Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

Kugel, die ihn berührt, geht in eine
ebensolche Berührkugel über. So erhält
man eine ganze Schar von Kugeln auf
beiden Seiten der Spitze, die den Kegel
jeweils längs eines Kreises berühren.
2. Wird nun der Kegel in der oben
beschriebenen Art von einer Ebene E
geschnitten, so gibt es auf beiden Seiten der
Spitze jeweils eine solche Berührkugel, die
die Schnittebene in jeweils einem Punkt F1
bzw. F2 berührt.
Die Wahl der Risse:
In nebenstehender Abbildung liegt im Aufriss
die Rotationsachse d des Kegels Ke in der
Zeichenebene und die Schnittebene E
waagrecht, also parallel zur Grundrissebene, so
dass im Grundriss die Schnittfigur h in wahrer
Größe zu sehen ist (alles andere ist im Grundriss
weggelassen). Damit zeigt sich die Schnittebene
E im Aufriss projizierend als Gerade.
Die Brennpunkteigenschaft des Schnittes:
1. Durch jeden Punkt P der Schnittfigur geht
eine Kegelmantellinie, die die
DANDELINschen Kugeln Ki in den Punkten
Bi berührt.
2. Die in der Schnittebene E liegende Gerade
PFi und die Kegelmantellinie PBi sind
Tangenten von P an die Kugel Ki. Deshalb
sind nach dem Hilfssatz 2.6.1 die
Tangentenabschnitte gleich lang und es gilt
PFi = PBi
für i = 1 und i = 2.
3. Durch Streckensubtraktion findet man
PF1 − PF2 = B1B2 , die Länge des
Mantellinienstücks zwischen den beiden
Berührkreisen.
Vergleiche diesen Beweis mit dem
entsprechenden für die Ellipse.
Definition 3.2.1: Die Berührpunkte mit den DANDELINschen Kugeln heißen Brennpunkte.
Damit ist bewiesen:
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Satz 3.2.1:
Der zweiteilige Schnitt eines Rotationskegels hat die Eigenschaft, dass die Differenz der Abstände eines
Kurvenpunktes zu den Brennpunkten konstant ist.
Definition 3.2.2:
K 1
P
P
F1
F1
B1
Ke
M
M
E
h
F2
B2
F2
K2
h h
d
d