Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

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d) nach Satz 3.4.7.
e) Vergleiche die vier Tangentenkonstruktionen hinsichtlich des Aufwands an Konstruktionsschritten,
der Zugänglichkeit benötigter Punkte und hinsichtlich der erreichbaren Genauigkeit in der Nähe des
Scheitels und für weiter entfernte Punkte.
Aufgabe 3.4.15: Stelle die Gleichung einer Parabel auf, deren Achse zur x-Achse parallel ist und deren
Scheitel und Brennpunkt die Koordinaten L(xo ⏐ yo ) und F(xo + p
2 ⏐ yo) haben. Wähle:
a) L(2⏐3), p = 1; b) L(-3⏐1), p = 2; c) L(1⏐-3), p = -2.
Die Einheit sei jeweils 1,0 cm.
Aufgabe 3.4.16: Stelle die Gleichung einer Parabel mit zur x-Achse paralleler Achse auf und berechne
daraus den Parameter p und die Koordinaten von Scheitel L und Brennpunkt F, wenn gegeben sind
a) die drei Parabelpunkte P(2⏐3), Q(5⏐5), R(10⏐-5);
b) die Scheiteltangente t: x = 2, P(4⏐7) und Q(10⏐-5) (2 Lösungen!);
c) der Brennpunkt F(-1⏐4) und der Punkt P(3⏐7) (2 Lösungen!).
Aufgabe 3.4.17: Konstruiere Achsenrichtung, Brennpunkt, Achse, Scheitel und Scheiteltangente einer
Parabel, von der zwei Punkte P und Q mit ihren Tangenten s bzw. t gegeben sind (vgl. Satz 3.4.9).
Warum versagt die Konstruktion aus der Brennspiegeleigenschaft, wenn die Tangente s zur Tangente t
senkrecht steht?
Aufgabe 3.4.18: Konstruiere aus der Vorgabe von Aufgabe 3.4.16 die Bestimmungsstücke der Parabel
unter Ausnutzung des Ergebnisses von Satz 3.4.9 und der Sätze
a) über die Subtangente und den Fußpunkt des Lotes auf die Tangente;
b) über die Subnormale und die Subtangente.
c) Gibt es auch hier Fälle, in denen die Konstruktion versagt?
Aufgabe 3.4.19:
a) Beweise mit ähnlichen Dreiecken: Fällt man vom Schnittpunkt H einer Parabeltangente mit der
Scheiteltangente das Lot auf die Verbindungssehne des Berührpunkts P zum Scheitel L, so
schneidet dieses Lot auf der Achse den Scheitelkrümmungspunkt aus.
b) Verschiebe das Lot aus a) parallel durch den Brennpunkt und zeige mit Hilfe des Satzes 3.4.9:
Die Tangente parallel zur Sehne LP ist Mittelparallele des Dreiecks LPH. Ihr Berührpunkt halbiert
die Strecke von H zur Sehnenmitte von LP.
Aufgabe 3.4.20:
a) Berechne die Schnittpunkte der Parabel y 2 = 2px mit der Geraden g: y = mx + t.
b) Welche algebraische Bedingung muss t für festes m erfüllen, damit g zur Tangente wird?
c) Berechne den Tangentenberührpunkt bzw. die Sehnenmittelpunkte und zeige, die y-Koordinate
hängt nur von m und nicht von t ab.
d) Beweise daraus: Die Achsenparallele aus Satz 3.4.9 ist für alle zu g parallelen Sehnen dieselbe.
e) Bringe die Tangentengleichung auf die Form yy0 = p(x + x0) für den Berührpunkt (x0⏐y0).
f) Zeige mit e):
Die zu einer Parabelsehne parallele Tangente ist Mittelparallele in dem Dreieck aus der Sehne und
den Tangenten in den Sehnenendpunkten.
3.5 Vergleichende Betrachtung der Kegelschnitte
Für die Untersuchung der Scheitelkrümmungskreise werden Ellipse, Parabel und Hyperbel jeweils so
verschoben, dass die x-Achse Hauptachse ist und der Scheitel, in dem die Kurve nach rechts geöffnet ist, in den