Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

2
2
x
2
a
−
2x
a
+
y
2
b
= 0 . (1)
Die Punkte der gezeichneten Kreise werden dargestellt durch die Gleichung
(x - r) 2 + y 2 = r 2 . (2)
Aus (1) folgt
2
b
a x 2
2
2
11
b 2
− 2 x + y = 0.
a (3)
Aus (2) folgt
x 2 - 2rx + y 2 = 0. (4)
(3) und (4) ergeben:
2 2
a − b
a
2
⎛ 2
b ⎞
2
x − 2⎜r − ⎟ x = 0
⎝ a ⎠
a
Für a ≠ b multipliziert man diese Gleichung mit
a − b
2
2 2
, klammert x aus und erhält:
⎛ a ⎛ b ⎞⎞
x⎜x − ⎜r
− ⎟⎟
⎜
⎝ a − b ⎝ a ⎠
⎟
⎠
=
2
2
2 0
2 2
Dies ist die Gleichung für die x-Koordinate der gemeinsamen Punkte von Kreis und Ellipse. x1 = 0 liefert stets
den Berührpunkt im Ursprung.
2
2
a ⎛ b ⎞
x2 = 2 ⎜ r − ⎟ liefert die weiteren Schnittpunkte zwischen Ellipse und Kreis.
2 2
a − b ⎝ a ⎠
Wenn alle Schnittpunkte in den Ursprung fallen, also x2 = 0 ist, muss r = b
2
a
Ergebnis:
Der Krümmungskreis im Hauptscheitel hat den Radius r1 = b
2
a
sein, weil 2 ≠ 0 ist.
2 2
a − b
.
a
Eine völlig analoge Rechnung liefert für den kleinsten Kreis, der die Ellipse im Nebenscheitel von außen berührt
und ganz im Äußeren bleibt, einen Radius r2 = a
2
.
b
Zeichnen der Scheitelkrümmungskreise einer
Ellipse:
1. Einem Viertel der Ellipse wird das Rechteck aus den
Achsen und den Scheiteltangenten umschrieben.
2. Man zeichnet in diesem Rechteck die Diagonale, die
die Scheitel verbindet.
3. Von der äußeren Ecke des Rechtecks wird auf diese
Diagonale das Lot gefällt. Diese Linie trifft die
Symmetrieachsen der Ellipse in den Mittelpunkten der
Scheitelkrümmungskreise.
Um eine Ellipse gut zu zeichnen, konstruiert man
zuerst die Scheitelkrümmungskreise und dann einen
geeigneten Punkt zwischen ihnen mit der
Wimpelkonstruktion.
Dieses Verfahren lernt man nicht auswendig, sondern es prägt sich mit Hilfe obiger Zeichnung ein.
Die Annäherung der Ellipse durch ihre Scheitelkrümmungskreise ist umso besser, je „dicker“ die Ellipse ist.
r1
M1
2
r2
M2