x
Begründung:
Für die Koordinaten (x⏐y) des Ellipsenpunktes P gilt jeweils x = a cos φ und y = b sin φ. Hieraus folgt
2 2 x y
cos φ + sin φ = 1 = +
2
a b
Umkehrung der Papierstreifenkonstruktion:
2
2
2
, also die Formel der gesuchten Ellipse.
y
k
3
e
t
t1
P1
1
P
s
P
φ
2
a b
T
x

9
Von einer Ellipse sind gegeben der Mittelpunkt M und ein Hauptscheitel A (damit die Lage der Achsen und die
Länge a der großen Halbachse), sowie ein beliebiger Punkt P. Gesucht ist die Länge der kleinen Halbachse b.
Lösung:
Passt man einen Papierstreifen nach einer der vorherigen Zeichnungen so ein, dass auf ihm die bekannte Länge a
an der richtigen Stelle liegt, dann findet man auf dem Papierstreifen die gesuchte Länge b.
Aufgabe 2.2.6: Führe diese Konstruktion exakt nur unter Benutzung von Zirkel und Lineal aus. In welcher
Reihenfolge muss man diese Schritte in einem CAD-System ausführen?
Aufgabe 2.2.7: Führe diese Konstruktionen entsprechend zur Aufgabe 2.2.5 aus, wenn jetzt der Mittelpunkt
der Ellipse, ein Nebenscheitel und ein beliebiger Ellipsenpunkt gegeben sind.
Aufgabe 2.2.8: Zeichne mit beiden Papierstreifenmethoden Ellipsen mit a = 5,0 cm und b = 1,5 cm oder
b = 2,5 cm oder b = 4,0 cm. Weshalb wird das Ergebnis mit einer der beiden Methoden genauer?
Aufgabe 2.2.9: Gegeben ist eine Ellipse mit dem Mittelpunkt (0⏐0), dem Hauptscheitel A(5⏐0) und dem
Nebenscheitel B(0⏐2). Konstruiere die Lage des Papierstreifens jeweils durch die Achsenpunkte (5,6⏐0,0),
(0,0⏐5,6) und durch die Ellipsenpunkte (2,0⏐?) und (?⏐0,8).
Aufgabe 2.2.10: Von einer Ellipse sind gegeben der Mittelpunkt M(0⏐0), der Hauptscheitel A(a⏐0) und der
Punkt P(x⏐y). Konstruiere mit der Umkehrung der Papierstreifenmethode den Nebenscheitel für:
a) a = 5,0 x = 3,0 y = 2,0; b) a = 5,0 x = 4,0 y = 2,4; c) a = 5,2 x = 4,8 y = 1,0.
Wie ändert sich die Genauigkeit der Ergebnisse für die verschiedenen Beispiele?
Aufgabe 2.2.11: Das nebenstehende Bild soll die
Aufgabe 2.2.9 lösen. Was ist falsch daran?
Aufgabe 2.2.12: Von einer Ellipse sind
Mittelpunkt M(0⏐0), ein Scheitel S(39⏐0) und
der Punkt P(15⏐60) gegeben. Stelle die
Ellipsengleichung auf und gib die Koordinaten
der übrigen Scheitel an.
Aufgabe 2.2.13: Eine Ellipse mit Achsen, die zu
den Koordinatenachsen parallel sind, geht durch
die Punkte (52⏐42), (52⏐18), (70⏐30), (-20⏐30).
Finde die Halbachsen der Ellipse durch
Konstruktion und Rechnung.
Aufgabe 2.2.14: Eine Ellipse, deren Achsen die Koordinatenachsen sind, geht durch P(60⏐12,5) und
Q(39⏐26). Berechne die Halbachsen. Können P und Q beliebig vorgegeben werden? Begründe.
Aufgabe 2.2.15: Wie viele Punkte einer Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinaten sind, kann man
vorgeben, um daraus die Parameter der Ellipsengleichung zu bestimmen?
Aufgabe 2.2.16: Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung y = mx + t und eine Ellipse e mit
2
2
x y
+ = 1 .
2 2
a b
a) Berechne die Schnittpunkte der Geraden g mit der Ellipse e sowie den dazugehörigen
Sehnenmittelpunkt M(xs⏐ys).
b) Finde eine algebraische Bedingung dafür, dass g Ellipsentangente ist.
c) Zeige, dass der Berührpunkt dieser Tangente und die Mitten aller zu g parallelen Sehnen auf einem
Durchmesser der Ellipse liegen.
2.3 Technische Anwendung
b
M
b
a
P
(a;0)

Der Ellipsenzirkel beruht auf der Konstruktion
„Papierstreifenmethode“. Die Enden des
jeweiligen Papierstreifens sind als sog.
Kreuzkopfgelenke ausgebildet und laufen in
zwei aufeinander senkrecht stehenden Schienen.
Die Schiene „Papierstreifen“ ist an den
Kreuzköpfen so verstellbar, dass verschiedene
Längen a und b eingestellt werden können.
Die PC-Entwicklung hat die Verwendung von
Ellipsenzirkeln überflüssig gemacht.
Aufgabe 2.3.1: Untersuche in einem CAD-
System die Ellipsenerzeugung durch
„Ziehen“ eines Kreises und versuche diese
Methode mathematisch zu erklären.
2.4 Scheitelkrümmungskreise
10
Wir haben bereits gelernt, dass ein Ellipsenpunkt mit Tangente an die Ellipse eine Information ist, die mit der
Vorgabe zweier Ellipsenpunkte vergleichbar ist. Noch höher ist die Information, wenn man einen Punkt samt
Tangente und Krümmungskreis vorgibt. Hierbei versteht man unter einem Krümmungskreis denjenigen Kreis,
dessen Mittelpunkt auf der Kurvennormalen (also senkrecht zur Tangente) liegt und der die Ellipse optimal
berührt. Was das heißt, kann man erst mit Mitteln der Analysis bzw. Differentialgeometrie klären.
Aus diesem Grund wird man auch den Radius r (genannt Krümmungsradius) des Krümmungskreises eines
Funktionsgraphen zu y = f(x) mit Mitteln der Analysis berechnen:
2 ( 1+
f'
)
3
2
r =
f"
, falls f’’ ≠ 0 und die benötigten Ableitungen existieren.
Dies war früher Stoff am Gymnasium.
Aufgabe 2.4.1: Berechne für einen beliebigen Ellipsenpunkt den Krümmungsradius und bestimme damit
den Krümmungsmittelpunkt. Führe daraus die Herleitung für die Scheitelkrümmungskreise durch.
Im Falle der Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse kann man sich aber auch den jeweiligen Krümmungsradius
ohne Analysis beschaffen:
Hierzu werden zunächst Kreise untersucht, die die
Ellipse im linken Hauptscheitel berühren.
Nebenstehender Zeichnung entnimmt man:
Sehr kleine Kreise (dünn) berühren von innen und
bleiben ganz im Inneren der Ellipse.
Sehr große Kreise berühren von außen und bleiben
ganz im Äußeren, falls sie größer als der Hauptkreis
der Ellipse sind.
Nicht ganz so große Kreise (strichpunktiert), die nicht
ganz so groß wie der Hauptkreis sind, berühren auch
von außen, schneiden aber nochmals die Ellipse in
zwei symmetrisch gelegenen Punkten.
Verkleinert man einen solchen Kreis, so wandern diese Schnittpunkte auf den Berührpunkt zu. Der Kreis, bei
dem sie in den Berührpunkt fallen, ist der größte Kreis, der im Scheitel berührt und ganz im Innern der Ellipse
liegt (dick gezeichnet). Die Analysis zeigt, dass dies der Krümmungskreis ist.
Wählt man das eingezeichnete Koordinatensystem, so berechnen sich die Ellipsenpunkte P(x⏐y) nach Seite 7
gemäß
O
y
x

2
2
x
2
a
−
2x
a
+
y
2
b
= 0 . (1)
Die Punkte der gezeichneten Kreise werden dargestellt durch die Gleichung
(x - r) 2 + y 2 = r 2 . (2)
Aus (1) folgt
2
b
a x 2
2
2
11
b 2
− 2 x + y = 0.
a (3)
Aus (2) folgt
x 2 - 2rx + y 2 = 0. (4)
(3) und (4) ergeben:
2 2
a − b
a
2
⎛ 2
b ⎞
2
x − 2⎜r − ⎟ x = 0
⎝ a ⎠
a
Für a ≠ b multipliziert man diese Gleichung mit
a − b
2
2 2
, klammert x aus und erhält:
⎛ a ⎛ b ⎞⎞
x⎜x − ⎜r
− ⎟⎟
⎜
⎝ a − b ⎝ a ⎠
⎟
⎠
=
2
2
2 0
2 2
Dies ist die Gleichung für die x-Koordinate der gemeinsamen Punkte von Kreis und Ellipse. x1 = 0 liefert stets
den Berührpunkt im Ursprung.
2
2
a ⎛ b ⎞
x2 = 2 ⎜ r − ⎟ liefert die weiteren Schnittpunkte zwischen Ellipse und Kreis.
2 2
a − b ⎝ a ⎠
Wenn alle Schnittpunkte in den Ursprung fallen, also x2 = 0 ist, muss r = b
2
a
Ergebnis:
Der Krümmungskreis im Hauptscheitel hat den Radius r1 = b
2
a
sein, weil 2 ≠ 0 ist.
2 2
a − b
.
a
Eine völlig analoge Rechnung liefert für den kleinsten Kreis, der die Ellipse im Nebenscheitel von außen berührt
und ganz im Äußeren bleibt, einen Radius r2 = a
2
.
b
Zeichnen der Scheitelkrümmungskreise einer
Ellipse:
1. Einem Viertel der Ellipse wird das Rechteck aus den
Achsen und den Scheiteltangenten umschrieben.
2. Man zeichnet in diesem Rechteck die Diagonale, die
die Scheitel verbindet.
3. Von der äußeren Ecke des Rechtecks wird auf diese
Diagonale das Lot gefällt. Diese Linie trifft die
Symmetrieachsen der Ellipse in den Mittelpunkten der
Scheitelkrümmungskreise.
Um eine Ellipse gut zu zeichnen, konstruiert man
zuerst die Scheitelkrümmungskreise und dann einen
geeigneten Punkt zwischen ihnen mit der
Wimpelkonstruktion.
Dieses Verfahren lernt man nicht auswendig, sondern es prägt sich mit Hilfe obiger Zeichnung ein.
Die Annäherung der Ellipse durch ihre Scheitelkrümmungskreise ist umso besser, je „dicker“ die Ellipse ist.
r1
M1
2
r2
M2

12
Aufgabe 2.4.2: Zeichne Ellipsen samt ihren Scheitelkrümmungskreisen und einem beliebigen Punkt, wenn
a = 5,0 cm und b = 4,5 cm oder b = 3,0 cm oder b = 1,5 cm sind.
Aufgabe 2.4.3: Mehrere Ellipsen berühren sich in ihrem linken Scheitel und haben dort denselben
Scheitelkrümmungskreis vom Radius 2,0 cm.
a) Weshalb haben diese Ellipsen eine gemeinsame Symmetrieachse?
b) Berechne jeweils die lotrechte Halbachse, wenn die waagrechte gegeben ist mit 0,5 cm, 1,0 cm, 4,0 cm,
8,0 cm.
c) Um welche Ellipse handelt es sich, wenn die waagrechte Halbachse die Länge 2,0 cm hat? Spielt dies bei
der Herleitung der Scheitelkrümmungsradien eine Rolle?
d) Zeichne einige dieser Ellipsen.
Aufgabe 2.4.4: Begründe den Radius des Nebenscheitelkrümmunsgkreises, wie dies für den Radius des
Hauptscheitelkrümmungskreises geschehen ist. Wie lautet die Ellipsengleichung, wenn der
Koordinatenursprung im oberen Nebenscheitel liegt?
Aufgabe 2.4.5: Begründe die Konstruktion für die Scheitelkrümmungskreise mittels ähnlicher Dreiecke.
2.5 Ebener Schnitt eines Drehzylinders
Ein Drehzylinder (Rotationszylinder) entsteht, wenn
man eine Gerade m (Mantellinie) um eine zu m
parallele Gerade d (Zylinderachse) rotieren lässt.
Jeder Punkt von m durchläuft dabei einen Kreis k, der
also ebenfalls d als Drehachse hat.
Schneidet man einen Drehzylinder mit einer Ebene E,
so kann zweierlei eintreten:
E ist parallel zu d: Die Ebene schneidet dann den
Drehzylinder in zwei Geraden oder meidet ihn oder
berührt ihn in einer Geraden.
E ist im letzteren Fall eine Tangentialebene des
Drehzylinders.
E ist nicht parallel zu d: Die Schnittkurve e ist dann
eine im Endlichen gelegene, geschlossene Kurve.
Die bereits beschriebene Gesamtkonfiguration wird
nebenstehend als Schrägbild und als ein Riss
dargestellt, der so angelegt ist, dass sowohl die Ebene
E wie auch die Ebene des Kreises k projizierend sind,
sich also im Riss als Geraden zeigen. Die Achse d
schneidet die Ebene E von e in M und die Ebene von k
in N.
Anhand des Risses (2. Zeichnung) werden Koordinaten
eingeführt in der
Ebene von e: Ursprung M, y-Achse projizierend, x-
Achse parallel zur Zeichenebene;
Ebene von k: Ursprung N, v-Achse projizierend, u-
Achse parallel zur Zeichenebene.
Jedem Punkt Pk(u⏐v) von k wird durch die Zylindermantellinie m ein Punkt Pe(x⏐y) von e zugeordnet.
Da die Zylindermantellinien m parallel zur Achse d sind, gilt
y
v
E
k
e
Pe
m
P
k
b M
d
y
M
v
d
N
N
a
Pe
m
P
k
a
e
k
b
b
α
u
x
u

13
y = v und u b
= = cos α , (5)
x a
wobei α der Winkel zwischen den Ebenen E und der des Kreises ist. Da die Punkte des Kreises k die Gleichung
u 2 + v 2 = b 2 erfüllen, erhält man hieraus durch Einsetzen von (5) nach bekannten Umformungen die
Ellipsengleichung
2
2
x
2
a
+
y
2
b
= 1 .
Wir haben also gefunden:
Satz 2.5.1: Jeder Schnitt eines Drehzylinders mit einer Ebene, die nicht zu seiner Achse parallel ist, ist eine
Ellipse, deren kleine Halbachse gleich dem Zylinderradius ist.
Hinweise:
• Zeichnet man die Ellipse e und den Kreis k in eine Ebene so, dass die Koordinatenachsen u und u sowie y
und v aufeinander zu liegen kommen, dann kann man wiederum den Zusammenhang zwischen Ellipse und
Kreis als Achsenstreckung erklären.
• Genau dann, wenn die Schnittebene E zur Zylinderachse senkrecht steht, wird auch die zweite Halbachse der
Ellipse zum Zylinderradius, also die Ellipse zum Kreis.
Aufgabe 2.5.1: Wie muss man zwei Drehzylinder (r = 6,00 cm) anschneiden, damit sie zu einem Rohrknie
zusammengesetzt den Durchfluss um 70 o umlenken? Man berechne die Längen der Halbachsen.
2.6 Die Idee von DANDELIN
J. PIERRE DANDELIN, belgischer Ingenieur, 1794 - 1847.
Hilfssatz 2.6.1: Die Tangenten an eine Kugel, die von
einem Punkt P außerhalb der Kugel aus gehen, bilden
einen Rotationskegel, der die Kugel in einem Kreis
berührt.
Beweis: Der Punkt P und die Kugel um M liegen
bezüglich der Geraden MP achsensymmetrisch,
deshalb gilt dies auch für alle Tangenten von P an die
Kugel. Die Tangenten bilden also einen Rotations-
kegel.
Da die Berührpunkte der Tangenten aus dem gleichen Grund rotationssymmetrisch sind, liegen sie auf einem
Kreis.
Damit sind alle Tangentenabschnitte (also die Strecken von P zum jeweiligen Berührpunkt) gleich lang.
Hinweis: Der als Riss dargestellte Gegenstand zeigt zwischen Kugel und Drehkegel keine Kante.
Im Folgenden werden komplexere Konfigurationen im Raum zunächsts durch ein Schrägbild und dann durch ein
Risspaar dargestellt. Letztere sind durch Orthogonalprojektion entstanden: Im oberen Teil ein Aufriss, d. h. eine
Ansicht von vorne, im unteren Teil ein Grundriss, d. h. eine dazugehörige Ansicht von oben. Es ist
M
P

zweckmäßig, im Unterricht ein Modell zu verwenden
und „betasten“ zu lassen. Der hier vorgestellte
Zusammenhang wird auch noch an anderen
Konfigurationen beobachtet werden und dient zu einer
ersten Einführung.
Die DANDELINsche Konfiguration:
Eine Ebene E schneidet einen Rotationszylinder Z so,
dass sie nicht parallel zu seiner Achse d ist. Es ist
bereits aus 2.5 bekannt, dass der Schnitt zwischen
Ebene und Zylinder eine Ellipse e ist. Der Schnitt teilt
den Innenraum des Zylinders in zwei Bereiche, in
denen jeder eine Kugel Ki aufnimmt, die den Zylinder
jeweils längs eines Kreises ki und die Schnittebene in
einem Punkt Fi berührt (vgl. die Abbildung). Diese
Kugeln heißen DANDELINsche Kugeln, die
Berührpunkte Fi mit der Schnittebene Brennpunkte
der Ellipse. Dies gilt für i = 1 und i = 2.
Die Wahl des Risses:
In nebenstehender Abbildung liegt im Aufriss die
Rotationsachse d des Zylinders in der Zeichenebene
und die Schnittebene E waagrecht, also parallel zur
Grundrissebene, so dass im Grundriss die Schnittellipse
e in wahrer Größe zu sehen ist. (Alles andere des
Grundrisses ist weggelassen.) Damit zeigt sich die
Schnittebene im Aufriss projizierend als Gerade.
Die Brennpunkteigenschaft der Ellipse:
1. Durch jeden Ellipsenpunkt P geht eine
Zylindermantellinie m, die die DANDELINschen
Kugeln Ki in den Punkten Bi berührt.
2. Die in E liegende Gerade PF1 und die
Zylindermantellinie PB1 sind Tangenten von P an
die Kugel K1. Deshalb sind nach obigem Hilfssatz
2.6.1 die Tangentenabschnitte gleich lang und es
gilt PF1 = PB1
. Analog findet man mit der Kugel
14
K
2
Z
F2
k2
e
k
1
K1
K2: PF2 = PB2
3. Durch Streckenaddition folgt hieraus:
PF1 + PF2 = B1P + PB2 = B1B2 = konstant, (6)
weil es sich um einen Rotationszylinder handelt
und die DANDELINschen Kugeln die Schnittebene E
D
von verschiedenen Seiten berühren und somit P zwischen den Punkten B1 und B2 liegt.
K
E
C
C
F
2
k2
B2
e
m
B2
Z
M
m
B
d
B1
F1
P
k 1
P
F1
B1
F
2 M
F1
A
Da der Zylinder, die Schnittebene und die DANDELINschen Kugeln zur Aufrissebene symmetrisch liegen, muss
dies auch die Schnittellipse sein. Sie hat also eine Symmetrieachse. Da die Punkte F1 und F2 in der Formel (6)
ausgetauscht werden können, ohne dass die Formel inhaltlich verändert wird, ist das Mittellot zu F1F2 ebenfalls
Symmetrielinie. Es gilt also:
Satz 2.6.2: Die Ellispe hat zwei aufeinander senkrecht stehende Symmetrieachsen.
Wendet man das Ergebnis (6) auf die Hauptscheitel A und C (vgl. die Zeichnung der nächsten Seite) an, so ist
4 a = AF1 + AF2 + CF1 + CF2 = 2 B1B2 , (7)
wenn a die große Halbachse ist. Die Konstante hat also den Wert 2a.
P
A
d
K1

15
Wendet man (6) auf den Nebenscheitel B an, so gilt BF1 = BF2 = a.
Nach dem Lehrsatz des PYTHAGORAS
findet man dann für die Brennweite e, also dem Abstand der Brennpunkte vom Ellipsenmittelpunkt M:
2 2
e = a − b
Aufgabe 2.6.1: Zeige durch Rechnung: Alle Punkte P, für die hinsichtlich zweier ausgezeichneter Punkte F1
und F2 gilt PF1 + PF2 = 2a
zusammen mit F1F2 = : 2 e und b: = a − e
2
2
2 2 , sind genau diejenigen
Punkte P(x⏐y), für die gilt x
2
a
+
y
2
b
= 1 , wobei die x-Achse die Gerade F1F2 und die y-Achse hierzu
senkrecht durch den Mittelpunkt M der Punkte F1 und F2 festgelegt sind (vgl. Seite 29).
Fasst man die Ergebnisse zusammen, so gilt:
Satz 2.6.3: Zu jeder Ellipse mit den Halbachsen a und
b gibt es zwei ausgezeichnete Punkte F1 und F2,
genannt Brennpunkte, derart, dass für alle
Ellipsenpunkte P gilt PF1 + PF2 = 2a
. F1 und F2
liegen auf der Hauptachse der Ellipse jeweils im
Abstand
2 2
e = a − b vom Ellipsenmittelpunkt M entfernt.
e heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität der
Ellipse.
C
B
F1 M F2
A
Aufgabe 2.6.2 (Gärtnerkonstruktion): Eine Endlosschleife PF1F2P hat für alle Ellipsenpunkte nach Satz
2.6.3 konstante Länge. Schlägt man an den Brennpunkten Pfähle in den Boden, führt bei P den dritten
Punkt und achtet darauf, dass die drei Punkte stets ein Dreieck bilden, so wandert P auf einer Ellipse mit
den Brennpunkten F1 und F2. Mit dieser Methode haben vor allem die Gärtner des Barocks ellipsenförmige
Blumenbeete angelegt.
a) Führe die Konstruktion auf einem Parkplatz oder Rasen für a = 5,00 m und b = 3,00 m durch.
b) Zeichne andere Ellipsen mit denselben Brennpunkten. Es entstehen sog. konfokale Ellipsen 1 .
c) Versuche, Kurven zu finden, die auf der Schar konfokaler Ellipsen senkrecht stehen, d. h. die in jedem
Punkt eine Tangente haben, die auf den Tangenten der bereits gezeichneten Ellipsen senkrecht stehen.
d) Führe a), b) und c) im Maßstab 1:100 auf einem Zeichenblatt durch. Die Brennpunkte kann man z. B.
durch Reißnägel festhalten.
e) Mit Magnetteilen der Mechanikbaukästen fixiert der Lehrer an der Tafel die Brennpunkte und zeichnet
relativ genau mit einer Schnurschleife Ellipsen.
f) Führe die Zeichnung aus d) als Konstruktion allein durch Nutzung von Zirkel und Lineal aus. Hierzu ist
es zweckmäßig erst einmal zwei Scharen konzentrischer Kreise um F1 und F2 zu zeichnen und sich dann
gleich für mehrere konfokale Ellipsen die passenden Punkte zu suchen.
g) Werden auch die zu f) senkrechten Kurven, die sogenannten Orthogonaltrajektorien, erkannt?
Vergleiche die folgende Abbildung.
h) Begründe, dass die entstehende Abbildung insbesondere bei sehr kleinen Schrittweiten als
„Rautenmuster“ bezeichnet werden kann. Welche Eigenschaften haben die Diagonalen in Rauten?
i) Formuliere Vermutungen über die Ellipsenschar, die Schar der dazu senkrechten Kurven sowie die
Tangenten und Normalen der beiden Kurvenscharen.
1 konfokal von focus, lateinisch Brennpunkt
e
b
D
a

16
Hinweis: In der Nähe der Hauptscheitel und bei schlanken Ellipsen auch in der Nähe der Nebenscheitel
wird die Konstruktion ungenau, da sich die Kreise von f) sehr schleifend, d. h. unter sehr spitzen Winkeln
schneiden.
Ein solches Muster ist in Bayern manchmal bei Föhn als Wolkenbildung zu sehen, wobei die Brennpunkte etwa
über Rosenheim und Kempten liegen. Manche Leute sehen in dieser Wolkenbildung den Ursprung des
Rautenmusters im Bayerischen Staatswappen.
Satz 2.6.4: Die Ellipse teilt die Ebene in ein Außen- und in ein Innengebiet. Die Abstandssumme von den
Bennpunkten der Ellipse zu allen Punkten im Innern der Ellipse ist kleiner, für alle Punkte auf der Ellipse gleich
und für alle Punkte außerhalb der Ellipse größer als die Länge der großen Ellipsenachse.
Dieser Satz und die Tatsache, dass die Ellipse aus den Brennpunkteigenschaften punktweise konstruiert werden
kann, macht die Brennpunkteigenschaft zu einer definierenden Eigenschaft, d. h. einer Eigenschaft, die
notwendig und hinreichend für eine Ellipse ist.
Satz 2.6.5: Jede Kurve, deren Punkte von zwei festen Punkten F1 und F2 eine konstante Abstandssumme 2a
haben, ist eine Ellipse mit der großen Achse der Länge 2a und den Brennpunkten F1 und F2.
Aufgabe 2.6.3: Von einer Ellipse sind Mittelpunkt, ein Hauptscheitel und ein Brennpunkt gegeben.
a) Konstruiere die Nebenscheitel.
b) Wähle ein geeignetes Koordinatensystem und berechne die Koordinaten der Nebenscheitel.
Aufgabe 2.6.4: Von einer Ellipse sind die Brennpunkte und ein beliebiger Kurvenpunkt P gegeben.
a) Konstruiere die Scheitel, sowie die Tangente in P.
b) Wähle ein geeignetes Koordinatensystem und berechne die Scheitel und die Tangente in P. Löse das
letztere Problem möglichst ohne Analysis.
Aufgabe 2.6.5: Die Achsen einer Ellipse seien die Koordinatenachsen. Im Punkt P(5⏐1,5) wird sie von der
Tangente t berührt, die die x-Achse im Punkt T(8⏐0) schneidet.
a) Konstruiere die Scheitel der Ellipse und zeichne diese.
b) Berechne die Gleichung der Ellipse.
Anleitung:
1. Die Achsenstreckung der Ellipse zum (noch unbekannten) Hauptkreis bildet P nach P1 und t nach t1 ab,
während M und T fix bleiben.
2. Als Hauptkreistangente steht t1 senkrecht auf dem Berührradius MP1.

17
3. Also ist ΔMP1T rechtwinklig und P1 liegt auf dem Thaleskreis über MT.
4. Die Vervollständigung der Wimpelkonstruktion für den Punkt P liefert einen Punkt des Nebenkreises.
Haupt- und Nebenkreis schneiden aus den Achsen die Scheitel aus.
Aufgabe 2.6.6: Wie ändert sich die Konstruktion von Aufgabe 2.6.5, wenn die Tangente durch T(8⏐0) geht
und jetzt als Berührpunkt Q(1⏐3,5) hat? Zeichne noch einige Ellipsen mit dem Berührpunkt R zu einer
Tangente durch T(8⏐0). Gibt es unter diesen Ellipsen einen Kreis? Wie findet man ihn? Welche
Besonderheit ergibt sich, wenn der Berührpunkt die Tangentestrecke zwischen den Achsen halbiert?
Aufgabe 2.6.7: Eine Ellipse, deren Achsen die Koordinatenachsen sind, geht durch P(6⏐1,25) und
Q(3,9⏐2,6).
a) Konstruiere die Scheitel der Ellipse.
Anleitung: Jede Kreissehne steht senkrecht auf der Verbindungsgeraden ihres Mittelpunktes zum
Kreismittelpunkt. Deshalb kann man im Wesentlichen ebenso vorgehen wie in Aufgabe 2.6.5.
b) Berechne die Gleichung der Ellipse.
Aufgabe 2.6.8: Eine Parallelenschar von Geraden schneidet einen Kreis. Die ausgeschnittenen Sehnen
werden in einem konstanten Verhältnis geteilt.
Begründe:
a) Auf welcher Kurve liegen die Teilungspunkte?
b) Welchen Sonderfall bilden die Teilungspunkte bei welchem Verhältnis?
Aufgabe 2.6.9: Von einer Ellipse mit noch unbekannten Achsenrichtungen sind ein Brennpunkt F1, ein
Nebenscheitel B und ein beliebiger Punkt P so gegeben, dass gilt:
PB = 4, 7 cm, PF1 = 2, 3cm, BF1 = 3, 6 cm
a) Konstruiere den zweiten Brennpunkt F2.
b) Konstruiere den Mittelpunkt der Ellipse und alle ihre Scheitel.
Beachte BF = BF und PF = 2a
− PF .
1 2 1 2
2.7 Leitkreis und Tangenteneigenschaft
Definition 2.7.1: Ein Kreis um einen Ellipsenpunkt F2 mit Radius 2a heißt der zum anderen Brennpunkt F1
gehörige Leitkreis der Ellipse (vergleiche die folgende Abbildung).
Für einen Ellipsenpunkt P werden die Brennstrahlen
F1P und F2P gezeichnet und F2P über P hinaus bis G
auf dem Leitkreis verlängert. Dann ist:
G
PF1 = 2a
− PF2 = GF2 − PF2 = PG
P
t
Damit ist der folgende Satz bewiesen:
Satz 2.7.1:
1. Alle Punkte einer Ellipse haben von einem
Brennpunkt und dem dazugehörigen Leitkreis
denselben Abstand.
2. Alle Punkte, die von einem Kreis um F2 und von
einem Punkt F1 in seinem Inneren gleiche Abstände
haben, liegen auf einer Ellipse, die F1 und F2 als
Brennpunkte besitzt.
F F
1 2
Beide Aussagen kann man zusammenfassen:
Die Punkte einer Ellipse sind genau diejenigen Punkte, die von einem Kreis und einem Punkt im Kreisinneren
gleichen Abstand haben.
Wir haben also hiermit eine weitere definierende Eigenschaft der Ellipse kennen gelernt.
Betrachten wir nochmals die letzte Figur, in die jetzt auch noch die Winkelhalbierende t zum Winkel GPF1 mit
einem Punkt Q ≠ P eingezeichnet ist. Da t Symmetrielinie im Dreieck GPF1 ist, gilt QF1 = QG . Wendet man

18
die Dreiecksungleichung auf das Dreieck QGF2 an, so erhält man QF2 + QG = QF2 + QF1
> GF2 . Letzteres
ist 2a lang. Man hat also für solche Punkte Q ≠ P auf der Geraden t die Bedingung QF2 + QF1
> 2a; deshalb
liegen diese Punkte alle außerhalb der Ellipse. D. h. die Gerade t hat genau einen Punkt P mit der Ellipse
gemeinsam, also ist t Tangente an die Ellipse. Man hat darüber hinaus das folgende Ergebnis gefunden:
Satz 2.7.2: Jede Ellipsentangente halbiert den Außenwinkel der Brennstrahlen des Berührpunktes.
Da eine Geradenkreuzung zwei aufeinander senkrechtstehende Winkelhalbierende hat, gilt also:
Satz 2.7.3: Jeder Brennstrahl eines Ellipsenpunktes wird an der Ellipse zum anderen Brennstrahl reflektiert. Ein
Strahlenbüschel, das vom einen Brennpunkt ausgeht, wird an der Ellipse so gespiegelt, dass es sich wiederum im
anderen Brennpunkt trifft.
Die Bezeichnung Brennpunkt kommt von dieser Eigenart.
Aufgabe 2.7.1: Schneide aus Papier einen Kreis mit Mittelpunkt F1 aus (Durchmesser 16,0 cm) und
markiere in seinem Inneren einen weiteren Punkt F2 ≠ F1. Falte wiederholt so, dass der umgeklappte Teil
des Kreises durch F2 geht. Begründe: Alle so entstehenden Knicklinien sind Tangenten einer Ellipse, die F1
und F2 als Brennpunkte hat.
Aufgabe 2.7.2: Beweise: Der Fußpunkt des Lotes von einem Brennpunkt einer Ellipse auf eine ihrer
Tangenten liegt stets auf dem Hauptkreis der Ellipse. Betrachte hierzu die Figur zu Satz 2.7.1.
Aufgabe 2.7.3: Konstruiere auf drei verschiedene Arten die Tangenten an eine Ellipse samt ihren
Berührpunkten, die zu einer gegebenen Geraden g parallel sind. Die Ellipsenhalbachsen seien a = 5,0 cm
und b = 4,0 cm und der Winkel der Geraden zur Hauptachse betrage 65 o .
Aufgabe 2.7.4: Konstruiere auf drei Arten von einem Punkt außerhalb der Ellipse die Tangenten an die
Ellipse.
Aufgabe 2.7.5: Beweise mit Hilfe des Satzes der Aufgabe 2.7.2: Werden einem Kreis Rechtecke so
einbeschrieben, dass eine Seite durch den festen Punkt F1 im Kreisinneren geht, dann geht die Gegenseite
durch einen festen Punkte F2, während die anderen Seiten Tangenten einer Ellipse mit den Brennpunkten F1
und F2 sind.
2 2
x y
Aufgabe 2.7.6: Gegeben ist die Ellipse mit der Gleichung + = 1.
Berechne die Gleichungen der
25 36
Normalen und der Tangente im Ellipsenpunkt P(4⏐?). Beachte: Die Normale steht in P senkrecht auf der
Tangente. Welche Winkel schließt die Tangente mit der x-Achse ein? Eine Lösung ist ohne Analysis
möglich.
Aufgabe 2.7.7: Wo liegen die Mitelpunkte aller Kreise, die einen festen Kreis k berühren und durch einen
festen Punkt P im Inneren des Kreises k hindurchgehen?
Aufgabe 2.7.8: Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die zwei feste Kreise berühren, von denen einer
ganz im Inneren des anderen liegt?
Aufgabe 2.7.9: Gegeben ist eine Ellipse durch Mittelpunkt und Halbachsen a und b. Ellipsendurchmesser,
die aus aufeinander senkrechten Durchmessern des Haupt- und Nebenkreises durch Achsenstreckung
entstehen, nennt man konjugierte Durchmesser.
a) Begründe, weshalb konjugierte Durchmesser zusammen mit den dazugehörigen Ellipsentangenten in
deren Endpunkten Parallelogramme bilden.
Hinweis: Benutze die Wimpelkonstruktion.
b) Die Gerade, die im Ellipsenpunkt senkrecht auf der Tangente steht, heißt Normale. Finde mit a) eine
Konstruktion für die Normale.

19
Hinweis: Zeichne den sogenannten a + b –Kreis um den Mittelpunkt mit Radius a + b. Durch Drehen
und Spiegeln eines Wimpels ergibt sich die Konstruktion. Die erforderlichen Abbildungen findet man
rasch, wenn man einen Wimpel ausschneidet.
c) Bei den Abbildungen von b) entsteht ein Rechteck, dessen eine Diagonale samt ihrer Verlängerung
einen Beweis für die Papierstreifenmethode liefert.
Aufgabe2.7.10:
a) Drücke die Abstände der Scheitelkrümmungsmittelpunkte vom Ellipsenmittelpunkt durch a und e bzw.
b und e aus.
b) Berechne die Schnittpunkte der Ellipsennormalen mit den Koordinatenachsen. Drücke auch diese
Abschnitte durch a und e bzw. b und e und durch je eine Koordinate des Ellipsenpunktes aus.
c) Finde durch Vergleich mit der Konstruktion der Scheitelkrümmungsmittelpunkte eine Konstruktion
der Ellipsennormalen.
2.8 Anwendungen:
1. Alte Völker (Germanen, Indianer u. a. ) haben ihre Thingstätten in Ellipsenform angelegt. Der Richter wie
der Angeklagte standen an den Brennpunkten und konnten sich flüsternd hören, während die übrigen
Versammelten längs und hinter der Ellipse nichts davon mitbekamen.
2. Wenn eine Ellipse um ihre Hauptachse rotiert, überstreicht sie dabei eine Fläche, die Drehellipsoid genannt
wird. Wird eine solche Fläche innen verspiegelt, dann reflektiert sie alle Lichtstrahlen, die von einer
Lichtquelle (z. B. einer Kerze) in einem ihrer Brennpunkte ausgehen, in den anderen Brennpunkt und
entzündet dort unter Umständen ein Papier. Davon haben die Brennpunkte ihren Namen. In manchen Kirchen
und Schlössern der Barock- und Rokokozeit wurden nach diesem Prinzip sogenannte Flüstergewölbe (siehe
1.) gebaut. Diese Eigenschaft findet auch eine moderne Anwendung:
3. In einem Brennpunkt eines Ellipsoids erzeugen starke elektrische Entladungen Stoßwellen, die aufgrund der
Reflexion am Ellipsoid im anderen Brennpunkt zusammentreffen. Man steuert die Vorrichtung so, dass sich
jeweils im „anderen“ Brennpunkt ein Nierenstein befindet, der auf diese Weise zertrümmert wird und seine
Bestandteile durch den Harnleiter auf natürliche Weise abgehen. Früher musste der Patient hierzu in einem
Wasserbad sitzen. Heute überträgt ein Wasserkissen die Energie der Entladungen in die Niere.
3. Ebene Schnitte eines Drehkegels
Erinnere dich:
Ein Drehkegel entsteht, wenn eine Gerade m um eine Gerade d rotiert, die m in einem Punkt S schneidet. S heißt
Spitze des Kegels, d seine Achse; die Drehlagen von m sind die Mantellinien des Drehkegels. Jeder Punkt
beschreibt bei der Drehung einen Kreis, der d ebenfalls als Drehachse besitzt. Der Kegel ist stets sowohl über
einen solchen Drehkreis, als auch über seine Spitze hinaus beliebig weit fortgesetzt zu denken. Der Kegel ist eine
mathematische Fläche, die einen Raum einschließt.

Zerfallende Schnitte:
E
S
β
α
d
d
S
E
Ke
Ke
20
Wird ein solcher Drehkegel mit einer Ebene durch seine Spitze geschnitten, so besteht der Schnitt aus zwei
Mantellinien, wenn der Winkel β der Ebene gegen die Achse kleiner ist als der halbe Öffnunsgwinkel α des
Kegels.
Ist β gleich dem halben Öffnungsgwinkel α, so erhält man als Schnitt der Ebene mit dem Kegel eine Mantellinie
und die Ebene berührt den Kegel längs dieser Mantellinie.
Ist β größer als der halbe Öffnungswinkel α, so bleibt als Schnitt nur die Kegelspitze S übrig.
Nicht zerfallende Kegelschnitte:
Ke
Ke
m
α
d
S
S
β
d
E
E = m
E
E
β
d
S
α
d
S
Ke
Ke

E
h
E
h
h
S
h
α
β
d
S
d
Ke
Ke
21
β
α
e
d
Ke
S E
Verschiebt man die Schnittebene E parallel aus der Spitze S heraus, dann erhält man die folgenden Fälle:
Ist der Winkel β der Schnittebene gegen die Kegelachse kleiner als der halbe Öffnungsgwinkel α des Kegels, so
erhält man als Schnitt der Ebene mit dem Kegel einen zweiteiligen Kegelschnitt h, der aus zwei über alle
Grenzen gehenden Ästen besteht.
Ist β gleich dem halben Öffnungswinkel α, so bekommt man einen einteilig offenen Kegelschnitt p.
Für β größer als α, so ergibt sich ein eiförmig ganz im Endlichen geschlossener Kegelschnitt e.
Die drei Kurvenformen werden im Folgenden zunächst getrennt behandelt.
Ke
3.1 Der geschlossene Kegelschnitt
p
d
S
α=β
S
p
d
E
Ke
E
Ke
e
d
S
E

1. Betrachtet man den Kegel und einen
geschlossenen Schnitt in Grund- und Aufriss, so
lässt sich sowohl der Grundriss als auch die wahre
Gestalt des Schnittes punktweise gewinnen, indem
man waagrechte Kreisschnitte des Kegels mit der
Schnittebene schneidet. Diese Konstruktion gab
ALBRECHT DÜRER 1 1525 an und kam zu dem
Ergebnis, dass die eiförmige Schnittkurve unten
„dicker“ sein müsse, weil dort der Kegel ebenfalls
dicker ist .
2. Um diese Vermutung zu überprüfen, stellt man
sich den Kegel bei A durch einen ihn berührenden
Drehzylinder vom Radius r angenähert vor.
Vergleicht man ebene Schnitte E1, E2, E3, .............
eines Drehzylinders vom Radius r untereinander,
die durch dieselbe Tangente t eines Zylinderkreises
hindurchgelegt werden, so sind dies Ellipsen mit
gleicher kleiner Halbachse r, aber mit immer
längerer großer Halbachse, je kleiner der
Schnittwinkel gegen die Mantellinie wird (vgl. den
„Aufriss“, die nebenstehende Zeichnung). Die
untere Zeichnung (wahre Gestalt der
Zylinderschnitte) zeigt, dass diese Ellipsen dann am
Hauptscheitel immer schärfer gekrümmt sind.
3. Die Einflüsse 1. und 2. wirken einander
entgegen, und es erhebt sich die Frage: Welcher
Einfluss ist stärker? Antwort geben wieder die
DADELINschen Kugeln.
Aufgabe 3.1.1: Die Krümmungskreisradien
einer Ellipse berechnen sich bekanntlich gemäß
b 2 :a bzw. a 2 :b, wenn a und b die Länge der
großen bzw. kleinen Halbachse sind.
22
A = t
E1
A
t Zy
Konstruiere die Krümmungskreisradien der zu den obigen Schnitten gehörigen Ellipsen in A und zeichne die
Lage der Mittelpunkte dieser Kreise in obigem Aufriss ein. Man findet so ein Beispiel für den sogenannten
Satz von MEUSNIER: Fällt man vom Mittelpunkt eines Normalschnittes das Lot auf die Ebene eines schiefen
Schnittes, so bekommt man den Krümmungsmittelpunkt des schiefen Schnittes. Man spricht von
Normalschnitt, wenn die Schnittebene ein Flächenlot enthält; sonst heißt der Schnitt schief.
Erinnere dich: Wir betrachten abermals den
Berührkegel Ke von S an eine Kugel Ku. Man kann
sich vorstellen, dass dieser Kegel durch Rotation
um d entstanden ist. Die Tangenten von S an die
Kugel sind dann die Mantellinien m des
Drehkegels. Der Kegel berührt die Kugel längs
eines Kreises k, der auf der Drehachse d senkrecht
steht.
Die DANDELINsche Konfiguration:
1 ALBRECHT DÜRER, Nürnberger Maler, Goldschmied, Baumeister und Mathematiker, 1471 - 1528, schrieb 1525
das erste deutschsprachige Lehrbuch der Darstellenden Geometrie, „Underweysung der Messung mit dem Zirkel
und Richtscheyt in Linien Ebenen und gantzen Corporen“, worin er viele lehrreiche Konstruktionen und
Untersuchungen beschrieb.
d
Ku
E2
k
Zy
Ke
E3
m
m
E4
E1
r
E2
S
r
E3

1. Bei jeder zentrischen Streckung mit der
Kegelspitze als Zentrum geht der Kegel als Ganzes
in sich über, eine Berührkugel in eine andere,
ebensolche Berührkugel des Kegels. So erhält man
eine ganze Schar von Kugeln, die den Kegel längs
je eines Kreises berühren.
2. Wird nun der Kegel Ke mit einer Ebene E
geschnitten, die eine geschlossene Schnittkurve
liefert, so gibt es in der unter 1. genannten
Kugelschar je eine Kugel, die die Schnittebene von
der Seite der Kegelspitze her und von der anderen
Seite her in jeweils einem Punkt F1 bzw. F2 berührt.
Die Wahl des Risses:
In nebenstehender Abbildung liegt im Aufriss die
Rotationsachse d des Kegels in der Zeichenebene
und die Schnittebene E waagrecht, also parallel zur
Grundrissebene, so dass im Grundriss die Schnitt-
figur e in wahrer Größe zu sehen ist. (Alles andere
des Grundrisses ist weggelassen.) Damit zeigt sich
die Schnittebene im Aufriss projizierend als
Gerade.
Die Brennpunkteigenschaft des Schnittes:
1. Durch jeden Punkt P der Schnittfigur geht eine
Kegelmantellinie m, die die DANDELINschen
Kugeln Ki in den Punkten Bi berührt.
2. Die in der Schnittebene E liegende Gerade PF1
und die Kegelmantellinie PB1 sind Tangenten
von P an die Kugel K1. Deshalb sind nach dem
Hilfssatz 2.6.1 die Tangentenabschnitte gleich
lang und es gilt PF1 = PB1
. Analog findet man
mit der Kugel K2: PF2 = PB2
3. Durch Streckenaddition folgt hieraus:
PF1 + PF2 = B1P + PB2 = B1B2 = konstant,
weil es sich um einen Rotationskegel handelt
und die DANDELINschen Kugeln die Schnittebene
E von verschiedenen Seiten berühren und
somit P zwischen den Punkten B1 und B2 liegt.
Damit ist der folgende Satz gezeigt:
23
K1
B
d
1
m
e
F1 F2
Satz 3.1.1:
Jeder geschlossene ebene Schnitt eines Drehkegels ist eine Ellipse.
Beachte: Der Ellipsenmittelpunkt M (vgl. die letzte Zeichnung) liegt nicht auf der Drehachse des Kegels. Er
muss also stets durch Halbierung einer Ellipsenachse gewonnen werden.
Konstruktion der kleinen Achse:
K1
d
F1
B1
M
m
P
K2
B2
P F2
F1 M F2
Die Schnittebene und der Rotationskegel liegt wie in der vorausgegangenen Überlegung, d. h.:
Die Schnittebene liegt parallel zur Grundrissebene und ist im folgenden Bild projizierend.
Die Achse des Kegels liegt parallel zur Bildebene des Aufrisses.
Für die Konstruktion der kleinen Achse werden
Ke
im Folgenden drei Lösungen geboten:
1. Lösung (vgl. die nebenstehenden Risse):
e
D
Ke
K2
B2
E
M = B = D e = E
k 1
M
B
k
1
E
Ke
S
S
S

a) Alle Drehkreise erscheinen im Aufriss
projizierend als Strecken senkrecht zur
Rotationsachse, zeigen also dort ihre
Radien in wahrer Länge.
b) Im Aufriss fallen also die Nebenscheitel
B und D mit dem Ellipsenmittelpunkt M
zusammen. Der Drehkreis k1, auf dem die
Nebenscheitel B und D liegen, hat seinen
Mittelpunkt K1 auf der Drehachse
außerhalb der Schnittebene E.
c) Um zu erfahren, wie groß die kleine
Ellipsenhalbachse ist, also wie weit B bzw.
D vom Ellipsenmittelpunkt M entfernt sind,
klappt man den Drehkreis k1 um 90 o in die
Aufrissebene, zeichnet ihn also in wahrer
Größe (gestrichelte Linie).
24
d) In der umgeklappten Lage von k1 erfährt man die Länge der kleinen Achse als MD, die man in den
Grundriss einträgt.
S
2. Lösung (mit Umkehrung der
Papierstreifenmethode):
Die Lage des Kegels Ke und der Schnittebene
E wird von der 1. Lösung
übernommen.
a) Auch der Drehkreis k2, dessen
Mittelpunkt K2 in der Schnittebene E liegt,
zeigt im Aufriss die wahre Länge seines
Radius r2.
b) Auf k2 liegen zwei Ellipsenpunkte P und
Q vor bzw. hinter dem Kreismittelpunkt
K2. Sie können also mit Hilfe des
Kreisradius r2 im Grundriss eingezeichnet
werden.
c) Jeder der beiden Punkte P und Q kann als
Ausgangspunkt für die Umkehrung der
Papierstreifenmethode verwendet werden.
3. Lösung mit DANDELINscher Kugel:
Die Lage des Kegels Ke und der Schnittebene
E wird von der 1. und 2. Lösung
übernommen.
a) Die DANDELINsche Kugel K erscheint im
C
C
e
e
k2 M
K 2=P=Q
M
M
B
D
Ke
Q
K 2
P
Ke
e = E
F
T
M F
Ke
A
A
Ke
S
S
S

Aufriss als Inkreis des Dreiecks ASC.
b) Dank der besonderen Lage erhält man im
Aufriss den Brennpunkt der Ellipse als
Berührpunkt des Inkreises.
c) Wegen der Formel a 2 = b 2 + e 2 mit den
Halbachsen a und b und der Brennweite e
ergibt sich mit dem Lehrsatz des
PYTHAGORAS die Länge der kleinen Achse.
Beachte:
Es sieht in dem gezeichneten Beispiel so aus, als
lägen die Berührpunkte der Umrissmantellinien
im Grundriss auf dem Ordner zu F. Das ist
Zufall.
Aufgabe 3.1.2: Beweise den folgenden
Satz:
Der Grundriss einer Ellipse auf einem
Kegel mit lotrechter Achse d ist eine
Ellipse, die den Grundriss d seiner Achse
und dessen Spiegelbild d am Grundriss des
Ellipsenmittelpunktes M als Brennpunkte
besitzt.
Anleitung anhand der nebenstehenden
Zeichnung:
a) Spiegle den Kegel am Mittelpunkt M
der Ellipse. Die Achse des
Spiegelbildes sei d.
b) Schneide beide Kegel mit
waagrechten Ebenen und konstruiere
Grundrisspunkte mittels deren
Drehkreisen.
c) Suche im Aufriss Parallelogramme.
25
Aufgabe 3.1.3: Ein drehkegelförmiger Spielkreisel
(vgl. nebenstehende Zeichnung) liegt mit einer
Mantellinie auf einer waagrechten Ebene. Sein
Randkreis erscheint in der Ansicht von oben als eine
Ellipse mit den Halbachsen 3,00 cm und 1,00 cm.
a) Wie groß ist der Durchmesser dieses Kreises?
Begründe.
d
d
M
Q
Q
M
d
d
P
P

26
b) Unter welchem Winkel ist die Kreisebene gegen
die Auflageebene geneigt?
c) Wie groß ist der halbe Öffnungswinkel des
Kegels?
d) Wie groß ist seine Höhe ( = Abstand der Spitze
von der Ebene des Randkreises)?
e) Zeichne den Grundriss des Kreisels.
Aufgabe 3.1.4: Ein Einschütt-Trichter in einer
lotrechten Wand w hat die Gestalt eines Drehkegels
(seine Seitenansicht siehe in nebenstehender
Zeichnung), der außen durch einen Drehkreis k
begrenzt ist. Zeichne den Aufriss (Ansicht von vorne in
der Pfeilrichtung des nebenstehenden Bildes) des
Trichters im Maßstab 1:10 auf DIN-A4-Querformat
und verwende zum Konstruieren insbesondere
a) die Bilder der Kegelspitze, des höchsten Punktes B
und des Mittelpunktes K des Kreises k (wähle für
die Blattkoordinaten von K in mm (85⏐115));
b) Haupt- und Nebenscheitel des Kreisbildes von k;
c) den Aufrissumriss des Trichters (vgl. die Aufgabe
3.1.3) sowie seine Berührpunkte U1 und U2 mit
dem Aufriss von k.
d) Konstruiere im Aufriss Hauptscheitel, Mittelpunkt,
Nebenscheitel und Brennpunkte der Schnittellipse
e zwischen Trichter und Wandebene.
e) Wo berührt der Umriss den Aufriss der Ellipse e?
Aufgabe 3.1.5: Auf dem Satteldach einer Kirche sitzt
ein drehkegelförmiger „Dachreiter“.
Zeichne Vorder- und Seitenansicht (vgl. nebenstehende
Zeichnung) im Maßstab 1:50 auf DIN-A4- Querformat
(wähle Blattkoordinaten für die Vorderansicht
S(90⏐200) und für die Seitenansicht S(210⏐200)) und
konstruiere dabei den Mittelpunkt und alle vier
Scheitel der Schnittellipse von Kegel und Dach.
Die Maße in der Zeichnung sind in cm gegeben. Die
Zeichnung ist nicht maßstäblich.
Bastle ein Modell: Schneide die Ellipse in wahrer Größe als Loch aus und stecke durch dieses Loch den zu
500
langen Kegel. Zeichne auf dem Kegelmantel die Schnittfigur.
Aufgabe 3.1.6: Gegeben ist ein Kreis k(M,r,a) mit den folgenden Angaben in mm:
Mittelpunkt M(200⏐300⏐400),
Radius r = 800,
die Achse a des Kreises hat gegenüber der Waagrechten die Neigung von 60 o .
Berechne für sein Orthogonalbild auf eine waagrechte Ebene die Halbachsenlängen, den Mittelpunkt und
die Brennweite der Bildellipse.
3.2 Der zweiteilige Kegelschnitt
Eine Ebene E, die mit der Achse d eines Drehkegels Ke einen kleineren Winkel einschließt als den halben
Öffnungswinkel des Kegels und nicht durch seine Spitze geht, schneidet den Kegel auf beiden Seiten seiner
Spitze in je einem „Ast“ einer zweiteiligen Kurve.
Die DANDELINsche Konfiguration
1. Erinnere dich: Bei jeder zentrischen
Streckung mit der Kegelspitze als Zentrum
geht der Kegel als Ganzes in sich über, die
P
F1
Ke
B1
E
o
22,5
22,5o w
B
e 45 o
B2
40 cm
F2
K
k
300 600

Kugel, die ihn berührt, geht in eine
ebensolche Berührkugel über. So erhält
man eine ganze Schar von Kugeln auf
beiden Seiten der Spitze, die den Kegel
jeweils längs eines Kreises berühren.
2. Wird nun der Kegel in der oben
beschriebenen Art von einer Ebene E
geschnitten, so gibt es auf beiden Seiten der
Spitze jeweils eine solche Berührkugel, die
die Schnittebene in jeweils einem Punkt F1
bzw. F2 berührt.
Die Wahl der Risse:
In nebenstehender Abbildung liegt im Aufriss
die Rotationsachse d des Kegels Ke in der
Zeichenebene und die Schnittebene E
waagrecht, also parallel zur Grundrissebene, so
dass im Grundriss die Schnittfigur h in wahrer
Größe zu sehen ist (alles andere ist im Grundriss
weggelassen). Damit zeigt sich die Schnittebene
E im Aufriss projizierend als Gerade.
Die Brennpunkteigenschaft des Schnittes:
1. Durch jeden Punkt P der Schnittfigur geht
eine Kegelmantellinie, die die
DANDELINschen Kugeln Ki in den Punkten
Bi berührt.
2. Die in der Schnittebene E liegende Gerade
PFi und die Kegelmantellinie PBi sind
Tangenten von P an die Kugel Ki. Deshalb
sind nach dem Hilfssatz 2.6.1 die
Tangentenabschnitte gleich lang und es gilt
PFi = PBi
für i = 1 und i = 2.
3. Durch Streckensubtraktion findet man
PF1 − PF2 = B1B2 , die Länge des
Mantellinienstücks zwischen den beiden
Berührkreisen.
Vergleiche diesen Beweis mit dem
entsprechenden für die Ellipse.
Definition 3.2.1: Die Berührpunkte mit den DANDELINschen Kugeln heißen Brennpunkte.
Damit ist bewiesen:
27
Satz 3.2.1:
Der zweiteilige Schnitt eines Rotationskegels hat die Eigenschaft, dass die Differenz der Abstände eines
Kurvenpunktes zu den Brennpunkten konstant ist.
Definition 3.2.2:
K 1
P
P
F1
F1
B1
Ke
M
M
E
h
F2
B2
F2
K2
h h
d
d

28
Jede ebene Kurve mit der Eigenschaft, dass die Differenz der Abstände eines Kurvenpunktes zu zwei
ausgezeichneten Punkten konstant ist, heißt Hyperbel 2 .
Satz 3.2.2:
Jede Hyperbel hat zwei Symmetrieachsen, die aufeinander senkrecht stehen.
Beweis:
1. Die Konfiguration des Drehkegels und der Schnittebene ist zur Aufrissebene symmetrisch, also muss dies
auch für deren Schnitt gelten.
2. Da die definierende Eigenschaft der Hyperbel die Punkte F1 und F2 völlig gleich behandelt, muss auch deren
Mittellot Symmetrieachse der Hyperbel sein.
3. Damit stehen die Symmetrieachsen aufeinander senkrecht. Ihr Schnittpunkt ist der Mittelpunkt der
Hyperbel.
Namengebung:
Die Brennpunkte liegen auf einer Symmetrieachse, die Hauptachse der Hyperbel heißt. Die Schnittpunkte der
Hyperbel mit der Hauptachse heißen Hyperbelscheitel. Die zweite Symmetrieachse heißt die Nebenachse der
Hyperbel. Beide Achsen schneiden sich im Mittelpunkt der Hyperbel.
Es sei der Abstand der Berührkreise auf den Mantellinien 2a. Wendet man auf je einen Scheitel A bzw. C die
oben gefundene Differenzformel an, so findet man
AF2 − AF1 = AC + CF2 − AF1 = 2a
bzw.
CF1 − CF2 = AC + AF1 − CF2 = 2a
. Addiert man diese beiden Zeilen, so ergibt sich 2 ⋅ AC = 4a
.
Weitere Namengebung:
a = AM = CM heißt reelle Halbachse der Hyperbel.
e = MF1 = MF2
heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität der Hyperbel.
Der Kreis um M durch die Scheitel heißt Hauptkreis.
Aufgabe 3.2.1: Konstruiere eine zum Zeichnen der Kurve hinreichende Anzahl von Punkten einer
Hyperbel unter Verwendung von deren Brennpunktabständen, wenn gegeben sind a = 3,0 cm sowie:
e = 3,3 cm; e = 3,75 cm; e = 3 2 cm; e = 5,0 cm; e = 6,0 cm; e = 7,8 cm.
Hinweis: In der Nähe der Scheitel und für weit entfernte Punkte wird diese Punktkonstruktion ungenau, da die
verwendeten Kreise sich sehr schleifend schneiden.
Betrachtet man die Hyperbel als eigenständiges Gebilde, so wählt man bevorzugt die Hauptachse in waagrechter
Richtung.
Legt man die x-Achse eines Koordinatensystems auf die Hauptachse und die y-Achse auf die Nebenachse einer
Hyperbel, so gilt nach der Brennpunkteigenschaft für einen Punkt P(x⏐y) mit den eingeführten Bezeichnungen:
PF1 − PF2 = 2a
Um die Lösung zur entsprechenden Fragestellung der Ellipse (vgl. Aufgabe 2.6.1) hier mitzunehmen, wird die
Brennpunkteigenschaft der Ellipse mitberücksichtigt. Die beiden Gleichungen werden durch den
Vorzeichenwechsel in der folgenden Gleichung zusammengefasst:
PF1 ± PF2 = 2a
oder
PF = 2a
m PF oder mit den Punktkoordinaten
1 2
2 2 2 2
( x + e) + y = 2a m ( x − e) + y . Man quadriert beide Seiten und erhält:
2 ′υπερβ′αλλειν , hyperballein, griechisch darüber hinauswerfen

29
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x + 2xe + e + y = 4a + x − 2xe + e + y m 4a
( x − e) + y .
Fasst man zusammen und stellt die Wurzel allein, so ergibt sich:
2 2 2
m4a ( x − e) + y = 4xe − 4a
.
Nach Division mit 4 und abermaligem Quadrieren findet man:
2 2 2 2 2
a x − 2a xe + a e
2 2
+ a y
2 2 2 4
= x e − 2a
xe + a .
Zusammenfassen ergibt:
2
( e
2 2
− a ) x −
2 2
a y =
2 2
a ( e
2
− a )
Da der Hauptscheitel der Hyperbel nicht ihr Brennpunkt ist, ist e 2 - a 2 ≠ 0.
Bei der Hyperbel setzt man nun b 2 : = e 2 - a 2 und nennt b die imaginäre Halbachse der Hyperbel 3 , weil die
Hyperbel auf der Nebenachse keine Scheitel besitzt.
Für die Ellipse gilt - b 2 = e 2 - a 2 . Deshalb folgt aus oben, wenn man durch a 2 b 2 dividiert:
x
a
2
2
2
y
± = 1 als Gleichung für die Ellipse bzw. Hyperbel. Damit ist auch Aufgabe 2.6.1 gelöst.
2
b
Die Mittelpunktgleichung für die Hyperbel lautet:
x
a
2
2
2
y
− = 1 2
b
Beachte: Ellipsen mit a = b heißen Kreise. Hyperbeln mit a = b heißen gleichseitige Hyperbeln.
Löst man die Hyperbelgleichung nach y auf, so erhält man
b
y = ± x − b
2
a
2
2 2 . Hieraus folgt
2
y b a
= ± 1−
2 x a x
.
Da Hyperbelpunkte beliebig weit vom Hyperbelmittelpunkt entfernt sein können, erkennt man aus der letzten
Gleichung für solche Punkte:
y b
→ ±
x a
D. h. für große x unterscheiden sich die
Hyperbelpunkte nicht merklich von denen der Geraden
b
mit der Gleichung y
a x = ± .
Eine Gerade heißt Asymptote 4 einer Kurve, wenn die
Punkte der Kurve im Unendlichen, d. h. hier für große
x beliebig nahe an die Gerade herankommen.
Erinnere dich:
Entsteht eine Hyperbel als ebener Schnitt eines
Drehkegels, so erzeugen alle Mantellinien des Kegels
Hyperbelpunkte bis auf die beiden Mantellinien, die
zur Schnittebene parallel sind.
y = -(b:a)x
3 Der Ausdruck − b 2 ist für b ≠ 0 zunächst nicht definiert. C. F. GAUSS, 1777 – 1855 hat jedoch gezeigt, dass
man mit dem Symbol i = − 1 wie mit Zahlen rechnen kann, ohne Widersprüche zu erzeugen. Er gab solchen
neuen “Zahlen” den Namen “imaginäre Zahlen” (von imago, lateinisch Bild, also “bildliche Zahlen”). Vgl.
Additum zu Klasse 11 in Bayern.
4 Asymptote von συμπιπτειν symptiptein, griechisch zusammentreffen, also die “Nichtzusammentreffende”, d.
h. die einzige Gerade ihrer Parallelenschar, die die Hyperbel nicht (im Endlichen) schneidet.
y
y = (b:a)x
(a;0)
x
2 -2
2 -2
a - y b = 1
x

30
Man stellt sich vor, dass diese Mantellinien die Hyperbel erst im Unendlichen, d. h. bei den Asymptoten treffen;
also sind die Asymptoten parallel zu diesen Mantellinien und es gilt der Satz:
Satz 3.2.3:
Jede Hyperbel besitzt zwei Asymptoten. Diese sind parallel zu denjenigen Mantellinien des Drehkegels mit zur
Hyperbelebene paralleler Achse, die parallel zur Schnittebene durch die Spitze des Kegels gehen.
Aufgabe 3.2.2: Berechne die fehlenden Bestimmungsstücke einer Hyperbel, deren Achsen die
Koordinatenachsen sind und von der gegeben ist:
a) a = 5; P(13⏐6) b) b = 6; P(5⏐8) c) b:a = 3:4; P(10⏐6)
Ergebnis: Die Asymptoten und ein Punkt legen eine Hyperbel fest.
Stechzirkelkonstruktion der Hyperbel:
Löst man die Hyperbelgleichung nach x auf:
2
a 2 2
x = ± y + a 2
b
und setzt man
a
s
b y : = , (1)
so erhält man
2 2
x = ± s + a . (2)
Sind die Achsenrichtungen und die Halbachsenlängen
und damit die Asymptoten einer Hyperbel gegeben,
und zeichnet man die Parallelen zur Hauptachse im
Abstand b und in einem beliebigen Abstand y, so gilt
(1) wegen s a
= (vgl. die Zeichnung) und (2) kann
y b
aus der Zeichnung abgelesen werden. Man erhält also die folgende Punktkonstruktion:
Punktverfahren: Stechzirkelkonstruktion der Hyperbel:
1. Die Parallele zur Hauptachse im beliebigen Abstand y schneidet die Nebenachse in R und eine Asymptote in
Q.
2. Wird RQ auf der Nebenachse von M aus bis T abgetragen, dann
3. ist AT = x und kann auf RQ von R aus nach beiden Seiten abgetragen werden und liefert so den
Hyperbelpunkt P und seinen Spiegelpunkt P * .
Aufgabe 3.2.3: Beweise die Richtigkeit der
folgenden zweiten Stechzirkelkonstruktion:
1. Die Parallele zur Nebenachse im Abstand x
schneidet die Hauptachse in N, eine
Asymptote in U.
2. b wird auf der Hauptachse von N bis V
abgetragen.
3. NU wird von V aus zur Geraden NU hin
nach beiden Seiten abgetragen und liefert so
den Hyperbelpunkt P und seinen
P *
M
T
y
R
Q
A
P
U
P
x
N V

Spiegelpunkt P * .
Anleitung: Löse die Hyperbelgleichung nach y auf
usw.
31
Die Stechzirkelkonstruktionen haben für die Hyperbel eine ähnliche Bedeutung wie die
Papierstreifenkonstruktionen für die Ellipse. Dies gilt ebenso für die Umkehrbarkeit.
Umkehrungen der Stechzirkelkonstruktionen:
Von einer Hyperbel sind die Asymptoten und ein Kurvenpunkt
P gegeben. Gesucht sind die Hyperbelhalb-
achsen (Scheitel und Scheiteltangenten).
Lösung:
1. Die Parallele durch P zur Hauptachse
(Winkelhalbierende der Asymptoten in dem
Winkelraum, in dem P liegt) schneidet die nächste
Asymptote in Q und die Nebenachse in R.
2. RQ wird auf der Nebenachse von M aus bis T abgetragen.
3. RP wird von T aus zur Hauptachse hin abgetragen. Das liefert dort den Scheitel A und damit a.
4. Das Lot in A auf der Hauptachse als Scheiteltangente liefert b als den Abschnitt von A bis zur Asymptote.
Aufgabe 3.2.4: Finde mit Hilfe von Aufgabe 3.2.2 die entsprechende Umkehrung der
Stechzirkelkonstruktion.
Aufgabe 3.2.5: Von einer Hyperbel sind eine Halbachse und ein Kurvenpunkt P gegeben. Konstruiere mit
Hilfe einer weiteren Umkehrung der jeweils geeigneten Stechzirkelkonstruktion die Asymptoten und die
andere Halbachse.
Aufgabe 3.2.6: Vergleiche: Wie hängt bei den Aufgaben 3.2.4 und 3.2.5 die Genauigkeit des Ergebnisses
von der Lage des Punktes P zur Hauptachse der Hyperbel ab?
Aufgabe 3.2.7: Konstruiere die Brennpunkte einer Hyperbel, von der die Halbachsen bzw. eine Halbachse
und die Asymptoten gegeben sind.
Aufgabe 3.2.8: Konstruiere jeweils die fehlenden Asymptoten und Halbachsen einer Hyperbel, die
gegeben ist durch die Brennpunkte und
a) eine Asymptote, b) eine Halbachse, c) einen Punkt P.
Aufgabe 3.2.9: Begründe die nebenstehende
Methode, mittels Lineal und Faden eine
Hyperbel zu zeichnen. Was muss beim
Einrichten dieses “Hyperbelzirkels” beachtet
werden, wenn die Achsen, die reelle Halbachse a
und die lineare Exzentrizität e der Hyperbel
gegeben sind?
Hinweis: Diese vorgestellte Methode ist das
Analogon zur Gärtnerkonstruktion der Ellipse.
Aufgabe 3.2.10: Beweise: Der Grundriss einer Hyperbel auf einem Drehkegel mit lotrechter Achse d1 ist
eine Hyperbel mit Mittelpunkt M, die die Grundrisse von d1 und d2 als Brennpunkte hat, wobei d2 das
Spiegelbild von d1 am Mittelpunkt M der Schnitthyperbel ist. Die Hyperbelebene darf nicht lotrecht sein.
2
1
M
1
R
4
3
T
y
F2
(-a;0)
Q
U
P
P
F (e;0)
1
x

32
Hinweis: Verfahre genauso wie beim Beweis des entsprechenden Satzes für die Ellipsenschnitte eines
solchen Kegels. Spiegle zuerst den Drehkegel am Mittelpunkt M der Schnitthyperbel und betrachte
Kreisschnitte auf den beiden Kegeln usw.
2 2
x y
Aufgabe 3.2.11: Zeichne einige Punkte der Hyperbel mit der Gleichung − + = 1 .
16 25
( x − c)
( y − d)
Aufgabe 3.2.12: Was für eine Kurve stellt die Gleichung − 2
2
a b
a) Welche Bedeutung haben die Konstanten a, b, c und d?
b) Zeichne die Kurve für a = 5,0 cm, b = 2,= cm, c = 3,0 cm, d = 1,0 cm.
2
2
= 1 dar?
Aufgabe 3.2.13: Die Geraden mit den Gleichungen 3x – 6y + 60 = 0 und 3x + 6y + 20 = 0 sind die Asymptoten
einer Hyperbel durch den Ursprung des Koordinatensystems. Stelle die Gleichung der Hyperbel
auf.
Sekanten- und Tangenteneigenschaft:
Jede Hyperbel zusammen mit ihren Asymptoten und
der Hauptachse d kann man als Grundriss einer
räumlichen Konfiguration wie folgt deuten:
Die Asymptoten sind der Umriss eines Drehkegels Ke
mit waagrechter Achse d, der von einer waagrechten
Ebene E in einer Hyperbel geschnitten wird. Der
Einfachheit halber kann man annehmen, dass d in der
Grundrissebene E liegt.
Es wird nun untersucht, wie eine Hyperbelsekante s zu
deren Asymptoten liegt.
Zu diesem Zweck stellt man sich die dreidimensionale,
oben beschriebene Konfiguration vor und legt eine
senkrechte Ebene E durch die Sekante s.
a) Diese Ebene kann sich mit dem Drehkegel in
einem endlichen Kegelschnitt, also in einer Ellipse
e, schneiden, die man in die Zeichenebene
umklappt. Da die Kegelachse d in der
Zeichenebene liegt, muss auch der Ellipsenschnitt
zur Zeichenebene symmetrisch liegen.
Aus dieser Symmetrie folgt:
GP = QH
b) Liegt diese Ebene E so, dass der Schnitt eine
Hyperbel h1 ist, so klappt man diese auch in die
Zeichenebene E um und erhält aus
Symmetriegründen ebenfalls
GP = QH .
Satz 3.2.4: Die Abschnitte auf einer Hyperbelsekante
von den Hyperbelpunkten P und Q bis zum jeweils
nächstgelegenen Schnittpunkt mit einer Asymptote
sind gleich lang.
h1
d
h
s = E
Ke
Q
H
h
s = E = e
Q
H
s = E = h 1
Q
Ke
G
P
G
P
H
h
H
h1
t
e
h
Q
G P
P = Q
d
d
G
h
P

Wird nun die Sekante s um P gedreht, so gibt es eine
Lage von s, in der Q mit P zusammenfällt, so dass s mit
der Hyperbel dann nur diesen Punkt P gemeinsam hat.
Diese Lage t von s ist also eine Tangente an die
Hyperbel in P. Die oben festgestellte Streckengleichheit
GP = QH
gilt für jede Lage, also auch noch in der Grenzlage t.
Deshalb gilt:
Satz 3.2.5: Auf der Hyperbeltangente halbiert der
Berührpunkt die Strecke zwischen den Schnittpunkten
mit den Asymptoten.
Damit erhält man die folgende
Konstruktion einer Hyperbeltangente:
1. Die Parallelen zu den Asymptoten durch einen
Hyperbelpunkt P sind Mittelparallelen im Dreieck
MGH.
2. Die Tangente t in P an die Hyperbel ist die
Parallele durch P zu einer Diagonalen des
Parallelogramms aus den Asymptoten und den
gezeichneten Parallelen.
Hinweis:
33
Mit Analysis (etwa am Ende der Jahrgangsstufe 11) kann man zeigen: Wandert ein Hyperbelpunkt nach
unendlich, so geht seine Tangente in eine Asymptote über. Deshalb gelten gemeinsame Tangenteneigenschaften
auch für die Asymptoten.
Aufgabe 3.2.14: Begründe die Tangentenkonstruktion der Hyperbel mit Satz 3.2.5. Wie kann man sie
abwandeln, wenn z. B. MH (vgl. die letzte Zeichnung) unzugänglich ist?
Aufgabe 3.2.15: Eine Hyperbel ist durch ihre Asymptoten und einen Scheitel gegeben. Konstruiere eine
hinreichende Anzahl von Hyperbelpunkten nach einer Stechzirkelkonstruktion. Wie genau werden die
Ergebnisse
a) in der Nähe der Scheitel;
b) für weit entfernte Punkte?
c) Vergleiche mit der entsprechenden Genauigkeitswertung für die Umkehrungen der
Stechzirkelkonstruktionen nach Aufgabe 3.2.6.
Aufgabe 3.2.16: Eine Hyperbel ist durch die Asymptoten und einen Punkt P gegeben. Konstruiere weitere
Hyperbelpunkte nach dem Satz 3.2.4 und bewerte die Genauigkeit der Ergebnisse bei dieser Konstruktion.
M
2
4
3
1
P

34
Aufgabe 3.2.17: Konstruiere die Bestimmungsstücke (Achsen, Halbachsenlängen, Asymptoten) einer
Hyperbel, die gegeben ist durch
a) eine Asymptote, den Mittelpunkt und zwei Punkte;
b) eine Asymptote, die Richtung der anderen Asymptote und zwei Punkte;
c) eine Asymptote, den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt mit seiner Tangente.
Aufgabe 3.2.18: Konstruiere die Schnittpunkte einer durch Asymptoten und Scheitel gegebenen Hyperbel
mit einer beliebigen Geraden, ohne die Hyperbel zu zeichnen.
Anleitung: Deute die Asymptoten als Riss eines Drehkegels mit einer zur Rissebene parallelen Achse und
die Gerade als Riss einer projizierenden Ebene. Zeichne die wahre Gestalt des Ebenenschnittes und
konstruiere dort die gesuchten Schnittpunkte mit der Wimpel- bzw. Steckzirkelkonstruktion.
Aufgabe 3.2.19: Berechne die Halbachsen einer Hyperbel, deren Achsen die Koordinatenachsen sind, und
die durch zwei gegebene Punkte hindurchgeht. Was muss bei der Wahl dieser Punkte beachtet werden,
damit es diese Hyperbel gibt?
Aufgabe 3.2.20: Berechne die Schnittpunkte der Geraden mit der Gleichung y = kx + t mit der Hyperbel
2
2
x
2
a
y
− 2
b
= 1 und finde eine algebraische Bedingung für t so, dass die Gerade Tangente ist.
Bestätige, dass sich die Tangentengleichung für den Berührpunkt (xP⏐yP) in die Gestalt xx
umformen lässt.
a
yy
− =
b
P P
1
2 2
Aufgabe 3.2.21: Stelle die Gleichung der Hyperbelnormalen in einem Hyperbelpunkt auf und berechne die
Koordinaten ihrer Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen in Abhängigkeit von der Halbachsenlänge a
und der Brennweite e bzw. von b und e.
Aufgabe 3.2.22: Eine Hyperbel sei durch Asymptoten und Scheitel gegeben. Konstruiere die Tangenten
parallel zu einer gegebenen Geraden.
3.3 Leitkreise der Hyperbel und weitere Tangenteneigenschaften
Wie bei der Ellipse heißt der Kreis um einen
Brennpunkt F2 mit Radius 2a der zum anderen
Brennpunkt F1 gehörige Leitkreis der Hyperbel.
Ist G der Schnittpunkt des Brennstrahls PF2 eines
Hyperbelpunktes P mit diesem Leitkreis, so ist wegen
der Brennstrahleigenschaft der Hyperbel PF PG
1 =
und man erhält die folgenden Sätze:
Satz 3.3.1: Alle Punkte einer Hyperbel haben von
einem Brennpunkt und dem zugehörigen Leitkreis
denselben Abstand.
Satz 3.3.2: Alle Punkte, die von einem Kreis um F2 und von einem Punkt F1 im Äußeren des Kreises denselben
Abstand haben, liegen auf einer Hyperbel, die F1 und F2 als Brennpunkte besitzt.
2a
F 2
2a
G
F 1
P

35
Hinweis: Für den zweiten Hyperbelast tritt an die Stelle von G jeweils dessen Gegenpunkt auf demselben
Leitkreis.
Aufgabe 3.3.1: Beweise den folgenden Satz:
Jede Hyperbeltangente halbiert den Innenwinkel
zwischen den Brennstrahlen ihres
Berührpunktes.
Anleitung: Der Beweis verläuft Schritt für Schritt
analog zum Beweis des entsprechenden Satzes
über die Ellipsentangente. Vergleiche auch die
nebenstehende Zeichnung.
Aufgabe 3.3.2: Betrachte die Zeichnung des „Rautenmusters“ in 2.6. Verfolge die „anderen“ Diagonalen
aufeinander folgender „Rauten“. Sie zeigen eine Schar konfokaler Hyperbeln, die mit den Ellipsen der
ersten Schar die Brennpunkte gemeinsam haben, und die diese Ellipsen rechtwinklig zu schneiden
scheinen.
a) Weshalb handelt es sich um konfokale Hyperbeln?
b) Begründe anschaulich, dass die Kurven aufeinander senkrecht stehen. Die Analysis der
Jahrgangsstufe 11 stellt hierzu eine bessere Theorie bereit.
c) Beweise den Sachverhalt mit Satz 2.7.2 und dem Satz der Aufgabe 3.3.1
Aufgabe 3.3.3: Beweise den folgenden Satz:
Der Fußpunkt des Lotes von einem Hyperbelbrennpunkt auf eine Tangente der Hyperbel liegt stets auf dem
Hauptkreis der Hyperbel.
Anleitung: Der Beweis verläuft Schritt für Schritt analog zum Beweis des entsprechenden Satzes über die
Ellipsentangente. Betrachte in der obigen Zeichnung eine geeignete Mittelparallele des Dreiecks F1F2G.
Aufgabe 3.3.4: Konstruiere mit Hilfe von Brennpunkt und Hauptkreis die Tangenten t1 und t2 an eine
Hyperbel, die zu einer gegebenen Geraden parallel sind, wenn gegeben sind:
a) a = 4,0 cm, e = 5,0 cm, ∠(g, MA) = 70 o b) a = 5,0 cm, b = 2,0 cm, ∠(g, MA) = 45 o
c) b = 4,0 cm, e = 5,0 cm, ∠(g, MA) = 56 o d) a = 6,0 cm, ∠(a, MA) = 30 o , ∠(g, MA) = 36 o
e) e = 6,0 cm, Winkel zwischen den Asymptoten sei 65 o , ∠(g, MA) = 75 o
f) Warum gibt es keine Lösung für a = b = 5,0 cm und ∠(g, MA) = 30 o ?
Aufgabe 3.3.5: Konstruiere mit Hilfe von Brennpunkt und zugehörigem Leitkreis die Tangenten an eine
Hyperbel, die zu einer gegebenen Geraden parallel sind, wenn gegeben sind:
a) a = 4,0 cm, e = 5,0 cm, ∠(g, MA) = 70 o b) a = 5,0 cm, b = 2,0 cm, ∠(g, MA) = 45 o
c) b = 4,0 cm, e = 5,0 cm, ∠(g, MA) = 56 o d) a = 6,0 cm, ∠(a, MA) = 30 o , ∠(g, MA) = 36 o
e) e = 6,0 cm, Winkel zwischen den Asymptoten sei 65 o , ∠(g, MA) = 75 o
f) Warum gibt es keine Lösung für a = b = 5,0 cm und ∠(g, MA) = 30 o ?
Aufgabe 3.3.6: Konstruiere mit Hilfe von Brennpunkt und Hauptkreis die Tangenten von einem Punkt R
an eine Hyperbel samt ihren Berührpunkten, wenn gegeben sind M(0⏐0), A(5⏐0), F1(7⏐0), R(4⏐1).
Aufgabe 3.3.7: Konstruiere mit Hilfe von Brennpunkt und zugehörigem Leitkreis die Tangenten von
einem Punkt R an eine Hyperbel und deren Berührpunkte, wenn gegeben sind M(0⏐0), A(5⏐0), F1(7⏐0),
R(4⏐1).
Aufgabe 3.3.8: Zeichne auf Transparentpapier einen Kreis mit Mittelpunkt F2 (Durchmesser mindestens
12 cm) und markiere in seinem Äußeren einen beliebigen Punkt F1.
Falte wiederholt so, dass der umgeklappte Teil des Kreises durch F1 geht.
F 2
Q
G
H
F 1
P

36
Begründe, dass alle so entstehenden Knicklinien Tangenten der Hyperbel sind, die F1 und F2 als
Brennpunkte und den halben Radius des Kreises als reelle Halbachse besitzt.
Aufgabe 3.3.9: Wo liegen die Spitzen und die Achsen aller Drehkegel, die durch eine gegebene Ellipse
(bzw. Hyperbel) gelegt werden können. Der Kegelschnitt sei durch Mittelpunkt, einen Scheitel und den
auf derselben Seite gelegenen Brennpunkt gegeben.
Anleitung: Man verwende eine DANDELINsche Kugel und wende mehrfach den Hilfssatz 2.6.1 an.
Aufgabe 3.3.10: Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die einen festen Kreis berühren und durch einen
Punkt in seinem Äußeren gehen?
Aufgaben 3.3.11: Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die zwei gegebene Kreise berühren, von denen
jeder ganz im Äußeren des anderen liegt?
Aufgabe 3.3.12: Wo liegen die Mittelpunkte aller Kreise, die zwei gegebene sich schneidende Kreise
berühren?
Aufgabe 3.3.13: Ein Turm von quadratischem Querschnitt
(Seitenlänge 5,00 m) besitzt ein drehkegelförmiges Dach (halber
Öffnungswinkel des Kegels sei 22,5 o ). Der Dachüberstand ist zu
vernachlässigen.
a) In welcher Kurve (genannt Trauflinie) schneidet die Turmwand
die Turmhaube?
b) Zeichne den Aufriss des Turmes auf DIN-A4-Querformat im
Maßstab 1:50. Die Blattkoordinaten der Turmspitze seien
(110⏐200) in mm. Von der Trauflinie zeichne man insbesondere
den höchsten und den tiefsten Punkt jeweils mit Tangente und
Normale. Zeichne den Scheitelkrümmungskreis.
Hinweis: Den Mittelpunkt des Scheitelkrümmungskreises einer
Hyperbel erhält man als Schnitt der Symmetriegerade durch
die Scheitel mit einem Lot, das auf der Asymptote im
Schnittpunkt zwischen Asymptote und Scheiteltangente
errichtet wird.
c) Nenne Gründe: Weshalb werden Handwerker nur eine grobe
Näherung für b) realisieren können?
Aufgabe 3.3.14: Ein Sechskant-Schraubenbolzen
ist zur Entgratung drehkegelförmig abgedreht
(halber Öffnungswinkel sei 60 o ).
Zeichne im Maßstab 1:1 einen Riss auf eine
Ebene parallel zu einer der Sechskantflächen.
Bestimme von den auftretenden Hyperbeln die
Asymptoten, Scheitel, Scheitelkrümmungskreise
und die tiefsten Punkte mit Tangenten.
Blattkoordinaten der Kegelspitze in DIN-A4-
Hochformat: Aufriss (105⏐275),
Grundriss (105⏐85).
Aufgabe 3.3.15: a) Wo liegen die
Spitzen aller Dreiecke über der
gemeinsamen Basis BF 1 , die bei F1
Maße in mm
52
75
60 o

einen doppelt so großen Winkel wie
bei B haben?
b) Wie kann man das Ergebnis ausnützen, um
einen beliebigen Winkel in drei gleiche Teile zu
teilen?
Aufgabe 3.3.16: Vom Aufbau eines Silowagens
der Deutschen Bahn AG ist ein vereinfachter
Riss in Fahrtrichtung gegeben. Der Wagenaufbau
besteht aus einer Kugelkalotte, einem Kegel , der
mit einem Quader verschnitten ist.
a) Skizziere einen Riss in der durch den Pfeil
gegebenen Blickrichtung senkrecht zur
Fahrtrichtung.
b) Beschreibe mit Worten: Wie kann man die
Bestimmungsstücke der Hyperbel
bekommen?
Hinweis: Die Aufgaben 3.3.13 und 3.3.14
können hierzu eine Hilfe sein.
37
Aufgabe 3.3.17: Berechne analog zur Ellipse den
Radius des Scheitelkrümmunsgkreises der Hyperbel.
Begründe danach mit Hilfe ähnlicher Dreiecke die
nebenstehende Konstruktion des Mittelpunktes
dieses Kreises.
Anleitung: Wähle A als Ursprung eines
Koordinatenkreuzes.
Aufgabe 3.3.18: Mehrere Hyperbeln berühren sich
im rechten Scheitel und haben dort denselben
Krümmungskreis vom Radius 2,0 cm.
a) Warum haben alle diese Hyperbeln dieselbe Hauptachse?
b) Berechne die imaginäre Halbachse b, wenn die reelle Halbachse a gegeben ist.
c) Zeichne solche Hyperbeln für die reelle Halbachsenlänge 1,0 cm, 2,0 cm, 3,0 cm, 5,0 cm.
3.4 Der einteilige offene Kegelschnitt
Es bleibt noch der Sonderfall zu betrachten,
dass der Winkel β der Schnittebene E eines
Drehkegels Ke gegen die Kegelachse d gleich
dessen halbem Öffnungswinkel α ist. E ist
dann parallel zu einer Mantellinie m0. Deshalb
schneidet E diese Mantellinie nicht. Alle
anderen Mantellinien werden von E auf einer
Seite des Drehkegels geschnitten, wobei es
Schnittpunkte gibt, die beliebig weit entfernt
sind.
Die DANDELINsche Konfiguration:
Unter allen Kugeln, die den Drehkegel Ke
Po
P
Zylinder
Kegel
Kalotte
Ke
mo
d
m
45 o
80 120
Maße in cm
Quader
p
A
k
E
Bo
M
F
B
R
g
40
Blickrichtung

erühren gibt es genau eine, die auch die
Ebene E in einem sogenannten Brennpunkt F
berührt.
Die Wahl der Risse:
Man betrachtet den Kegel so, dass seine
Rotationsachse d in der Aufrissebene liegt und
die Schnittebene E projizierend und waagrecht
ist
(siehe die zweite Abbildung dieser Seite).
Die Brennpunkteigenschaft des Schnittes:
38
1. Durch den Punkt P der Schnittfigur geht eine Kegelmantellinie m, die die DANDELINsche Kugel K in B
berührt.
2. Die in der Schnittebene E liegende Gerade PF und die Kegelmantellinie PB sind Tangenten von P an die
Kugel K. Deshalb sind nach dem Hilfssatz 2.6.1 die Tangentenabschnitte gleich lang; es gilt also:
PF = PB
3. Den Mantellinienabschnitt PB lässt man
um d rotieren, bis er auf der zu E
Po
mo
Bo
parallelen Mantellinie m0 zu liegen
kommt. Hierbei hat sich die Länge nicht
geändert. D. h. es gilt: PB = P0B 0
K
k
4. Letztere Länge zeigt sich im
nebenstehenden Aufriss in wahrer Größe.
Die Schnittgerade g der Ebene des
M
B
Berührkreises k mit der Schnittebene E
zeigt sich in nebenstehendem Aufriss als
m
Punkt R.
E
F
R = g
5. Die Figur P0B0RP im nebenstehenden
P
Aufriss ist ein Parallelogramm. Deshalb
ist der Abstand eines Punktes P der
Schnittkurve vom Brennpunkt F genauso
lang wie sein Abstand von der Geraden g.
d
Ke
Da die Schnittebene wie auch der Drehkegel zur Aufrissebene symmetrisch liegen, gilt dies auch für die
Schnittkurve. Sie hat also eine Symmetrieachse, auf der der Brennpunkt F liegt.
Satz 3.4.1 (Brennpunkteigenschaft): Zu jedem einseitig offenen Kegelschnitt gibt es einen Punkt F auf seiner
Symmetrieachse und eine Gerade g so, dass die Abstände der Kegelschnittpunkte zu F und g gleich lang sind.
Definiton 3.4.1: Jede Kurve, deren Punkte von einem Punkt F und von einer Geraden g, die Leitlinie
(Direktrix) genannt wird, gleichen Abstand haben, heißt Parabel 5
F heißt Brennpunkt der Parabel. Der auf der Symmetrieachse gelegene Parabelpunkt heißt Scheitel L. Die
Symmetrieachse heißt Parabelachse.
Der Abstand UF heißt Parameter p der Parabel.
Satz 3.4.2: Alle Punkte, die von einem festen Punkt F und von einer festen Geraden g denselben Abstand haben,
sind die Punkte einer Parabel.
Wegen Satz 3.4.1, der Parabeleigenschaft, halbiert der Scheitel L den Abstand vom Brennpunkt zur Leitlinie.
Legt man die x-Achse eines Koordinatensystems auf
die Parabelachse, die y-Achse auf die Scheiteltangente,
5 παρα, para, griechisch gleich; β′αλλειν, ballein, griechisch werfen.
R
U
g
y
L F
x+p:2
x-p:2
P
x

dann gilt nach dem Satz des PYTHAGORAS (beachte die
Maße in der nebenstehenden Abbildung):
2 p 2 p 2
y = ( x + ) − ( x − )
2 2
Vereinfacht man diese Gleichung durch
Ausmultiplizieren und Zusammenfassen, so erhält man
den folgenden Satz:
Satz 3.4.3: Die Scheitelgleichung der Parabel lautet
y 2 = 2px.
Die Punkte, die diese Gleichung erfüllen, sind die
Punkte einer Parabel.
39
Aus dieser Gleichung erkennt man die Parabel wieder als Graph der quadratischen Funktion, wie er in der
Jahrgangsstufe 9 behandelt wurde. Damals wurde anhand dieser Gleichung bereits gezeigt:
Satz 3.4.4: Alle Parabeln sind zueinander ähnlich.
Aufgabe 3.4.1: Konstruiere aus Brennpunkt und Leitlinie eine zum Zeichnen einer Parabel
hinreichende Anzahl von Punkten für a) p = 0,5 cm; b) p = 1,0 cm; c) p = 2,0 cm; d) p = 4,0 cm.
Aufgabe 3.4.2: Wähle auf einem DIN-A4-Blatt (Querformat) den Brennpunkt F in der Blattmitte und
die Achse waagrecht durch F. Zeichne um F die konzentrischen Kreise mit Radien von 5 zu 5 mm,
sowie die Schar der Lote zur Achse in je 5 mm Abstand voneinander, ausgehend von dem durch F
gehenden Lot. Lege das entstehende „Rautenmuster“ abwechselnd zweifarbig an. Die Diagonalen
aufeinander folgender gleich farbiger „Rauten“ zeigen zwei Scharen konfokaler Parabeln, die alle
Achse und Brennpunkt gemeinsam haben, aber auf verschiedenen Seiten geöffnet sind.
Vergleiche das Ergebnis mit der Zeichnung zum „Föhnhimmel“ bei der Ellipse, in der man jetzt auch
nachträglich Hyperbeln erkennen kann. Wie kann die „Ellipsenfigur“ in die der Parabeln übergeführt
werden? Da dies auf zweifache Weise geht, vermutet man, dass die Parabel eine Übergangsform
zwischen Ellipse und Hyperbel ist.
Aus der Brennpunkteigenschaft der Parabel lässt sich eine ganze Reihe weiterer Eigenschaften der Parabel
herleiten. Zunächst soll die Winkelhalbierende t zwischen Brennstrahl PF und Leitstrahl PR eines
Parabelpunktes P betrachtet werden (vgl. die 1. Abbildung der nächsten Seite).
Beweisideen:
t sei die Winkelhalbierende zwischen Leit- und
Brennpunktstrahl eines Parabelpunktes P. Wähle als Q
auf t einen von P verschiedenen Punkt, der nicht auf
der Leitlinie g liegt.
T sei der Lotfußpunkt vom Q auf der Leitlinie g.
Da QR die Hypotenuse in einem rechtwinkligen
g
Dreieck RTQ ist, gilt QR > QT .
tL Weil T Winkelhalbierende im Dreieck RQF ist, gilt
QF = QR > QT .
Also liegt Q näher an g als an F. Deshalb liegen
alle Punkte Q ≠ P von t auf derselben Seite außerhalb der Parabel.
4. P ist also der einzige Punkt von t auf der Parabel und deshalb ist t die Tangente der Parabel im Punkt P.
R
T
U
H
Q
L F
P
t

40
An Zusätzen kann man aus der Figur das Folgende ablesen:
1. FR steht auf t senkrecht und der Punkt H = t ∩ FR halbiert FR.
2. Weil der Parabelscheitel L die Strecke UF halbiert, gilt nach dem Strahlensatz im Dreieck RFU:
H liegt auf der Scheiteltangente.
Es gelten die folgenden Sätze:
Satz 3.4.5:
Jede Parabeltangente halbiert den Winkel zwischen Leit- und Brennstrahl ihres Berührpunktes.
Der Fußpunkt des Lotes vom Brennpunkt F einer Parabel auf eine Tangente t dieser Parabel liegt stets auf deren
Scheiteltangente.
Wird ein rechter Winkel so bewegt, dass ein Schenkel stets durch einen festen Punkt F geht und der Scheitel
dieses rechten Winkels auf einer Geraden tL wandert, so durchläuft der andere Schenkel die Tangenten
einer Parabel, die F als Brennpunkt und tL als Scheiteltangente hat.
Da die rechtwinkligen Dreiecke RPH und FVH
kongruent sind, folgt: RPFV ist eine Raute. Also gilt:
RP = PF = FV = VR
Po ist der Lotfußpunkt des Lotes von P auf die
Parabelachse. Dann nennt man VPo die Subtangente
der Parabeltangente t.
Weil H die Rautendiagonalen halbiert, gilt dann nach
dem Strahlensatz:
Satz 3.4.6:
Die Subtangente jedes Parabelpunktes wird im
Parabelscheitel halbiert.
Verschiebt man RUF parallel zur Parabelachse so, dass
R auf P zu liegen kommt, so ist PW das Lot auf die
Tangente in P, also die sogenannte Normale der
Parabel in P. PoW heißt jetzt Subnormale.
Damit ist gezeigt:
Satz 3.4.7: Die Subnormale jedes Parabelpunktes hat
die Länge p.
Betrachtet man die gleich großen Winkel bei P in der letzten Zeichnung, so erhält man:
Satz 3.4.8: Fällt Licht parallel zur Parabelachse auf die Parabel, so wird es zum Brennpunkt hin reflektiert.
Das erklärt, weshalb dieser Punkt Brennpunkt heißt.
V
V
R
g
H
U L F
p p Po p
W
2 2
R
g
H
t L
t L
U L F
p p Po p
2 2
P
P
t
t
W

Anwendung:
Rotiert eine Parabel um ihre Achse, so überstreicht sie
dabei eine Fläche, die Drehparaboloid genannt wird.
Wird eine solche Fläche innen verspiegelt, so
reflektiert sie parallel zur Achse einfallende
Lichtstrahlen in den Brennpunkt bzw. das Licht einer
im Brennpunkt stehenden Lichtquelle parallel zur
Achse.
Solche Brennspiegel finden Anwendung als
Reflektoren für Scheinwerfer (z. B.. beim Auto), aber
auch in astronomischen Spiegelfernrohren und in
Antennen.
Von dem griechischen Mathematiker ARCHIMEDES
(287? bis 212 v. Chr.) wird berichtet, dass er bei der
Verteidigung von Syrakus im zweiten punischen Krieg
Brennspiegel eingesetzt habe, um die Segel
angreifender Schiffe in Brand zu setzen.
41
Aufgabe 3.4.3: Zeichne auf Transparentpapier eine Gerade g und markiere einen Punkt F nicht auf g.
Falte wiederholt so, dass der umgeklappte Teil der Geraden g durch F geht. Begründe: Alle so
entstehenden Faltlinien sind Tangenten einer Parabel.
Aufgaben 3.4.4: Wie viele Lösungen gibt es jeweils, wenn von einer Parabel gegeben sind
a) Achse, Scheitel und ein Punkt. Konstruiere den Brennpunkt.
b) Achse, Brennpunkt und ein Punkt. Konstruiere den Scheitel.
c) die Leitlinie und zwei Punkte. Konstruiere den Brennpunkt, die Achse und den Scheitel.
d) der Brennpunkt und zwei Punkte. Konstruiere die Leitlinie, die Achse und den Scheitel.
Hinweis: Man benötigt die gemeinsamen Tangenten an zwei Kreise.
e) die Achse, der Scheitel und der Brennpunkt. Konstruiere die zu der gegebenen Geraden g parallele
Tangente der Parabel.
f) die Achse, der Scheitel und der Brennpunkt. Konstruiere die Tangenten von W an die Parabel.
Aufgabe 3.4.5: Begründe mit den kennen
gelernten Sätzen die Gleichheit der in
nebenstehender Zeichnung eingetragenen
Strecken.
Aufgabe 3.4.6: Beweise nochmals die
Brennspiegeleigenschaft der Parabeltangenten
und konstruiere damit die Tangenten von
einem Punkt an eine Parabel, die durch Achse,
Brennpunkt und Leitlinie gegeben ist.
Beachte: Wie wirkt eine Achsenspiegelung?
Aufgabe 3.4.7: Gegeben ist eine Parabel durch ihren Parameter. Konstruiere zu einer vorgegebenen
Richtung die Tangente an die Parabel.
Aufgabe 3.4.8: Berechne wie bei der Ellipse und der Hyperbel den Radius des
Scheitelkrümmungskreises der Parabel.
Merke: Der Scheitelkrümmungskreis der Parabel hat den Radius p.
R1
g
L
t L
p:2
p
P1
2p
t1
L
T
12 F
A12
R2
H1
H2
h
P
P2
t
2
p
t2

Satz 3.4.9: Sind P1 und P2 Punkte einer Parabel mit
den Tangenten t1 bzw. t2, so ist die Verbindungsgerade
h des Schnittpunkts T12 der Tangenten mit dem
Mittelpunkt A12 der Sehne P1P2 der Parabel parallel zur
Parabelachse.
Aufgabe 3.4.9: Beweise Satz 3.4.9.
Anleitung: Konstruiere zwei Punkte P1 und P2
einer durch Achse, Brennpunkt F und Leitlinie
g gegebenen Parabel nach der
Definitionseigenschaft, sowie die zugehörigen
Punkte R1 bzw. R2, ferner die Tangenten t1
bzw. t2 durch die Punkte H1 bzw. H2.
Betrachte den Umkreismittelpunkt des
Dreiecks FR1R2 und die Mittelparallele des
Trapezes P1R1R2P2.
Aufgabe 3.4.10: Begründe analog zur Ellipse
bzw. Hyperbel die nebenstehende
Konstruktion eines Parabelpunktes mittels
einer Reißschiene und eines Fadens eine
Parabel zu zeichnen. Was muss man beachten,
wenn von der Parabel Achse, Brennpunkt und
Scheitel gegeben sind?
42
Aufgabe 3.4.11: Beweise: Der Grundriss
einer Parabel auf einem Drehkegel mit
lotrechter Achse d ist eine Parabel, die den
Grundriss von d als Brennpunkt und den
Grundriss der
Schnittgeraden zwischen der Parabelebene E und der waagrechten Ebene durch die Kegelspitze S als
Leitlinie besitzt.
Anleitung: Vergleiche die nebenstehende Zeichnung:
a) Schneide den Kegel und die Ebene E mit waagrechten Hilfsebenen und konstruiere
Grundrisspunkte mit Hilfe der dabei entstehenden Hilfsschnitte.
b) Suche im Aufriss kongruente Dreiecke.
Aufgabe 3.4.12: Eine Parabel ist durch den
Abstand Scheitel Brennpunkt bis auf
Bewegung eindeutig festgelegt. Begründe
hieraus, dass alle Parabeln ähnlich sind.
Aufgabe 3.4.13: Eine Parabel ist durch
Brennpunkt und Scheiteltangente gegeben.
Konstruiere eine zum Zeichnen der Kurve
hinreichende Anzahl von Tangenten der
Parabel. Konstruiere die Berührpunkte der
Tangenten, indem du den Brennpunkt an jeder
Tangente spiegelst und die Leitstrahlen der
Berührpunkte aufsuchst.
Aufgabe 3.4.14: Konstruiere eine größere Anzahl von Punkten einer durch Brennpunkt und Leitlinie
gegebenen Parabel. Konstruiere anschließend in diesen Punkten die Tangenten
a) nach Satz 3.4.5.1;
b) nach Satz 3.4.5.2;
c) nach Satz 3.4.6;
g
L
d = F
F
d
S
p
p
E
g
g

43
d) nach Satz 3.4.7.
e) Vergleiche die vier Tangentenkonstruktionen hinsichtlich des Aufwands an Konstruktionsschritten,
der Zugänglichkeit benötigter Punkte und hinsichtlich der erreichbaren Genauigkeit in der Nähe des
Scheitels und für weiter entfernte Punkte.
Aufgabe 3.4.15: Stelle die Gleichung einer Parabel auf, deren Achse zur x-Achse parallel ist und deren
Scheitel und Brennpunkt die Koordinaten L(xo ⏐ yo ) und F(xo + p
2 ⏐ yo) haben. Wähle:
a) L(2⏐3), p = 1; b) L(-3⏐1), p = 2; c) L(1⏐-3), p = -2.
Die Einheit sei jeweils 1,0 cm.
Aufgabe 3.4.16: Stelle die Gleichung einer Parabel mit zur x-Achse paralleler Achse auf und berechne
daraus den Parameter p und die Koordinaten von Scheitel L und Brennpunkt F, wenn gegeben sind
a) die drei Parabelpunkte P(2⏐3), Q(5⏐5), R(10⏐-5);
b) die Scheiteltangente t: x = 2, P(4⏐7) und Q(10⏐-5) (2 Lösungen!);
c) der Brennpunkt F(-1⏐4) und der Punkt P(3⏐7) (2 Lösungen!).
Aufgabe 3.4.17: Konstruiere Achsenrichtung, Brennpunkt, Achse, Scheitel und Scheiteltangente einer
Parabel, von der zwei Punkte P und Q mit ihren Tangenten s bzw. t gegeben sind (vgl. Satz 3.4.9).
Warum versagt die Konstruktion aus der Brennspiegeleigenschaft, wenn die Tangente s zur Tangente t
senkrecht steht?
Aufgabe 3.4.18: Konstruiere aus der Vorgabe von Aufgabe 3.4.16 die Bestimmungsstücke der Parabel
unter Ausnutzung des Ergebnisses von Satz 3.4.9 und der Sätze
a) über die Subtangente und den Fußpunkt des Lotes auf die Tangente;
b) über die Subnormale und die Subtangente.
c) Gibt es auch hier Fälle, in denen die Konstruktion versagt?
Aufgabe 3.4.19:
a) Beweise mit ähnlichen Dreiecken: Fällt man vom Schnittpunkt H einer Parabeltangente mit der
Scheiteltangente das Lot auf die Verbindungssehne des Berührpunkts P zum Scheitel L, so
schneidet dieses Lot auf der Achse den Scheitelkrümmungspunkt aus.
b) Verschiebe das Lot aus a) parallel durch den Brennpunkt und zeige mit Hilfe des Satzes 3.4.9:
Die Tangente parallel zur Sehne LP ist Mittelparallele des Dreiecks LPH. Ihr Berührpunkt halbiert
die Strecke von H zur Sehnenmitte von LP.
Aufgabe 3.4.20:
a) Berechne die Schnittpunkte der Parabel y 2 = 2px mit der Geraden g: y = mx + t.
b) Welche algebraische Bedingung muss t für festes m erfüllen, damit g zur Tangente wird?
c) Berechne den Tangentenberührpunkt bzw. die Sehnenmittelpunkte und zeige, die y-Koordinate
hängt nur von m und nicht von t ab.
d) Beweise daraus: Die Achsenparallele aus Satz 3.4.9 ist für alle zu g parallelen Sehnen dieselbe.
e) Bringe die Tangentengleichung auf die Form yy0 = p(x + x0) für den Berührpunkt (x0⏐y0).
f) Zeige mit e):
Die zu einer Parabelsehne parallele Tangente ist Mittelparallele in dem Dreieck aus der Sehne und
den Tangenten in den Sehnenendpunkten.
3.5 Vergleichende Betrachtung der Kegelschnitte
Für die Untersuchung der Scheitelkrümmungskreise werden Ellipse, Parabel und Hyperbel jeweils so
verschoben, dass die x-Achse Hauptachse ist und der Scheitel, in dem die Kurve nach rechts geöffnet ist, in den

44
Ursprung fällt. Wenn die Ellipsen- und Hyperbelgleichung analog zur Parabelgleichung nach y 2 aufgelöst wird,
erhält man für
die Ellipse:
y
2
2 2
b
a x
b
a x
= 2 − 2
2
die Parabel:
y 2 = 2px
Setzt man hierin für x die x-Koordinate des jeweils benachbarten Brennpunkts ein
für die Ellipse:
a – e
für die Parabel:
p
2
die Hyperbel:
y
2
2 2
b
a x
b
a x
2
= 2 + (1)
2
für die Hyperbel:
so ergibt sich als y-Koordinate der Kurvenpunkt senkrecht über dem Brennpunkt. Diese y-Koordinate ist dann
jeweils der Radius des Scheitelkrümmungskreises (vgl. Aufgabe 3.5.1).
Diese Größe nennt man deshalb auch bei der Ellipse und der Hyperbel den Parameter p der Kurve. Damit
nehmen die obigen Gleichungen (1) die folgende Gestalt an
für die Ellipse:
p
y px
a x = 2 −
2 2
für die Parabel:
y 2 = 2px
e – a
für die Hyperbel:
p
y px
a x
2 2
= 2 + (2)
Lässt man hierin bei Ellipse oder Hyperbel a beliebig groß werden, so wird der Summand mit x 2 beliebig klein
und man bekommt als Grenzfall jeweils die Parabelgleichung.
Beachtet man noch, dass für die Ellipse e 2 = a 2 – b 2 , für die Hyperbel e 2 = a 2 + b 2 gilt und bezeichnet man das
Verhältnis ε = e
als numerische Exzentrizität, dann bekommt man für alle drei Kegelschnittarten die
a
einheitliche Scheitelgleichung:
y 2 = 2px + (e 2 – 1)x 2 (3)
Hierin ist charakteristisch
für die Ellipse:
ε < 1
für die Parabel:
ε = 1
Zwei Kegelschnitte mit derselben numerischen Exzentrizität ε sind stets ähnlich.
Schreibt man - mit p
= 0 für die Parabel - die Gleichung (2) um in
a
p
y x p
a x
2
= ( 2 ± ) ,
für die Hyperbel:
ε > 1
so lässt sich dies deuten als Aussage des Höhensatzes eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Höhe y und den
p
Hypotenusenabschnitten x und 2p
a x ± . Dies ergibt die folgende gemeinsame Konstruktion für
Kegelschnittpunkte (siehe die nächste Seite), wenn p und a (bzw. bei der Parabel nur p) gegeben sind.
Zunächst führen wir ein Koordinatensystem so ein, dass die Scheiteltangente y-Achse und die darauf senkrecht
stehende Symmetrieachse des Kegelschnitts die x-Achse ist. Dann ergeben sich die folgenden
Konstruktionsschritte:
Trage auf der Scheiteltangente (also der y-Achse) vom
Scheitel A die Strecke 2p bis zum Endpunkt E ab.
Ziehe von E die Verbindungsgerade g zum anderen
Konstruktion für die Ellipse:
E
2p
G
A C
H
K
g
Kommentar:

Scheitel C. Bei der Parabel ist g parallel zur Achse.
Das Lot zur x-Achse in beliebigem Abstand x von A
schneidet g in G und die x-Achse in H. Dann ist
nach dem Strahlensatz
p
GH p
a x = 2 ± .
Trage GH von H nach rechts auf der x-Achse ab bis
K.
Dann schneidet der THALESkreis über AK nach dem
Höhensatz auf HG einen Punkt des Kegelschnitts
aus.
Konstruktion für die Parabel:
y
E
2p
A
H
G g
K
x
45
Aufgabe 3.5.1: Leite die Gleichungen (1) dieses Kapitels her.
Konstruktion für die Hyperbel:
Aufgabe 3.5.2: Ein Kegelschnitt sei in der oben verwendeten Scheitellage zum Koordinatensystem
gegeben. Berechne aus a und b bzw. aus p und a die Koordinaten des bei A liegenden Brennpunkts,
sowie mittels der Gleichungen (1) und (2) die Koordinaten der Kurvenpunkte, die genau über bzw.
unter diesem Brennpunkt liegen.
Aufgaben 3.5.3: Wähle auf einem DIN-A4-Blatt (Querformat) den Koordinatenursprung in der
Blattmitte und die Einheit 1,0 cm. Zeichne in Scheitellage die Kegelschnitte mit p = 2 und der
numerischen Exzentrizität ε = 0; 0,2; 0,5; 0,7; 1,0; 1,2; 2,0; 3,0.
Markiere dazu jeweils die Brennpunkte. Was ergibt sich für p
= − = −
a ε2 1 2 ?
Wo liegen die Brennpunkte dieser Kurve? Vergleiche mit Aufgabe 2.4.3.
Aufgabe 3.5.4: Wie verändern sich die Gleichungen (1), (2) und (3) bei Parallelverschiebung der
Kurven zum Koordinatensystem um xs nach rechts und um ys nach oben?
Die Gleichung eines Kegelschnitts, dessen Achsen zur x- bzw. y-Achse parallel sind, lässt sich also stets in
folgender allgemeiner Form mit reellen Zahlen A, B, C, D und E schreiben:
Ax 2 + Bx + Cy 2 + Dy + E = 0 (4)
Hierin sind die Koeffizienten A, B, C, D und E nur bis auf einen gemeinsamen Faktor ungleich null bestimmt.
Sind diese Zahlen bekannt, so lässt sich die Gleichung (4) durch quadratische Ergänzung in die Form (3) oder
in die Mittelpunktsform überführen. Sind nun z. B. die Koordinaten von vier beliebigen Punkten eines solchen
Kegelschnitts gegeben, so kann man diese nacheinander in die Gleichung (4) einsetzen und erhält so ein lineares
C
g
E
2p
A
y
G
H K
x

46
Gleichungssystem von 4 Gleichungen für die Unbekannten A, B, C, D und E, die sich daraus berechnen lassen. A
oder C muss dabei von 0 verschieden sein.
Aufgabe 3.5.5: Ermittle die Gleichung eines Kegelschnitts mit koorindatenparallelen Achsen in der
Form (4), wenn er durch die Punkte P, Q, R und U geht.
Berechne durch Umformen der Gleichung die Bestimmungsstücke a, b, e, ε und p und die Koordinaten des
Mittelpunktes, der Scheitel und der Brennpunkte.
Zeichne die Kurven jeweils in der Einheit 1 mm.
Nütze Symmetrien auch bei der Rechnung aus, die aus der Zeichnung bzw. aus den gegebenen
Koordinaten ablesbar sind.
a) P(50⏐34), Q(50⏐-14), R(60⏐28), U(-20⏐28)
b) P(20⏐34), Q(5⏐-16), R(10⏐-66), U(-46⏐-10)
d) Aus welcher Lagebeziehung der Punkte lässt sich stets eine Hyperbel erkennen?
Aufgaben 3.5.6: Ermittle die Gleichung eines Kegelschnitts mit koordinatenparallelen Achsen,
berechne daraus die fehlenden Bestimmungsstücke und zeichne die Kurven (Einheit 1,0 cm), wenn
gegeben sind:
a) Scheitel A(-2⏐1), Krümmungsmittelpunkt MA(1⏐1) und ein Punkt P(6⏐4);
b) Achse y = 0, Punkte P(2⏐3), Q(5⏐6), R(10⏐8);
c) Brennpunkt F(0⏐0), Punkte P(0⏐2), Q(3⏐6).
ufgabe 3.5.7: Betrachte nochmals die folgenden Sätze 2.7.1, 2.7.2 und Aufgaben 2.7.2, 3.1.1 über die
Ellipse.
a) Suche dazu entsprechende Sätze zur Hyperbel und Parabel.
b) Beschreibe jeweils die Unterschiede zwischen Ellipse, Parabel und Hyperbel.
c) Wie kann man die einander entsprechenden Figuren ineinander überführen?
d) Jedesmal tritt die Parabel als Grenzfall beim Übergang von der Ellipse zur Hyperbel auf. Was tritt
bei der Parabel an die Stelle von Hauptkreis und Leitkreis?
e) Formuliere die Sätze über den jeweiligen Grundriss bei lotrechter Kegelachse als einen einzigen
Satz für alle Kegelschnitte.
Aufgabe 3.5.8 Bezeichnet man den Rand des von
einem Satelliten aus sichtbaren Teils der
Erdoberfläche als Horizont, so ist dieser der
Berührkreis der Erdkugel mit dem Drehkegel, der aus
den die Erde berührenden Sehstrahlen aus dem
Fotoobjektiv des Satelliten und mit diesem als Spitze
besteht.
Die Blickrichtung (Achse) der Kamera sei
eine dieser Kegelmantellinien, das Bild des
Horizonts also ein Schnitt des Kegels
senkrecht zu dieser Mantellinie.
Wie hoch muss der Satellit fliegen, damit das
Bild des Horizonts eine Ellipse bzw. eine
Parabel oder Hyperbel wird? Der Erdradius sei
6370 km.
3.6 Zur Geschichte der Kegelschnitte
wahrer Horizont
Mit den Kegelschnitten beschäftigten sich bereits die Mathematiker der griechischen Antike. Ihre Entdeckung
wird MENAICHMOS (um 350 v. Chr.) zugeschrieben, der sie im Zusammenhang mit dem Problem der
Würfelverdoppelung mit Hilfe der Eigenschaft der Gleichung (2) aus 3.5 beschrieb – allerdings ohne
Koordinaten zu verwenden – und sie zugleich als ebene Schnitte von Drehkegeln identifizierte, wenn auch
zunächst nur als Schnitte senkrecht zu den Mantellinien. Er sprach deshalb vom Schnitt des spitzwinkligen
(Ellipse), rechtwinkligen (Parabel) und stumpfwinkligen (Hyperbel) Kegels.
Erde
Horizontkegel
Kamerakegel
Kamera

47
Die Namen Ellipse, Parabel und Hyperbel gehen darauf zurück, dass die in 3.5 beschriebene Konstruktion in
engem Zusammenhang mit dem Problem der „Flächenanlegung“ steht, das bereits die Schüler des PYTHAGORAS
(um 550 v. Chr.) beschäftigte:
Man will ein Rechteck des Inhalts y 2 und mit einer
Seitenlänge x an ein Rechteck mit den Seiten 2p und 2a
„anlegen“, d. h. so ansetzen, dass die Seite x des neuen
Rechtecks auf der Geraden 2a des alten Rechtecks zu
liegen kommt.
Soll die Höhe des angelegten Rechtecks genau 2p
betragen, so ist x durch y bereits bestimmt.
Darf es dagegen an der Höhe etwas „mangeln“ oder
„überschießen“, so wird als zusätzliche Bedingung
verlangt, dass der „mangelnde“ bzw. „überschießende“
x x
2a
Teil, das sogenannte „Differenzrechteck“, zum Ausgangsrechteck ähnlich ist, d. h. eine Ecke des angelegten
Rechtecks auf der Diagonalen des alten Rechtecks zu liegen kommt.
p
Der Zusammenhang zwischen y und x nimmt dann die Gestalt y x p
a x
2 2
= ( 2 ± ) an.
2
Aus dieser Gleichung kann zu jedem y der Wert von x bestimmt werden. Diese Aufgabe und ihre Lösung wurde
von EUKLID (um 300 v. Chr.) in seinen „Elementen der Geoemtrie“ beschrieben. Dabei verwendet er ελλειπειν
elleipein für „abmangeln“, παραβαλλειν paraballein für „anpassen“ und υπερβαλλειν hyperballein für
„überschießen“.
Im nächsten Jahrhundert wurden die Kenntnisse über die Eigenschaften der Kegelschnitte noch wesentlich
erweitert durch bedeutende Mathematiker wie ARCHIMEDES (287? bis 212 v. Chr.), der vor allem
Flächenberechnungen an Ellipse und Parabel ausführte, sowie durch APPOLONIUS VON PERGAE (262? bis 190? v.
Chr.), der in seinem Hauptwerk das gesamte Wissen seiner Zeit über Kegelschnitte zusammentrug und viele
neue Erkenntnisse hinzufügte. Er behandelte auch die Umkehraufgabe der oben beschriebenen Flächenanlegung,
nämlich zu vorgegebenen x die dazugehörige Fläche y 2 zu ermitteln.
Über die oben verwendete Gleichung, die ja mit der Gleichung (2) aus 3.5 identisch ist, gelangte er zu der in 3.5
beschriebenen Konstruktion der Kegelschnittpunkte und gab deshalb den so gewonnenen Kurven die Namen
Ellipse, Parabel und Hyperbel. Er erkannte vermutlich auch als erster, dass jede dieser Kegelschnittformen an
jedem geraden oder schiefen Kreiskegel als ebener Schnitt auftritt.
Erst nach 1800 Jahren gelang eine erneute Bereicherung unseres Wissens über Kegelschnitte durch ihre
systematische Behandlung mit Hilfe der Analytischen Geometrie, die durch R. DESCARTES (1596 bis 1650) und
P. FERMAT (1601 bis 1665) eingeführt wurde. Etwa um dieselbe Zeit entdeckten B. PASCAL (1623 bis 1662) und
G. DESARGUES (1591 bis 1661) wichtige neue, rein konstruktive Eigenschaften der Kegelschnitte.
Die letzten größeren Fortschritte auf diesem Gebiet wurden möglich, nachdem G. MONGE (1746 bis 1818) die
Analytische Geometrie mit der Infinitesimalrechnung (vgl. Jahrgangsstufe 11) zu einer „Differentialgeometrie“
verknüpfte, und nachdem J. PLÜCKER (1801 bis 1868) die auf DESARGUES zurückgehende Idee der „Projektiven
Geometrie“ durch Anwendung geeigneter „homogener“ Koordinaten den Methoden der Analytischen Geometrie
zugänglich machte. Im Rahmen dieser Entwicklung gelang dem belgischen Ingenieur JEAN PIERRE DANDELIN
(1794 – 1847) der einheitliche Beweis für die Kegelschnitte mittels der nach ihm benannten Kugeln.
Astronomische Bedeutung der Kegelschnitte:
Das astronomische Weltbild, das bis zum Beginn der Neuzeit unangefochten herrschte, beruht auf den
Vorstellungen, die C. PTOLEMÄUS um 105 n. Chr. in seinem Buch „Die große Syntax“ (einer Zusammenfassung
des gesamten astronomischen Wissens des Altertums) niederlegte. Danach sind die Bewegungen aller
Himmelskörper reine Kreisbewegungen um die Erde, die im Zentrum des Alls steht. Denn nur der Kreis, das
vollkommenste aller geometrischen Gebilde, hielt man der Majestät des Schöpfergottes für angemessen.
Um die Schleifenbewegungen der Planeten zu erklären (manche von ihnen laufen nämlich zu manchen Zeiten
scheinbar rückwärts am Himmel), ließ man diese auf scheinbaren Bahnen laufen, den sogenannten Epizyklen,
während gleichzeitig deren Mittelpunkte auf weiteren Kreisen, den sogenannten Deferenten, um die Erde geführt
16
Marsbahn
15
16
12
11
14
13
10
11
1213
14 15
10
9
Deferent: Weg von M
9
K
y 2
: x
terrestrische Beobachtung
8
Erde im Mittelpunkt
8
Rechteck
mit
Überschuss
scheinbare Rückwärtsbewegung
7
4
5
4 5 6
7
3
6
Differenzrechteck
Ausgangsrechteck
Rechteck
mit
Mangel
3
2
Diagonale
Mars
2
A
M
k
2p
1

48
wurden. Um der größer werdenden Beobachtungsgenauigkeit gerecht zu werden, musste dieses System durch
weitere Stufen aufgesetzter Epizyklen noch komplizierter gemacht werden.
Die Zeichnung verdeutlicht die damalige Vorstellung: Der Kreis k rollt auf dem Kreis K schlupffrei ab. Der Weg
von M ist dann der Deferent. Mars hängt an einer „Stange“, die bei A fest mit dem Kreis k verbunden ist.
Selbst als N. KOPERNIKUS (1473 bis 1543) das „heliozentrische“ Weltbild beschrieb, in dem die Sonne im
Mittelpunkt stand, und damit eine wesentliche Vereinfachung zu haben glaubte, verwendete er solche
Epizykelbewegungen und benötigte für die Beschreibung der Planetenbahnen bis zum Saturn insgesamt 48
Kreise (PTOLEMÄUS hatte 40). Die sehr umfangreichen und für die damalige Zeit erstaunlich genauen
Beobachtungs- und Messergebnisse des Dänen TYCHO BRAHE (1546 bis 1601) zeigten aber, dass auch mit
diesem hohen geometrischen Aufwand die Planetenbahnen nicht hinreichend beschrieben werden konnten.
Der kaiserliche Hofastrologe und Astronom JOHANNES KEPLER (1571 bis 1630) wertete diese Ergebnisse (vor
allem am Planeten Mars) aus und gelangte so – nach mehreren vergeblichen Versuchen mit anderen Kurven – zu
den berühmten KEPLERschen Gesetzen:
Alle Planeten bewegen sich auf Ellipsen (die „fast“ Kreise sind), in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Der „Fahrstrahl Sonne – Planet“ überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen der Bahnellipsen
(sind also unabhängig von deren kleinen Halbachsen).
ISAAC NEWTON (1642 – 1727) fand schließlich im „Gravitationsgesetz“ die physikalische Begründung dieser
Gesetze, die deshalb auch für Kometen und alle anderen Himmelskörper eines Sonnensystems gelten müssen,
wobei allerdings auch Parabeln und Hyperbeln als Bahnkurven vorkommen können. Auch die Bahnen
künstlicher Satelliten sind nach diesen Gesetzen bestimmt. Ungestört gelten sie jedoch nur, wenn außer der
Sonne nur ein Planet berücksichtigt wird und beide punktförmige Massen haben. Diese Störungen zu berechnen,
ist nur unter Einsatz sehr leistungsfähiger Großcomputer möglich.
4. Zur Didaktik
Der vorliegende Text ist eine Weiterentwicklung des bayerischen Lehrplan-Additums Kegelschnitte, wie es für
Brennpunkt Geometrie 10 vorgesehen war. Der Text wurde am Gymnasium Starnberg als Lehrbuch für dieses
Additum in einer Klasse 10 im Schuljahr 1998/99, aber auch für einen Pluskurs Mathematik im Schuljahr
1997/98 ausprobiert. Beide Veranstaltungen wurden von einem der beiden Autoren gegeben. Die folgenden
Bemerkungen beziehen sich vor allem auf diese beiden Veranstaltungen und können deshalb noch keine
abschließende Empfehlung darstellen, da sich die Güte eines solchen Textes samt seinen
Variationsmöglichkeiten erst herausstellen, wenn andere Lehrerinnen und Lehrer mit dem Text gearbeitet haben.
Für weitere didaktische Hilfen verweisen wir deshalb jetzt schon auf eine Version des Textes demnächst in einer

49
Lehrbuchreihe, die ebenfalls mit ausführlichen Kommentaren, Folien und Musterlösungen versehen werden
wird.
Die Abbildungen sind mit einem CAD-System gezeichnet und in aller Regel nicht konstruiert. D. h. der Autor
hat quasi wie beim Tafelbild im Unterricht seine Kenntnisse in der Raumgeometrie zum Zeichnen eingesetzt, um
die Abbildungen „halbwegs“ richtig zu zeichnen. Eine mathematische Software für derartige Raumbilder stand
nicht zur Verfügung. Auch wird man wohl im Unterricht bei einem 45-Minuten-Rhythmus nicht die Zeit zur
Verfügung haben, um anders zu verfahren.
Die Autoren stehen auch auf dem Standpunkt, dass es wichtiger ist, geometrische Kenntisse im Raum zu
vermitteln und geometrische Fähigkeiten bei Schülerinnen und Schülern zu wecken, als schöne Bilder entstehen
zu lassen, so befriedigend dies auch für den mitzeichnenden Schüler ist. So geht es auf weiten Strecken des
Lehrtextes vor allem darum, dass der Schüler anhand von Raummodellen lernt, den Text zu begreifen, und seine
Sprache so weiter zu entwickeln, dass er in der Lage ist, anderen die jeweiligen Sachverhalte zu erklären. Seine
eigenen Zeichen- und Rechenfertigkeiten werden dann erst im Rahmen der vielen Aufgaben gefordert, wobei
durchaus zugegeben werden kann, dass die gestellten Aufgaben bewusst bei weitem nicht das
Schwierigkeitsniveau der Zeichnungen im Lehrtext erreichen.
Zunächst einmal werden einige Bemerkungen zur Länge des Textes gegeben, bzw. wie man ihn ohne Probleme
kürzen kann:
4.1 Kürzungen des Lehrtextes
Viele Kollegen bemängeln die Länge der bisherigen Abhandlungen der „Mathematikinformation“ . Im
vorliegenden Fall sind weite Bereiche voneinander unabhängig abgefasst, so dass man sie auch ohne auf andere
Kapitel benutzen kann, ja den weggelassenen „Rest“ begabten Schülerinnen und Schülern zum Selbststudium
überlassen kann. Das ist auch der Grund, weshalb erst in einem späteren Heft die Lösungen erscheinen werden.
4.1.1 Der volle Text
ist gedacht für einen Pluskurs (1/2 Schuljahr lang 2 Stunden wöchentlich) für die gehobene Mitte unserer
Gymnasiasten. Die zweite Hälfte des Schuljahres kann dann mit den Inhalten eines späteren Heftes
„Kegelschnitte II“ gefüllt werden.
4.1.2 Das bayerische Additum in Jahrgangsstufe 10
geht von 28 Unterrichtsstunden aus. Hierbei ist zu empfehlen, das Kapitel 2.4 Scheitelkrümmungskreise und alle
weiteren Bemerkungen zu den Scheitelkrümmungskreisen in der vorliegenden Form stark zu vereinfachen: Man
verdeutlicht experimentell den Stellenwert des Scheitelkrümmungskreises für die Zeichentechnik (auch am
Computer!), gibt dann die Krümmungsradien jeweils an und verweist auf den Analysisunterricht der
Jahrgangsstufe 11, wo man ohne Probleme diese Radien aus den Kurvengleichungen herleiten kann. Allerdings
sollte man dann schon Aufgaben mit den Krümmungskreisen in den Scheiteln stellen.
2.7 Leitkreis und Tangenteigenschaften, 3.3 Leitkreise der Hyperbel und weitere Tangenteneigenschaften
können weggelassen werden.
Auch auf 3.5 „Vergleichende Betrachtung der Kegelschnitte“ kann man in einem Klassenunterricht verzichten.
Dies gilt allerdings nicht hinsichtlich der technischen Bedeutung der Kegelschnitte, wie sie in einem späteren
Heft noch vorzustellen ist. Hierauf sollte man bei der Zeitplanung Rücksicht nehmen und mindestens 2
Unterrichtsstunden vorsehen.
4.1.3 Kurzformen
• Die Ellipse ist in der Anwendung ungleich häufiger als die anderen Kegelschnitte zu beobachten. Ihre
Eigenschaften lernt man nahezu alle in Kapitel 2 „Zylinderschnitte“ kennen.
• Man kann aber auch nur die ebenen Schnitte eines Drehkegels nach DANDELIN lehren und alles andere
weglassen.
• Auch dürfte es nicht uninteressant sein, einen Kegelschnitt ausführlich zu behandeln und dann begabten
Schülerinnen und Schülern den Resttext zum Selbststudium überlassen.
• Unter Umständen kann man in der betreffenden Gruppe nach einiger Zeit des Selbststudiums auf Kapitel
3.5 „Vergleichende Betrachtung der Kegelschnitte“ zu sprechen kommen.

50
4.1.4 Auswahlen
Das Folgende ist nur möglich, wenn die Lehrerin oder der Lehrer den Gesamttext gut kennen:
Man behandelt die DANDELINschen Eigenschaften aller Kegelschnitte und betrachtet dann im Folgenden nur
einen Aspekt. Hierzu bieten sich an:
• Zeichenmethoden für die Kegelschnitte,
• Tangentenkonstruktionen,
• Krümmungsverhalten der Kegelschnitte.
4.2 Ist Darstellende Geometrie eine Voraussetzung?
Der bayerische Lehrplan sieht in seinen Wahladdita für das mathematisch-naturwissenschaftliche Gymnasium u.
a. in der Jahrgangsstufe 9 Darstellende Geometrie quasi als Vorbereitung für das Additum Kegelschnitte in
Jahrgangsstufe 10 vor. Dies scheint aber nicht eine notwendige Voraussetzung für das vorliegende Curriculum
zu sein.
Sicher waren es die Maler der Renaissance in Italien, die sich als erste Gedanken über die Darstellung
räumlicher Gegenstände in der Ebene machten. ALBRECHT DÜRER (1471 - 1528) schrieb mit seinem Buch
„Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt in Linien Ebenen und gantzen Corporen“ das erste
deutschsprachige Lehrbuch der Geometrie und befasste sich vornehmlich mit dem Problem der Darstellung des
Raumes in der Ebene. Fotografie und Computerkonstruktion haben weitgehend die ursprünglichen Probleme
beseitigt. Doch hat man mit Recht immer wieder darauf hingewiesen, dass es hierbei auch, ja vornehmlich um
das Konstruieren im Bild geht, d. h. gerade die moderne Technik erwartet, dass aus den Daten eines 2dimensionalen
Bildes eines 3-dimensionalen Gegenstands weitere Daten per Konstruktion gefunden werden.
HOHENBERG [1] u. a. haben deshalb ihr Lehrfach dann auch Konstruktive Geometrie genannt. Die damit
angesprochenen Probleme sind auch im Zeitalter des Computers noch aktuell, auch wenn es nicht mehr wie
früher darum geht, per Hand in einer Zeichnung die Probleme zu lösen. Zusammengefasst:
Darstellende Geometrie ist nicht mehr erforderlich, wohl aber das Konstruieren im Raum.
Da aber in aller Regel das Hilfsmittel Modell nicht zur Verfügung steht, muss man eine Lösungsstrategie an
einer ebenen Zeichnung entwickeln; hierzu ist es erforderlich – auch bei CAD – eine Zeichnung lesen zu
können. Man wird also den Schüler anhand geeigneter Beispiele jeweils an das erforderliche
Schwierigkeitsniveau beim Lesen solcher Zeichnungen heranführen. Das ist heute im Unterricht leider eine sehr
vernachlässigte Methode, was sich vor allem dann zeigt, wenn wie im vorliegenden Manuskript die Zeichnungen
rasch schwierig werden.
Man kann diese Schwierigkeiten mildern, wenn man – wie etwa bei den Überlegungen nach DANDELIN -,
Modelle parallel zu den Zeichnungen benutzt. Die Schülerinnen und Schüler können dann im eigentlichen Sinn
die Situation „begreifen“.
Es muss aber darauf hingewiesen werden, dass man hierbei nicht immer den Schülerinnen und Schülern den
Weg so ebnen soll. Es ist zwischendurch recht lehrreich, sie zu zwingen, anhand von Zeichnungen die
Überlegungen durchzuführen.
Kapitel 1 „Vorerörterungen zur Darstellung der Bilder“ sind also zunächst viele Hinweise für den Lehrer, die er
je nach Vorkenntnissen seiner Schüler ausbaut. Dies sollte aber nicht zu einem Unterricht in Darstellender
Geometrie führen. Vielmehr ist der übergeordnete Standpunkt zur Erziehung der Raumanschauung der
Lernenden zu berücksichtigen. Auch sind diese vielen Sätzchen nicht auswendig zu lernen. Der Schüler sollte
aber jederzeit in der Lage sein, aus der Anschauung heraus solche Sätze zu entwickeln. Insgesamt stellt dieses
Kapitel nur eine Wiederholung dessen dar, was im Rahmen von Schrägbildern in den Jahrgangsstufen 8 und 9 zu
machen wäre, leider aber immer seltener geschieht.
Die übliche Nomenklatur der Darstellenden Geometrie, einen Punkt P in seinen Rissen mit P‘, P“ usw. zu
bezeichnen, halten wir heute für zu aufwendig und gerade für den Anfänger verwirrend. Die Risse werden zwar
nach Norm neben- bzw. untereinander gestellt, doch sollten es einfach von derselben Raumkonfiguration
verschiedene Ansichten sein und mehr nicht. Der Schüler lernt allerdings, dass es häufig zweckmäßig ist,
spezielle solcher Ansichten zu betrachten, um gewisse Maße in ihrer wahren Größe zu bekommen.

51
4.3 Bemerkungen zu den einzelnen Kapiteln
Die Kegelschnittslehre stellt am Ende des Geometrieunterrichts eine gute Wiederholung des früher Gelernten
dar. Konstruktionen und Überlegungen an Dreiecken, Vierecken und Vielecken werden jetzt an anderen
Konfigurationen betrachtet. Es stellt sich hierbei heraus, dass die Inhalte des früheren Unterrichts in einem viel
größeren Bereich angewendet werden können.
zu 2. Zylinderschnitte
2.1:
Grundsätzlich konnten keine wesentlichen Schwierigkeiten beobachtet werden. Die Vorstellungskraft der
Lernenden wird hier noch nicht strapaziert.
Vielen Schülern ist neu, dass man in jeder Ebene rechtwinklige Koordinaten einführen kann und für die
Koordinaten in verschiedenen Ebenen via der Gesamtkonfiguration Zusammenhänge wie die Ellipsengleichung
und die Gleichungen zur Achsenstreckung bekommen kann. Hier werden Lücken in der Jahrgangsstufe 9
vermutet:
• Koordinatentransformation für eine Verschiebung (einer Parabel),
• Nachweis, dass alle Parabeln ähnlich sind u. a.
• Auch der Begriff „Abbildungseigenschaften“ oder „definierende Eigenschaften“ einer Abbildung sind nicht
in der erforderlichen Tiefe vorhanden.
2.2:
Nur wenige haben den Begriff der Tangente am Beispiel Kreis durchdacht: Eine Gerade, die in einer Umgebung
genau einen Punkt mit einer Kurve gemeinsam hat und in dieser Umgebung auf einer Seite der Kurve liegt,
nennt man Tangente.
2.4:
Man sollte sich Zeit lassen beim Erklären der Kreise, die in einem Scheitel die Ellipse berühren, also mit ihr eine
gemeinsame Tangente haben. Es bleibt natürlich dem Analysisunterricht vorbehalten zu klären, dass es genau
einen Kreis gibt, der am besten berührt.
Hat der Schüler die Existenz eines Scheitelkrümmungskreises eingesehen, so kann die Herleitung seines Radius
ruhig weggelassen bzw. auf den späteren Analysisunterricht verwiesen werden. Ein Verzicht auf die
Konstruktion der Scheitelkrümmungskreise sollte nicht sein, da es doch ein großes Erfolgserlebnis für die
Schüler bedeutet, eine schöne Ellipse gezeichnet zu haben, auch wenn dies heute bei jeder Zeichensoftware
überflüssig ist, da man die Ellipsen stets aus einem Kreis „zieht“.
2.5:
Eine Ellipse ist zunächst das Orthogonalbild eines Kreises. Hier zeigt sie sich als Schnitt eines
Rotationszylinders. Das muss bewiesen werden. Man hat damit bereits 3 Definitionen der Ellipse:
• Kreisbild
• Schnitt eines Rotationszylinders
• Menge von Punkten, die die Ellipsengleichung erfüllen.
Diese Liste wird im Folgenden fortgesetzt. Man kann bereits hier auf den Begriff „definierende Eigenschaft“ zu
sprechen kommen.
2.6:
Will man mehrfach die Kegelschnitte lehren, so ist es sinnvoll, sich ein Modell einer Kugel mit dem
Tangentenkegel zu beschaffen. Wichtig ist, dass die Schüler „sehen“, zwischen Kugel und Kegel gibt es keinen
Rand, der Übergang ist „glatt“.
Der Aufbau der Überlegung nach DANDELIN wird hier und in den drei Fällen der ebenen, nicht zerfallenden
Schnitte eines Rotationskegels völlig analog dargestellt mit der Absicht, dass sich auch der Schüler den Gang der
Gedanken merkt. Es ergibt sich eine weitere Definiton der Ellipse:
• Brennpunkteigenschaft

52
Die Brennpunkteigenschaften der Ellipse und der Hyperbel merkt man sich am besten anhand des
„Rautenmusters“.
2.7:
Die Überlegungen „Leitkreis und Tangenteneigenschaft“ können bei allen Kegelschnitten analog durchgeführt
werden.
Der Schüler erhält damit eine zweite Methode, Tangenten zu zeichnen.
zu 3. Ebene Schnitte eines Drehkegels
Die Bilder sprechen für sich und können auch von allen Schülern „gelesen“ werden. Anders sieht dies schon aus,
wenn die einzelnen Fälle sprachlich beschrieben werden sollen, was aber für das weitere Vorgehen unerlässlich
ist.
3.1:
Die historische Betrachtung kann problemlos weggelassen werden, wenn man darauf verzichten möchte.
Man könnte zunächst glauben, dass die 3 Lösungen zur Konstruktion der kleinen Achse einer Ellipse
Darstellende Geometrie sind. Doch spielt die Bestimmung der Halbachsen auch in anderem Zusammenhang eine
Rolle und ist deshalb durchaus interessant, zudem alle Lösungen mit wenigen Strichen ausgeführt werden
können.
3.2:
Die Berechnung der Gleichungen für Ellipse und Hyperbel aus der jeweiligen Brennpunkteigenschaft sollte man
die Schüler nicht selbständig machen lassen. Es liest sich die angegebene Lösung einfach; will man sie selbst
durchführen, so kann schnell die Darstellung algebraisch unübersichtlich werden.
Aus Gründen der Herstellungssoftware dieses Manuskripts mussten leider alle Hyperbeln als gleichseitige
gezeichnet werden. Das sollte man im Unterricht vermeiden oder zumindest auf diesen Schönheitsfehler
hinweisen.
Die Herleitung der Sehneneigenschaft der Hyperbel erfordert hohes Vorstellungsvermögen beim Schüler. Hier
zeigt sich, welchem Schüler der Kurs das Anschauungsvermögen gehoben hat. Man muss deshalb davon
ausgehen, dass nicht alle Schüler die gegenseitige Lage der verschiedenen Schnitte verstehen. Sie müssen sich
darauf beschränken, die Sehneneigenschaft der Hyperbel auswendig zu lernen.
Es wurde auch beobachtet, dass der Übergang von der Sekanteneigenschaft zur Tangenteneigenschaft manchem
Schüler Schwierigkeiten bereitet, wenn er nicht gewohnt ist, sich dynamische Veränderungen an einer
Zeichnung vorzustellen. Hier könnte eine geeignete Software am PC helfen.
Die Stechzirkelkonstruktion kann man sich im Allgemeinen nur schlecht merken. Deshalb wird empfohlen, eine
Hyperbel samt Asymptoten zu skizzieren und dann an dieser Zeichnung mit einem Zirkel die
Stechzirkelkonstruktion durch Probieren wieder zu finden. Ganz ähnlich verfährt man mit der
Sekanteneigenschaft.
3.4:
Die Eigenschaften der Normalen und Tangenten einer Parabel merkt man sich anhand der Figur mit der Raute.
Die Brennpunkteigenschaft kann man durch „Grenzübergang“ aus dem Rautenmuster (Föhnhimmel) herleiten.
3.5:
Die vergleichenden Betrachtungen zwischen den Kegelschnitten können natürlich weggelassen werden. Dies
sollte nicht geschehen, wenn man auf die projektive Interpretation der Kegelschnitte zu sprechen kommen will.

53
Dynamisch kann man den Übergang von der Ellipse zur Hyperbel über die Parabel sehr schön an einem leicht zu
erstellenden Modell zeigen:
Man lässt sich die nebenstehende Figur schweißen
und achtet darauf, dass sie gut ausgewuchtet ist.
Gibt man sie in A in das Futter eines Motors, wie er
in jeder physikalischen Sammlung vorhanden ist
und lässt das Stück um a rotieren, so beschreiben g
und h den Mantel eines Rotationskegels. g und h
werden mit Leuchtfarbe gestrichen.
Man achte auf die Sicherheit, damit das Modell
nicht explodiert!! Man möge deshalb auch bei B
die Apparatur einspannen.
Man beschafft sich eine Schlitzblende für einen
Diaprojektor. Diese Blende erzeugt eine
Lichtebene, mit der man den Rotationskegel
schneiden kann.
Nebenbei bemerkt: Eine Kreisblende zeigt dann
Verschneidungskurven der Ordnung 4. Man kann
sich auch auf diese Weise mit einem rotierenden
Kreis eine Kugel beschaffen und feststellen, dass
die einzigen ebenen Kugelschnitte Kreise sind.
Anschriften der Autoren:
Dr. Stefan Lange
Emil-von-Behring-Straße 6
85375 Neufahrn
Dr. Karlhorst Meyer
Kyffhäuserstraße 20
85579 Neubiberg
B
g h
A
a