Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

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Hinweis: Für den zweiten Hyperbelast tritt an die Stelle von G jeweils dessen Gegenpunkt auf demselben
Leitkreis.
Aufgabe 3.3.1: Beweise den folgenden Satz:
Jede Hyperbeltangente halbiert den Innenwinkel
zwischen den Brennstrahlen ihres
Berührpunktes.
Anleitung: Der Beweis verläuft Schritt für Schritt
analog zum Beweis des entsprechenden Satzes
über die Ellipsentangente. Vergleiche auch die
nebenstehende Zeichnung.
Aufgabe 3.3.2: Betrachte die Zeichnung des „Rautenmusters“ in 2.6. Verfolge die „anderen“ Diagonalen
aufeinander folgender „Rauten“. Sie zeigen eine Schar konfokaler Hyperbeln, die mit den Ellipsen der
ersten Schar die Brennpunkte gemeinsam haben, und die diese Ellipsen rechtwinklig zu schneiden
scheinen.
a) Weshalb handelt es sich um konfokale Hyperbeln?
b) Begründe anschaulich, dass die Kurven aufeinander senkrecht stehen. Die Analysis der
Jahrgangsstufe 11 stellt hierzu eine bessere Theorie bereit.
c) Beweise den Sachverhalt mit Satz 2.7.2 und dem Satz der Aufgabe 3.3.1
Aufgabe 3.3.3: Beweise den folgenden Satz:
Der Fußpunkt des Lotes von einem Hyperbelbrennpunkt auf eine Tangente der Hyperbel liegt stets auf dem
Hauptkreis der Hyperbel.
Anleitung: Der Beweis verläuft Schritt für Schritt analog zum Beweis des entsprechenden Satzes über die
Ellipsentangente. Betrachte in der obigen Zeichnung eine geeignete Mittelparallele des Dreiecks F1F2G.
Aufgabe 3.3.4: Konstruiere mit Hilfe von Brennpunkt und Hauptkreis die Tangenten t1 und t2 an eine
Hyperbel, die zu einer gegebenen Geraden parallel sind, wenn gegeben sind:
a) a = 4,0 cm, e = 5,0 cm, ∠(g, MA) = 70 o b) a = 5,0 cm, b = 2,0 cm, ∠(g, MA) = 45 o
c) b = 4,0 cm, e = 5,0 cm, ∠(g, MA) = 56 o d) a = 6,0 cm, ∠(a, MA) = 30 o , ∠(g, MA) = 36 o
e) e = 6,0 cm, Winkel zwischen den Asymptoten sei 65 o , ∠(g, MA) = 75 o
f) Warum gibt es keine Lösung für a = b = 5,0 cm und ∠(g, MA) = 30 o ?
Aufgabe 3.3.5: Konstruiere mit Hilfe von Brennpunkt und zugehörigem Leitkreis die Tangenten an eine
Hyperbel, die zu einer gegebenen Geraden parallel sind, wenn gegeben sind:
a) a = 4,0 cm, e = 5,0 cm, ∠(g, MA) = 70 o b) a = 5,0 cm, b = 2,0 cm, ∠(g, MA) = 45 o
c) b = 4,0 cm, e = 5,0 cm, ∠(g, MA) = 56 o d) a = 6,0 cm, ∠(a, MA) = 30 o , ∠(g, MA) = 36 o
e) e = 6,0 cm, Winkel zwischen den Asymptoten sei 65 o , ∠(g, MA) = 75 o
f) Warum gibt es keine Lösung für a = b = 5,0 cm und ∠(g, MA) = 30 o ?
Aufgabe 3.3.6: Konstruiere mit Hilfe von Brennpunkt und Hauptkreis die Tangenten von einem Punkt R
an eine Hyperbel samt ihren Berührpunkten, wenn gegeben sind M(0⏐0), A(5⏐0), F1(7⏐0), R(4⏐1).
Aufgabe 3.3.7: Konstruiere mit Hilfe von Brennpunkt und zugehörigem Leitkreis die Tangenten von
einem Punkt R an eine Hyperbel und deren Berührpunkte, wenn gegeben sind M(0⏐0), A(5⏐0), F1(7⏐0),
R(4⏐1).
Aufgabe 3.3.8: Zeichne auf Transparentpapier einen Kreis mit Mittelpunkt F2 (Durchmesser mindestens
12 cm) und markiere in seinem Äußeren einen beliebigen Punkt F1.
Falte wiederholt so, dass der umgeklappte Teil des Kreises durch F1 geht.
F 2
Q
G
H
F 1
P