Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

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Hinweis: In der Nähe der Hauptscheitel und bei schlanken Ellipsen auch in der Nähe der Nebenscheitel
wird die Konstruktion ungenau, da sich die Kreise von f) sehr schleifend, d. h. unter sehr spitzen Winkeln
schneiden.
Ein solches Muster ist in Bayern manchmal bei Föhn als Wolkenbildung zu sehen, wobei die Brennpunkte etwa
über Rosenheim und Kempten liegen. Manche Leute sehen in dieser Wolkenbildung den Ursprung des
Rautenmusters im Bayerischen Staatswappen.
Satz 2.6.4: Die Ellipse teilt die Ebene in ein Außen- und in ein Innengebiet. Die Abstandssumme von den
Bennpunkten der Ellipse zu allen Punkten im Innern der Ellipse ist kleiner, für alle Punkte auf der Ellipse gleich
und für alle Punkte außerhalb der Ellipse größer als die Länge der großen Ellipsenachse.
Dieser Satz und die Tatsache, dass die Ellipse aus den Brennpunkteigenschaften punktweise konstruiert werden
kann, macht die Brennpunkteigenschaft zu einer definierenden Eigenschaft, d. h. einer Eigenschaft, die
notwendig und hinreichend für eine Ellipse ist.
Satz 2.6.5: Jede Kurve, deren Punkte von zwei festen Punkten F1 und F2 eine konstante Abstandssumme 2a
haben, ist eine Ellipse mit der großen Achse der Länge 2a und den Brennpunkten F1 und F2.
Aufgabe 2.6.3: Von einer Ellipse sind Mittelpunkt, ein Hauptscheitel und ein Brennpunkt gegeben.
a) Konstruiere die Nebenscheitel.
b) Wähle ein geeignetes Koordinatensystem und berechne die Koordinaten der Nebenscheitel.
Aufgabe 2.6.4: Von einer Ellipse sind die Brennpunkte und ein beliebiger Kurvenpunkt P gegeben.
a) Konstruiere die Scheitel, sowie die Tangente in P.
b) Wähle ein geeignetes Koordinatensystem und berechne die Scheitel und die Tangente in P. Löse das
letztere Problem möglichst ohne Analysis.
Aufgabe 2.6.5: Die Achsen einer Ellipse seien die Koordinatenachsen. Im Punkt P(5⏐1,5) wird sie von der
Tangente t berührt, die die x-Achse im Punkt T(8⏐0) schneidet.
a) Konstruiere die Scheitel der Ellipse und zeichne diese.
b) Berechne die Gleichung der Ellipse.
Anleitung:
1. Die Achsenstreckung der Ellipse zum (noch unbekannten) Hauptkreis bildet P nach P1 und t nach t1 ab,
während M und T fix bleiben.
2. Als Hauptkreistangente steht t1 senkrecht auf dem Berührradius MP1.